SKKN Phát huy trí lực cho học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi qua các bài toán cực trị đại số

1. MỞ ĐẦU
 Toán học có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong các nghành khoa học . Ngay từ thế kỷ thứ XIII nhà tư tưởng ANH R.Bê- cơn (R.bacon) đã nói rằng “Ai không hiểu biết toán học thì không hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình ” . Toán học có vai trò như vậy là vì toán học “ Không chỉ là một tập hợp các sự kiện , trình bày dưới dạng các định lý , mà trước hết đó là một hệ thống phương pháp , hơn nữa đó là ngôn ngữ để diễn tả các sự kiện và các phương pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn .”
 Môn toán có khả năng to lớn giúp cho học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ .Thực vậy,do tính chất trừu tượng cao độ của toán học môn toán có thể giúp rất nhiều cho việc rèn luyện ở học sinh tư duy sáng tạo,rèn luyện tính cẩn thận , suy luận logic chặt chẽ . Để phát huy tính sáng tạo thì thầy , cô giáo phải hướng dẫn cho học sinh giải toán bằng nhiều cách . Việc giải toán bằng nhiều cách vừa giúp rèn luyện kỹ năng , vừa phát triển tư duy trong học toán . Qua đó còn tìm ra cái hay , cái đẹp trong từng lời giải . Nhưng để làm được điều này không phải dễ . Nó đòi hỏi người làm toán phải nhìn bài toán theo các góc độ khác nhau , biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng bài toán . Một trong những dạng toán hay và khó trong chương trình đó là các bài toán tìm cực trị đại số hay các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) .
1.1.Lý do chọn đề tài 
 Các bài toán Cực trị đại số( tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ) ,có một vai trò vô cùng quan trọng trong chương trình học và dạy toán ở trường THCS , Các bài toán dạng này thường khó và rất khó đối với học sinh THCS , để giải được học sinh không những phải biết vận dụng nhiều kiến thức và phải vận dụng một cách hợp lý , mà còn phải có sự sáng tạo , cần cù , chịu khó .
Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT thường có các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN) của một biểu thức nào đó . Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số .Các bài toán trị đại số rất phong phú và đa dạng . Để giải các bài toán cực trị đại số với học sinh THPT các em có nhiều phương pháp giải mà học sinh THCS chưa được tiếp cận . Còn với học sinh THCS thì các em phải biết biến đổi tương đương các biểu thức đại số , phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp . Phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán , tư duy sáng tạo .
 Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được cách giải một bài toán cực trị đại số , hơn thế nữa còn giải được bằng nhiều cách với cùng một bài toán , từ đó các em có hứng thú , say sưa với học toán . Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS , trong qua trình giảng dạy , đặc biệt là dạy học sinh cuối cấp THCS và bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi luôn luôn trăn trở , tìm tòi , chọn lọc những phương pháp hợp lý để dẫn dắt , hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất . Trong khuôn khổ đề tài này tôi xin nêu ra một số phương pháp để “ Phát huy trí lực cho học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi qua các bài toán cực trị đại số ”
1.2 Mục đích nghiên cứu 
- Nghiên cứu đề tài một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS giúp giáo viên chúng ta vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học , mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết , từ đó có phương pháp hướng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị đại số có hiệu quả , giúp học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học đặc biệt là kiến thức về giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTLN) trong chương trình THCS .
Nghiên cứu đề tài “Phát huy trí lực cho học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi qua các bài toán cực trị đại số ” để nắm được những thuận lợi và khó khăn khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất , từ đó xác định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán . Vì đây là một dạng bài khó trong chương trình THCS
1.3 Đối tượng nghiên cứu 
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán tìm cực trị cụ thể là nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số trong chương trình toán THCS .
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan . 
- Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 8 và khối 9 
1.4 Phương pháp nghiên cứu 
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết 
 Đọc các tài liệu có liên quan 
- Tạp chí toán tuổi thơ 2. 
- Báo Toán học và tuổi trẻ
- Phương pháp giải toán đại số sơ cấp 
 - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế , thu thập thông tin : 
- §iÒu tra n¾m t×nh h×nh d¹y cña c¸c gi¸o viªn trong vµ ngoµi nhµ tr­êng.
- Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng đề tài “ Phát huy trí lực cho học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi qua các bài toán cực trị đại số ”
- Chất lượng của học sinh trước và sau khi thực hiện đề tài.
