SKKN Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ diện cơ bản và kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm khoảng cách

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG VẬN DỤNG TỨ DIỆN CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Lê Văn Lâm
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2016
A.MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng, đòi hỏi người thầy phải thực sự là người dẫn dắt, định hướng và khơi dậy trong học sinh niềm say mê, hứng thú học tập và ưa khám phá để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề. 
Trong việc học toán, học sinh cần tìm ra được phương pháp, nắm bắt quy luật và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian. Học sinh thường sợ những bài toán hình học không gian vì nó rất trừu tượng. Vì vậy, nhiều em chán nản, không muốn học hoặc tệ hơn nữa là không học hình học không gian nói chung và dạng toán tìm khoảng cách nói riêng. Vì vậy, khi gặp dạng toán này học sinh thường rất lúng túng và không biết hướng giải quyết. 
Bài toán tìm khoảng cách là một bài toán khó đối với đại đa số các em học sinh và thường có mặt trong các kì thi thi đại học, học sinh giỏi. Trong các bài toán tìm khoảng cách, có nhiều bài toán mà nếu giải bằng phương pháp tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng, phương pháp tọa độ thì sẽ rất phức tạp và đòi hỏi học sinh phải mất nhiều thời gian để suy nghĩ mới giải quyết được. Nhưng trong nhiều trường hợp bài toán tính khoảng cách nhờ việc vận dụng tứ diện vuông và kết hợp bài toán tỉ số khoảng cách là rất nhẹ nhàng, nhanh gọn và hiệu quả. Đặc biệt là các bài toán phức tạp. 
Để những học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi giải được dạng toán tìm khoảng cách trong không gian, tôi đã tiến hành khảo sát, triển khai thực hiện đề tài: Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ diện cơ bản và kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm khoảng cách. 
 2. Mục đích nghiên cứu
	Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các bài toán về tứ diện cơ bản, kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để những học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi vẫn có thể giải được dạng toán tìm khoảng cách trong không gian. 
3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 11 THPT Dương Đình Nghệ.
 4. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp
B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý thuyết.
Đề tài vận dụng các bài toán cơ bản sau để giải quyết một số bài toán tìm khoảng cách
1. Bài toán 1
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Đặt OA = a, OB = b, OC = c. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ O đến AK (với K là hình chiếu của O trên BC) và 
(Bài tập 17 tr103, SGK nâng cao hình học lớp 11)
Sau đây ta đưa ra bài toán khái quát của Bài 
toán 1 bằng cách thay giả thuyết OA, OB, OC 
đôi một vuông góc bằng giả thuyết hai trong 
ba cạnh đó vuông góc.
2. Bài toán 2
 Cho tứ diện OABC. Có OA vuông góc với mặt phẳng 
(OBC). Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) 
là khoảng cách từ O đến AK (với K là hình chiếu của O trên BC).
Bằng cách đặc biệt hóa Bài toán 2 ta được nhiều bài toán. Bây giờ ta xét một trường hợp đặc biệt tam giác OBC vuông ở C.
3. Bài toán 3 
Cho tứ diện OABC có OA vuông góc 
với mặt phẳng (OBC), OC vuông góc
 với BC. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt 
phẳng (ABC) là khoảng cách từ O đến AC
4. Bài toán 4
Cho và hai điểm không nằm trên . Gọi . Khi đó ta có .
2. Thực trạng vấn đề.
Khi gặp các bài toán tính khoảng cách trong không gian, học sinh thường gặp khó khăn và lúng túng khi xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng và ngại học phần này.
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung, đặc biệt là học sinh trường THPT Dương Đình Nghệ nói riêng (chất lượng đầu vào rất thấp), tư duy hệ thống, logic và khái quát của các em học sinh còn rất hạn chế.
	 Kiến thức việc tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hay khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì phải tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng học sinh đã được học nhưng đa số học sinh không làm được đặc biệt là những bài toán phức tạp. Vì vậy, đa số các em không giải được dạng toán này và nếu có giải được thì cũng rất khó khăn .
