SKKN Phát hiện và bồi dưỡng một số năng lực thích nghi cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học các lớp bậc THPT

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Tinh thần của phương pháp giảng dạy mới là phát huy tính chủ động sáng tạo và suy ngẫm của học sinh, chú ý tới sự hoạt động tích cực của học sinh trên lớp, cho học sinh trực tiếp tham gia vào bài giảng của thầy; dưới sự hướng dẫn của thầy, học sinh có thể phát hiện ra vấn đề và suy nghĩ tìm cách giải quyết vấn đề”.
	Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Học sinh phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Cơ sở để học sinh hoạt động chính là những tri thức và kinh nghiệm đã có. Đứng trước một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức nào, sử dụng ra làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được những câu hỏi đó là mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, việc dạy học giải bài tập toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn 
Thực tế dạy học hiện nay đã có nhiều giáo viên quan tâm đến vấn đề rèn luyện cho học sinh năng lực thích nghi trí tuệ thông qua dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ở cấp độ cao, đòi hỏi học sinh tự giác giải quyết vấn đề thông qua các định hướng của giáo viên, dạy học phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, dạy hoạt động tìm tòi kiến thức.v.v
Vì những lí do nêu trên tôi quyết định chọn đề tài SKKN là: “Phát hiện và bồi dưỡng một số năng lực thích nghi cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học các lớp bậc THPT’’
1.2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số năng lực thích nghi trí tuệ cho học sinh THPT, biện pháp bồi dưỡng một số năng lực thích nghi trí tuệ cho học sinh THPT.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là tập trung tìm hiểu định hướng cho học sinh phát hiện, xây dựng kiến thức để nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập Hình học ở các lớp bậc THPT đồng thời đề ra được các phương thức để rèn luyện các kỹ năng đó góp phần triển khai đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông.
1.4 Phương pháp nghiên cứu 
Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn Toán làm cơ sở để xác định một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề. 
Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học sinh, tham khảo các tài liệu để đề ra các phương thức để rèn luyện các kỹ năng đó thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Về chương trình sách giáo khoa: Đây là một trong những yếu tố ảnh hưởng lớn đến chất lượng giáo dục. Theo chủ trương chung, trong SGK có đưa ra các hoạt động mang tính chất gợi ý, mỗi thầy cô giáo đều có thể thay các hoạt động này bằng các hoạt động khác cho phù hợp với học sinh, nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh. SGK 10, 11(sách giáo khoa mới) đã thể hiện sự cố gắng cải tiến về nội dung lẫn hình thức, có nhiều hình vẽ minh họa phù hợp và có ý nghĩa, có hệ thống "bài đọc thêm" bổ ích, vui vẻ, nhẹ nhàng, có cấu trúc hợp lí, kèm theo những bài tập áp dụng, kể cả bài tập trắc nghiệm. Phân tích kỹ thì ta có thể thấy được kết cấu của SGK cũng đã có phần rèn luyện năng lực thích nghi trí tuệ cho học sinh tuy nhiên chưa rõ nét.
Bên cạnh những thuận lợi, những ưu điểm, hiện nay thời lượng học của học sinh còn ít (theo tạp chí giáo dục: tổng thời lượng hàng năm cho toàn cấp học chỉ đạt xấp xỉ 1000 giờ/ năm học, con số này thấp hơn nhiều với số giờ học trung bình của học sinh cùng cấp ở các nước khác - bình quân 1200 giờ/ năm học); trong khi đó nội dung bài học nhiều vấn đề, dẫn đến việc dạy gấp để cho kịp chương trình, để khỏi "cháy" giáo án và do đó học sinh không có nhiều điều kiện được thực hành, hình thành kỹ năng. 
2.2. Thực trạng vấn đề:
 Khái thác tiềm năng sách giáo khoa thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập xuất phát từ bài toán cơ bản trong sách giáo khoa, phát triển bài toán
Bài toán 1: (Bài toán gốc) Chứng minh rằng: Cần và đủ để hai tam giác và có cùng trọng tâm là: .
