SKKN Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức Vi - Ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình Đại số 9

MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1. MỞ ĐẦU 
- Lí do chọn đề tài
- Mục đích nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu 
1
2. NỘII DUNG SÁNG KIẾN
2
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề
2
2.2. Thực trạng của vấn đề
2
Nguyên nhân dẫn đến thực trạng 
3
2.3. Gải pháp và tổ chức thực hiện
3
2.3. Kiểm nghiệm 
15
 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
17
1. Kết luận
17
2. Kiến nghị
17
1. MỞ ĐẦU
- Lí do chọn đề tài:
	Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần truyền thụ kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua những giờ luyện tập, thực hành thí nghiệm. Đối với môn toán, việc giải toán được xem là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào thực tế, vào những trường hợp cụ thể. giải toán môn toán không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới. Tuy nhiên, để đạt được hiệu quả như trên, người giáo viên phải biết tổ chức một cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực. 
	Trong những năm trở lại đây, trong các đề thi học sinh giỏi toán và các đề thi vào lớp 10 PTTH chuyên, trong các đề thi các bài toán giải hệ phương trình chiếm một tỉ lệ không nhỏ và định lý Viét đảo là công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều hệ phương trình. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa chưa đề nhiều, lượng bài tập chưa đa dạng làm cho học sinh gặp không ít khó khăn việc tìm ra cách giải sao cho hiệu quả.
Vì thế là một giáo viên nhiều năm dạy và ôn luyện đội tuyến toán, thấy được tác dụng tích cực của việc ứng dụng hệ thức vi –ét vào giải hệ phương trình nên tôi quyết định nghiên cứu đề tài: “Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi-ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số 9”. Đồng thời, qua đó giúp bản thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học toán, bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập, nghiên cứu phát triển bài toán, tìm cách giải khác, Nhằm giúp nâng cao hiệu quả của việc dạy học sau này.
- Mục đích nghiên cứu
	Nâng cao khả năng giải toán, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng giáo dục đại trà và phát hiện nguồn học sinh giỏi cho các lớp trên.
- Đối tượng nghiên cứu: 
Phát triển năng lực tư duy cho các đối tượng học sinh lớp 9 thông qua một số bài toán vận dụng hệ thức Vi-ét đảo vào giải hệ phương trình.
- Phương pháp nghiên cứu:
Tham khảo thu thập tài liệu
	Phân tích tổng hợp kinh nghiệm
	Kiểm tra kết quả chất lượng học sinh
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính tư duy sáng tạo. Để đạt được mục tiêu đó mỗi chúng ta phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh.
 	Bài tập về phương trình và hệ phương trình rất đa dạng và phong phú, để giải được học sinh cần có kỹ năng tốt, biết nhiều phương pháp và cách vận dụng. Tạo nền tảng kiến thức cơ bản để học sinh lấy đó làm tiền đề và tiếp tục hoàn thiện khi học sang THPT.
	 	Trang bị cho học sinh kỹ năng vận dụng hệ thức Vi-ét đảo để giải hệ phương trình, giải đề thi vào lớp 10 có nội dung liên quan đến hệ thức Vi-ét đảo. 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Về phía giáo viên: Hầu hết được đào tạo chính qui, được phân công giảng dạy đúng chuyên môn, nhiệt tình trong công việc. Tuy vậy đại đa số giáo viên dạy đều theo chương trình sách giáo khoa, việc tổng hợp các dạng bài và phương pháp làm thành một hệ thống để học sinh dễ học, dễ nhớ không phải là giáo viên nào cũng làm được. Đối với đại trà thì việc giảng dạy theo chương trình sách giáo khoa là coi như đạt yêu cầu nhưng đối với công việc bồi dưỡng học sinh giỏi thì việc trang bị kiến thức không theo dạng bài và phương pháp làm kèm theo là chưa đảm bảo được yêu cầu. 
Về phía học sinh: Đa số học sinh đều ngoan ngoãn, có ý thức học, có ý thức phấn đấu vươn lên. Tuy nhiên do năng lực có hạn nên về kiến thức sức tiếp thu còn chậm, chưa thấy hết được tính đặc trưng, ưu việt của phương pháp giải. Đổi lại nếu học sinh có nền tảng kiến thức tốt thì hoàn toàn có thể nắm vững được phương pháp tạo tiền đề vững chắc để học toán ở trường THPT.