	Về phía giáo viên thì cho rằng dạng toán tìm khoảng cách này là rất khó với đối tượng học sinh không phải là học sinh khá, giỏi nên cũng không dành nhiều thời gian để giảng dạy. Đa số các giáo viên khi hướng dẫn các em giải bài toán về khoảng cách đều sử dụng phương pháp: tìm hình chiếu của một điểm trực tiếp trên mặt phẳng nhưng cách tìm trực tiếp này không phải lúc nào cũng tìm thuận tiện. Còn phương pháp tọa độ và tỉ số thể tích thì đối với các em hoc sinh lớp 11 chưa được học, sử dụng thể tích khối đa diện và tọa độ và đòi hỏi các em phải tư duy rất nhiều, trong khi đó tư duy của các em lại hạn chế nên các em thường lúng túng khi giải dạng toán này. 
3. Các dạng toán vận dụng các bài toán cơ bản trên để tìm khoảng cách
Dạng 1. Vận dụng Bài toán 1 và kết hợp với Bài toán 4.
Đối với dạng bài tập này ta nhận ra dấu hiệu trong bài toán có xuất hiện tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và việc tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) có dấu hiệu tỉ lệ với khoảng cách từ điểm O đến mp(ABC) với . Khi đó ta sử dụng Bài toán 4.
Loại 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ 1. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với mặt đáy (ABCD), . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Phân tích
Thay đổi tên gọi mặt phẳng đáy để tạo ra tứ diện vuông đỉnh O. Bằng cách lấy I là trung điểm SA thì OI, OA, OB đôi một vuông góc. Khoảng cách từ đỉnh O đến mặt phẳng (SAB) là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (IAB) và được tính theo Bài toán 1
Hướng dân 
Gọi I trung điểm của SA thì OI là 
đường trung bình của tam giác SAC 
nên và . 
Từ đó . 
Gọi d là khoảng cách từ O đến 
(SAB) thì d cũng là khoảng
 cách từ O đến (IAB). 
Vì tứ diện OIAB có OA, OB, OI đôi một vuông góc nên theo Bài toán 1, ta có: 
. Vậy 
Ví dụ 2. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ở A và B, AB= BC =a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA=. Gọi H là hình chiếu vuông goc của điểm A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) theo a.
 (Trích Câu V.b.2 đề thi Đại học khối D năm 2007).
Hướng dẫn
 Trong tam giác SAB vuông tại A, 
đường cao AH có 
.
Gọi F là trung điểm AD. Vì AD=2BC 
nên AF=DF=BC. Do đó AFCB là hình bình hành, 
suy ra CF=AB= a , BF//CD, CF//AB. 
Vì CF=AF=FD=a nên tam giác ACD vuông tại C. 
Mặt khác hay tam giác SCD vuông tại C.
Ta có BF//(SCD).
Ta lại có =
Ví dụ 3. 
Cho lăng trụ với AB=a, BC=2a, . Hình chiếu vuông 
góc của lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng .
Phân tích
Nhận thấy DABC vuông tại A nên nếu kẻ thì ta có tứ diện vuông để vận dụng Bài toán 1
Hướng dẫn
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có
= 
Þ tam giác ABC vuông tại A. 
Do nên ta thấy 
Þ . 
Đặt . Kẻ . Ta có và . Do nên tứ diện là tứ diện vuông, suy ra .
Ví dụ 4. 
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABD, cạnh SD tạo với đáy một góc . Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a.
Phân tích 
Vì G là trọng tâm của tam gác ADB có dấu hiệu về tỉ số, tìm khoảng cách A đến (SBC) quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC).
Nhờ bài toán 4 về tỉ số khoảng cách mà ta không phải tìm hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (SBC), đồng thời kết hợp với Bài toán 1 vì tứ diện G.SCJ là Gtứ diện vuông GS, GC, GJ đôi một vuông góc.
Hướng dẫn : 
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, 
=. 
Gọi I là trung điểm của AB ta có 
và . 
Theo Bài toán 4 ta có 
Kẻ GJ//BD, mà suy ra G.SCJ là tam diện vuông đỉnh G. Do tam giác GJC vuông cân đỉnh G nên GJ = GC.
Þ
Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ 5. 
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
 (Trích đề thi THPT Quốc Gia 2015).
Hướng dẫn
Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC cắt AD tại M. 
Khi đó .
Ta nhận thấy tứ diện S.ABM có AS, AB, AM đôi một vuông góc 
Theo Bài toán 1 ta có 
Mà SA=AC= ( vì); 
AB = a; BM = a
Þ 
Vậy 
Ví dụ 6. 
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB = 2a; BD = mặt bên SAB là tam cân tại đỉnh A. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AI. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD. 
 Hướng dẫn
Tam giác SAB cân tại A suy ra SA = AB = 2a. 
