SKKN Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN
CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11
NHỜ SƠ ĐỒ TƯ DUY NGƯỢC
Người thực hiện: Lê Thị Liên
Chức vụ: Giáo viên
	 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2016
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 DÙNG SƠ ĐỒ SUY LUẬN NGƯỢC TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN CHỨNG MIN VUÔNGÓC TRONG KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Lê Thị Liên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2015
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1.MỞ ĐẦU
1
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2
. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2. Thực trạng của vấn đề dạy - học tìm lời giải cho bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian trước khi áp dụng SKKN.
2
2.3. Các giải pháp thực hiện
3
2.3.1. Trong các bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
4
2.3.2. Trong các bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mp
9
2.3.3. Trong các bài toán chứng hai mặt phẳng vuông góc
12
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .
14
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
15
1. MỞ ĐẦU:
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
 Hình học không gian là một môn học tương đối khó đối với học sinh THPT nói chung và học sinh lớp 11 nói riêng, nhất là đối với các học sinh có học lực trung bình khá trở xuống. Đây là nội dung chiếm phần lớn chương trình hình học lớp 11, cũng là nền tảng để học sinh học chương trình hình học lớp 12: Thể tích khối đa diện; Phương pháp tọa độ trong không gian. 
Trong những năm giảng dạy bộ môn Toán ở trường THPT, tôi thấy đa số học sinh rất yếu phần hình học không gian, mà đặc biệt là chương III: Quan hệ vuông góc trong không gian, trong đó chứng minh quan hệ vuông góc là các bài toán đầu tiên và cơ bản. Do đó một hệ lụy kéo theo là các em sẽ rất khó khăn trong các bài toán về “Góc”, “Khoảng cách”, “Thể tích khối đa diện” và “Phương pháp tọa độ trong không gian” nên thường không lấy được trọn vẹn 2,0 điểm ở những nội dung này trong đề thi THPTQG.
Giải một bài toán hình học không gian lớp 11 nói chung và bài toán “chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian” nói riêng, theo tôi, thường có ba phần: Vẽ hình, tìm hướng giải và trình bày lời giải. Việc hướng dẫn học sinh vẽ hình phải được thực hiện xuyên suốt trong quá trình dạy học bộ môn. Tuy vậy, học sinh vẽ hình tốt mới chỉ là điều kiện cần để giải được bài toán (trong các đề thi thường có câu: hình vẽ sai cơ bản không chấm, nhưng lại không có thang điểm cho hình vẽ). Vậy khâu quan trọng nhất đó là tìm hướng giải (hay đường lối giải), sau đó là trình bày lời giải. Tuy nhiên, rèn luyện kĩ năng tìm hướng giải cho một bài toán mới là khâu có tính chất quyết định đến toàn bộ quá trình rèn luyện giải toán và khả năng tư duy cho người giải toán.
Trong môn Đại số khi hướng dẫn học sinh giải bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn, bất phương trình tích hay bất phương trình có ẩn ở mẫu ta thường hướng dẫn học sinh lập bảng xét dấu hoặc lập trục xét dấu biểu thức ở vế trái tạo nên một “quy tắc” giải rất đơn giản. Thiết nghĩ trong hình học chúng ta có thể tìm những “quy tắc” tương tự cho các dạng bài tập thường gặp được hay không? 
Trong các năm học 2014-2015 và năm học 2015-2016 tôi đã nghiên cứu và đưa vào áp dụng thí điểm đề tài về đổi mới phương pháp dạy học đó là: “Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược” với ý tưởng: Thông qua việc lập sơ đồ tư duy ngược để tìm đường lối giải và cũng dựa vào sơ đồ đó để trình bày lời giải cho các bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian. Qua thực tế tôi thấy phương pháp này đã góp phần tạo được hứng thú học tập cho học sinh và bước đầu thu được kết quả cao. Qua cách lập sơ đồ tìm đường lối giải cho bài toán, học sinh sẽ được rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, so sánh và hệ thống hóa kiến thức từ đó khắc sâu kiến thức môn học, phát triển tư duy thuật toán và tư duy logic nhằm nâng cao chất lượng dạy học bộ môn góp phần đạt được mục tiêu giáo dục toàn diện. 