- Phương pháp thống kê , xử lý số liệu 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận : Trong chương trình toán trung học cơ sở nếu chỉ dạy học sinh kiến thức đơn thuần theo sách giáo khoa thì chỉ đáp ứng được nhu cầu của học sinh trung bình hoặc trung bình khá và kết quả thu được không cao .Trong khi đó nhiều học sinh có khả năng tiếp thu được những kiến thức nâng cao trong các chuyên đề ,trong các sách bồi dưỡng , sách tham khảo . Và các dạng toán này thường gặp trong các kỳ thi cuối cấp THCS . Các bài dạng này là dạng bài khó để phát hiện học sinh khá , giỏi Vì vậy bên cạnh việc truyền thụ những kiến thức cơ bản trong chương trình SGK cho học sinh, người thầy cần phải linh hoạt lồng thêm những kiến thức mở rộng hoặc nâng cao, những bài toán khó để học sinh được tiếp cận. Được khai thác bài toán, và cao hơn là học sinh có thể tổng quát bài toán, đề ra bài toán mới, qua đó rèn luyện được tư duy logic,phát huy được trí lực cho học sinh. 
2. 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
 Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp tôi thấy học sinh hầu hết là rất lúng túng khi gặp các bài toán tìm cực trị đại số mà cụ thể là các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số , trong các đề thi, bài toán tìm cực trị đại số thường nằm ở cuối bài thi và thông thường khi gặp các bài toán này phần lớn học sinh không giải được . Theo tôi nguyên nhân chủ yếu là học sinh (nhất là học sinh THCS) không có sự độc lập trong suy nghĩ các em thường tiếp thu kiến thức một cách thụ động (kể cả kiến thức ở SGK), nhưng để giải được một bài toán về cực trị đại số thì lại cần phải có một tư duy lô gíc và một sự sáng tạo cao mà điều đó với đại bộ phËn học sinh cấp THCS thì còn hạn chế. Trong khi đó ở các kỳ thi từ thi khảo sát học kỳ , thi vào lớp 10 THPT , thi học sinh giỏi các cấp , từ cấp huyện , ( cấp TP ) , cho đến cấp cao hơn như thi học sinh giỏi cấp tỉnh của bậc học THCS, các đề thi đại học của bậc THPT thường có bài thi về dạng này . 
 Tôi xin dẫn ra đây một số bài toán về tìm cực trị đại số ở các kỳ thi gần đây nhất:
1.Đề thi khảo sát chất lượng học kỳ I - Năm học 2015 – 2016 .
 Môn Toán lớp 9 (Sở GD& ĐT Thanh Hóa )
 Cho ba số a; b ; c thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3ab + bc + ca 
2. Đề thi khảo sát chất lượng học kỳ II – Năm học 2015 – 2016 .
 Môn Toán lớp 9 (Sở GD& ĐT Thanh Hóa )
Cho ba số thực dương x ; y z thay đổi và thỏa mãn điều kiện : 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 
3 . Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2013 - 2014
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
4 . Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố năm học 2015 - 2016
 Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = .
 Hãy tìm GTNN của : P = + 
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN THIẾT 
 a) Các định nghĩa
* Định nghĩa giá trị lớn nhất ( GTLN) của một biểu thức đại số :
 Cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn |D :
M được gọi là GTLN của f (x, y ,...) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn : 1. f(x,y,...) £ M 	"(x,y,..) Î |D
 2. $ (x0, y0,...) Î |D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...) Î |D
* Định nghĩa giá trị nhỏ nhất ( GTNN) của một biểu thức đại số :
 Cho biÓu thøc f(x,y,...) x¸c ®Þnh trªn miÒn |D :
M được gọi là GTNN của f (x, y ,...) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn :
1. f(x,y,...) ³ M 	"(x,y,..) Î |D
2. $ (x0, y0,...) Î |D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...) Î |D
b) Các kiến thức thường dùng
* Lũy thừa : a) x2 ³ 0 "x Î |R Þ x2k ³ 0 "x Î |R, k Î z Þ - x2k £ 0
Tổng quát : [f (x)]2k ³ 0 "x Î |R, k Î z Þ - [f (x)]2k £ 0
Từ đó suy ra : 	[f (x)]2k + m ³ m 	"x Î |R, k Î z
M - [f (x)]2k £ M
b) ³ 0 	"x ³ 0 	Þ ()2k ³ 0 	"x³0	; k Îz
Tổng quát : ()2k ³ 0	" A ³0	(A là một biểu thức )
* Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :
a) |x| ³ 0	" xÎ|R
b) |x+y| £ |x| + |y| 	; Dấu "=" xảy ra Û x.y ³ 0
c) |x-y| ³ |x| - |y|	; Dấu "=" xảy ra Û x.y ³ 0 và |x| ³ |y|
* Bất đẳng thức Côsi:
"ai ³ 0 ; i = : "nÎN, n ³2.
