SKKN Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD VÀ ĐT THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8
Người thực hiện:Lê Thị Hân
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Bắc Lương _ Thọ xuân
SKKN thuộc lĩnh vực (môn):Toán học
THANH HÓA NĂM 2016
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic ,.vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại. Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hóa hoạt động học tập, hoạt động tư duy sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. 
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu nhiều phân thức, giải phương trình tích,... .Qua thực tế giảng dạy, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. 
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài:“Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp học sinh làm thành thạo các bài toán có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan. 
Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra. Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận.
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, mà môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình,  Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản và nêu thêm hai phương pháp ngoài sách giáo khoa nữa để giúp các em làm các bài phân tích đa thức thành nhân tử mà có những bài toán trong sách giáo khoa, sách bài tập đưa ra mà không thể áp dụng được các phương pháp trên để giải. Quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử. 
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn. 
2.2. Thực trạng vấn đề.
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chây lười trong học tập, ỷ lại, nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học,chưa tự rèn, ý thức học tập yếu kém. 
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất. 
Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ. 
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.
Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 8 tôi nhận thấy năng lực học tập của các em còn hạn chế đặc biệt là kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử còn hạn chế. Chính vì lẽ đó hàng năm thực tế cho thấy khả năng tiếp thu, lĩnh hội kiến thức môn toán của học sinh vào vận dụng giải toán còn chiếm tỉ lệ khá , giỏi chưa cao. 
Với cùng dạng toán trên kết quả kiểm tra khả năng tiếp thu khi chưa vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán, thu được kết quả như sau:
Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm
Thời gian
Đầu học kỳ I đến giữa học kỳ I
TS
HS
Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ(%)
Chưa áp dụng giải pháp
27
11
40,74
* Nhaän xeùt: Đa số học sinh chưa vận dụng tốt được kỹ năng phân tích bài toán, các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc về dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày bài giải còn lung tung.
Từ thực trạng trên, để giúp cho các em đạt hiệu quả cao trong quá trình tiếp nhận kiến thức toán học tôi đã mạnh dạn cải tiến phương pháp, với mong muốn học sinh tiếp thu kiến thức một cách có hiệu quả trong việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Để kiểm tra tính hiệu quả và khoa học của đề tài, tôi đã triển khai đề tài này trong năm học 2015 - 2016 trong chương trình dạy học đã được ghi nhận và thu được một số kết quả nhất định. 
2.3. Các giải pháp thực hiện: 
2.3.1. Những giải pháp mới của đề tài.
 Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
j Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
k Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng 
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
- Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
l Đối với học sinh khá, giỏi: (giới thiệu thêm hai phương pháp)
+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác.
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
2.3.2. Các phương pháp thường gặp.
Củng cố kiến thức cơ bản
Các phương pháp cơ bản: 
u Phương pháp đặt nhân tử chung:
Phương pháp chung: 
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).
„ Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. 
(BT-39c-SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý: 
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ? 
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời là xy )
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy.
Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy 
= 7xy.(2x – 3y + 4xy) 
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. 
(BT-39e -SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý: 
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
(Học sinh trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) )
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)? 
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải )
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
 = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
 = 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
 = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
 = (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là: 
Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 
Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử : –10 và (y – x)2 của tích –10(y – x)2 
(vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)).
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 
 = (x – y)[9x – 10(x – y)]
 = (x – y)(10y – x) 
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích. 
Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
v Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Phương pháp chung:
Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích” 
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. (BT- 28a-SBT-tr6)
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2 )
Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) 
 = 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] 
 = (x + y – x + y)(x + y + x – y)
 = 2y.2x = 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu 
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu. 
? Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn. 
 * Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán
Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b -SGK-tr20)
 * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán 
Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c -SBT-tr6)
a6 – b6 = = (a3 – b3 )( a3 + b3 )
Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr6)
Giải: a6 – b6 = = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 
 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
Giáo viên củng cố cho học sinh:
Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp. 
w Phương pháp nhóm hạng tử
Phương pháp chung
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. 
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán. 
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa. 
a) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung: 
Ví dụ 6:Phân tích đa thức x2 – xy+x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a-SGK-tr22)
Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)
Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0) (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0) 
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
 = x(x – y) + 1.(x – y)
 = (x – y)(x + 1) 
b) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. 
Giải: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 
= (x – 1)2 – (2y)2 
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
c) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
 = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là: 
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai) 
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) 
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
 = (x + 2y)(x – 2y – 2)
Qua caùc ví duï treân, giaùo vieân löu yù cho hoïc sinh:
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm.
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Löu yù: Sau khi phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ôû moãi nhoùm thì quaù trình phaân tích thaønh nhaân töû khoâng thöïc hieän ñöôïc nöõa, thì caùch nhoùm ñoù ñaõ sai, phaûi thöïc hieän laïi.
Vận dụng và phát triển kỹ năng 
x Phối hợp các phương pháp trên
Phương pháp chung
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?
 Dùng hằng đẳng thức ?
 Nhóm nhiều hạng tử ?
Ví dụ 9:Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử. (BT- ?2 -SGK-tr22)
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?
Các sai lầm học sinh thường mắc phải
Lời giải chưa hoàn chỉnh: 
a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)
b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
 = x3(x – 9) + x(x – 9 ) 
 = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) 
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] 
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử. 
(Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1)
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất. 
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).
Giải: 
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3
 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 
 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
 = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) 
 = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
 = 3(x + y)(y + z)(x + z)
 Khai thác bài toán: 
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7)
ù Hướng dẫn: 
Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0 x + y = – z 
3) Phân tích đa thức x3 +y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c-SBT-tr6)
ù Hướng dẫn: 
Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) 
Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp các phương pháp trên. Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay các phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25). Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để giải . Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán.
Giới thiệu hai phương pháp phân tích khác: (Nâng cao)
y Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
Giải: Cách 1 (tách hạng tử : 3x2) 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 
= (2x – 2)2 – x2 
= (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)
= (x – 2)(3x – 2)
Cách 2 (tách hạng tử : – 8x) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
 = 3x(x – 2) – 2(x – 2)
 = (x – 2)(3x – 2)
Cách 3 (tách hạng tử : 4) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2)
 = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
 = (x – 2)(3x + 6 – 8)
 = (x – 2)(3x – 2)
Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung x – 2 . (cách 2)
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. (cách 3)
Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.
Khai thác cách giải: Tách hạng tử: – 8x (Cách 2)
Nhận xét: Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số hạng là:
 3, – 6, –2, 4 tỷ lệ nhau hay (– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8
Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4
Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b 
(ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8)
Tổng quát: 
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac 
Trong thực hành ta làm như sau: 
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử (Bài tập 35c-SBT-tr7)
Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2 
Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
Bước 3: b = 7 = 4 + 3
Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – 2 	= – 6x2 + 4x + 3x – 2
= (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) 
= –2x(3x – 2) + (3x – 2) 
= (3x – 2)(–2x + 1)
Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.
Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử : x3 – 7x + 6 
Giải: x3 – 7x + 6 = x3 – x – 6x + 6 
= x(x2 – 1) – 6(x – 1)
= x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) 
= (x – 1)[x(x + 1) – 6] 
= (x – 1)(x2 + x – 6)
= (x – 1)(x2 – 2x + 3x – 6) 
= (x – 1)[x(x – 2) + 3(x – 2)] 
= (x – 1)(x – 2)(x + 3) 
Ví dụ 13: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân t