SKKN Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thậ thông tin kết hợp với Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

PhÇn mét
PhÇn më ®Çu
1.Lí do chọn đề tài:
Đối với học sinh nói chung thì trong hai bộ môn Đại số và Hình học thì Hình học là bộ môn khó học hơn nhiều và là một trong những bộ môn khó học.Đặc biệt là phần hình học không gian.Có thể nói đây là phần tổng hợp rất nhiều kiến thức về định lượng cũng như định tính của tất cả các kiến thức về hình mà các em đã được học ở các lớp dưới,nếu không nói là những kiến thức từ khi bắt đầu đi học( về hình học),ngoài những yêu cầu về học tập như những môn học khác, bộ môn này còn yêu cầu khả năng tư duy trừu tượng cao- đây là một yêu cầu mà không phải đa số học sinh đáp ứng được,nhất là những học sinh lớp đại trà.Trong thực tế 13 năm giảng dạy-chủ yếu đối tượng của tôi là học sinh những lớp đại trà, bản thân nhận thấy kết quả học tập của học sinh ở phần này không cao,với những trăn trở trên con đường giúp học sinh nâng cao chất lượng học phần này và với khả năng cho phép của bản thân tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống bài tập cũng như phương pháp giải của phần Bài toán khoảng cách trong hình học không gian.Đây chính là lí do chọn đề tài này. 
2.Mục đích nghiên cứu:
Víi hệ thống bài tập và câu hỏi gợi ý,hướng dẫn trong tài liệu này, giúp cho học sinh hiểu được và nắm bài nhanh nhất, có như vậy sẽ góp phần tạo hứng thú cho học sinh trong học tập bộ môn Hình học nói riêng và môn toán nói chung .
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh rất khó hình các mối quan hệ hình học,do đó việc giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian là tương đối khó khăn,nhất là đối với những lớp đại trà vì nó rất trừu tượng.
Với mong muốn giúp các em phần nào đó tháo gỡ được những khó khăn của bản thân để các em có cơ hội học tốt những phần hình học ở lớp 12- một nội dung kiến thức được cho là quan trọng trong các kỳ thi.
3.Đối tượng nghiên cứu:
Trong phạm vi của bài viết này tôi đề cập đến 3 dạng bài tập:
Dạng 1:Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Dạng 2:Bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song.
Dạng 3:Bài toán xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
4. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp điều tra khảo sát thực tế,thu thậ thông tin kết hợp với Phương pháp thống kê, xử lý số liệu .
PhÇn hai
 néi dung cña ®Ò tµi
1.Cơ sở lí luận:
A.Hình học phẳng:
1)Tỉ số góc nhọn trong tam giác vuông:
2)Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
 ;;;
	2.1.(Định lí Pitago)
	2.2., 
	2.3., 
	2.4. .[1]
3)Định lí cosin: 
;;[2]
4)Định lí sin:[2]
5)Định lí Talet:
6)Các đường trong tam giác:
6.1.Đường trung tuyến: 
a)Là đường thẳng nối đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện. 
b)Giao cuả 3 đường trung tuyến là trọng tâm G của tam giác 
6.2.Đường cao: Là đường xuất phát từ một đỉnh và vuông
 góc với cạnh đối diện.Giao của 3 đường cao là trực tâm của tam giác.
6.3.Đường trung trực: Là đường vuông góc với mỗi cạnh tại trung điểm của nó.Giao của 3 đường trung trực là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
6.4.Đường phân giác: Là đường chia góc của tam giác thành hai góc bằng nhau.Giao của 3 đương phân giác là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
7)Diện tích Trong hình phẳng:
7.1.Tam giác thường:
;(Công thức Hê-rông)
(r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
(R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)[2]
7.2.Tam giác đều cạnh a:
a)Đường cao: ; b) 
c)Đường cao cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung trực.
7.3.Tam giác vuông:
a) (a,b là hai cạnh góc vuông).
b)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
7.4.Tam giác vuông cân(nửa hình vuông):
a)(2 cạnh góc vuông bằng nhau) b)Cạnh huyền bằng 
7.5.Tam giác cân:
(h:đường cao;a:cạnh đáy)
b)Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung trực.
