SKKN Phương pháp giải bài toán cực trị trong Vật lý THPT

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức TNKQ thì giáo viên cũng như học sinh phải có sự thay đổi lớn về cách dạy và học. Dạy học theo phương pháp TNKQ đòi hỏi người giáo viên không những phải đầu tư theo chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm được tổng quan chương trình của môn học. 
Thực tế, khi chúng ta chuyển sang dạy học và đánh giá thi cử theo phương pháp TNKQ, GV phải mở rộng kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi trắc nghiệm, vấn đề đầu tư cho việc giải bài toán theo phương pháp tự luận có thể bị mờ nhạt đi. Điều này ảnh hưởng khá lớn đến chất lượng, mức độ hiểu sâu kiến thức về vật lý của học sinh. 
Trong Vật lý THPT có nhiều bài toán được giải theo phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu các đại lượng Vật lý. Mỗi loại bài tập đó đều có một số cách giải nhất định, song để chọn cách giải phù hợp là điều rất khó khăn cho học sinh bởi lẽ các bài toán này mang tính đơn lẻ, chưa có tài liệu nào viết có tính chất hệ thống.
Để góp phần cải tiến thực trạng trên tôi quyết định thực hiện đề tài “Phương pháp giải bài toán cực trị trong vật lý THPT”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu để vận dụng một cách có chọn lọc và sáng tạo và xây dựng phương pháp cốt lõi để hướng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị trong Vật lý THPT.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu:
- Mục tiêu giáo dục.
- Học sinh.
- Nội dung chương trình và phương pháp giảng dạy vật lí ở trường THPT.
- Chiến lược dạy học dựa trên vấn đề và một số chiến lược dạy học hiện đại.
Phạm vi áp dụng:
Các bài toán cực trị trong chương trình Vật lý THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
* Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu văn kiện Đảng về đổi mới nội dung, chương trình, PPDH.
- Nghiên cứu tài liệu về giáo dục và các phương pháp giảng dạy vật lí.
- Vận dụng những kiến thức toán học để tìm cực trị, như:
+ Tính chất của phân thức đại số.
+ Bất đẳng thức Cô-si, Bunhiacopxki.
+ Tính chất đạo hàm của hàm số.
- Khái quát hóa, phân loại các trường hợp để có thể giải quyết các bài tập trong từng điều kiện cụ thể.
* Nghiên cứu thực nghiệm
- Nghiên cứu, khai thác tài liệu liên quan đến các phương pháp dạy học.
- Nghiên cứu, thiết kế, xây dựng các phương pháp giải bài toán cực trị.
- Chọn mẫu và dạy thực nghiệm ở trường THPT Đông Sơn 2.
* Phương pháp thống kê toán học
- Sử dụng phương pháp thống kê toán học để trình bày kết quả thực nghiệm sư phạm và kiểm định giả thuyết thống kê về sự khác biệt trong kết quả học tập của hai lớp đối chứng và thực nghiệm.
2. NỘI DUNG
2.1. Những kiến thức toán học bổ trợ.
* Bất đẳng thức Côsi:
a + b ³ 2	(a, b dương)
a + b + c ³ 3	(a, b, c dương)
+ Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
+ Khi Tích 2 số không đổi tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau.
 Khi Tổng 2 số không đổi, Tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng nhau.
* Phạm vi áp dụng: Thường áp dụng cho các bài tập điện hoặc bài toán va chạm trong cơ học.
* Bất đẳng thức Bunhia côpxki
(a1b1 + a2b2)2 £ (a1 + a2)2 . (b1 + b2)2.
Dấu bằng xảy ra khi 
* Phạm vi áp dụng: Thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học.
* Tam thức bậc 2.
y = f(x) = ax2 + bx + c.
+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol.
+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.
+ Toạ độ đỉnh: x = -	(D = b2 - 4ac)
+ Nếu D = 0 thì phương trình y = ax2= bx + c = 0 có nghiệm kép.
+ Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
* Phạm vi áp dụng: Thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học và bài tập phần điện. 