Dấu "=" xảy ra Û a1 = a2 = ... = an
*Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
 Với n cặp số bất kỳ : a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có :
(a1b1+ a2b2 +...+anbn)2 £ (
Dấu "=" xảy ra Û = Const (i = )
Nếu bi = 0 xem như ai = 0
* Bất đẳng thức Bernonlly:
Với a ³ 0 	:(1+a)n ³ 1+na "n ÎN. Dấu "=" xảy ra Û a = 0.
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ ( TÌM GTLN VÀ GTNN )
Phương pháp 01 : Sử dụng phép biến đổi đồng nhất 
a) Phương pháp chung 
 Bằng cách nhóm , thêm , bớt , tách các hạng tử một cách hợp lý , ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm ( hoặc không dương ) và những hằng số . Từ đó 
1. Để tìm Max f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra :
	sao cho f(x0,y0,...) = M 
2. Để tìm Min f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra : 
	sao cho f(x0,y0,...) = m 
b) Bài tập minh họa
Bài toán 1 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 4x + 7
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  : 
Giải
a) Ta có : A = x2 + 4x + 7 = x2 + 4x + 4 + 3 = (x + 2)2 + 3 ³ 3 vì (x + 2)2 ³ 0.
Þ MinA = 3 Û x + 2 = 0 Û x = –2
Vậy : MinA = 3 Û x = –2
b) Ta có : B = – x2 – y2 – 1+ 2xy + 2x – 2y – 3y2 + 12y – 12 +10 
B = – ( x2 + y2 + 1 – 2xy – 2x + 2y ) – 3( y2 – 4y + 4 ) +10 
B = – ( x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2 + 10 . Vì – ( x – y – 1)2 với mọi x ; y Î R
và – 3 (y – 2)2 với mọi yÎ R. Nên B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 x = 3 ; y = 2 . Vậy MaxB = 10 Û x = 3 ; y = 2
Bài toán 1a : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 C = (x – 1)(x – 4)(x– 5)(x – 8) + 2053
Giải
Ta có : C = (x–1)(x – 4)(x– 5)(x– 8)+2053 
 C = (x–1) (x– 8) (x– 4) (x–5) + 2053
C = (x2 – 9x + 8) (x2 – 9x + 20) + 2053 
C = {(x2 –9x + 14) – 6}.{(x2 – 9x + 14) + 6} + 2053 
C = (x2 – 9x + 14)2 – 36 + 2053
C = (x2 – 9x + 14)2 + 2017 ³ 2017 vì (x2 – 9x + 14)2 ³ 0 "xÎ R
Þ MinC = 2017 Û x2 – 9x + 14 = 0 	Û . Vậy MinC = 2017 Û 
Bài toán tổng quát : Cho đa thức 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
 Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Giải
Ta có : 
 với . Do Nên 
Nếu a > 0 thì : Do đó 
Nếu a 0 . Hoặc có giá trị lớn nhất bằng k nếu a < 0 
Phương pháp 02 : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản 
 Ta đã biết : Từ một bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương bao giờ ta cũng đưa bất đẳng thức được về dạng bất đẳng thức mà một vế là hằng số . Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta có thể tìm được cực trị của một biểu thức nào đó .
a) Phương pháp chung : Phương pháp thường là sử dụng các bất đẳng thức đã biết , các bất đẳng thức như Cô si ( Cauchy) , Bunhiakopski ( Bunhiacovsky) , Becnuli (Bernoulli )...và một số các bất đẳng thức khác đã được chứng minh tính đúng đắn .
b) Bài tập minh họa 
Bài toán 2 : Cho a ; b là hai số dương thỏa mãn : . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = + 
Giải
 M = + + . Ta có : + ( 1)
 	(2).
Từ (1) và (2) .Vậy MinM= 10 ; 
 khi và chỉ khi 
Bài toán 2a : Cho a ; b là hai số dương thỏa mãn : , m là hằng số , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : N = + 
Giải
 N = + + . Ta có : + ( 1)
 = 	(2)
Từ (1) và (2) .Vậy MinN = 4m + 2 ; 
Bài toán 2b : Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 Giải 
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số : 
 và ta được : 
 (1) . Do 
Nên từ (1) suy ra : Vì a + b +c = 1 theo giả thiết 
 . Hơn nữa với a = b = c = thì P = 30 ; suy ra MinP = 30 đạt được .
