SKKN Rèn luyện kĩ năng giải dạng toán tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước, cho học sinh lớp 9 bậc THCS

MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
1
 1.1. Lí do chọn đề tài
1
 1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận
1
2.2. Thực trạng của vấn đề
3
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
3
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
19
3. Kết luận, kiến nghị
20
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Những năm gần đây, trong các đề thi vào lớp 10 môn toán đều có dạng bài toán tìm tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước. Đây là một dạng toán khó trong chương trình toán lớp 9. Bởi vì, việc giải bài toán này đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét, quan hệ giữa đường thẳng và Parabol, những hằng đẳng thức đáng nhớ và nhiều phép biến đổi linh hoạt. Tuy nhiên, trong sách giáo khoa, sách bài tập không có 1 bài tập nào ở dạng trên. Chính vì vậy, học sinh thường hoang mang khi gặp dạng toán này. Các em không biết phải bắt đầu từ đâu, trình bày bài như thế nào, vận dụng những kiến thức gì, đặc biệt là đối với học sinh trung bình, yếu. Còn đối với học sinh khá giỏi, thì đây là một trong những chuyên đề toán được các em yêu thích, say mê học tập.
Trong quá trình giảng dạy môn toán 9 và ôn thi vào lớp 10 tôi nhận thấy rằng, việc tìm giao điểm của một đường thẳng và parabol không lấy gì làm khó, chỉ cần thay vào công thức rồi tính toán là xong. Nhưng đối với dạng bài tập có chứa tham số m, việc tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước thực sự rất khó khăn. Vì vậy, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Rèn luyện kĩ năng giải dạng toán tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước, cho học sinh lớp 9 bậc THCS, nhằm nâng cao chất lượng môn toán nói chung và đặc biệt là nâng cao chất lượng thi vào lớp 10.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giáo viên tìm cách hướng dẫn dễ hiểu, dễ nhớ để giúp học sinh giải thành thạo bài toán “Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước” với hi vọng nâng cao chất lượng môn toán, đặc biệt là nâng cao chất lượng thi vào 10.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu về việc hướng dẫn như thế nào để học sinh lớp 9 ôn thi vào lớp 10 giải được dạng toán nêu trong đề tài. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức, xây dựng cơ sở lí thuyết; 
- Phương pháp điểu tra khảo sát thực tế.
- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh;
- Nghiên cứu qua theo dõi, kiểm tra, đánh giá học sinh;
- Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của vấn đề:
+ Phương trình bậc hai một ẩn.
 Định nghĩa:
	Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng . Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và 
 Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
 Phương trình bậc hai ()
 ()
* Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
; 
* Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
; 
* Nếu thì phương trình có nghiệm kép 
* Nếu thì phương trình có nghiệm kép 
* Nếu thì phương trình vô nghiệm
* Nếu thì phương trình vô nghiệm
 + Hệ thức Vi –ét. 
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) thì
+ Một số điều kiện liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai:
- Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 
- Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi 
- Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu là P < 0 (Khi đó hiển nhiên )
+ Đồ thị hàm số y = (
 Đồ thị của hàm số y = (là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, song song với đường thẳng y = nếu b , trùng với đường thẳng y = nếu b = 0
+ Đồ thị hàm số y = ax2 (
- Đồ thị của hàm số y = ax2 ( là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó gọi là một Parabol với đỉnh O
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.
+ Mối quan hệ giữa đồ thị hàm số y = (d) và đồ thị hàm số y = ax2 (P)
 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình
 (1)
- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt;
- Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì đường thẳng (d) tiếp xúc với (P);
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì đường thẳng (d) không cắt (P).
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Đối với giáo viên:
 + Thuân lợi: Là một giáo viên trẻ, có trình độ chuyên môn vững, có 10 năm trực tiếp giảng dạy môn toán 9 và ôn thi vào lớp 10 nên trong quá trình dạy, bản thân nắm bắt được việc học sinh tiếp thu mảng kiến thức này như thế nào, học sinh đã giải thành thạo dạng toán nào và ở dạng nào các em hay mắc sai lầm. 
 + Khó khăn: Dạng toán tìm điều kiện của tham số, để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm thỏa mãn điều kiện cho trước là một trong những dạng toán khó trong cấu trúc ôn thi môn toán vào lớp 10. Với rất nhiều bài tập phong phú và đa dạng nhưng trong sách giáo khoa toán 9 và SBT toán 9 không có một bài tập nào ở dạng này, chỉ có một vài bài trong tài liệu ôn thi vào lớp 10, do đó học sinh ít được tiếp cận dạng toán vừa nêu. Chính vì vậy, đòi hỏi người giáo viên phải tự tìm tòi, nghiên cứu trong rất nhiều tài liệu, sắp xếp theo từng chủ đề, từng dạng để cung cấp cho học sinh. 
Đối với học sinh:
 + Thuận lợi: Đa số học sinh lớp 9 ở trường đều ngoan, có ý thức vươn lên trong học tập. Phụ huynh học sinh quan tâm tạo điều kiện mua đầy đủ sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo cho các em học.