Trong quá trình dạy toán ở các trường THCS tôi nhận thấy kiến thức và kỹ năng về vận dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình và giải hệ phương trình là nền tảng trong chương trình toán THCS và được hoàn thiện trong chương trình toán THPT. 
Nội dung đề tài trên đã được tôi nghiên cứu và triển khai trong nhiều năm giảng dạy toán 9, mỗi lần áp dụng xong đều tiến hành rút kinh nghiệm, có chỉnh sửa và bổ xung thêm tính mới.
Chính vì vậy đề tài “Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc ứng
 dụng hệ thức vi-ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số 9” có thể coi là tài liệu để học sinh và giáo viên tham khảo trong công tác giảng dạy môn toán khối 9, bồi dưỡng thi vào 10.
Giới hạn của đề tại: Hệ phương trình là một chuyên đề hay và rất cần thiết cho học sinh THCS và THPT vì nó giúp học sinh phát triển tư duy toán học như kỹ năng tính toán, biến đổi, kỹ năng giải phương trình và đặc biệt kỹ năng đặt ẩn phụ, áp dụng hệ thức Viét  vào giải hệ phương trình, chuyên đề này tương đối rộng nhưng do cấu trúc của đề tài không cho phép nên trong nội dung đề tài này tôi chỉ đưa ra phương pháp giải hệ phương trình ở dạng đối xứng loại I, còn những dạng hệ phương trình đối xứng loại II, hệ phương trình đẳng cấp loại I, loại II sẽ trình bày trong các đề tài sau.
2.3. Các giải pháp tổ chức thực hiện.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hệ Thức Vi –ét:
Cho phương trình bậc hai: 	ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)	(*)
	Có hai nghiệm: ; 	
	Suy ra:	 
	Vậy đặt:	- Tổng nghiệm là S: 	S = 
	- Tích nghiệm là P: 	P = 
	Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a,b,c. Đây chính là nội dung của Định lí Vi-et, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán.
2. Hệ Thức Vi-ét đảo :
Cho với S2 – 4P 0 thì là nghiệm của phương trình có dạng:	
3. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Dạng tổng quát
	 trong đó thì được gọi là hệ đối xứng loại I.
Phương pháp giải chung
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và .
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0 (định lý Viét đảo)
Chú ý:
Cần nhớ: x2 + y2=S2−2P;	x3 + y3=S3−3SP
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ:            và    
Có những hệ phương trình trở thành hệ đối xứng loại I sau khi ta đặt ẩn phụ.
4. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện
(*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v.
II. Bài tập:
Loại 1: Biến đổi và đặt x + y = S; xy = P
Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
Trước hết cho hs nhận dang đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại I
Sau đó gợi ý cho hs biết được cách biến đổi để đặt x + y = S và xy = P
Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y 
Cụ thể ta làm như sau: đặt x + y = S và xy = P
Ta có suy ra S = 6, P = 5 hoặc S = 5, P = 6
* Với S = 6, P = 5 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 – 6X + 5 = 0
Giải ra ta được (x;y) = (1;5), (5;1) là nhiệm của hpt
* Với S = 5, P = 6 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 – 5X + 6 = 0
Giải ra ta được (x;y) = (2;3), (3;2) là nhiệm của hpt
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
Trước hết cho hs nhận dang đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại I
 đặt x + y = S và xy = P ta có ( Thoả mãn)
là nghiệm của hệ phương trình bậc hai 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (-3;4), (4;-3). 
Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
Trước hết cho hs nhận dang đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại I
đặt x + y = S và xy = P
Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y 
Cụ thể ta làm như sau: đặt x + y = S và xy = P ta có Suy ra P = 21
* Với S = 10, P = 21 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 – 10X + 21 = 0
Giải ra ta được (x;y) = (7;3), (3;7) là nhiệm của hpt
Bài 4: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
Trước hết cho hs nhận dang đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại I
Sau đó gợi ý cho hs biết được cách biến đổi để đặt x + y = S và xy = P
Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y 
Cụ thể ta làm như sau: 
đặt x + y = S và xy = P ta có Suy ra S = 7 hoặc S = -7
* Với S = 7, P = 12 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 – 7X + 12 = 0
Giải ra ta được (x;y) = (4;3), (3;4) là nhiệm của hpt
* Với S = -7, P = 12 khí đó x, y là nghiệm của pt X2 + 7X + 12 = 0
Giải ra ta được (x;y) = (-4;-3), (-3;-4) là nhiệm của hpt
Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
Trước hết cho hs nhận dang đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại I
đặt x + y = S và xy = P
Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y 
Cụ thể ta làm như sau: đặt x + y = S và xy = P ta có 	
* Với S = 3; P = 2 khí đó x, y là nghiệm của pt: X2 – 3X + 2 = 0
 Giải ra ta được (x,y) = (1;2), (2;1) là nhiệm của hpt
* Với S = -2; P = -3 khí đó x, y là nghiệm của pt: X2 + 2X - 3 = 0
 Giải ra ta được (x,y) = (1;-3), (-3;1) là nhiệm của hpt
Bài 6: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
 Ta biến đổi hệ phương trình trở thành 
 là nghiệm của hệ phương trình bậc hai 
 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (2;3), (3; 2). 
Bài 7: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
	Dùng hằng đẳng thức ta biến đổi hệ phương trình trở thành đặt x + y = S và xy = P ta có Þ 
 là nghiệm của hệ phương trình bậc hai 
 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (-1;3), (3; -1). 
Bài 8: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
	Ta thấy (S1 = 3, P1 = 2) thoả mãn.
	 là nghiệm của hệ phương trình bậc hai 
 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (2;1), (1; 2). 
Bài 9: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
	Giải hệ (I) Þ (S = 0, P = 0) Þ x = y = 0.
	Giải hệ (II) 
	S1 = 3 Þ P1 = 0 Þ (x; y) = (0; 3); (3; 0).
	S2 = 6 Þ P2 = 9 Þ (3; 3).
	Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là (0; 3); (3; 0); (3; 3), (0; 0).
Bài 10: Giải hệ phương trình sau: 
Hướng dẫn:
Điều kiện x ¹ 0, y ¹ 0.
	Hệ Û 
	Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là .
Bài 11: Giải hệ phương trình sau: (ĐH Quốc gia Hà nội)
Hướng dẫn:
	+) Với S1 = 5; P1 = 6 Þ Nghiệm là (2, 3); (3, 2).
	+) Với S2 = -10; P1 = 21 Þ Nghiệm là (-3, -7); (-7, -3).
	Kết luận: Hệ đã cho có 4 nghiệm (2, 3); (3, 2); (-3, -7); (-7, -3).
Bài 12: Giải hệ phương trình 	 (ĐHSP1 Hà Nội). 
Hướng dẫn:
Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:
.
Bài 13: Giải hệ phương trình (ĐH Sư phạm Vinh)
Hướng dẫn:
Hệ có 4 nghiệm (x; y) là (1;2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1)
Bài 14: Giải hệ phương trình (Lam Sơn Thanh Hóa)
Hướng dẫn:
Ta biến đổi 
Đặt x + y = S, xy = P. Hệ trở thành: 
Bài 15: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn:
 x2, y2 là nghiệm của PT bậc 2: t2 – 5t + 4 = 0 do đó t = 1, t = 4
do đó 
Bài 16: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn:
Điều kiện x ¹ 0, y ¹ 0. Đặt ta có 
TH1: u = 2, v = 3 nghiệm là 
TH2: u = 3, v = 2 nghiệm là
Vậy hpt có 4 nghiệm (x;y) là: 
Loại 2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 1.
Bài 16: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn: Bài này có thể đặt x + y = S; xy = P nhưng cách giải khó hơn so với cách sau 
Điều kiện x ¹ 0, y ¹ 0. Đặt ta có 
TH1: u = 2, v = 3 nghiệm là 
TH2: u = 3, v = 2 nghiệm là
Vậy hpt có 4 nghiệm (x;y) là: 
Bài 17: Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn:
Đặt , điều kiện 
Hệ phương trình trở thành: .
Bài 18: Giải phương trình .