7.6.Hình chữ nhật: S = ab (với a,b là các kích thước)
7.7.Hình vuông: a)S = a2 ;b)Đường chéo 
7.8.Hình thoi: ( là các đường chéo của hình thoi )
 B. Hình học không gian:
B1:Quan hệ song song:
1)Hai đường thẳng song song:
 a, b,c đồng quy 
 a, b, c đôi một song song 
1.1 [3]
1.2. [3]
2)Đường thẳng song song với mặt phẳng:
2.1. 
2.2. Nếu a // (P) thì 
2.3. Nếu (P) (Q) = b ; a//(P); a//(Q) thì b//a [3]
3)Hai mặt phẳng song song:
3.1. [3] 3.2. (R)Ç(Q)=b,a//b[3]
B2:Quan hệ vuông góc:
1)Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1.1.. 1.2. 
 [3]
1.9. Định lí ba đường vuông góc:
Cho a không vuông góc với (P) với a’ là hình chiếu của a trên (P)[3]
2)Hai mặt phẳng vuông góc: (P) a ; a(Q)(P) (Q).[3]
3)Góc:
3.1.Góc giữa hai đường thẳng:
 (a;b) = (a’;b’), với a’//a;b’//b[3]
3.2. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng :
+d = O và Ad
+Nếu thì góc giữa d và là [3]
3.3.Góc giữa hai mặt phẳng và 
Nếu 
thì góc giữa và là [3]
2.Thực trạng vấn đề:
 1/- Ch­¬ng tr×nh tµi liÖu:
 §èi víi ph©n phèi ch­¬ng tr×nh cña Bµi 5 :Khoảng cách theo ph­¬ng ¸n s¸ch gi¸o khoa míi ch­¬ng tr×nh nâng cao lµ phï hîp gi÷a thêi l­îng ph©n phèi vµ yªu cÇu kiÕn thøc cÇn ®¹t ®­îc.Xong chỉ với thời lượng 2 tiết học thì rất khó khăn cho việc học sinh nắm vững kiến thức.Trong khi các tài liệu trên thị trường chỉ cung cấp lời giải hoặc vài gợi ý mà không có hệ thống câu hỏi dẫn dắt.Việc sử dụng những tài liệu này hiệu quả sẽ không cao đối với những học sinh ở mức đại trà.
 2/- Đối tượng học sinh:
 Đối với những lớp đại trà thì với thời gian chỉ 2 tiết học chắc chắn sẽ rất khó để học sinh thực hiện thành thạo được các bài toán về khoảng cách, nên với tài liệu này hy vọng sau thời gian học trên lớp các em sẽ có thời gian sử dụng tài liệu này ở nhà để giúp tìm hướng dề dàng hơn cho việc giải bài tập của mình.
3.Các giải pháp cụ thể của nội dung đề tài:
Lưu ý: Để việc đọc tài liệu được hiệu quả học sinh nên thực hiện theo các bước sau:
Bước1:Đọc thật kỹ để hiểu đề ,viết ra những giả thiết mà đề bài đã cho,và vấn đề cần giải quyết của bài.
Bước 2:Hãy tự mình suy nghĩ để tìm ra hướng giải quyết,cố gắng xoay quanh giả thiết và tìm mối liên hệ với kết luận.Nếu không được thì đến bước 3.
Bước 3:Hãy xem những gợi ý bên cột hướng dẫn để tìm ra lời giải.
Bước 4:Xem lời giải chi tiết để tham khảo cách trình bày và đối chiếu để chỉnh sửa lập luận của mình.
Bước 5:Thông qua bài này,hãy rút ra cho bản thân các kết luận về hai khía cạnh:
 -Kiến thức:Bản thân có thêm hoặc ôn lại được những kiến thức nào.
 -Kỹ năng:Bản thân có thêm được kỹ năng trình bày 1 bài toán,củng cố kỹ năng lập luận đối với loại bài vừa giải quyết.
Dạng 1:Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
A.Phương pháp: Tính khoảng cách từ điểm M đến một mặt phẳng (P)
Bước 1:(Xác định khoảng cách)Chỉ ra đoạn MH vuông góc với mp(P) bằng cách.
- Dựng mp(Q) chứa M và theo giao tuyến .
- Hạ MH () .
Bước 2:(Tính khoảng cách) được tính
 bằng các định lí hình học sơ cấp.