 + Khó khăn: Một bộ phận học sinh trung bình, yếu lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy, làm việc rập khuôn, khi giao bài tập về nhà các em thường sao chép sách giải, hoặc chép bài của bạn. Vì thế, kĩ năng giải toán của các em rất hạn chế, nhiều em chưa nắm vững kiến thức thì làm sao có thể vận dụng để giải bài tập được, mà đây lại là một dạng bài tập khó, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các kiến thức, kĩ năng, phân tích tổng hợp, tư duy..
	Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã khảo sát học sinh với các bài toán sau:
Bài 1. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m - 2 cắt Parabol y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 + x2 – 2x1x2 = 10
Bài 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 6x – m cắt Parabol y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 – x2 = 2
Bài 3. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2(m - 2)x + 5 cắt Parabol y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn =18
	Kết quả thu được:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9A
35
1
2,9
4
11,4
10
28,6
20
57,1
9B
35
1
2,9
3
8,6
13
37,1
18
51,4
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
	Từ các nguyên nhân, thực trạng và tình hình thực tiễn đã nêu trên, bản thân tôi cố gắng tìm tòi các bài tập rồi sắp xếp các bài tập theo dạng từ dễ đến khó, mỗi dạng đưa ra phương pháp giải và các ví dụ minh họa từ đơn giản đến phức tạp, chú ý các sai lầm học sinh hay mắc phải. Sau mỗi dạng đưa ra bài tập củng cố để học sinh tự rèn luyện.
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu, cùng dấu.
 Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ax2 = (1)
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm trái dấu, cùng dấu.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 4x + m và Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có:
a) hoành độ trái dấu.
b) hoành độ đều dương.
Giải:
 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 x2 = 4x + m x2 - 4x - m = 0 (1)
 Ta có: = 4 + m.
a) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu thì phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó: (Hiển nhiên 
Vậy với m > 0 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu.
b) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ đều dương thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều dương. 
 Khi đó 
Vậy với thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ đều dương. 
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= -2x + m - 6 và Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ đều âm.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 (1)
Ta có: 
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ đều âm thì phương trình (1) có hai nghiệm đều âm.
Khi đó: 
Vậy với 5 < m < 6 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ đều âm
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm có hoành độ thỏa mãn hệ thức chứa hai nghiệm của phương trình hoành độ.
Dạng 2 này, được chia thành các dạng nhỏ để học sinh dễ dàng tiếp cận kiến 
thức, các dạng toán ở đây được sắp xếp từ dễ đến khó theo hệ thức chứa hoành độ giao điểm. Sau mỗi dạng toán có thể có những lưu ý về cách giải hoặc sai lầm học sinh mắc phải
Dạng 2.1. Hệ thức chứa sẵn tổng và tích hai nghiệm của phương trình hoành độ.
Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ax2 = (1)
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2 
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức đã cho rồi giải phương trình với ẩn là m
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm rồi kết luận.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x – 2m và Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 
a) b) 
c) d) 
Giải
 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 (1)
Ta có: 
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 .
 Khi đó: (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
a) Theo đề bài: (TMĐK *)
Vậy với m = -3 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
b)Ta có: (TMĐK *)
Vậy thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
c) Ta có: (TMĐK*)
Vậy m = -1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
d) Ta có: 
Ta thấy không thỏa mãn điều kiện (*) nên loại
Vậy là giá trị cần tìm.
Sai lầm học sinh hay mắc phải
Ở câu (d) học sinh quên mất điều kiện để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, nên khi tìm được là kết luận. Vậy là các giá trị cần tìm. Giáo viên cần lưu ý học sinh, sau khi tìm được giá trị của m ta phải đối chiếu với điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm rồi mới kết luận.
Dạng 2.2. Hệ thức không chứa sẵn tổng và tích hai nghiệm và có hệ số của 
;hoặc ; hoặc ; hoặc ; bằng nhau
Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: ax2 = (1)
- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2 
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Biến đổi hệ thức đã cho về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm (Đây là bước khác với dạng 2.1)
- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức đã cho rồi giải phương trình với ẩn là m
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2mx + 1 và Parabol (P): y = -2x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
Giải:
 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 (1)
 Ta có: 
Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2
 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 
 > 0 hay (*) 
Theo định lý Vi-ét, ta có: 
Theo đề bài : 
 (2)
Giải phương trình (2) ta được: (TMĐK *); (TMĐK *)
Vậy m = 1; m = 3 là các giá trị cần tìm
Sai lầm học sinh hay mắc phải:
 Từ nên khi tìm được m = 1 (KTMĐ)
VÝ dô 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 4x + m + 1 và Parabol (P): y = - x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn
a) = 10 b) 
c) d) 
 Giải:
 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 (1)
 Ta có: 
 Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2
 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 
 > 0 hay (*) 
Với m < 3 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 
 Theo định lý Vi-ét, ta có: 
a) Theo đề bài: = 10 
 (TMĐK *)
Vậy thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn = 10
b)Theo đề bài 
Ta có: 
 ( Điều kiện m +1 0 (**))
 (TMĐK * và **)
Vậy m = 1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là
 x1, x2 thỏa mãn 
c) Theo đề bài 
Ta có: 
 (TMĐK *)
Vậy m = 2 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn 
d) Theo đề bài: 
Ta có: 
 (TMĐK *)
 Vậy thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn .
Lưu ý: Trong quá trình biến đổi, ta cần sử dụng đẳng thức sau:
Dạng 2. 3. Hệ thức không chứa sẵn tổng và tích hai nghiệm, có hệ số của 
; hoặc ; hoặc ; hoặc ;  không bằng nhau
Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: ax2 = (1)
- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2 
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Từ tổng hai nghiệm, ta biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia rồi thay vào hệ thức đã cho tìm nghiệm kia. Sau đó thay hai nghiệm tìm được theo m vào tích hai nghiệm rồi tìm m.
- Đối chiếu điều kiện rồi kết luận. 
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 6x - m và Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là, thỏa mãn: 
Giải:
Cách 1: Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 (1)
Ta có: 
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ,
Khi đó: (*)
(2)
(3)
(4)
 Theo hệ thức Vi-ét và bài ra ta có: 
 Giải hệ gồm hai phương trình (2) và (3) ta được: ; 
Thay ; vào (4) ta được: (TMĐK *)
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm
Cách 2: Ta có thể biến đổi hệ thức về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm như sau: 
 (5)
 (6)
 Nhân vế với vế (5) và (6) ta được: 
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm 
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m – 1)x + 5m - 6 và Parabol (P): y = - x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 (1)
Ta có: 
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Khi đó: > 0 hay (*)
(2)
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 
(3)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
- Giải hệ phương trình ta được (4)
 Thay (4) vào (3) ta được: 
 (TMĐK *)
Vậy m thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
Cách 2: Ta có thể biến đổi hệ thức về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm như sau: 
 (5)
 (6)
 Nhân vế với vế (5) và (6) ta được: 
 (TMĐK *)
Vậy m thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
Lưu ý: Trong trường hợp tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có nghiệm mà phức tạp, ta không cần giải cụ thể, ta chỉ cần tìm giá trị của m thỏa mãn hệ thức chứa 2 nghiệm. Sau đó thay giá trị m tìm được vào điều kiện phương trình có nghiệm và kết luận.
 Ở bài toán trên, việc giải bất phương trình m2 - 22m + 25 > 0 (*) thật sự rất khó khăn với học trung bình khá. Vì vậy, trong quá trình giải bài toán, giáo viên không yêu cầu học sinh tìm m thỏa mãn điều kiện (*), chỉ cần học sinh tìm m thỏa mãn , rồi thay giá trị tìm được vào (*), nếu thỏa mãn thì giá trị đó là giá trị cần tìm, nếu không thỏa mãn thì loại.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 5x + m - 7 và Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: 
 x2 = 5x + m - 7 x2 – 5x – m + 7 = 0 (1) 
Ta có: = 
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
Khi đó: (*)
(3)
(2)))
Theo hệ thức Vi – ét, ta có : 
Từ (2) suy ra : x2 = 5 - x1 
Thay x2 = 5 - x1 vào (gt) ta được: 
 (4)
 Giải phương trình (4) ta tìm được: 
+ Với x1 = -7 x2 = 12 -7.12 = - m +7 m = 91 (TMĐK *)
+ Với x1 = 3 x2 = 2 3.2 = - m +7 m = 1 (TMĐK*)
Vậy với thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 3 và Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 (1)
Ta có: 
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt . 
(2)
(3)
Khi đó: (*)
Theo hệ thức Vi- ét, ta có: 
 Từ (2): 
Thay vào hệ thức ta được:
 Suy ra: 
Thay và vào (3) ta được: -2.4 = m – 3m = - 5 (TMĐK*)
Vậy với m = -5 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 
Dạng 2.4. Hệ thức có chứa giá trị tuyệt đối.
Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: ax2 = (1)
- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2 
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Biến đổi hệ thức đã cho về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm 
- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức đã cho rồi giải phương trình với ẩn là m
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx - 3 và Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 (1)
Ta có: 
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. 
Khi đó: (*)
Theo hệ thức Vi- ét, ta có: 
Theo đề bài: 
 m = 4 (TMĐK*) hoặc m = - 4 (TMĐK*)
Vậy m = đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
Lưu ý: Ta có thể biến đổi hệ thức như sau: 
 Ta có: hoặc 
Đến đây bài toán được giải như Ví dụ 1, 2 dạng 2.3
Nhận xét: Cách biến đổi sau dài dòng hơn.
Sai lầm học sinh hay mắc phải: 
- Khi giải điều kiện: (thiếu trường hợp ) nên khi tìm được m = - 4 thì loại
- Khi giải phương trình m2 = 16 thì nhiều em chỉ tìm được m = 4 (thiếu trường hợp m = - 4)
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) y = 2(m + 2)x – m2 + 9 và Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
 (1)
Ta có: 
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. 
Khi đó: (*)
Theo hệ thức Vi - ét, ta có : 
Theo đề bài : (Điều kiện: (**))
Ta có : 
 m2 – 9 = 0 m = 3 hoặc m = - 3
Với m = - 3 không thỏa mãn điều kiện (**) nên loại
Vậy với m = 3 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P