* Giá trị cực đại của hàm số sin hoặc côsin
a = 00 Þ (cosa)max = 1
a = 900 Þ (sina)max = 1	
* Thường dùng trong các bài toán cơ học - Điện xoay chiều.
* Khảo sát hàm số.
- Dùng đạo hàm 
- Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu.
Thường áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều (vì lúc đó học sinh đã được học đạo hàm).
* Ngoài ra trong quá trình giải bài tập chúng ta thường sử dụng một số tính chất của phân thức 
2.2. Các ví dụ áp dụng.
2.2.1. Áp dụng Bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ
E = 12V; r = 4W; R là biến trở.
Hãy tìm để công suất mạch ngoài cực đại.
E,r
R
Hướng dẫn:
- Dòng điện:	I = 
- Công suất:	P = I2R = 	 
- Pmax Û ymin.
Theo BĐT Côsi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
Ymin Û . Vậy khi R = r = 4W thì Pmax = 
R
·
·
L,r
C
A
B
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ
UAB = 200 sin(100nt)	(v)
L = R thay đổi 
a) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0
b) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 5W
Hướng dẫn:
a) + Cảm kháng: ZL = L = 100W;	
Dung kháng: ZC = 
+ Tổng trở: 	Z = 
+ Công suất:	P = I2R = 
Đặt y = R + .
+ Áp dụng BĐT Côsi: ymin Û R = çZL – ZCç = 100W.
Lúc đó PR(Max) = 
b) Tương tự ta có:	Z = 
PRx = I2R = 
+ áp dụng BĐT côsi ymin Û R = 
* Mở rộng: Khi tính P của mạch:
+ Nếu çZL – ZCç > r thì PMax khi R = çZL – ZCç - r
+ Nếu çZL – ZCç £ r thì PMax khi R = 0.
Ví dụ 3: Có hai điện tích điểm q1 = q2 = q > 0 đặt tại hai điểm A, B trong không khí (e = 1). Cho biết AB = 2d. Hãy xác định cường độ điện trường tại M trên đường trung trực AB cách đường thẳng AB một khoảng x. Tìm x để EM đạt cực đại.
B
A
H
·
·
·
·
M
q1
a
d
d
x
Hướng dẫn:
* Xác định :
+ 
Với E1M = E2M = k
+ Dùng quy tắc tổng hợp vectơ Þ ^ AB hướng ra xa AB.
+ EM = 2E1M cosa = 	(*)
* Tìm vị trí M:	- Theo BĐT Côsi ta có:
Ta có	d2 + x2 = (**)
+ Từ (*) và (**) Þ EM £ . Vậy EM(Max) = khi x = .
Ví dụ 4: Vật m1 chuyển động với vận tốc tại A và đồng thời va chạm với vật m2 đang nằm yên tại đó. Sau va chạm m1 có vận tốc ; hãy xác định tỷ số của m1 để góc lệch a giữa và lớn nhất. (amax). 
a
Cho m1 > m2.
Hướng dẫn:
+ Động lượng hệ trước va chạm: 
.
+ Động lượng hệ sau va chạm:	 
.
+ Hệ kín nên Động lượng hệ bảo toàn: 	
+ Gọi a = 
Ta có: 	(1)
Vì va chạm đàn hồi nên động năng bảo toàn: 
Þ 	(2)
+ Từ (1) và (2) Þ 
	Đặt x = 
Để aMax thì (cosa)min . Theo BĐT cosi: (cosa)min khi:
Vậy khi thì góc lệch giữa và cực đại.
Với cosamax = .
Ví dụ 5: Một thấu kính hội tụ được đặt song song với màn ảnh E .Trên trục chính có điểm sáng A và màn E được giữ cố định. Khoảng cách từ A đến màn E là a = 100 cm. Khi tịnh tiến thấu kính trong khoảng giữa màn E và A, người ta thấy vệt sáng trên màn không bao giờ thu lại một điểm. Nhưng khi L cách màn E một đoạn b = 40cm thì vệt sáng trên màn có kích thước nhỏ nhất. Tính tiêu cự của thấu kính.
Hướng dẫn:
Theo đề bài thì điểm hội tụ của chùm tia ló phải nằm sau màn ảnh E, đường đi của tia sáng như hình vẽ:
Theo tính chất đồng dạng của tam giác ta có:
Mặt khác theo định lý Côsi ta có: 
 vậy r’/r đạt min khi do đó thay số ta có f = 36 cm.
 a
	b
 r r’ 
 A O A’	
 	d d’
2.2.2. Áp dụng Bất đẳng thức Bunhia Côpxki:
Ví dụ 6: Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về 0. Với V2 = . . Khi khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là dmin thì khoảng cách vật 1 đến 0 là . Hãy tìm khoảng cách vật 2 đến 0 lúc này?
A
A'
d1'
d2'
0
B'
B
g
a
b
Hướng dẫn:
Gọi d1, d2 là khoảng cách các vật 1 và vật 2 đến 0 lúc t = 0
ta có: Vì 
Þ 
sinb = sin(1800 - b) = sin (a + ) = sin (300 + )
Þ ; 
dmin khi ymax
áp dụng BĐT Bunhia côpxki Þ y £ 
Ymax = 2 Û và 
Lúc đó 
·
·
A
A'
B'
B
b
b'
g
0
a
a'
Ví dụ7: Hai tàu thuỷ chuyển động trên hai đường OA và OB biết AB = 40km; VA = 40km/h; VB = 40km. Chiều chuyển động các tàu được biểu diễn như hình vẽ. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa 2 tàu, biết a = 300; b = 600.
Hướng dẫn:
a + + b Þ = 300
Ta có: AO = d1;	BO = d2
* Khi tàu A đến A' thì = d1 - v1t = 40 - 40t
	 d2 = d2+ v2t = 40 + 40t.
Khoảng cách giữa 2 tàu d' = A'B'. Có 
áp dụng BĐT Bunhia côpxki	a1b1 + a2b2 £ 
M
m
a
Ví dụ 8: Cho cơ hệ như hình vẽ 
Hệ số ma sát giữa M và sàn là K2 
Hệ số ma sát giữa M và m là K1
Tác dụng lực lên M theo phương hợp với phương ngang 1 góc a (a thay đổi).
Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M. Tính a tương ứng.
Hướng dẫn:
* Vật m: 	 (1)
 Þ a1 = 
Þ a1 £ K1g (*) Khi m bắt đầu trượt a1 = k1g
* Xét vật M: 	(2)
Chiếu lên Ox: F cosa – Fms12 - Fms = Ma2 Þ a2 = 
Oy: F sina - (P1 + P2) + N2 = 0 Þ N2 = P1 + P2 - Fsina.
Mà Fms = K2 N2 Þ a2 = 	(**)
Ta có a1 £ a2 Þ K1g £ 
Fmin khi ymax. Theo Bất đẳng thức Bunhia côpxki
y £ 
Vậy Fmin = lúc đó 
2.2.3. Áp dụng tính chất tam thức bậc 2.
Ví dụ 9: Một con bọ dừa đậu ở đầu B của một thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng cạnh một bức tường thẳng đứng (Hình vẽ)
A
B
Con bọ dừa
- Vào thời điểm mà đầu B của thanh bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang với vận tốc không đổi v thì con bọ bắt đầu bò dọc theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh. Trong quá trình bò trên thanh, con bọ đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn. Cho đầu A của thanh luôn tỳ lên tường thẳng đứng.
Hướng dẫn:
Xét (0 < t < và 
Khi B di chuyển 1 đoạn S = v.t
Thì con bọ đi được l = u.t 
·
h
a
Độ cao mà nó đạt:	h = l. Sinα = .
H = 	hmax khi y = ymax
y = -v2 X2 + L2X (với X = t2 > 0). 	
ymax = tại 
(y là tam thức bậc 2 có a = -v2 < 0 ® ymax tại đỉnh Parabol).