Bước 3:Kết luận.[5]
B.Một số ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
 hình vuông cạnh a, và .Tính khoảng cách :
a)Từ A đến mp(SBC).
b)Từ I đến mp(ABCD),với I là trung điểm của SC.
c) Từ O đến mp(SBC),với O là tâm của hình vuông ABCD.[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
H1:Hãy chỉ ra 1 mp chứa A và vuông góc với mp(SBC).
- Để chỉ ra 2 mp vuông góc với nhau cần làm gì?
-Chứng minh 
H2:Những đường nào nằm trong (SAB) mà vuông góc với (SBC). Nhắc lại nội dung của 1 định lí liên quan.
a)+ Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):
-Ta có: (gt hình vuông) (1)
 (vì )(2)
Từ (1) và (2) suy ra mà 
-
-Trong mp(SAB): Từ A kẻ 
Hay .
+Tính khoảng cách từ A 
đến mp(SBC):	
Xét tam giác vuông SAB:
KL: Khoảng cách từ A đến mp(SBC) là 
Cách 1:
H1: Hãy chỉ ra 1 mp chứa I và vuông góc với mp(ABCD).
H2:Từ I kẻ IMAC
điểm M nằm ở đâu?
Cách 2:
-So sánh và ? 
b)Cách 1:
+Xác định khoảng cách từ I đến mp(ABCD):
-Vì và 
- mà 
-Trong mp(SAC): Từ I kẻ ( với O là tâm của ABCD)
Hay .
+Tính khoảng cách từ I đến mp(ABCD):
Xét có IO là đường trung bình của nên 	
Cách 2:Vì I là trung điểm của SC nên 
 = 
Cách 1:
-Dựng 1 mp chứa O và song song với (SAB) 
Cách 2:
-Chứng minh 
-Kẻ 
-
c) Cách 1:
+Xác định khoảng cách từ O đến mp(SBC):
-Từ O kẻ OJ //AB, khi đó (OIJ) // (ASB) 
- 
-Trong mp(OIJ): Từ O kẻ 
Hay .
+Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông OIJ:
Cách 3:Vì O là trung điểm của AC nên 
 = 
Lưu ý:Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách thì có thể bỏ qua bước 1,tức là không cần chỉ ra cách xác định đoạn khoảng cách.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a, . Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
-So sánh và ?
- Xác định khoảng cách từ H đến(SBC)
 + Chỉ ra 1 mp chứa A và vuông góc với mp(SBC).
 +Chứng minh 
-Chứng minh
˜ 
*Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):
+Gọi H là trung điểm của AB.
+= 2
+Vì tam giác SAB là tam giác đều
nên .Mặt khác 
nên 
(1)
+Kẻ tại I (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
theo giao tuyến SI
+Trong kẻ HK SI tại K
* Tính khoảng cách từ H đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông SHI:
+Tính HI:˜ 
+Tính HS:
 -Ta có 
 -SAB đều cạnh a nên SH =
Do đó: HK = 
Vậy = 2=.
C.Bài tập tương tự:
1) Cho hình chóp S.ABCD có ,tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a.
a)Chứng ming tam giác SAC vuông
b)Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD). [6] ĐS: 
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a,.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với đáy một góc 600 .Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).[6] ĐS:
Dạng 2:Bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song.
A.Phương pháp:
1) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
 a // (P): d[a;(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc a
Bước 1:Tìm điểm M thuộc đường thẳng a( dựa vào giả
 thiết từng bài nên chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,
trọng tâm tam giác,để dễ tính).
Bước 2:Tính d[M;(P)] theo dạng 1.[3]
2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:(Q) // (P): 
d[(Q);(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc (Q)
 = d[N;(Q)] , với N là 1 điểm bất kỳ thuộc (P) 
Bước 1:Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Q) hoặc N là 1 
điểm bất kỳ thuộc (P) ( dựa vào giả thiết từng bài nên 
chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,trọng tâm tam 
giác,để dễ tính).
Bước 2:Tính d[M;(P)] hoặc d[N;(Q)] theo dạng 1.[3]
B.Một số ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD,có đáy là hình thang 
vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a, .Tính:
a)Khoảng cách giữa AB và mp(SCD).
b)Khoảng cách giữa DE và mp(SBC),với E là trung điểm của AB.
