SKKN Rèn luyện cho học sinh lớp 11 các kỹ năng giải toán lượng giác bằng phương pháp xây dựng chuỗi các bài toán

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài:
 Chuyên đề lượng giác có một vai trò quan trọng trong chương trình toán học phổ thông- nó là một thành phần không thể thiếu trong đề thi đại học, cao đẳng. Nhưng có một bộ phận không nhỏ học sinh rất sợ hoặc là không mấy hứng thú với phân môn này bởi bản thân các em chưa biết cách học, nhìn thấy công thức lượng giác nhiều còn ngại. Và cũng có bộ phận học sinh chưa thành thục kỷ năng ứng dụng lượng giác vào các phân môn khác như tính đạo hàm, tích phân đã gây trở ngại cho việc học toán tiếp theo. Thực tiễn đó một phần trước đây do phân phối chương trình của Bộ phải đúng tuần tự theo bài, theo mục không được tự ý tinh giản mà thời lượng trên lớp thì có hạn dẫn đến học sinh không được rèn luyện, khắc sâu nhiều. 
 Từ năm học 2016-2017 Bộ đã định hướng mở cho giáo viên trong giảng dạy đó là việc dạy học theo chuyên đề trong tiết học chính khóa. Với việc dạy này giáo viên hoàn toàn chủ động trong phân phối thời gian để tự điều chỉnh giáo án sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh. Và hơn thế nữa là tạo ra phương pháp học, sự đam mê của học sinh để vận dụng ý tưởng đó cho các chuyên đề toán học khác.
 Trước thực trạng đó tôi thấy cần thiết phải biết tăng cường thiết lập một chuỗi các bài toán gốc, đưa ra bài toán có cách giải đúng và cách giải sai để học sinh biết cách sữa chữa, rút kinh nghiệm rồi thông qua đó rèn luyện cách nhớ hệ thống các công thức lượng giác. Vấn đề này không phải là mới nhưng hiện tại vẫn chưa có tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào để làm tài liệu cũng như kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên. Bởi vậy để công việc dạy và học đạt hiệu quả tốt hơn tôi đã mạnh dạn đề xuất đề tài kinh nghiệm của mình là:"Rèn luyện cho học sinh lớp 11 các kỹ năng giải toán lượng giác bằng phương pháp xây dựng chuỗi các bài toán". 
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề một số biện pháp nhằm phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập thông qua giải bài tập lượng giác ở lớp 11; đề xuất các quan điểm xây dựng chuỗi bài toán gốc, đồng thời, đưa ra những giải pháp về phương pháp dạy học. Học sinh có thể liên hệ vận dụng vào kiến thức liên môn cho môn vật lý, địa lý.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài này nghiên cứu về chuyên đề lượng giác trong chương trình THPT do nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam ấn hành và sẽ đưa ra một số các giải pháp hữu ích trong việc giảng dạy của giáo viên.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 4.1. Nghiên cứu lý luận;
 4.2. Điều tra thực tế;
 4.3. Thực nghiệm sư phạm. 
2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
 Để phát huy được tính tích cực của học sinh thì hệ thống tri thức về phương thức hành động, biện pháp học tập và kinh nghiệm hoạt động cần phải dạy cho học sinh, chứ không nên chỉ chờ chúng hình thành một cách tự phát.
Tuy nhiên để đảm bảo giúp học sinh lĩnh hội được đầy đủ lượng kiến thức quy định trong một đơn vị thời gian (giờ học) thì không thể chỉ vận dụng máy móc một cách dạy học nào mà phải kết hợp nhuần nhuyễn chúng với nhau. Một trong những mặt năng động của phương pháp, đó là tính vận động và phát triển của dạy học, tính tích cực của người dạy và đặc biệt là tính tích cực của người học. 
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng:
1) Chức năng dạy học:
- Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lý thuyết đã học. Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể. 
- Có khi bài tập lại là một định lý, mà vì lý do nào đó không đưa vào lý thuyết. Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
2) Chức năng giáo dục:
Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
3) Chức năng phát triển:
Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
4) Chức năng kiểm tra:
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát trển của học sinh.
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với mọi học sinh. Có thể chia bài tập toán học ra làm hai loại: 
a) Loại có sẵn thuật toán.
Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn. Yêu cầu cho học sinh là:
Nắm vững quy tắc giải đã học.
Nhận dạng đúng bài toán
Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo
b) Loại chưa có sẵn thuật toán.
Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học tập của học sinh. Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán.
 2.2 Thực trạng của vấn đề
 a) Thực trạng của học sinh
 - Đa số học sinh ngại học lượng giác vì phải nhớ rất nhiều công thức hoặc không biết cách để thuộc công thức. Các em phụ thuộc hoặc ỷ lại vào máy tính cầm tay nên không cần nhớ dẫn đến khi giải các phương trình lượng giác thường không linh hoạt, lời giải có thể sai hoặc quá dài.
 - Do tự rèn luyện các bài tập không nhiều nên các em học xong thường nhanh quên thậm chí đến cuối năm học nhiều em quên hết cách giải những bài toán cơ bản.
 - Một số học sinh lười học do thích chơi bời, hổng kiến thức nghiêm trọng.
 b) Thực trạng của giáo viên
 - Một số giáo viên còn dạy học mang nặng tính hàn lâm, tiết học nặng nề, lê thê với nhiều lý thuyết mà ít rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
 - Dạy học chưa phân loại theo đối tượng học sinh để học sinh cảm thấy khó quá hoặc dễ quá.
 - Chưa linh hoạt trong việc sử dụng các phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực và hợp tác làm việc của học sinh.
 2.3 Khảo sát, thực nghiệm
 Trước khi dạy phần lượng giác của lớp 11 tôi đã tiến hành khảo sát thực nghiệm ở 2 lớp đó là lớp 11A7, lớp 11A8 với nội dung: Tìm hiểu số học sinh thuộc công thức lượng giác, số học sinh viết đúng cách lấy nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, số học sinh nhớ cách giải một phương trình lượng giác thường gặp. Kết quả điều tra: 
STT
Lớp
Sĩ số
HS thuộc công thức LG
HS lấy ghiêm PTLG cơ bản đúng
HS nhớ cách
giải PTLG
thường gặp
HS giải quyết tốt phần LG
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
11A7
43
35
81,4
2
11A8
45
25
55,6
30
66,7
23
51,1
10
22,2
 Từ cơ sở lý luận và thực tiễn, qua thực tế giảng dạy và qua việc phân tích những thực trạng trên tôi mạnh dạn đề xuất một số kinh nghiệm, giải pháp hay để dạy học sinh yêu thích và học tốt hơn phân môn lượng giác.
2.4. Các giải pháp thực hiện
Giải pháp1. Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề.
a) Tính huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điểu chỉnh kiến thức sẵn có. Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và họ tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải quyết được.
b) Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề với mục đích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học sinh.
c) Ví dụ: 
1) Sau khi học công thức cộng, yêu cầu học sinh tính giá trị các hàm số lượng giác của các cung không đặc biệt, chẳng hạn tính cos 150.
Tình huống trở thành có vấn đề khi học sinh nhận thấy 150 không phải là số đo của một cung đặc biệt và chưa biết thuật giải để trực tiếp giải bài toán đó. Học sinh tích cực suy nghĩ, huy động tri thức, kỹ năng của mình để tìm ra lời giải bài tập trên bằng cách: Biểu thị 150 qua hai cung có số đo đặc biệt (150 = 600 - 450), từ đó áp dụng trực tiếp công thức cộng
	cos150 = cos(600 - 450) = cos600 cos450 + sin600 sin450
 	 ==+) 
Để củng cố có thể cho học sinh giải các bài toán sau: 
1. Tính: 	 
P = sin 120. sin 480
2. Không sử dụng bảng, hãy tính
A =
 3. Dựa vào các kết quả đã biết sau:
Hãy nêu bài toán tổng quát và áp dụng tính:
Tình huống gợi vấn đề sẽ không xảy ra nếu ngay từ đầu giáo viên yêu cầu học sinh tính giá trị của biểu thức A bởi nó không tạo điều kiện để học sinh có thể vượt qua được sau khi đã tích cực suy nghĩ.
Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, học sinh dễ dàng nêu được bài toán tổng quát.
Chứng minh rằng: 
Như vậy ta đã biết công thức tính: sinx cosx cos2x.....cos 2nx bây giờ để tính biểu thức A ta làm như thế nào? 