Cách 2 : Ta sử dụng bất đẳng thức : với a ; b ; c là các số dương . Điều này dễ dàng chứng minh được . Thật vậy : 
= 
Mà với a ; b ; c là các số dương thì ; 
 . Do đó ta được điều cần chứng minh 
Nên : . Khi đó : 
= . Do a + b +c =1 
Vì thế MinP = 30 đạt được khi và chỉ khi 
Sau khi hướng dẫn học sinh giải bài toán 2b chúng ta có thể hướng dẫn học sinh đề ra bài toán tương tự và bài toán tổng quát .
Bài toán tương tự : Cho , . Xét n số thực dương , và .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 Đáp số : Min đạt được khi và chỉ khi , 
Bài toán tổng quát : Cho , . Xét n số thực dương , và .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài toán 2c : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Gi¶i :
Theo bất đẳng thức Bernoulli ta có : - 2016 .xy(x+y) +2016 
 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là 2017 khi và chỉ khi : 
Bài toán 2d : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 Giải 
Biểu thức A luôn luôn có nghĩa với mọi x vì : 
Cách 1 : Do A luôn luôn có nghĩa nên bình phương hai vế ta được :
. Do đó MinA = 2 đạt được khi và chỉ khi x = 0 
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cô si ( Cauchy) cho hai số dương và ta có : = . Suy ra Min A = 2 khi và chỉ khi x = 0 
Cách 3 : Ta sử dụng bất đẳng thức : (1 )
Bất đẳng thức này luôn đúng . Thật vậy : (1) (2) 
Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh 
Nếu ac + bd > 0 thì (2) tương đương với : 
 (3) . Bất đẳng thức (3) đúng . Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ad = bc . Áp dụng bất đẳng thức trên ta được : 
 . Vậy MinA=2 x = 0
Bài toán 2e : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
A = 
Với x, y, z là ba số thực dương thay đổi có tổng bằng .
Giải
A = + + 
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương y, z ta được:
Suy ra: 
mà 
Tương tự: ; 
Do đó: 
A 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được:
 .Tương tự: ; 
Suy ra: A 2(x + y + z) + 2x + 2y + 2z = 4(x + y + z) = 4
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 
Vậy GTNN của biểu thức A là 4, đạt được khi x = y = z = 
Phương pháp 03 : Phương pháp giải bài toán tìm GTLN và GTNN
 của các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
a) Phương pháp chung : Để giải dạng này là ta sử dụng các bất đẳng thức sau : 
1. . Dấu bằng xảy ra khi 
2. . Dấu bằng xảy ra khi 
b) Bài tập minh họa 
Bài toán 3 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
 Giải 
Cách 1 : + Xét khoảng x < 2016 : Thì B = 2016 –x + 2017 –x = 4033 – 2x (1) 
Do x - 4032 . Do đó B > 1
+ Xét khoảng : Thì =1 (2 )
+ Xét khoảng x > 2017 . Thì B = x – 2016 + x – 2017 = 2x – 4033 
Do x > 2017 nên : 2x > 4034 . Do đó B > 1 (3)
So sánh (1) ; (2) và (3) ta được Min B = 1 khi và chỉ khi 
Cách 2 : Do giá trị tuyệt đối của một số lớn hơn hoặc bằng số đó nên :
Do đó MinB = 1 
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
Giải
Xét biểu thức : ; . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : hoặc . Khi đó MinM = -2 khi . Và MaxM = 2 khi .
Bài toán 3a : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Giải
N= P + Q . Với ; 
Ta có : ; 
MinN = 8 khi : hay 
Bài toán tổng quát : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 với a < b
Giải
Áp dụng bất đẳng thức : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ;
Ta có : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , hay . Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng b – a khi 
Phương pháp 04 : Phương pháp miền giá trị 
Trong một số trường hợp đặc biệt , biểu thức đại số đã cho có thể có một hoặc hai biến số và đưa được về dạng tam thức bậc hai thì ta có thể sử dụng kiến thức về miền giá trị của hàm số để giải rất hiệu quả. Đây là một trong những phương pháp tìm cực trị đại số rất hay và phổ biến trong chương trình THCS và THPT .
a) Phương pháp chung  :
Giả sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D . Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với xÎ D. Điều này có nghĩa là ta phải tìm điều kiện để phương trình : f(x) = y có nghiệm . Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm ( x là biến , coi y là tham số ) .Thường đưa đến biểu thức sau : 
 m £ y £M	.Từ đó Þ Min f(x) = m 	với x Î D. Þ Max f(x) = M ; với x Î D.
b) Bài tập minh họa 
Bài toán 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :
 Ta sẽ giải bài toán này bằng hai cách 
 Giải 
Cách 1 : Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm : ( 1) Do , nên (1) tương ứng với : (2) 
Trường hợp 1 : Nếu a = 1 thì ( 2 ) có nghiệm x = 0 
Trường hợp 2 : Nếu để ( 2 ) có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là : 
Tức là : 
 .