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
H1:Nhận xét về mối quan hệ giữa đường thẳng AB và mp(SCD)?Vì sao?
a)+Vì AB // CD,mà 
CD(SCD) nên AB //(SCD)
+d[AB;(SCD)] = d[A;(SCD)]
+Lập luận tương tự Ví 
dụ 1-Dạng 1 ta được 
d[A;(SCD)] = AK.
+
Vậy d[AB;(SCD)] .
H1:Nhận xét về mối quan hệ giữa đường thẳng DE và (SCB)?
Gợi ý:
-Chứng minh
 DE // (SCB).
-Chỉ ra trong mp(SBE) có một đường thẳng song song với DE.
H2: Chứng minh (SAC) (SCB).
Gợi ý:
- Chứng minh BC(SAC).
-Chứng minh BCAC.
b) *Xác định khoảng cách từ DE đến mp(SBC):
+Xét tứ giác BCDE có: BCDE là hình bình hành
 DE // BC mà BC(SBC) nên DE //(SBC) 
+d[DE;(SBC)] = d[I;(SBC)],với I = AC DE.
*Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC): 
+Trong SAC: kẻ AK SC tại K, kẻ IJ SC tại J.
+Ta có BC AS (do AS (ABCD)) (1)
+ Tứ giác ADCE là hình vuông (2)
Mặt khác: BCE vuông cân tại E nên (3)
Từ (2) và (3),suy ra hay BC AC (4)
Từ (1) và (4),suy ra BC(SAC) mà BC(SBC) nên (SBC)(SAC) theo giao tuyến SC.
+Vì AK SC nên AK (SBC),do đó IJ(SBC).
+Vì I là trung điểm của AC nên 
 d[I;(SBC)] = d[A;(SBC)],
+ d[A;(SBC)] = AK ,với 
Vậy d[DE;(SBC)] = a.
Ví dụ 2:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông canh a.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC,A’C’,B’C’.Tính khoảng cách giữa:
a)Mp(AA’B’B) và mp(DEF).
b)B’C’ và (A’BC).[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
H1:Nhận xét về mối quan hệ giữa(AA’B’B) và (DEF)?
Gợi ý:
-Chứng minh (AA’B’B) //(DEF).
-Để chứng minh hai mặt phẳng song song cần làm gì?(Chỉ ra trong mp(DEF) có hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với (AA’B’B)).
a) *Xác định khoảng cách giữa
(AA’B’B) và (DEF):
+EF// A’B’(AA’B’B)
 EF // (AA’B’B)(1)
+ DF// BB’(AA’B’B)
 DF // (AA’B’B)(2)
Từ (1) và (2),suy ra 
AA’B’B) // (DEF).
+Gọi I là trung điểm của A’B’,
khi đó C’I A’B’, C’I EF = I.
+Gọi d là khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF) d = IJ.
*Tính khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF):
IJ = C’J = (vì A’B’C’ là tam giác đều cạnh a) .
Vậy khoảng cách giữa (AA’B’B) và (DEF) bằng 
H1:Hãy dựng một mặt phẳng chứa F và vuông góc với (A’BC)]?
Gợi ý:
-Nhận xét về quan hệ của FD và BC;A’D và BC?
b) *Xác định khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Vì B’C’ // BC(A’BC) nên B’C’ // (A’BC).
+ d[B’C’; (A’BC)] = d[F; (A’BC)]
+Ta có BC DF(3)
 BC A’D(4) (vì A’D là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác cân A’BC).
Từ (3) và (4),suy ra BC(A’DF) (A’BC)(A’DF) theo giao tuyến A’D.
+Kẻ FKA’D tại KFK(A’BC)
 hay d[F; (A’BC)] = FK
 *Tính khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Xét DFA’ vuông tại F có:
Vậy d[B’C’; (A’BC)] = .
C.Bài tập tương tự:
1) Cho hình chóp S.ABC,có đáy là tam giác vuông tại C, với CA = a, CB = b,
SA = h và SA (ABC).Gọi D,M lần lượt là trung điểm của AB,AC .Tính khoảng cách giữa BC và mp(SMD).[6] ĐS: d[BC; (SMD)] = .
2) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và có diện tích . Tính khoảng cách giữa hai mp(AA’B’B) và mp(CC’D’D).[5] ĐS:
3) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A và 
2a = 2AC = AB. Tính khoảng cách giữa:
	a)BB’ và (ACC’A’). ĐS: d[BB’;(ACC’A’)] = 2a.
	b)AA’ và (BCC’B’). [6] ĐS: d[AA’;(BCC’B’)] =
Dạng 3:Bài toán xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
A.Kiến thức cơ bản: Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau.
1)Đường vuông góc chung:
+là đường vuông góc chung của a và b 
+Đoạn thẳng IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.[3]
2)Phương pháp xác định đoạn vuông góc chung:
* Phương pháp 1:Nếu chỉ ra ngay được và chứng 
minh được thì d(a;b) = IJ.[3]
* Phương pháp 2:
 Trường hợp 1(đặc biệt ):
	Bước 1:Dựng mp(P) chứa b và vuông góc với a tại I.
	Bước 2:Trong mp(P) kẻ IJ vuông góc với b (J b).
	Bước 3:Lập luận để chỉ ra IJ là đoạn vuông góc 
 chung của a và b.
 Trường hợp 2(Tổng quát):
	Bước 1: Dựng mp(P) vuông góc với a tại I’,tìm hình
 chiếu vuông góc của b trên (P) là b’.
Bước 2: Trong mp(P) kẻ I’J’vuông góc với b’ (J’ b’).
Bước 3:Dựng J’I // a (J b).
Bước 4: Dựng IJ // I’J’ (I a) và lập luận để chỉ ra IJ
 là đoạn vuông góc chung của a và b.[5]
Chú ý:
 i)Do IJ = I’J’ nên trong thực hành ta hãy tính độ dài I’J’ 
 cho đơn giản phép tính.
 ii)Khi thực hiện nên ưu tiên trường hợp 1 trước.
3)Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
*Phương pháp 1: d(a;b) = d[a;(P)] với (P) là mặt phẳng chứa b và (P) // a.
 hoặc d(a;b) = d[b;(Q)] với (Q) là mặt phẳng chứa a và (Q) // b.[3]
*Phương pháp 2: d(a;b) = d[(P);(Q)] với (P) là mặt phẳng chứa b , (Q) là mặt phẳng chứa a và (P) // (Q) [3]
*Phương pháp 3: d(a;b) = IJ,với IJ là đoạn vuông góc chung.[3]
B.Một số ví dụ:
1)(Đề khối A- 2006)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD.Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
H1:Hãy chỉ ra một mặt phẳng chứa A’C và mặt phẳng đó song song với MN?
Gợi ý:
- Mặt phẳng song song với MN cần thỏa mãn những điều kiện gì?
-Hãy chỉ ra một số đường song song với MN,lưu ý đến những đường chứa điểm A’ hoặc C.
*Xác định khoảng cách giữa A’C và MN
+Ta có BC // MN ,mà 
BC(A’BC) nên MN //(A’BC).
+Do đó d(MN;A’C) = d[MN;(A’BC)]
 = d[M;(A’BC)](1)
+(ABB’A’)(A’BC) (vì BC(ABB’A’))
+ Từ M kẻ MH BA’ tại H
MH(BCA’) hay d[M;(A’BC)] = MH.
*Tính khoảng cách giữa A’C và MN:
+Gọi O = AB’A’B.
+Xét ABO: MH = AO =AB’ = 
Vậy d(MN;AB’) = 
2) (Đề khối D- 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông có BA = BC = a,cạnh bên AA’ = a. Gọi M là trung điểm của BC,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
H1:Hãy tạo ra một mặt phẳng chứa AM và song song với B’C.
Gợi ý:Khai thác giả thiết trung điểm và sử dụng tính chất của trung điểm.
H2:Hãy chứng minh lại công thức:
*Xác định khoảng cách giữa AM 
và B’C:
+Gọi N là trung điểm của BB’,khi
Đó MN // B’C(vì MN là đường
 trung bình của BCB’).Do đó, 
B’C // (AMN) 
+Do đó d(AM;B’C) = d[B’C;(AMN)]
 = d[C;(AMN)] 
 = d[B;(AMN)]
 (vì M là trung điểm của BC)
+Gọi H là hình chiếu của B trên (AMN).
d[B;(AMN)] =BH.