Có thể yêu cầu học sinh: Quan sát biểu thức A, hãy tìm cách biến đổi để đưa nó về dạng của bài toán tổng quát:
Ta có: 
Suy ra: A
	= 
d) Bài tập tương tự:
 Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
 Giải pháp 2. Vận dụng lý thuyết định hướng tìm tòi lời giải bài toán.
a) Việc giải toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh. Do vậy. khi dạy học sinh giải toán, giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải toán. 
b) Ví dụ1: Sau khi học bài "Công thức lượng giác" có thể yêu cầu học sinh giải các bài tập sau:
1. Chứng minh:
 	sinx sin(
2, Chứng minh rằng: Trong DABC có:
 	cosA + cosB + cosC = 1 - 4sin
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 	M= 	
Trong đó: A,B,C là ba góc của một tam giác. 
Nhận xét:
 1. Đối với câu 1 thì đây là một bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác. Trước khi chứng minh giáo viên có thể kiểm tra lại kiến thức cũ bằng những câu hỏi.
H1> Để chứng minh một đẳng thức ta làm như thế nào?
H2> Nhắc lại công thức biến đổi tích thành tổng?
H3> Mối quan hệ giữa các hàm số lượng giác của hai góc đối nhau? 
Với những "tri thức cũ" vừa "tái hiện", học sinh dễ dàng chứng minh bài toán trên như sau:
Vế trái = sinx{}
 = ................
 = vế phải.
2. Đối với câu 2 thì đây là một bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác. Học sinh có thể sẽ biến đổi như sau:
Vế trái = 2cos 
Với A+B+C = p => A+B = p - C, ta có:
3(A+B) = 3(p- C) = 3p - 3C = 2p +(p-3C)
 => cos 
 =- cos (
Vậy,vế trái = - 2sin
 = ....................
 = 1- 4 sin vế phải
3. Đối với câu 3, có thể hỏi học sinh:
H1> Cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M?
H2> Hãy quan sát biểu thức M xem có gì đặc biệt? (Tử số + mẫu số = 3)
H3> Nhận xét M lớn nhất khi nào? ( M +1 lớn nhất),hãy tính M +1?
 M+1 =	(*)
H4 > Biểu thức M +1 đạt giá trị lớn nhất khi nào?
(Khi cos2A+ cos2B + cos2C đạt giá trị nhỏ nhất)
H5> Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cos2A + cos2B + cos2C?
Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2 cosA cosB cosC
Mà cosA cosB cosC 	(Áp dụng bất đẳng thức Côsi)
Dấu "=" xẩy ra A = B = C = 
Do đó: cos2 A + cos2 B + cos2 C ³ 1 - 2.
Suy ra: M+1 = 
Vậy maxM = 3 khi DABC đều.
Có thể yêu cầu học sinh thực hiện theo cách khác giáo viên đặt các câu hỏi:
H1>Biến đổi (*) để đưa về phương trình bậc hai đối với cosC? (*) cos2A + cos2B + cos2C = 
 f (cosC) = cos2C - cos (A-B) cosC + 1	 (**)
H2> Để tìm giá trị lớn nhất của M ta làm như thế nào?
(Tìm điều kiện để (**) có nghiệm)
(**) có nghiệm D = cos2 (A-B) - 4(1- M3 
H3>Dấu bằng xảy ra khi nào? 	 	 
 	 D ABC đều
c) Tương tự:
Sau khi dạy bài "Phương trình lượng giác cơ bản" yêu cầu học sinh giải các phương trình sau:
1) cos (x+
tg (
 Giải pháp 3. Tuần tự nâng cao yêu cầu, tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết.
a) Nhờ việc tổ chức hoạt động, đặc biệt là phân bậc hoạt động trong dạy học mà người giáo viên có thể điều khiển quá trình dạy học trên lớp, có thể tuần tự nâng cao yêu cầu.
b) Ví dụ: Sau khi dạy bài:"Dấu của các giá trị lượng giác" cho học sinh lần lượt làm các bài tập sau:
a) Biết: và . Tính cosa ?
b) Biết: . Tính cosa?
Nhận xét:
1. Câu a, học sinh phải tính cosa khi đã biết sina và điểm ngọn cung a thuộc góc phần tư thứ hai. Do đó, dấu của cosa hoàn toàn được xác định (cosa<0). Học sinh sẽ sử dụng hằng đẳng thức sin2a + cos2a =1 
 =>cos2a =1- sin2a = =>cosa= (Vì
2. Câu b, yêu cầu được nâng cao hơn khi học sinh chỉ biết một yếu tố là sina=. Do đó, từ cos2a= => cosa = 
 Vấn đề đặt ra là mỗi giá trị góc lượng giác chỉ có duy nhất một giá trị cos.