Việc chứng minh bài toán này là đơn giản, ở đây ta quan tâm đến việc thông qua bài toán này ta sử dựng nó để chứng minh một số bài toán chứng minh hai tam giác cùng trọng tâm (khi đó ta có thể xem bài toán này là bài toán gốc của các bài toán sau).
Sau đây là một số bài toán liên quan:
Bài 1: Cho lục giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng trọng tâm.
Hướng giải: Vận dụng bài toán trên, dẫn đến việc ta cần chứng minh .
Ta có: 
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài 2: Cho tam giác , trên mỗi cạnh lấy các bộ hai điểm sao cho: 
Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng trọng tâm.
Hướng giải:
Theo đề ra ta có: 
Do đó theo bài toán gốc ta có hai tam giác và có cùng trọng tâm (đpcm).
Bài 3: Cho tam giác trên các cạnh ta lấy các điểm sao cho . Giả sử cắt tại , cắt tại cắt tại Chứng minh ba tam giác có cùng trọng tâm.
Hướng giải: 
Từ giả thiết ta có: , , 
Suy ra: 
+ Ta dễ chứng minh được: 
Ta có: 
suy ra: 
Từ và kết hợp bài toán gốc ta có điều phải chứng minh.
Bài 4: Cho tam giác lấy làm cạnh đáy, dựng các tam giác vuông cân ra phía ngoài tam giác Chứng minh rằng hai tam giác và tam giác có cùng trọng tâm.
Hướng giải:
Ta cần chứng minh: 
Ta có: ; ; (với lần lượt là trung điểm của ).
Mặt khác: . 
Suy ra cần chứng minh: . 
Muốn vậy ta nghĩ đến phương pháp biến hình, cụ thể ở đây ta dùng phép quay (tâm bất kỳ) góc quay 600, từ đó ta suy ra: ; ; .
Mà ta đã có . 
Vậy: (đpcm).
Bài 5: Cho tam giác , lấy các điểm lần lượt trên các cạnh ; biết rằng hai tam giác và có cùng trọng tâm. Khi đó điều kiện cần và đủ để đồng quy là lần lượt là trung điểm của .
Hướng giải: 
Thay đổi vai trò của đỉnh hai tam giác ta suy ra: ta dễ dàng chứng minh được . Áp dụng định lý Mêlênaút ta suy ra điều kiện cần và đủ cho đồng quy là hay ta có lần lượt là trung điểm của .
Nhận xét: Bài toán này gợi cho ta một số bài toán về điều kiện cần và đủ để tâm giác là tam giác đều. Chẳng hạn hai bài toán sau:
Bài 6: Cho tam giác điều kiện cần và đủ để là tam giác đều là một trong các điều kiện sau đây được thoả mãn:
1) Tam giác có cùng trọng tâm với tam giác tạo bởi chân 3 đường cao.
2) Tam giác có cùng trọng tâm với tam giác tạo bởi chân 3 đường phân giác góc trong của nó.
3) Tam giác có cùng trọng tâm với tam giác tạo bởi 3 tiếp điểm đường trong nội tiếp tam giác.
Bài 7: Cần và đủ để tam giác là tam giác đều là:
Nhận xét: Thông qua chuỗi bài toán sẽ dần hình thành cho học sinh năng lực phân tích, quy lạ về quen, tương tự hoá
Cũng với bài toán này, nếu ta thay việc xét tam giác trong mặt phẳng bởi việc xét tứ diện trong không gian thì sẽ thu được một số bài toán sau:
Bài toán 2: (Bài toán gốc) Chứng minh rằng hai tứ diện và có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: .
Một số bài toán liên quan:	
Bài 1:
Cho tứ diện , trên mỗi cạnh lấy các bộ hai điểm sao cho: 	
Chứng minh rằng hai tứ diện và có cùng trọng tâm.
Bài 2: Cho tứ diện trên các cạnh ta lấy các điểm sao cho: 
.
Chứng minh hai tứ diện và có cùng trọng tâm.
Bài 3: Cho tứ diện trên các cạnh lấy các điểm sao cho: . Giả sử cắt tại cắt tại cắt tại Chứng minh rằng ba tứ diện có có cùng trọng tâm. 
Bài 4: Cho tứ diện , trên mỗi cạnh lấy các bộ hai điểm sao cho: 
Chứng minh rằng hai tứ diện và có cùng trọng tâm.