Hiện tại tôi chưa thấy tài liệu nào nghiên cứu sâu về vấn đề này. 
 	Vì tất cả những lí do trên tôi thấy việc nghiên cứu và hoàn thiện đề tài SKKK này là cấp thiết.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Nâng cao chất lượng dạy học Hình học không gian, từ đó nâng cao chất lượng dạy học bộ môn toán ở trường THPT.
ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
 Các bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Phương pháp sử dụng chủ yếu là phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết kết hợp với phương pháp thực nghiệm sư phạm.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Nội dung, chương trình hình học không gian lớp 11; Các định nghĩa, các tính chất, trong chương III: Quan hệ vuông góc trong không gian, sách giáo khoa hình học 11.
Một số tài liệu tham khảo về phương pháp dạy học toán như: “Giải bài toán như thế nào” của Polia; “Rèn luyện kĩ năng tìm lời giải cho một bài toán” của Nguyễn Văn Hòe,
2.2 Thực trạng của vấn đề dạy - học tìm lời giải cho bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian trước khi áp dụng SKKN.
 Học sinh lớp 11 thường rất yếu về phân môn “hình học không gian”, đặc biệt là học sinh không ở lớp mũi nhọn. Chương III: Quan hệ vuông góc trong không gian có thể nói là nội dung quan trọng nhất trong chương trình mà dạng toán chứng minh quan hệ vuông góc là dạng toán cơ bản của chương, từ đó xây dựng các khái niệm về góc và khoảng cách. Với một vài học sinh chưa biết vẽ hình hoặc vẽ hình không tốt, vẽ hình không trực quan, sai quy tắc thì lẽ tất yếu là không tìm được lời giải. Nhưng với đa số học sinh đã biết vẽ hình tốt, trực quan vẫn rất khó khăn trong việc tự mình tìm ra hướng giải cho các bài toán chứng minh quan hệ vuông góc. Nhiều học sinh khi giáo viên trình bày lời giải thì các em hiểu bài nhưng thường có một thắc mắc “Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được hướng làm này?”. Nhiều học sinh tự mình tìm được hướng giải bài toán nhưng theo kiểu “mò mẫm” mất rất nhiều thời gian. Nhiều học sinh có hướng giải rồi nhưng trình bày lời giải lại không rõ ràng, không lôgic thậm chí “dài dòng” hoặc “quanh co” không đạt yêu cầu. 
Từ thực trạng trên, học sinh thường có tâm lý “ngại”, “né tránh”, “không có hứng thú” với các bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian. Và do đó giáo viên thường gặp rất nhiều khó khăn khi giảng dạy nội dung này.
Năm học 2013-2014 tôi đã cho 11A4 làm đề kiểm tra 45 phút chương III, kết quả điểm của lớp 11A4 như sau: 
Lớp
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
11A4
42
1
2,38
7
16,67
25
59,52
9
21,43
Xuất phát từ thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn tiến hành đổi mới phương pháp về “Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược” cho hai lớp 11C3 và 11D4, trong đó 11C3 có chất lượng tương đương 11A4, 11D4 có chất lượng thấp hơn, bản thân nhận thấy cách làm này có hiệu quả rõ rệt.
2.3. Các giải pháp thực hiện 
Tôi thực hiện dạy chương III: Quan hệ vuông góc trong không gian mà dạng toán cơ bản là chứng minh quan hệ vuông góc tại ba lớp: Lớp 11A4 và 11C3 là hai lớp cơ bản A có chất lượng tương đương; Lớp 11D4 có chất lượng đầu vào thấp hơn lớp 11A4.