 H1> Để biết cosa = hay cosa= + thì phải thêm giả thiết nào? (Biết điểm ngọn của cung a thuộc vào góc phần tư nào?)
 H2> Từ giả thiết sina=, hãy cho biết điểm ngọn của cung a thuộc vào góc phần tư nào? (Góc phần tư thứ nhất hoặc thứ hai)
Như vậy, một hoạt động tính cosa được tiến hành ở hai phương diện nhận thức khác nhau, trong đó tính trừu tượng của đối tượng ngày càng tăng.
c) Tương tự:
Sau khi học bài "Công thức biến đổi tích thành tổng" có thể yêu cầu học sinh giải bài tập sau:
Tính: 	a) 
 	b) 
	c) 
Tuần tự nâng cao yêu cầu đối với học sinh trong dạy học sẽ phát huy được tính tích cực, tính sẵn sàng học tập và sự phát triển trí tuệ của học sinh.
Trong trường hợp học sinh gặp khó khăn trong khi hoạt động, ta có thể tạm thời hạ thấp yêu cầu. Sau khi họ đã đạt được nấc thấp này, yêu cầu lại được tuần tự nâng cao.	 
 Giải pháp 4. Sử dụng phương pháp dạy học phân hoá.
a) Việc kết hợp giữa giáo dục diện" đại trà" với giáo dục diện "mũi nhọn", giữa "phổ cập" với" nâng cao" trong dạy học Toán học ở trường phổ thông cần được tiến hành theo các tư tưởng chủ đạo sau:
1) Lấy trình độ phát triển chung của học sinh trong lớp làm nền tảng.
2) Sử dụng những biện pháp phân hoá đưa hs yếu kém lên trình độ chung. 
3) Có những nội dung bổ sung và biện pháp phân hóa giúp học sinh khá, giỏi đạt những yêu cầu nâng cao trên cơ sở đã đạt được những yêu cầu cơ bản.
b) Phương pháp dạy học phân hóa .
1) Đối xử cá biệt ngay trong những pha dạy học đồng loạt.
2) Tổ chức những pha phân hóa trên lớp.
- Ra bài tập phân hoá:
- Điều khiển phân hoá của thầy giáo:
- Tác động qua lại giữa những người học:
 3) Phân hóa bài tập về nhà.
- Phân hoá về số lượng bài tập cùng loại phù hợp với từng loại đối tượng để cùng đạt một yêu cầu;
- Phân hoá về nội dung bài tập để tránh đòi hỏi qúa cao đối với học sinh yếu kém và quá thấp đối với học sinh giỏi;
- Phân hoá yêu cầu về mặt tính độc lập: Bài tập cho diện yếu kém chứa nhiều yếu tố dẫn dắt hơn là bài tập diện khá, giỏi;
- Ra riêng những bài tập nhằm đảm bảo trình độ xuất phát cho những học sinh yếu kém để chuẩn bị cho những bài học sau;
- Ra riêng những bài tập nâng cao cho học sinh giỏi.
Ví dụ 1: Bài tập phân hoá nhằm củng cố công thức biến đổi tổng thành tích:
1) Biến đổi tổng thành tích các biểu thức sau:
2) Chứng minh rằng: Trong mọi tam giác ABC, ta có:
3) Tính: 
Đối với học sinh yếu và trung bình có thể yêu cầu các em tuần tự làm hai bài 1,2. Trong khi những học sinh khá giỏi có thể bỏ qua bài 1, và sử dụng thời gian dôi ra để làm bài tập 3.
Ví dụ 2: Bài tập phân hoá nhằm cũng cố bài " Phương trình lượng giác cơ bản".
1) Giải các phương trình sau:
	a) 
	b) 
2) Giải các phương trình sau:
a) với -1200< x < 900
b) 
c) 
3) Giải và biện luận:
a) (m - 1) sin x + 2 - m = 0
b) sin a cos x = 1
c) (m - 4) tg 2x - = 0
Yêu cầu học sinh yếu và trung bình tuần tự làm các bài tập 1 và bài tập 2. Học sinh khá giỏi có thể bỏ qua bài tập 1.
Trong khi học sinh giải bài tập, giáo viên cần chú ý đến hoạt động của từng loại học sinh và có sự giúp đỡ, động viên chỉ bảo cần thiết và cụ thể.
 Giải pháp 5. Xây dựng hệ thống bài toán gốc như là một cơ sở của kiến thức và kỹ năng để giải các bài toán.
a) Theo quan điểm của tác giả, bài toán gốc là bài toán thoả mãn một trong ba điều kiện sau:
i) Kết quả của bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải bài toán khác.
ii) Phương pháp giải bài toán được sử dụng trong việc tìm tòi lời giải bài toán khác.
iii) Nếu thay đổi giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.
Nhận xét: 
Hệ thống các bài toán gốc sẽ giúp học sinh tìm được chìa khóa để giải quyết vấn đề trong quá trình giải toán. 
b) Các phương pháp xây dựng bài toán gốc. 
1. Xây dựng các bài toán gốc nhờ khai thác đẳng thức: sin2a+cos2a=1, "a.
Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức: sin4a + cos4a = 
Giải:
 =.................
 = 
Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức: sin6a + cos6a = 
Giải:
Bài toán3: Chứng minh đẳng thức:
sin8a+cos8a= 
Giải:
 =..........................
 = 
Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc a
a) 
b) 
Đối với câu a, học sinh có thể vận dụng trực tiếp kết quả của bài toán 1 và bài toán 2.
Đối với câu b, học sinh dễ dàng nhận thấy rằng có thể biến đổi biểu thức B để xuất hiện kết quả của bài toán 1 và bài toán 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
 (*)
Gặp bài toán này, vận dụng kết quả của bài toán 2 và bài toán 3 phương trình được đưa về dạng quen thuộc đã có cách giải.
Giải. Ta có:	
 Do đó (*)
..........................................	
4x = -1 
 (k)
Ví dụ 3: a) Chứng minh đẳng thức:
	b) Giải phương trình: sin10x + cos10x = cos42x
Nhận xét:
1. Đối với câu a, phương pháp chứng minh đẳng thức này hoàn toàn tương tự như việc chứng minh bài toán 2.
	2. Đối với câu b, việc giải phương trình này trở nên dễ dàng đối với học sinh khi các em đã chứng minh được câu a.
c) Bài tập tương tự:
	1) Giải phương trình: sin4x+ cos4x = cotg(x+)cotg(
2) Cho phương trình	
a) Giải phương trình khi m =	
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
3) Giải phương trình: sin8x+ cos8x = 
4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 sin6 + cos6x = m (sin4x + cos4x)
2. Hệ thống bài toán gốc để giải các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác.
Bài toán 1: Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC ta có:
sinA + sinB + sinC = 
cosA + cosB + cosC = 1+ 
tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (ABC không vuông)
 Bài toán 2: Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC ta luôn có:
a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
b) cos2A + cos2B +cos2C = -1- 4cosA.cossB.cosC.
c) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC.
d) cos2A +cos2B + cos2C = 1- 2cossAcosBcosC.
Bài tập tương tự:
1) Chứng minh rằng: cos A +cosB +cosC >1
2) Chứng minh rằng: trong DABC nhọn ta có:
	 a) tgA + tgB + tgC ≥ 3	 
 b) tg2A + tg2B + tg2 C ≥ 9	 
 Giải pháp 6. Khắc phục sai lầm của học sinh khi học và giải toán. 
a) Ở trường phổ thông, trong môn Toán có nhiều tình huống dạy học điển hình, nhưng có thể xem rằng giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bởi vậy, bản chất của vấn đề là chúng ta cho học sinh được thử thách với những bài toán dễ mắc sai lầm.	Cần phải tập cho học sinh phát hiện chỗ sai trong lời giải, tìm nguyên nhân và đề xuất cách giải đúng. 
b) Để giúp học sinh có phương pháp nhận biết lời giải sai, chúng ta cần trang bị cho học sinh những dấu hiệu quan trọng sau:
- Kết quả lời giải của bài toán mâu thuẫn với kết quả trong trường hợp riêng.
- Trường hợp riêng của kết quả không thoả mãn bài toán.
- Kết quả lời giải không chứa kết quả trong trường hợp riêng.
- Kết quả tìm được mâu thuẫn với thực tế.
- Kết quả không bình đẳng giữa các yếu tố bình đẳng ở giả thiết.
- Kết quả của lời giải này khác kết quả của lời giải khác.
- Đơn vị đo ở hai vế của một đẳng thức khác nhau.
Cuối cùng chúng ta phải nói rằng khi thấy học sinh mắc sai