Đôi khi, để giải quyết một bài toán nào đó trong không gian chúng ta lại nghĩ đến việc biến đổi, tách bài toán để đưa một phần bài toán hoặc chuyển đổi bài toán về việc giải quyết bài toán phẳng. 
Chẳng hạn: Cho hình hộp Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Gọi lần lượt là giao điểm các đường chéo của các mặt Chứng minh hai tam giác và có cùng trọng tâm.
Thật vậy ta có:
Áp dụng bài toán trong phẳng đã nêu ở trên, ta có hai tam giác và có cùng trọng tâm.
Ví dụ 1: (Ví dụ minh hoạ khám phá các ứng dụng, các cách thể hiện khác nhau của các khái niệm, định lí, thông qua đó đề xuất các ứng dụng khác nhau của chúng).
Ta xét định lí hàm số cosin ở sách giáo khoa Hình học 10:
Cho tam giác, ta có: 
Định lí này cho phép ta tính một cạnh khi biết hai cạnh còn lại và góc xen giữa. 
Nếu ta biến đổi các công thức đó theo các cách viết khác nhau thì ta sẽ biết ngay cách vận dụng để giải các bài toán khác nhau. Chẳng hạn, công thức có thể viết lại theo các cách khác như sau:
Nhờ cách viết nói trên đã khiến (gợi ý) cho ta nghĩ đến cách giải của một số bài toán sau:
Bài toán 1: Trong các tam giác có không đổi và tổng hai cạnh bên cho trước. Tìm tam giác có chu vi bé nhất và diện tích bé nhất. (áp dụng )
Bài toán 2: Trong tam giác chứng minh rằng: (áp dụng )
Bài toán 3: Cho tam giác Chứng minh rằng:
 (áp dụng )
Bài toán 4: Giả sử là một điểm bất kì trong tam giác khoảng cách từ đến các đỉnh lần lượt là và đến các cạnh lần lượt là Chứng minh rằng: (áp dụng )
Cũng với các công thức khi ta viết chúng theo một trong các cách sau ta lại có những ứng dụng khác để giải một số bài toán liên quan đến tính góc, chứng minh các hệ thức, các bất đẳng thức liên quan đến các cạnh và các góc trong tam giác, nhận dạng tam giác
Thật vậy, từ ta có thể viết lại công thức theo hình thức sau:
, , 
Các công thức cho phép ta tính góc khi biết 3 cạnh của tam giác.
+ Từ cách viết của công thức ta nghĩ đến việc sử dụng trong các bài toán nhận dạng tam giác hoặc chứng minh tam giác nhọn:
Tam giác nhọn 	
Để minh hoạ cho việc ứng dụng các cách viết trên của định lí cosin trong tam giác ta xét một số bài toán sau:
Bài toán 1: Xác định tam giác nếu các góc thoả mãn:
Từ nhờ sử dụng công thức hạ bậc ta suy ra: từ đây sử dụng ta có tam giác nhọn.
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu các cạnh của tam giác thoả mãn:
 thì tam giác nhọn.
Hướng giải: 
Trước hết ta có: 	
Do đó ta chỉ cần chứng minh nhọn là đủ. Ta có:
.
Nhận xét: Từ cách chứng minh của bài toán này gợi cho ta việc sáng tạo bài toán tương tự mang màu sắc hơn, chẳng hạn bài toán sau:
Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu các cạnh của tam giác thoả mãn: 
thì tam giác nhọn.
Hệ thống bài toán đôi khi lại được xây dựng từ việc đặc biệt hoá, cụ thể hoá một bài toán mang tính tổng quát, chẳng hạn:
Ví dụ : Từ bài toán sau: Cho tam giác gọi là một điểm trong mặt phẳng tam giác. Ký hiệu lần lượt là diện tích các tam giác (Ta gọi bài toán này là bài toán tổng quát)
a) Nếu thuộc về miền trong của tam giác thì:
b) Nếu thuộc miền ngoài tam giác thuộc miền góc tạo bởi hai tia thì: 	 	
Nếu ta cho điểm lần lượt là các điểm trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác thì ta sẽ thu được các công thức sau:
Bài 1: Cho tam giác Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trực tâm của tam giác Ta có:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Từ bài toán tổng quát, nếu ta thay tam giác bất kì ở trên bởi tam giác đều thì khi đó ta có được bài toán như sau:	
Bài 2: Cho tam giác đều, là điểm bất kì trong mặt phẳng tam giác; lần lượt là khoảng cách từ đến 
a) Nếu nằm trong tam giác thì 
b) Nếu nằm miền ngoài tam giác và thuộc miền trong góc thì .