	Năm học 2013 – 2014, tại lớp 11A4, thực hiện theo phương pháp truyền thống: Phân dạng và đưa phương pháp giải tương ứng cho các dạng bài tập chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian, nhưng trong khi hướng dẫn giải các ví dụ và bài tập, giáo viên chỉ yêu cầu một vài học sinh nêu đường lối giải (hoặc giáo viên gợi ý đường lối giải) rồi sau đó trình bày lời giải.
Năm học 2014-2015 tại lớp 11C3 và năm học 2015-2016 tại lớp 11D4 là lớp cơ bản có chất lượng thấp hơn tôi cũng dạy những nội dung này và hệ thống bài tập tương ứng nhưng với mỗi ví dụ hoặc bài tập, sau khi hướng dẫn học sinh vẽ hình, giáo viên dùng hệ thống câu hỏi và gợi ý để hướng dẫn học sinh tiến hành giải quyết bài toán theo hai bước:
Bước 1: Lập sơ đồ tư duy ngược để tìm hướng giải (Chỉ làm vào bảng nháp) 
Bước 2: Dựa vào sơ đồ đó để trình bày lời giải. 
Khi hướng dẫn học sinh tìm hướng giải cho mỗi bài toán, có thể dùng các câu hỏi như là: “ Để chứng minh(mệnh đề A về quan hệ vuông góc- Điều cần chứng minh) ta phải chứng minh điều gì?”, hay “tại sao(đường thẳng a, mp (P)) vuông góc với( đường thẳng b, mp (Q))”. Giả sử câu trả lời của câu hỏi trên là: “ Để chứng minh mệnh đề A (là đúng), ta phải chứng minh mệnh đề B (B là giả thiết hoặc kết quả phán đoán mà ta cho là đúng)”, cứ lặp đi lặp lại các câu hỏi kiểu như vậy cho đến khi B là giả thiết của bài toán thì hoàn thành việc tìm hướng giải. Bằng cách vấn đáp trực tiếp và ghi tóm tắt lại quá trình trên thành một “sơ đồ” tạm gọi là “sơ đồ tư duy ngược” kiểu như: theo đó, từ mệnh đề A là kết luận của bài toán (mệnh đề cần chứng minh), ta lần tìm ra B, rồi từ B lại lần tìm ra C, rồi D, và cuối cùng đến F, F chính là giả thiết của bài toán. Và cần lưu ý rằng sơ đồ này chỉ lập trong bảng nháp, không đưa vào lời giải.
Khi trình bày lời giải, ta chỉ việc trình bày theo chiều ngược lại của sơ đồ. Tức là trình bày theo kiểu: 
Trong phạm vi đề tài SKKN này tôi xin được trình bày hai khâu này qua các ví dụ cụ thể trong từng dạng toán thường gặp về chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian sau đây:
2.3.1. Trong các bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Các phương pháp (PP) thường dùng:
+ PP1: Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của a và b là vuông góc
+ PP2: : Đây là phương pháp hay dùng.
(Một trong hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường còn lại)
+ PP3: Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
+ PP4: .
+ PP5: Khi a và b cùng nằm trong một mặt phẳng, có thể sử dụng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong hình học phẳng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, . Một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SC, SB, SD theo thứ tự tại K, H, E. Chứng minh rằng:
a) 	 b) 
Trong ví dụ 1, mỗi ý a,b đều có thể hướng dẫn học sinh giải theo PP2 hoặc PP3 nêu trên. Sau đây tôi sẽ trình bày cách giải ví dụ 1.a theo PP3, ví dụ 1.b theo PP2.
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải
*Có thể hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tìm hướng giải cho ví dụ1.a) như sau:
Giáo viên đưa câu hỏi gợi ý
Học sinh trả lời (mong muốn)
-?1: Đề chứng minh bằng cách sử dụng định lí ba đường vuông góc (PP3) phải chứng minh điều gì?
-?2: Tại sao có ? 
Tứ giác ABCD là hình vuông.