Với hoặc a= 3 thì nghiệm của phương trình (2) là : 
Với thì x = 1 ; với a = 3 thì x = –1 
Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có : Min khi và chỉ khi x = 1
MaxA = 3 khi và chỉ khi x = –1 
Phương pháp này còn gọi là phương pháp miền giá trị của hàm số .
 Đoạn là tập giá trị của hàm số : 
Cách 2 : 
+ Ta tìm giá trị lớn nhất của A 
 Vậy : MaxA = 3 khi và chỉ khi x = –1 
+ Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
Vậy MinA khi và chỉ khi x = 1 
Bài toán 4a : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
Hướng dẫn 
Nếu đặt : thì biểu thức B trở thành : . Đây chính là bài toán 4 ta vừa giải xong . Giải bài này như bài toán 6 ta được : ; 
Còn với t = 0 thì B = 1 . Do đó Min B = với x = 1 tức là u = t . 
MaxB = 3 với x = –1 tức là u = –t. 
Bài toán 4b : Tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
 Giải
Cách 1 : 
Ta thấy mẫu thức với mọi x ; y nên giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức C tương ứng với giá trị dương và âm của tử thức .
Xét ba trường hợp . 
Với x + 2y + 1 = 0 thì C = 1 
Với x + 2y + 1 > 0 
Ta có bất đẳng thức : 
Từ đó : 
Đẳng thức xảy ra khi x = 1 ; y = 2 lúc đó giá trị lớn nhất của biểu thức C bằng 
Với x + 2y + 1 < 0 ta có bất đẳng thức :
 = . Từ đó 
 hay 
 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ; 
Lúc đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng .
Vậy : MinC = khi và chỉ khi : ; 
 MaxC = khi và chỉ khi : x = 1 ; y = 2
Cách 2 : Dùng phương pháp miền giá trị 
 Ta chuyển vế xét điều kiện có nghiệm của phương trình : 
 (1) , trong đó x là ẩn số coi y là tham số tùy ý còn C là tham số có điều kiện . Xét hai trường hợp .
a. x + 2y +1 = 0
b. thì phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x khi biệt thức không âm : (2) . Ta coi bất phương trình (2) là bất phương trình ẩn y . Bất phương trình này xảy ra với mọi giá trị của y khi : 
Khi biểu thức C nhận các giá trị này thì đẳng thức xảy ra ở (2) và (1) khi đó :
 và . 
Vậy : Giá trị lớn nhất của C bằng khi và chỉ khi y = 2 và x = 1 . 
 Giá trị nhỏ nhất của C bằng khi và chỉ khi và x = 
Bài toán 4c : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
Đây là dạng tìm GTLN và GTNN của một phân thức mà tử và mẫu đều là tam thức bậc hai một biến số . Ta sẽ giải bài này bằng 3 cách 
 Giải
Cách 1 : Ta so sánh giá trị của tử thức và của mẫu thức bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
Từ : 
Dẫn đến : 
Ta có Đặt thì . Hay 
Suy ra : . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 
 . Giải phương trình này ta được : 
 ứng với giá trị lớn nhất của P là 5 
 ứng với giá trị nhỏ nhất của P là –1 
Vậy : MaxP = 5 và MinP = –1 
Cách 2 : Ta chuyển về xét cực trị của phân thức mà tử là nhị thức bậc nhất rồi so sánh giá trị của tử và mẫu 
Ta có : Đặt Z = 
Thì P = 1 + Z vì với mọi x nên . Giá trị lớn nhất của Z đạt được khi tử thức dương và giá trị nhỏ nhất của Z đạt được khi tử thức âm .
Ta xét 3 trường hợp xảy ra : 
a. Với thì Z = 0 
b. Với thì giá trị lớn nhất của P = 1 + giá trị lớn nhất của Z . Ta so sánh giá trị của t