Bài 3: Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm Gọi lần lượt là giao của với đường tròn tâm (I). Chứng minh rằng:
Nhận xét: Qua ví dụ trên cho thấy, nếu rèn luyện cho học sinh nhìn bài toán theo con mắt đặc biệt hoá thì sẽ bồi dưỡng cho học sinh khả năng sáng tạo bài toán mới. Bồi dưỡng cho học sinh thói quen trong quá trình học toán biết nhìn nhận một vấn đề theo nhiều góc độ khác nhau.	
Ví dụ : "Cho hình lập phương Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và 
a) Chứng minh rằng: 
b) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng và 
Cách giải 1: (Dùng phương pháp tổng hợp)
M
A'
O
K
C'
A
C
D
D'
B'
B
N
Hình 1
a) Gọi là trung điểm của đường chéo tứ giác Có cặp cạnh và song song và bằng nhau nên tứ giác đó là hình bình hành. Suy ra Từ đó suy ra 
Mặt khác, dễ thấy 
Từ và ta có 
b) Xác định góc tạo bởi và 
Gọi là điểm đối xứng của qua 
Tứ giác là hình bình hành vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau (hình 1).
Góc tạo bởi và là 
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng 
Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác ta có:
Lại áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:
Từ hệ thức trên suy ra .
Cách giải 2: (Phương pháp véc tơ)
a) Để chứng minh , ta chứng minh .
Muốn vậy ta khai triển các véc tơ theo ba véc tơ không đồng phẳng (hình vẽ)
Ta có: 	
	Do đó: 	
b) Gọi giữa hai đường thẳng và ta có:
	; trong đó: 
Ta có 
	Ta lại có: 	 
Do đó ta có: .
Cách giải 3: (Dùng phương pháp toạ độ)
Chọn hệ trục toạ độ Đề các sao cho 
; với giả thiết cạnh của hình lập phương bằng 1.
a) 
Theo công thức toạ độ của tích vô hướng ta có: .
	b) Ta có: 
	Gọi giữa hai đường thẳng và ta có: 
	.
Bồi dưỡng cho học sinh năng lực huy động kiến thức, năng lực liên tưởng kết hợp với năng lực tư duy biện chứng trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
Việc thực hiện bồi dưỡng một số hoạt động trí tuệ trên có thể được minh hoạ qua các bài toán: 
Bài toán 1: "Cho tam giác là điểm bất kì trên một cạnh của tam giác, hãy dựng một đường thẳng chia đôi diện tích tam giác đó".
Không mất tính tổng quát, ta hãy xét trường hợp điểm thuộc cạnh Khi đó ta xét các trường hợp sau:
N
C
B
A
Hình 2
Trường hợp trùng đỉnh (hoặc ) của tam giác (đây chính là yêu cầu đặc biệt hoá), khi đó ta có ngay đường thẳng cần tìm là đường trung tuyến của tam giác (hình 2). 
Trường hợp không trùng với đỉnh nào của tam giác, vấn đề đặt ra là: liệu có thể chuyển trường hợp này về trường hợp đặc biệt trên hay không? (đây chính là yêu cầu quy lạ về quen). Muốn vậy, cần phải tạo ra một tam giác thoã mãn hai yêu cầu sau:
a) Tam giác mới này có một đỉnh là và có diện tích bằng diện tích tam giác 
b) Từ đường thẳng qua chia đôi diện tích tam giác mới này ta có thể tìm được đường thẳng chia đôi diện tích tam giác 
+ Để giải quyết yêu cầu a) ta sẽ thực hiện một số thao tác tư duy cơ bản, như: thao tác phân tích, tổng hợp, tương tự, quy lạ về quen
- Thao tác phân tích: giả sử bằng cách vẽ thêm các đường phụ ta tạo được tam giác có diện tích bằng diện tích tam giác (Hình 3). 