Vấn đáp trực tiếp và ghi lại quá trình đó thành “sơ đồ” tạm gọi là sơ đồ tư duy ngược (thực hiện trong bảng nháp) như sau: 
* Có thể hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tìm hướng giải cho ví dụ1.b) chứng minh như sau:
Giáo viên đưa câu hỏi gợi ý
Học sinh trả lời (mong muốn)
-?1: Sử dụng PP2, để chứng minh ta phải chứng minh điều gì? 
-?2: Tại sao ? 
-?3: Tại sao 
-?4: Tại sao ?
- ?5: Tại sao ?
- ?6: Tại sao ?
 vì 
Học sinh sẽ có được sơ đồ tìm hướng giải câu b) chứng minh như sau:
* Chứng minh cho học sinh làm hoàn toàn tương tự ta được sơ đồ :
Bước 2: Trình bày lời giải:
Ví dụ 1.a) Tứ giác là hình vuông nên ta có 
 Mặt khác: nên AC 
là hình chiếu của SC lên (ABCD) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
Ví dụ 1.b) 
Chứng minh 
+ Ta có mà , 
lại có nên (1)
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) suy ra mà nên
+ Ta có , mà nên ,
lại có suy ra (1).
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) suy ra mà nên .
Ví dụ 2. (Bài tập 6- SGK hình học 11, trang 98 ) Trong không gian cho hai hình vuông là có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm Chứng minh rằng:
a) 
b) Tứ giác là hình chữ nhật.
Trong ví dụ 2, tôi sẽ trình bày cách giải câu a) theo PP1 và câu b) theoPP4
(có thể hướng dẫn học sinh chọn PP khác trong các PP đã nêu)
Khi sử dụng PP1, một kĩ thuật hay dùng để chứng minh các đẳng thức liên quan đến véc tơ là phân tích các véc tơ liên quan theo các véc tơ chung gốc.
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải
Bằng cách đưa ra hệ thông câu hỏi vấn đáp tương tự như ở ví dụ 1, ta hướng dẫn học sinh lập được sơ đồ tìm hướng giải như sau:
Ví dụ 2.a)
Ví dụ 2.b)
Tứ giác là hình chữ nhật.
Bước 2: Trình bày lời giải:
Mặt khác nên tứ giác là hình bình hành (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là hình chữ nhật.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
 M là trung điểm cạnh BC. 
a) Chứng minh .
b) N là trung điểm của cạnh . Chứng minh ;
c) P là điểm trên cạnh sao cho và Q là trung điểm cạnh. Chứng minh:
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải
Bằng cách đưa ra hệ thông câu hỏi vấn đáp tương tự như ở ví dụ 1, ta hướng dẫn học sinh lập được sơ đồ tìm hướng giải như sau:
Ví dụ 3.a) (Theo PP2) 
Ví dụ 3.b) (Theo PP2) 
Ví dụ 3.c) (Theo PP5) 
 Khi tính được độ dài các cạnh của tam giác thì thường dùng định lí Pitago đảo để chứng minh tam giác vuông.
Bước 2: Trình bày lời giải:
3.a) Ta có: 
 suy ra.
3.b) Ta có: (1)
Lại có: (Câu 3.a) (2).
Từ (1) và (2) suy ra mặt khácnên
3.c)Ta có: 
Nên (1). 
Tương tự: (2).
Từ (1) và (2) suy ra 
Ví dụ 4:Trong mặt phẳng (P) cho tam giác nhọn ABC. Trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A ta lấy một điểm M khác A. Gọi BH, BK theo thứ tự là các đường cao kẻ từ đỉnh B của ABC, MBC; HK cắt AM tại N.
 Chứng minh rằng: a. ; b. ; c. .
 Ở ví dụ 4, tất cả các ý đều có thể giải theo PP2 hoặc PP3. Với học sinh yếu thường các em hay sử dụng PP2, nên trong ví dụ này tôi sẽ giải theo PP2.
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải.
4.a) 
4.b) 
4.c)
Bước 2: Trình bày lời giải:
4.a) Ta có 
mà nên (1).