Vậy độ cao cực đại con bọ dừa đạt được là: hmax = 
Ví dụ 10: Một người đứng tại điểm A trên bờ hồ. Người này muốn đến B trên mặt hồ nhanh nhất. Cho các khoảng cách trên hình vẽ, biết rằng người này chạy trên bờ thì vận tốc là v1, khi bơi có vận tốc v (v2< v1). Hãy xác định phương án chuyển động của người đó.
Hướng dẫn:
Giả sử người đó chọn phương án chạy trên bờ 1 đoạn AD, sau đó bơi từ D ® B.
Thời gian người đó từ A ® B: t = 
Þ t = 
Đặt P = v1;	 Tmin khi Pmin.
Þ Từ (1) Þ P + v2x = v1
·
·
·
A
S
d
H
D
B
x
để có nghiệm (với 0 £ x < S) thì D' ³ 0 
Þ 	 
Vậy Pmin = d Khi đó 	
+ Nếu x ³ S thì bài toán vô nghiệm tức là không tồn tại C Þ chọn phương án bơi thẳng A ® B.
+ Nếu x < S thì người đó phải đi một đoạn AD = S - rồi bơi từ D đến B.
Ví dụ 11: Một người đứng ở độ cao h so với mặt đất ném một hòn đá theo phương hợp với phương ngang một góc a. Tìm a để tầm xa trên mặt đất là lớn nhất.
Hướng dẫn:
+ Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Gốc ở mặt đất.
+ Chuyển động của vật chia làm 2 thành phần 
theo Ox:	x = v0t. cosa	 (1)
h
y
0
x
a
theo Oy:	y = h0 + v0t . sina - (2) 
* Khi chạm đất thì x = LMax lúc đó t = 
Thay t vào (2) ta được:
 y = h0 + L.tga - 
mà . Þ 	(*); 
Phương trình phải có nghiệm với tga.
Þ D = L2 - 
Þ Phương trình (*) có nghiệm kép.
R
·
·
C
B
L
A
Vậy tanga = thì tầm xa cực đại.
Ví dụ 12: Cho mạch điện như hình vẽ
UAB = 200 sin 100nt	(v)
R = 100W; C = ; cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổi được độ tự cảm. Hãy xác định L để hiệu điện thế UL đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
Hướng dẫn:
Cảm kháng Z = ; dung kháng ZC = .
Tổng trở: Z = 
y là tam thức bậc 2 có a = R2 + > 0 nên ymin tại đỉnh Parabol.
thì 
* Mở rộng.
Nếu L = const, tụ C có điện dung thay đổi. Tìm C để UC đạt giá trị cực đại ta làm tương tự trên và kết quả là: 
UCMax = 
2.2.4. Áp dụng giá trị cực đại của Hàm số sin và Hàm số cos
Ví dụ 13: Từ độ cao h so với mặt đất. Tại A, B cách nhau một khoảng l người ta ném đồng thời hai vật (vật ở A ném đứng lên trên với vận tốc v1; vật ở B ném ngang với vận tốc v2 hướng về phía A). Hãy tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật đó.
Hướng dẫn:
Gọi vật 1 là vật ở A; vật 2 là vật ở B; vật 3 là mặt đất.
Có ; 
Do đó hai vật chuyển động thẳng đều so với nhau.
+ Chọn vật ở B làm mốc thì vật ở A sẽ chuyển động theo đường Ax (theo hướng ).
Vì 
.	dmin khi sinb = 1
V1
a
V2
A
M
M
·
·
L, r
C
Vậy dmin = 	(điều kiện t = ).
Ví dụ 14: Cho mạch điện như hình vẽ
UMN = const ; L = 
C thay đổi. Ra = 0; Rv rất lớn.
Tần số dòng điện f = 50 HZ; r = 90W.
Hãy chứng tỏ rằng khi điều chỉnh C để 
hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau 1 góc thì UC đạt giá trị cực đại.
Hướng dẫn:
+ Mạch điện vẽ lại như hình bên
0
j
j1
a
Vôn kế v1 chỉ UMA ; Vôn kế v2 chỉ UMN
+ Ta có: ZL = = 90W;
+ Giản đề véc tơ. 	
tgj1 = 
+ 
mà .