A
B
M
I
C'
C
N
Hình 3
Khi đó: 
 Suy ra 
- Thao tác tổng hợp: Từ phân tích trên cho ta cách dựng tam giác như sau: Qua dựng đường thẳng song song với cắt tại khi đó ta có tam giác thoả mãn yêu cầu a). 
+ Giải quyết yêu cầu b): Tam giác thoả mãn yêu cầu b) khi trung tuyến của tam giác (tức là đường thẳng đi qua và chia đôi diện tích của nó) phải cắt đoạn tại Nếu thuộc đoạn thì chính là đường thẳng cần dựng (xem hình 2). Nếu không thuộc ta dựng đường thẳng này cắt tại thì là đường thẳng cần dựng (hình 4).
C’
C
B
M
N1
A
N
	Hình 4
Tới đây ta có thể kiểm tra trường hợp trùng với trung điểm của khi đó trùng với do đó chính là đường thẳng cần dựng.
Không dừng lại ở bài toán 1, giáo có thể tiếp tục rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy bằng cách yêu cầu học sinh phát triển bài toán 1, chẳng hạn, thay vì xét tam giác hãy xét tứ giác (việc làm này nhằm bồi dưỡng cho học sinh một ý thức liên hệ giữa hình học phẳng với hình học không gian, hơn nữa thông qua đó tập dượt cho học sinh một cách thức sáng tạo bài toán), xét bài toán sau:
Bài toán 2: "Cho tứ giác , là một điểm bất kì trên một cạnh của tứ giác, hãy dựng một đường thẳng chia đôi diện tích của tứ giác đó."
Không những thế còn yêu cầu học sinh khái quát theo hướng không những chia đôi đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau mà còn có thể chia đa giác thành hai phần trong đó có một phần có tỉ số diện tích so với diện tích của đa giác ban đầu là (với ). Cụ thể, ta có bài toán tổng quát sau: 
Bài toán: "Cho hình chóp , hãy chia khối tứ diện bởi một mặt phẳng đi qua một điểm thuộc cạnh đáy và đỉnh của khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau."
Quan tâm đến các quy luật cơ bản của lí thuyết liên tưởng, đó là:
Ví dụ 1: "Cho đường thẳng có phương trình:. Điều kiện: , và elip có phương trình: 
Chứng minh rằng: tiếp xúc 
Trong SGK hình học giải tích 12 đã chứng minh, ở đây lấy ví dụ này để minh hoạ cho việc nếu ta biết liên tưởng đến một đối tượng, quan hệ đã biết thì ta có thể phát hiện thêm một cách giải khác khá độc đáo và chặt chẽ. Thật vậy:
Vì tiếp xúc nên hệ sau có nghiệm duy nhất: 
Với cách viết của và gợi cho ta liên tưởng là một đường tròn.
Đặt: ta có hệ trở thành: 
Để hệ trên có nghiệm duy nhất hay tiếp xúc với điều kiện cần và đủ là: khoảng cách từ điểm đến bằng , hay ta có:
 (đpcm).
Ví dụ 2: Cho tứ diện Gọi là trọng tâm của tam giác . Một mặt phẳng cắt theo thứ tự tại 
Chứng minh rằng: .
G'
A
B
G
B'
C
C'
S
A'
M
M'
(Hình 5)
Định hướng giải toán: Để giải bài toán này ta nghĩ đến việc xét một bài toán tương tự trong mặt phẳng, 
Thật vậy: Để xét bài toán trong mặt phẳng tương ứng với bài toán trong không gian ta có thể dựa vào sự tương ứng sau: 
Tam giác ↔ Tứ diện; Đường thẳng ↔ Mặt phẳng; 
Trung điểm của đoạn thẳng ↔ Trọng tâm của tam giác; 
Trọng tâm của tam giác ↔ Trọng tâm của tứ diện; 
Đường tròn ↔ Mặt cầu
Sử dụng sự tương ứng trên ta có bài toán trong mặt phẳng tương tự:
Bài toán 1: "Cho tam giác . Gọi là trung điểm của Một đường thẳng cắt theo thứ tự tại 
C
B
B'
M
A'
M'
A
M1
M2
Hình 6
Chứng minh rằng: .