Ta có 
Với x = AI (x > 0). Mà 
nên . 
Khi đó 
 Vì CD//(SAB), dẫn đến .
Sử dụng bài toán tỉ số khoảng cách ( Vì H là trung điểm của IA) hay
Gọi E là trung điểm của AB  . Từ đó ta thấy tứ 
diện S.HAE vuông đỉnh H. Ta có 
.
Vậy 
Ví dụ 7. 
Cho lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a cạnh bên Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C
 (Trích Câu V.b.2 đề thi Đại học khối D năm 2008).
Hướng dẫn
Từ giả thuyết tam giác ABC vuông ở B. 
Gọi N là trung điểm của thì MN là 
đường trung bình của tam giác . 
Từ MN//
=
Mặt khác 
nên .
Vì tứ diện BAMN có BA, BN, BM đôi một vuông góc nên theo Bài toán 1 ta có 
Ví dụ 8. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = 2a, . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG=2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a.
Hướng dẫn
Vì nên ABCD là hình chữ nhật.
Kẻ đường thẳng qua B song song với AC cắt DC và 
AD tại I và J .
Qua G kẻ GH // ID
 dẫn đến tứ diện G.SHK là 
tứ diện vuông tại đỉnh G.
Do AC // (SIJ) và , nên 
Do GH = AB= 2a; nên 
Þ d = a. Vậy d(AC;SB) = a.
Ví dụ 9. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = . Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC= 3IC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.
 Hướng dẫn
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra . Ta có 
 và đồng dạng 
 .
Kẻ IM//SB (M
Kẻ IH//SO 
và . 
Ta sử dụng bài toán về tỉ số khoảng cách 
Mà. 
Kẻ EH//AD ;HF//DC Þ Tứ diện H.IEF là tứ diện vuông tại H. Ta có 
(với )
Vậy .
Dạng 2. Vận dụng Bài toán 2 và kết hợp với Bài toán 4.
Loại 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ 10. 
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
 (Trích đề thi Đại Học khối B năm 2013)
Hướng dẫn
Gọi H là trung điểm của AB suy ra và 
Ta có 
Do 
Ta thấy tứ diện S. HCD có cạnh bên SH vuông góc với đáy (HCD), khi đó ta sử dụng bài toán 2
Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu của H trên SK . Ta có 
 mà HI ^ SK
Khi đó . Vậy 
Ví dụ 11. 
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a. , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
 (Trích đề thi Đại Học khối A năm 2014)
Hướng dẫn
Gọi H là trung điểm của cạnh AB suy ra 
Þ 
Ta có (H là trung điểm AB) 
Þ 
 Ta lại nhận thấy tứ diện S.HBD là tứ diện 
có SH vuông góc với mặt đáy (HBD), 
do đó có thể vận dụng bài toán 2.
Gọi K là hình chiếu của H trên BD 
và E là hình chiếu của H trên SK. Ta có
 ;
Suy ra . Ta có .
Suy ra . Vậy .
Ví dụ 12. 
Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa A’C và đáy là . Tính khoảng từ B đến mặt phẳng (ACC’A’).
 (Trích đề thi Đại Học khối B năm 2014)
Hướng dẫn
 Gọi H là trung điểm của cạnh AB Þ 
và . Do đó . 
Theo Bài toán 4 ta có 
Ta nhận thấy tứ diện có cạnh bên 
vuông góc với đáy (HAC) do đó có thể vận dụng bài toán 2.
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên AC; K là hình chiếu vuông góc của H trên . Ta có
Þ 
Ta có; 
Vậy .
Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ 13. 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
 (Trích CâuIV đề thi Đại học khối A năm 2011)
Phân tích. 
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN ta sẽ quy về tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng cách trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng đi qua N và song song với AB.
Khi đó . Vì 
(hay mp(A,)) nên theo cách xác định Bài toán 2, hạ , thì .
 Hướng dẫn. Từ giả thuyết ta có . 
Mà nên Þ góc giữa hai 
mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc 
.
Suy ra MN//BC, nên N là trung điểm của AC. 
Gọi là đường thẳng đi qua N và song song với AB. 
Hạ , . Ta có AB//(SQN) . Hạ . Vì nên . . Do đó Vì nên .
Vậy .
Ví dụ 14. 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng . Tính khoảng cách giữa SA và BC theo a.
 (Trích Câu 5 đề thi Đại học khối A năm 2012)
Hướng dẫn
Ta có góc giữa SC và (ABC) là góc . 