Þ UC = 
Ta thấy UC cực đại khi sin (j1 + j) = 1 Þ j1 + j = 
Theo bài ra thì (j1 + j) = Þ UC đạt cực đại.
R
·
·
C
B
L
A
2.2.5. Dùng phương pháp đạo hàm
Ví dụ 15: Cho mạch điện như hình vẽ
UAB = 200 sin 100nt (v)
R = 100W ; C = . Cuộn dây thuần cảm và có L thay đổi. Tìm L để UAM đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
Hướng dẫn:
+ Dung kháng:	ZC = 
+ Tổng trở: 	Z = 
+ 
Đặt y = 1 + 
UAM cực đại khi y = ymin.
* y' = 
+ y' = 0 Û 
Bảng biến thiên 
ZL
0
241
¥
y'
-
0
+
y
ymin
Vậy khi ZL = 241W tức là L = 0,767(H) thì UAM cực đại.
UAM(Max) = 
Ví dụ 16: Vật phẳng AB vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ có tiêu cự f = 20cm. Phía sau thấu kính đặt một màn để hứng ảnh của vật, cách thấu kính một khoảng l = 60cm.
a) Xác định vị trí đặt vật để ta thu được ảnh rõ nét trên màn.
b) Giữ vật và màn cố định. Chứng tỏ rằng nếu di chuyển thấu kính ta thu được hai vị trí của thấu kính cho ảnh rõ nét trên màn. Tìm khoảng cách giữa 2 vị trí đó?
c) Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa vật và ảnh trong khi di chuyển thấu kính từ vị trí này đến vị trí còn lại mà ta thu được ảnh rõ nét trên màn.
Hướng dẫn:
a) Sơ đồ tạo ảnh 
Theo bài ra d' = l = 60cm ;	® d = 
b) Vì vật và màn cố định tức là d + d' = 90cm Þ d + 
® d2 - 90d + 1800 = 0	® d1 = 30cm; d2 = 60cm
Vậy có 2 vị trí của thấu kính cho ảnh rõ nét trên màn.
Khoảng cách giữa 2 vị trí đó là: Dd = d2 - d1 = 30cm
c) Khi di chuyển thấu kính từ vị trí 1 (d1= 30cm) sang vị trí 2 (d2 = 60cm)
Khoảng cách vật - ảnh: L = d + d' = 
d
30
40
60
L'
-
0
+
Lmin
Vậy khoảng cách ngắn nhất cần tìm là Lmin = .
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Bằng thực tế giảng dạy tôi thấy các cách giải bài tập Vật lý "Tìm giá trị cực đại, cực tiểu của đại lượng Vật lý" được nêu ở trên đã phát huy được ưu điểm như: Củng cố được cách làm bài tập Vật lý cho học sinh và một số giáo viên của trường nâng cao được năng lực chuyên môn của mình.
Đối chiếu với nhiệm vụ, mục đích đặt ra của đề tài chúng tôi nhận thấy rằng: nhiệm vụ đã hoàn thành và mục đích đã đạt được. Tuy nhiên với kiến thức cá nhân còn hạn chế, đề tài thì quá rộng nên bài viết còn có những sai sót nhất định. Rất mong được đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài có thể trở thành tài liệu tham khảo cho GV và có thể được nhân rộng, áp dụng cho việc giảng dạy các phần, chương, bộ môn khác trong các trường THPT.
3.2. Kiến nghị
Việc dạy các bài toán Vật lý cực trị đòi hỏi phải có thời gian dài và đầy đủ cơ sở vật chất để học sinh nghiên cứu. Vì vậy, các trường THPT cần tạo điều kiện về mặt thời gian, không hạn chế theo khung chương trình để quá trình nghiên cứu của học sinh được tốt hơn. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
CAM KẾT
Tôi xin cam kết đề tài này do tôi nghiên cứu và viết trong năm học, không sao chép của người khác, có gì sai sót tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Tác giả
Hà Việt Phương