*Tính khoảng cách giữa AM và B’C:
Vì ABMN là tứ diện vuông tại B nên ta có:
Vậy d(AM;B’C) = 
3) (Đề khối B - 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,cạnh đáy bằng a.Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA.Gọi M,N tương ứng là trung điểm của AE và BC.
a)Chứng minh (MNF) // (SAC),với F là trung điểm của AB.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
H1: Để chứng minh hai mặt phẳng song song cần làm gì?
Gợi ý:
-Chỉ ra trong mp(MNF) có hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với (SAC).
-Chứng minh FN và FM 
cùng song song với (SAC).
a)Chứng minh 
(MNF) // (SAC):
+FN // AC (FN là đường 
trung bình trong ABC).
mà AC (SAC) nên 
FN // (SAC)(1).
+Mặt khác: FM // EB,mà 
EB // SC(do tứ giác BCSE là 
hình bình hành) 
FM // SC(SAC) 
FM // (SAC) (2).
Từ (1) và (2) (MNF) // (SAC)
H1:Nêu hướng giải quyết câu b)
Gợi ý:
-Kết quả câu a) có giúp ích được gì không?
H2: Chứng minh
JO (SAC)?
Gợi ý:Cần chỉ ra JO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau và cùng nằm trong (SAC).
b) *Xác định khoảng cách giữa MN và AC:
+Vì (MNF) // (SAC)
 nên d(MN;AC) = d[(MNF);(SAC)]
 = d[J; (SAC)] (với J = BDFN)
+Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có JO AC (tính chất của hai đường chéo hình vuông)
 JO SO (tính chất đường cao của hình chóp đều)
+Do đó JO (SAC) ,hay d[J; (SAC)] =JO.
*Tính khoảng cách giữa MN và AC:
,mà BD là đường chéo của hình vuông cạnh a nên ,do đó .
Vậy d(MN;AC) = 
 4)Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc,với OA = a,OB = b,
OC = c.Gọi M là trung điểm của BC.Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng OC và AM.[4]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
H1:Hãy chỉ ra mặt phẳng chứa AM và vuông góc với OC hoặc chứa OC và vuông góc với AM?(khó)
H2:Hãy chỉ ra 1 mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng OC và AM?
Gợi ý:
- Chỉ ra 1 mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OC.
-Chứng minh (OAB)OC.
H3:Tìm hình chiếu vuông góc của AM trên (OAB)?
Gợi ý:
- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A trên (OAB)?
- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên (OAB)?
H4:Tứ giác OHKJ là hình gì?vì sao?
*Xác định khoảng cách giữa OC và AM:
+Mp(OAB) OC tại O(vì OAOC và OBOC)
+Gọi M’ là hình chiếu của M trên (OAB)MM’//OC và AM’ là hình chiếu của AM trên (OAB)
+Từ O kẻ OH AM’
 OH AM(định lí ba 
đường vuông góc).
+ Từ H kẻ HK AM cắt 
AM tại K,khi đó KH // OC.
+ Từ K kẻ JK OC cắt OC
 tại J,khi đó KJ // OH
KJ AM hay KJ là đoạn 
vuông góc chung của OC và 
AM.
*Tính khoảng cách giữa OC và AM:Tính KJ
+ Theo chứng minh trên ta có tứ giác OHKJ là hình bình hành nên KJ = OH.
+Xét trong OM’A vuông tại O có OH là đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông nên ta có:
+Với OA = a;OM’ = OB = .
+Do đó : 
Vậy d(OC;AM) = 
C.Bài tập tương tự:
1) (Đề khối A-2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,đáy là hình thoi cạnh 
AB = ,đường chéo AC = 4, SO = va SO vuông góc với đáy,với 
O = ACBD. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính khoảng cách giữa SA và BM.[6]
 ĐS: d(SC;AM) = .
2)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính khoảng cách giữa BD và B’C’.
b) Tính khoảng cách giữa A’B và B’D.
c) Tính khoảng cách giữa B’C và CD’.
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và CB’ .[6]
 ĐS: a) d(BD;B’C’) = a; 
 b) d(A’B;B’D) = ; 
 c) d(B’C;CD’) = ;
3)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C,với CA = a;CB = b;SA = h. SA vuông góc với đáy ABC.Gọi D là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa:
	a)SD và AC. b)SD và BC.[6]
4.Hiệu quả của sáng kiến kinh ngh