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
4.b) Theo câu 3.a) ta có 
mà nên 
4.c) Ta có: (3)
Mặt khác: (4)
Từ (3) và (4) suy ra mà nên .
2.3.2 Trong các bài toán chứng minh đường thẳng a vuông góc với (P).	
Các phương pháp (PP) thường dùng:
+ PP1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của (P) 
+ PP2: Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P);
+ PP3: ; 
+PP4. Hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mp này mà vuông với giao tuyến thì vuông với mp kia
Ví dụ 5. Trong (P) cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên đường thẳng vuông góc với (P) kẻ từ A ta lấy điểm D. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, H là hình chiếu
của A trên DM. Chứng minh rằng:
a) ; b) 
PP1 là phương pháp rất hay dùng cho dạng bài tập này. Trong ví dụ 4a,b đều có thể sử dụng PP1 hoặc PP4, ở ví dụ này tôi sẽ trình bày cách giải câu a) theo PP1 và câu b) theo PP4.
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải
Ví dụ 5.a)
Ví dụ 5.b) 
Bước 2: Trình bày lời giải:
Ví dụ 5.a) Do và M là trung điểm 
của BC nên (1) 
Mặt khác (2);
Từ (1) và (2) suy ra 
Ví dụ 5.b) 
mà 
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) suy ra.
Ví dụ 6. Cho các tam giác và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và . Gọi I là trung điểm của cạnh . Chứng minh 
 Các bài toán tính khoảng cách trong các đề thi thử THPTquốc gia của các trường THPT hoặc các Sở giáo dục hầu hết đều quy về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khi đó PP4 là phương pháp khá hiệu quả.
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải 
Bước 2: Trình bày lời giải:
Do và I là trung điểm 
của cạnh CD nên.
Vậy 
 Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông , hai mặt phẳng và cùng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên SB,SD.
1. Chứng minh: a) ; b) ; c) .
2. Chứng minh: 
3. Gọi K là giao điểm của SC với (AMN). Chứng minh rằng tứ giác AMKN 
có hai đường chéo vuông góc. 
PP2 khá dễ nhớ và hầu như “dễ nhìn thấy” để áp dụng. Ví dụ 7.1.a) ta giải theo PP2, Ví dụ 6.3 theo PP3. Các ý còn lại có thể giải theo nhiều cách.
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải
Ví dụ 7.1.a) 
Ví dụ 7.1.b) 
Ví dụ 7.1.c) 
Ví dụ 7.2.
Ví dụ 7.3. Tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc 
Bước 2: Trình bày lời giải: 
Ví dụ 7.1.a) 
Ví dụ 7.1.b) 
Mặt khác, tứ giác ABCD là hình vuông nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Ví dụ 7.1.c)
Ví dụ 7.2.
Chứng minh tương tự ta cũng có 
Từ 
Ví dụ 7.3. 
Ta có: 
Lại có 
Vậy tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.
2.3.3. Trong các bài toán chứng hai mặt phẳng vuông góc
Phương pháp thường dùng là: Để chứng minh ta chỉ ra một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Ví dụ 8: (Trích bài tập 119 trang 102, SGK hình học 11 nâng cao) Cho hình lập phương . Chứng minh rằng: 
a) ; b) . 
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải
Ví dụ 8.a)
Ví dụ 8.b) 
Bước 2: Trình bày lời giải:
Lời giải: 
Ví dụ 8.a) 
Ta có 
mà nên , 
lại do 
suy ra .
Ví dụ 8.b) 
Ta có (1);
Mặt khác: (2);
Từ (1) và (2) suy ra .
Ví dụ 9: Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau.
a) Chứng minh 
b) Gọi I là trung điểm của cạnh AB, Chứng minh .
c) Gọi OJ là đường cao của tam giác . Chứng minh .
d) Gọi K là trung điểm cạnh bên SC. Chứng minh?