Hướng dẫn: 
Đặt: . Vậy ta có hệ: Û Û 
	u, v là hai nghiệm của phương trình: 
	Þ Þ 
Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} = .
Bài 19: Giải phương trình 
Hướng dẫn: 	
Ta có nên đặt 
	Do đó 
 Khi đó hệ phương trình trở thành: 
 TH1: loại
 TH2: 
Bài 20: Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình 
Chứng minh .
Hướng dẫn: 
Hệ phương trình 
.
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
.
Đổi vai trò x, y, z ta được .
II. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v.
Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
Hướng dẫn: 
Trước hết ta biến đổi 
Đặt -y= u ; S = x + u, P = xu ta có: theo định lí Viét đảo thì x và u là nghiệm của phương trình t2 - 2t + = 0 
Phương trình có nghiệm 
Vậy với m thì hệ phương trình có nghiệm.
Bài 22: Cho hệ phương trình 
Giải hpt với m = 26
Xác định m để hpt vô nghiệm
Xác định m để hpt có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn: 
Đây là một câu trong đề thi HSG cấp tỉnh nó yêu cầu học sinh cần trang bị tất cả những kiến thức và kỹ năng về giải hệ phương trình.
Khi m = 6 hệ phương trình trở thành 
Đặt S = x + y, P = xy ta có: 
Vậy x, y là nghiệm của pt X2 - 6X + 5 = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ;y)=(-5;-1) ;(-1 ;-5)
Ta có 
Đặt S = x + y, P = xy ta có: 
Vậy x, y là nghiệm của pt t2 - 6t + = 0
Phương trình vô nghiệm khi < 0 m < 36
Vậy hệ phương trình vô nghiêm khi m < 36.
c. Phương trình có nghiệm duy nhất khi = 0 m = 36
Vậy hệ phương trình vô nghiêm khi m = 36.
Bài 23: Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn: 
Đặt hệ trở thành:
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của (*).
Hệ có nghiệm (*) có 2 nghiệm không âm.
 .
Bài 24: (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: .
Hướng dẫn: 
Điều kiện ta có:
Đặt , Hệ phương trình trở thành:
.
Từ điều kiện ta có .
Bài 25: Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn: 
.
Đặt S = x + y, P = xy, Hệ phương trình trở thành: .
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .
Bài 26: Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn: 
.
Đặt . Hệ phương trình trở thành:
 (S = u + v, P = uv).
Điều kiện.
Bài 27: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực duy nhất.
Hướng dẫn: 
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
.
+ m = – 3: 
 (loại).
+ m = 21: 
 (nhận).
Vậy m = 21.
Bài 29: Tìm m để hệ phương trình: 
có nghiệm thực x > 0, y > 0.
Hướng dẫn: 
.
Hệ có nghiệm thực dương .
Vậy .
Bài 30: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn: 
.
Suy ra là nghiệm (không âm) của phương trình (*).
Hệ có nghiệm (*) có 2 nghiệm không âm .
Vậy .
Bài 31: Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
Hướng dẫn: 
.
Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi .
Bài 32: Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình . Tìm m để P = xy nhỏ nhất.
Hướng dẫn: 
Đặt , điều kiện 
Từ điều kiện suy ra 
Xét hàm số .
Ta có 
Vậy .
B. BÀI TẬP
I. Giải các hệ phương trình sau:
1) 	2)	3)
4)	5)	6)
7) 	8) 	9) 
10)
II. Gải hệ phương trình có tham số:
Tìm giá trị của m:
a) có nghiệm.
b) có nghiệm duy nhất.
c) có đúng hai nghiệm.
	(1II)
a. Giải hệ phương trình khi m = 5.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
	(7I)
a Giải hệ phương trình khi m = .
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
	(40II)
a. Giải hệ phương trình khi m = 2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
IV. KẾT QUẢ
1.Ưu điểm.
	1.1.Giáo viên.
Giải hệ phương trình bậc hai bằng phương pháp vận dụng định lí Vi-ét đảo là kiến thức nền tảng có tính bản lề kết nối toán đại số THCS với THPT. Do đó đòi hỏi giáo viên phát huy khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức nhiều phần.
	1.2.Học sinh
	Được hoạt động, tư duy, phân tích tổng hợp rút ra phương pháp phù hợp chủ động giải quyết vấn đề đặt ra. 
	Kỹ năng vận dụng cao tạo mối quan hệ giữa các đơn vị kiến thức với nhau.
	Tạo thói quen trong học tập, làm việc, tự giác, hợp tác linh hoạt, sáng tạo trong mọi hoạt động. 
2.Tồn tại 
	2.1.Giáo viên thực hiện việc giảng dạy loại bài tập này tương đối khó đặc biệt với học sinh đại trà vì bài tập đòi hỏi sự kĩ năng biến đổi phân tích, đánh giá tổng hợp cao.
	2.2.Học sinh
	Kĩ năng tổng hợp kiến thức của học sinh chưa cao.
	Học sinh thường mắc một số sai lầm trong quá trình biến đổi.
3. Kết quả thông qua số liệu.
Sau khi đã áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, trong 3 năm học 2014-2015; 2015-2016; 2016-2017 tôi cho 25 học sinh lớp 9B của trường THCS Thị Trấn Cành Nàng làm bài kiểm tra về dạng toán này thì kết quả đạt được như sau: 
 Kết qủa
Năm
Số lượng 
Giỏi
 Khá
Trung bình
 Yếu - kém
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
2014- 2015
10
2
20 %
3
30%
5
50%
0
0%
2015- 2016
10
3
30%
4
40%
3
30%
0
0%
2016- 2017
25
10
40%
14
56%
1
4%
0
0%
Tổng
45
15
33,3%
21
46,7%
9
20%
0
0%
Qua bài khảo sát ta thấy kết quả tốt hơn rất nhiều so với trước khi thực hiện chuyên đề. Số học sinh đạt điểm khá giỏi tăng cao chiếm 80%, chỉ có 20% học sinh bị điểm trung bình và không còn học sinh bị điểm dưới trung bình. Đặc biệt khi áp dụng chuyên đề đối với 25 em học sinh lớp 9B của trường THCS Thị Trấn Cành Nàng thì các em đã làm bài rất tốt đa số học sinh đều đạt điểm khá giỏi và chỉ còn một vài em bị điểm trung bình không có điểm yếu kém. Trong 3 năm gần đây tôi áp dụng chuyên đề này dạy bồi dưỡng đội truyển học sinh giỏi toán cấp tỉnh năm 2014 - 2015 có 3 học sinh đạt giải KK; năm 2015 - 2016 có 3 học sinh đạt giải trong đó 1 giải Ba; 2 giải KK; năm 2016 - 2017 có học đạt giải nhất toán tỉnh và trong cuộc thi tìm kiếm tài năng toán học trẻ toàn quốc đạt huy chương Vàng là 1/6 em đạt Huy chương vàng của toàn quốc dành cho học sinh khối 9, là học sinh duy nhất của tỉnh Thanh Hóa và đang được tham gia vào đội tuyển dự thi tại Singapore vào tháng sáu tới.
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Hoàng Xuân Thìn
Chức vụ và đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Thị Trấn Cành Nàng
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Phát triển tư duy cho học sinh giỏi Toán thông qua bài toán chứng minh bất đẳng thức
Tỉnh
C
Năm học 2005 – 2006
phát triển tư duy cho HS từ bài toán hình quen thuộc đến bài toán hình hay và khó
Tỉnh
C
Năm học 2008 – 2009
Phát triển tư duy cho học sinh lớp thông qua việc kẻ đường phụ trong hình học lớp 7
Huyện
B
Năm học 2011 – 2012
Một số kinh nghiệm giúp HS rèn luyện kỹ năng giải toán trên Máy tính Casio
Tỉnh
C
Năm học 2014 – 2015
Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi-ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số 9
Huyện
(Đang gửi dự thi cấp tỉnh)
B
Năm học 2016 – 2017
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa đại số 9 – Nhà xuất bản giáo dục
2. 23 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Nhà xuất bản giáo dục 
3. Phương trình bậc hai & một số ứng dụng - Nhà xuất bản giáo dục 
4. Phương trình & hệ phương trình không mẫu mực - Nhà xuất bản giáo dục 
5. Lời giải cá