SKKN Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Toán học 11 tiếp nối chương trình Toán 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác”. Việc học 
phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho học sinh vì học 
sinh không nắm chắc công thức lượng giác nên khả năng vận dụng linh hoạt công thức 
lượng giác của học sinh còn yếu và đặc biệt khả năng nhận dạng các phương trình 
lượng giác của học sinh còn hạn chế đó là một trong những lí do tôi chọn sáng kiến 
kinh nghiệm này. 
2. Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp
3. Tác giả sáng kiến:
 - Họ và tên: Nguyễn Thanh Nhàn
 - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
 - Số điện thoại: 0948028536. 
 - E_mail: nguyenthanhnhan.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số và giải tích
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/9/ 2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
 Phần I
 ĐẶT VẤN ĐỀ
Cơ sở lý luận:
 - Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học.
 - Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học 
tập bộ môn Đại số và giải tích 11.
 - Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu.
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuận lợi hơn trong quá trình 
giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình môn Toán trung học phổ thông. 
Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT 
với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm 
học trong chuyên đề này tôi đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “Các công thức 
lượng giác liên quan, công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và 
phương pháp giải các phương trình lượng giác thường gặp đồng thời nêu lên hướng 
mở rộng, nâng cao” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh 
trong việc học, rèn luyện và ôn tập.
 Phần II
 NỘI DUNG
 A. CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN:
 ➢ Công thức cộng:
 cos(a  b) = cosa cosb + sina sinb cos(a + b) = cosa cosb  sina sinb 
 sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb  sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb 
 tana  tanb tana  tanb
 tan(a  b)   tan(a  b)  
 1 tantanb 1 tanatanb
 ➢ Công thức nhân đôi:
 cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  1 = 1  2sin2a 
 2tan a
 sin2a = 2sinacosa  tan 2a  
 1 tan2 a
 ➢ Công thức hạ bậc:
 1 cos2a 1 cos2a
 cos2a   sin2 a  
 2 2
 ➢ Công thức biến đổi tích thành tổng:
 1
 cosa.cosb  cosa  b  cosa  b 
 2  
 1
 sina.sinb   [cosa  b  cos(a  b)] 
 2
 1
 sin a.cosb  sina  b  sina  b 
 2  
 ➢ Công thức biến đổi tổng thành tích: 
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
 • cosx  cos 0  x   0  k3600 k ¢ 
 • cosx  a  x   arccosa  k2 k ¢ 
 Tổng quát: cosf  x  cosg  x  f  x  g  x  k2 k ¢ 
 * Các trường hợp đặc biệt
  cosx 1  x  k2 k ¢ 
  cosx  1  x    k2 k ¢  
 
  cosx  0  x   k k ¢ 
 2
c. Phương trình tan x  a
  tan x  t an  x =  k k ¢ 
  tan x  t an 0  x= 0  k1800 k ¢ 
  tan x  a  x= arctan a  k k ¢ 
 Tổng quát: tan f  x  tan g  x  f  x  g  x  k k ¢ 
d. Phương trình cot x  a
 cot x  cot  x = + k k ¢ 
 cot x  cot  0  x =  0 + k1800 k ¢  
 cot x  a  x = arccot a + k k ¢ 
 Tổng quát: cotf  x  cotg  x  f  x  g  x  k k ¢ 
 B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
 DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM 
SỐ LƯỢNG GIÁC.
 1.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 
 Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình 
có dạng at  b  0 (1) trong đó a,b là các hằng số a  0 và t là một trong các hàm số 
lượng giác.
Phương pháp giải: Biến đổi đưa phương trình (1) về các phương trình lượng giác cơ 
bản.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 
 1
 a)2sin x 1  0; b)cos2x   0; c)3tan x 1  0; d) 3 cot x 1  0
 2
 Giải
  