Gọi D là trung điểm của cạnh AB ta có 
, 
Kẻ Ax // BC ta có 
.
Ta nhận thấy việc tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng thông qua tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng nhờ Bài toán 4.
.
Mặt khác ta có hình chóp có cạnh bên SH vuông góc với đáy 
Theo Bài toán 2. 
Gọi N là hình chiếu vuông góc của H trên Ax, K là hình chiếu của H trên SN ta có  mà HK ^ SN
Þ . Ta có  ; . Vậy .
Dạng 3. Vận dụng Bài toán 3 và kết hợp với Bài toán 4.
Ví dụ 15. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với mặt đáy (ABCD), . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Phân tích
Quy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) về khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB), khoảng cách này tính được theo bài toán 3.
Hướng dẫn. Theo Bài toán 4 ta có 
. 
Ta nhận thấy hình chóp S.CAB có 
SC ^ (CBA) và tam giác ABC vuông tại B, 
đây chính là Bài toán 3.
Vì nên . 
Do đó . Hạ 
 thì Þ . 
Ta có . Þ .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1. Cho hình hộp chữ nhật có AB=2a, BC= 2a, . Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM=3MD. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng .
2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, AB//CD. Tam giác ABC vuông tại A, AB=a, BC= CD= 2a, SA=SB=SC= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên (SBC) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). (Trích đề thi Đại Học khối A năm 2013)
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, . M là trung điểm của cạnh BC và . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) theo a.
 (Trích Câu 5 đề thi Đại học khối D năm 2013)
5. Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông, tam giác vuông cân . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng theo a.
 (Trích Câu 5 đề thi Đại học khối D năm 2012)
6. Cho lăng trụ có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng là . Tính khoảng cách đên mặt phẳng theo a.
 (Trích Câu 5 đề thi Đại học khối B năm 2011)
C. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1. Kết quả nghiên cứu.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài, t«i tiến hành kiểm tra trªn hai ®èi t­îng cã chÊt l­îng t­¬ng ®­¬ng lµ líp 11C1 vµ 11C3. Trong ®ã líp 11C3 ch­a ®­îc giíi thiÖu Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ diện cơ bản và kết hợp với bai toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm khoảng cách. Víi h×nh thøc kiÓm tra lµ lµm bµi 45 phót víi c©u hái nh­ nhau.
ĐỀ KIỂM TRA (45’)
Câu I (4 điểm) Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại B với . Gọi M là trung điểm của cạnh , I là giao điểm của hai đường thẳng AM và . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
C©u II (6 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt p
hẳng (ABCD) một góc 450. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
KÕt qu¶ thu ®­îc nh­ sau:
Lớp
Sỹ số
Điểm < 5
Điểm Î[5; 8)
Điểm ≥ 8
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
Lớp 11C1
42
2
5%
23
53%
18
42%
Lớp 11C3
38
13
34%
20
53%
5
13%
2. Bài học kinh nghiệm.
 Qua đề tài này tôi thu được một số bài học:
- Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất.
- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ, cô đọng. 
KẾT LUẬN
	Việc rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ diện cơ bản và kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm khoảng cách.có thể biến các bài tập phức tạp thành các bài tập đơn giản hơn đối với học sinh, đặc biệt là đối với học sinh không thực sự có tính sáng tạo cao, tư duy không thật tốt, đối với học sinh có lực học trung bình khá trở xuống . 
Thông qua việc quy các bài toán lạ, phức tạp của khoảng cách trong không gian về các bài tập đơn giản, quen thuộc, học sinh sẽ dần khắc phục được tâm lí “sợ” học hình học không gian, tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng sáng tạo trong học tập.
Tôi đã ứng dụng sáng kiến này vào giảng dạy ôn thi đại học ở các lớp 11C1, 11C3 trường THPT Dương Đình Nghệ và đã cho kết quả tốt. Học sinh sau quá trình làm quen đã rất hào hứng với các bài tập phần hình học không gian, và gần như học sinh có thể giải quyết triệt để các bài tập của phần này.
	Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên trong phạm vi bài viết, tôi cũng chỉ mới giải quyết một số dạng toán. Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có cách khác thác tốt hơn cho các bài toán thuộc thể loại này. 
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày.... tháng 05năm2016
 ĐƠN VỊ. Tôi xin cam đoan đây là SKKN của 
mình viết, không sao chép nội dung 
 của người khác.
 Lê Văn Lâm