Hướng giải: Từ yêu cầu chứng minh của bài toán ta nghĩ ngay đến sử dụng định lí Talet, muốn vậy ta cần phải kẻ thêm các đường phụ để từ đó có thể thiết lập hệ thức liên hệ với các tỉ số xuất hiện trong điều phải chứng minh.
Dẫn đến ta vẽ các đường 
song song với (hình 6). 
Từ đó ta dễ dàng có điều phải chứng minh.
Vận dụng bài toán trên để giải quyết bài toán 
trong không gian, bằng hoạt động đồng hoá ta có được: 
Bây giờ nếu tiếp tục đồng hoá để chứng minh thì không còn thực hiện được nữa, đòi hỏi người giải toán phải có sự điều ứng tương thích để giải quyết vấn đề đặt ra. Lúc này, để giải quyết ta dẫn đến xét bài toán sau:
Bài toán 2: "Cho tam giác Gọi là điểm thuộc đoạn sao cho: 
. Đường thẳng cắt theo thứ tự tại .
Chứng minh rằng: ."
Với bài toán này, làm tương tự Bài toán 1 ở trên (tức là, ta kẻ đường phụ và sử dụng định lí Talet) ta có điều phải chứng minh.
Như vậy, để giải quyết được bài toán ở ví dụ 2 này người giải toán đã phải hoạt động đồng hoá và điều ứng nhiều lần (việc chuyển bài toán từ không gian sang giải bài toán trong mặt phẳng có thể xem như là một hoạt động điều ứng).
Thông qua việc giải bài toán theo cách trên, mà cụ thể là hai tình huống của Bài toán 1 và Bài toán 2 đã khiến ta nghĩ đến bài toán tổng quát cho hai bài toán này như sau:
"Cho tam giác Gọi là điểm trên AB sao cho: . Một đường thẳng d cắt SA, SA, SM theo thứ tự tại A', B', M'. Chứng minh rằng:
 (2).
Để hướng dẫn học sinh tìm đến được bài toán tổng quát trên, thầy giáo có thể hướng dẫn học sinh theo con đường đặc biệt hoá.
Sau đây thêm một ví dụ khắc sâu ý tưởng giải toán bằng việc thiết lập sự tương ứng giữa hình học phẳng và hình học không gian. 
Ví dụ 3: Để tạo năng lực liên tưởng cho học sinh giáo viên có thể đặt bài toán cần giải trong mối quan hệ biện chứng với bài toán khác:
Xét bài toán: "Chứng minh rằng sáu mặt phẳng, mỗi mặt đi qua trung điểm một cạnh của tứ diện và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy(cùng đi qua một điểm."
B
A1
H
M
A
C
G
O
N
Hình 7
Hình 8
A
C
G
D
B
N
M
H
O
I
Đây là một bài toán giành cho học sinh khá giỏi. Để giải bài toán này ta nghĩ đến việc giải bài toán liên quan trong mặt phẳng. Bằng cách thiết lập sự tương ứng giữa không gian và mặt phẳng, cụ thể ở bài toán này, ta có thể xem: 
Tam giác ↔ Tứ diện; 
Đường thẳng ↔ Mặt phẳng; 
Đường tròn ↔ Mặt cầu;
đôi khi ta phải xem như đoạn thẳng và trung điểm của chính là . Quá trình này chính là quá trình tư duy biện chứng ở cấp độ cao. Việc làm này rất có ý nghĩa khi giải một số bài toán, cũng như sáng tạo các bài toán mới. Chẳng hạn, với bài toán này: tứ diện ta tương ứng với tam giác trung điểm của cạnh (của tứ diện ) ta tương ứng với đỉnh (của tam giác ); mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh tương ứng với đường thẳng đi qua và vuông góc với (tức là, đường cao của tam giác). Với cách liên tưởng kết hợp với tư duy biện chứng như vậy, dẫn đến xét bài toán quen thuộc tương ứng như sau:
Bài toán: "Chứng minh rằng ba đườn