 x   k2
 1   6
 a) 2sin x 1  0 sin x   sin x  sin   k ¢ 
 2 6 5
 x   k2
  6
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 5 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
 Đặt t  cosx , điều kiện t 1. Phương trình (2) trở thành:
  3 13
 t  nhân
 2 2
 t  3t 1  0  
  3 13
 t  loai
  2
 3 13 3 13 3 13
 Với t  ta được cosx   x   arccos  k2 k ¢ 
 2 2 2
 Các câu còn lại giải tương tự
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
 a)3sin 22 x  7cos 2x  3  0 b)7 tan x  4cot x 12
 Giải
 a)3sin2 2x  7cos 2x  3  0  31 cos2 2x  7cos 2x  3  0
  3cos2 2x  7cos 2x  0  cos 2x3cos 2x  7  0
 cos 2x  0
  
 3cos 2x  7  0
   
 *) Giải phương trình: cos 2x  0  2x   k  x   k ,k ¢ 
 2 4 2
 7
 *) Giải phương trình: 3cos 2x  7  0  cos 2x 
 3
 7
 Vì 1 nên phương trình 3cos 2x  7  0 vô nghiệm.
 3
  
 Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là x   k ,k ¢ 
 4 2
 b)7 tan x  4cot x 121
 Điều kiện: sin x  0 và cos x  0
 Khi đó: 
 1
 1  7 tan x  4. 12  0  7 tan2 x 12 tan x  4  0
 tan x
 Đặt t  tan x , ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t 2  4t 12  0
 Bài tập tương tự
 Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
   
 a) 2cos x  3  0 b) 3 tan 3x  3  0 c) 2sin 3x    3  0
  6 
 Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
 2 2
 a) 2 cos x  3cos x 1  0 b) cos x  sin x 1  0 c) 2 cos2x  4 cos x  1
 2 2 2      
 d) 2sin x  5sinx – 3  0 e) 3 tan x  (1 3) tan x=0 g)sin  x    2cos  x   1
  3   3 
 h) tan x  2cot x  3  0 i) 2cot4 x  6cot2 x  4  0 k) sin4 x  cos4 x  cos x  2 
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 7 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c b­íc 
 x
B­íc 1: Víi cos  0  x    k2 (k ¢ ) thö vµo ph­¬ng tr×nh (1) xem cã lµ 
 2
nghiÖm hay kh«ng?
 x
B­íc 2: Víi cos  0  x    k2 (k  Z)
 2
 x 2t 1 t 2
§Æt t  tan suy ra sin x  , cos x 
 2 1 t 2 1 t 2
Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 
 2t 1 t 2
 a  b  c  (c  b)t 2  2at  c  b  0 (2)
 1 t 2 1 t 2
B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (2) theo t , sau ®ã gi¶i t×m x.
* D¹ng ®Æc biÖt:
 
 . sin x  cos x  0  x    k (k ¢ )
 4
 
 . sin x  cos x  0  x   k (k ¢ ) .
 4
Chó ý: Tõ c¸ch 1 ta cã kÕt qu¶ sau
  a2  b2  asin x  bcos x  a2  b2 tõ kÕt qu¶ ®ã ta cã thÓ ¸p dông t×m GTLN vµ 
 asin x  bcos x
GTNN cña c¸c hµm sè cã d¹ng y  asin x  bcos x , y  vµ ph­¬ng 
 csin x  d cos x
ph¸p ®¸nh gi¸ cho mét sè ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c .
VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: sin 2x  3cos2x  3 (1)
 Gi¶i :
C¸ch 1: Chia c¶ hai vÕ ph­¬ng tr×nh (1) cho 12  32  10 ta ®­îc
 1 3 3
 sin 2x  cos2x 
 10 10 10
 3 1
§Æt  sin,  cos . Lóc ®ã ph­¬ng tr×nh (1) viÕt ®­îc d­íi d¹ng
 10 10
 cos sin 2x  sin cos2x  sin  sin(2x )  sin x
 x    k
 2x     k2  k ¢
    
 2x      k2 x   k
  2
VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm 
C¸ch 2:Ta nhËn thÊy cos x  0 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn Trang 9