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải
Ví dụ 9.a) 
Ví dụ 9.b) 
Ví dụ 9.c) 
Ví dụ 9.d) 
 BK là trung tuyến trong tam giác đều SBC.
Bước 2: Trình bày lời giải:
Ví dụ 9.a) Ta cómà nên 
từ đó suy ra 
Ví dụ 9.b) 
Ta có: 
mànên 
từ đó suy ra 
Ví dụ 9.c) Ta có 
nên từ đó suy ra .
Ví dụ 9.d) Do BK là trung tuyến trong tam giác đều SBC nên ta có 
Mặt khác: suy ra 
 Lại có 
Từ (1) và (2) suy ra.
Bài tập
1) Cho tứ diện là đường cao của tam giác BCD 
Chứng minh: .
Vẽ đường cao BF, BK của tam giác ABC và tam giác BCD. 
Chứng minh ?
Gọi H, J lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC.
Chứng minh 
2) Cho hình chóp , đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng và cùng vuông góc với đáy, . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh rằng: a) ; b) ; c) 
3) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA = SB = SC = SD.
 a) Chứng minh rằng: SO vuông góc với (ABCD)
 b) Chứng minh rằng: BD vuông góc với (SAC)
 c) Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng: AB vuông góc với (SOI)
 d) Kẻ đường cao OJ của SOI. Chứng minh rằng: SA vuông góc với OJ
4) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O, SO vuông góc với (ABCD), SO = , AB = .
 a) Chứng minh rằng: BD vuông góc với SA; AC vuông góc với SB.
 b) Vẽ CI vuông góc với SD, OJ vuông góc với SC. Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với (ACI); SC vuông góc với (BDJ).
 c) K là trung điểm SB. Chứng minh rằng: OK vuông góc với OI.
5) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Trên đường thẳng vuông góc (ABCD) tại I lấy S.
a) Chứng minh: BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với (SIJ).
b) Chứng minh: (SAD) vuông góc với (SBC), (SAB) vuông góc với (SIJ).
c) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: (SIM) vuông góc với (SBD).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm :
 Sau khi kiên trì áp dụng SKKN “rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược”vào hai lớp 11C3, 11D4 và so sánh với lớp 11A4 (năm học 2013-2014) là lớp có chất lượng tương đương. Tôi thấy học sinh lớp11C3, lớp 11D4 nắm bắt kiến thức tốt hơn và có kỹ năng giải toán tốt hơn. Nhìn chung các em đã giải được tương đối tốt các dạng toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian, đặc biệt phần trình bày lời giải rất rõ ràng, xúc tích; Một số đã có sự linh hoạt, khéo léo vận dụng cách làm đó cho các dạng bài tập như chứng minh quan hệ song song, tính góc, tính khoảng cách,... Qua thực tế giảng dạy tại lớp 11C3, 11D4, tôi thấy học sinh còn rất hứng thú với cách lập sơ đồ tư duy ngược, cải thiện được phần nào tâm lí “ngại”, “né tránh” của các em đối với việc giải toán hình không gian. 
Cụ thể, tôi đã cho lớp 11C3, 11D4 làm đề kiểm tra 45 phút cuối chương III tương đương với đề mà năm học 2013-2014 tôi đã cho 11A4 làm:
 Kết quả điểm của mỗi lớp như sau: 
Lớp
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
11A4
42
1
2,38
7
16,67
25
59,52
9
21,43
11C3
46
3
6,52
12
26,09
28
60,87
3
6,52
11D4
42
2
4,76
14
33,33
22
52,38
4
9,52
Trong đó: + Lớp thực nghiệm là 11C3; 11D4.
 + Lớp đối chứng là 11A4.	
Chất lượng đầu năm của 11C3, 11A4 là tương đương, 11D4 thấp hơn 11A4.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận:
Tìm hướng giải là khâu quan nhất khi giải một bài toán hình không gian. Phương pháp tìm hướng giải cho các bài toán chứng minh hình học đặc biệt là chứng minh quan hệ vuông góc