SKKN Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm - Tích phân và cách khắc phục

MỤC LỤC
Trang
 MỤC LỤC
1. Phần mở đầu	
1
2
1.1 Lý do chọn đề tài	
2
1.2 Phạm vi nghiên cứu	
3
1.3 Đối tượng nghiên cứu	
3
1.4 Mục tiêu nghiên cứu	
3
2. Phần nội dung	
4
2.1 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN	
4
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu	
5
2.3 Giải pháp thực hiện	
5
2.4 Nội dung cụ thể 	
7
Những kiến thức liên quan	
7
1. Nguyên hàm 	
7
2. Phương pháp tính nguyên hàm	
8
 3. Tích phân 	
9
 a. Định nghĩa tích phân	
9
 b. Tính chất của tích phân	
9
 c. Phương pháp tính tích phân	
9
 4. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục	
10
 a. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm	
10
 b. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản	
10
 5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục	
11
5.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải	
11
a. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm	
11
b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân	
12
c. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân	
13
d. Sai lầm khi đổi biến số	
14
5.2. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải	
16
a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số	
16
b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số	
17
V. Kết quả 	
18
C. Kết luận và kiến nghị	
20
1. Kết luận	
20
2. Đề xuất và kiến nghị 	
20
 Tài liệu tham khảo	
22
Đề tài:
“PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC”
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có “NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN” .
Trong những năm giảng dạy khối 12 Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, bản thân tôi luôn nhận thấy và rút ra được kinh nghiệm từ các sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải do mới học và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể. Học sinh của trường đa phần là học sinh trung bình, yếu. Có một số ít là học sinh khá, giỏi. Nên việc làm bài hay mắc sai lầm không đáng có trong giải Toán càng nhiều, nguyên nhân học sinh chưa nắm vững kiến thức, thậm chí có những em thuộc công thức nhưng vận dụng vẫn sai, đó là thực trang chung học sinh của trường, dẫn đến kết quả của các bài kiểm tra không được cao. 
Do đó đề tài tôi quan tâm ở đây là: Nhằm giúp học sinh khối 12 của Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống nói riêng, đối tượng đa phần là trung bình, yếu và có số ít khá giỏi, giúp các em tránh những sai sót không đáng có. 
Trong giảng dạy tôi thường hay đưa ra các sai lầm mà học sinh các khóa trước để lưu ý cho các em biết tránh sai lầm kiểu tương tự. Đặc biệt trước và sau kiểm tra tôi luôn nhắc để học sinh lưu ý. Khi trả bài kiểm tra thường chỉ ra những sai lầm tồn đọng và cách khắc phục.
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và của Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, tính diện tích, thể tích. của các hình rất phức tạp mà các phương pháp khác không giải được. 
Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói chung. 
1.2 Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm giúp học sinh khối 12 trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống tránh được những sai lầm thường gặp trong giải toán, để đạt được kết quả cao hơn khi học toán nguyên hàm tích phân và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. 
Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là: cũng cố về mặt kiển thức, kỷ năng giải bài toán Tích phân một cách logic. Từ đó phát huy hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú cho các em.
1.3 Đối tượng nghiên cứu 
Tôi cùng đồng sự của tôi nghiên cứu học sinh khối 12 trong các năm 2013-2014; năm 2014-2015; năm 2015-2016 và năm 2016-2017– Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống. 
1.4 Phạm vi nghiên cứu
Phân tích các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình giải toán trong Giải tích 12
2. PHẦN NỘI DUNG
2.1 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN
Khi giảng dạy môn Toán ở Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính nguyên hàm – tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp.
Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy nhiên đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mắc sai lầm hoặc không giải được phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tínhVì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải.
Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở các lớp mà tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh trung bình, yếu, kém là đa số, còn lại là một bộ phận ít học sinh khá, giỏi. Nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài này.
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 
Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
a. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như:
- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân;
- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;
- Đổi biến số nhưng không đổi cận;
- Khi đổi biến không tính vi phân;
- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục.
b. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải như:
- Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn- Leibnitz;
- Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b];
- Không nắm vững phương pháp đổi biến số;
- Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm được giá trị chính xác);
- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần.
3. Giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau:
3.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
 - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó;
 - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí;
 - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng;
 - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 
3.2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp và cách khắc phục.
 - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, lô gic...;
 - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
 - Phương pháp: phương pháp giải toán nguyên hàm, tích phân cơ bản.
 - Cách khắc phục: Học sinh phải thuộc, hiểu công thức, định nghĩa, tính chất nguyên hàm và tích phân.
3.3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm)
 - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng người học 
 - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh;
 - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay).
3.4 Đề kiểm tra theo chuẩn kiến thức kỷ năng môn học đảm bảo được các mức dộ như:
 - Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – phân tích – tổng hợp – đánh giá;
 - Giáo viên đánh giá học sinh;
 - Học sinh đánh giá học sinh.
 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
3.5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải
 - Hệ thống kiến thức cơ bản;
 - Phân dạng bài tập và phương pháp giải;
 - Đưa ra các bài tập tương tự.
 - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
4. Nội dung cụ thể 
Những kiến thức liên quan
4.1 Nguyên hàm 
a. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu với mọi x thuộc K.
b. Định lí: 
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
* Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số.
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là . 
Khi đó: (C: hằng số)
c. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: 
Tính chất 2: (k là hằng số khác 0)
Tính chất 3: 
d. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
 Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp
4.2 Phương pháp tính nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Định lí: Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục thì 
b. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí: Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì 
Hay viết gọn là 
4.3 Tích phân 
a. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là 
 Khi đó: (Công thức Newton – Leibnitz)
b. Tính chất của tích phân
Tính chất 1: (k là hằng số)
Tính chất 2: 
Tính chất 3: với 
c. Phương pháp tính tích phân
* Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số liên tục trên . Giả sử hàm số có đạm hàm liên tục trên sao cho , và với mọi 
Khi đó: 
* Phương pháp tích phân từng phần
Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây
Định lý: Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên thì 
Hay viết gọn là 
4.4 Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục
a. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản
 Ví dụ 1. Tính nguyên hàm 
* Lời giải có sai lầm: 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Học sinh vận dụng công thức với ≠ – 1 thay vì công thức với ≠ – 1
* Lời giải đúng:
 Hoặc cách giải khác
Đặt 
=> 
Thay u=3x+1 vào ta được I=
*Khắc phục: Yêu cầu học sinh thuộc và hiểu để vận dụng đúng công thức
b. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm
Ví dụ 2. Tính nguyên hàm: 
* Lời giải có sai lầm: 
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng: 
 với C = C1 – C2.
Ví dụ 3. Tính nguyên hàm 
* Lời giải có sai lầm: . 	
Đặt 
 (Vô lý)
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng: 
Đặt u= cosx => du= -sinxdx =>sinxdx=-du
 Thay u= cosx vào ta được: 
Ví dụ 4. Tính nguyên hàm 
* Lời giải có sai lầm: 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Các em nhầm kiến thức nguyên hàm và đạo hàm, rất em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này .
* Lời giải đúng: 
* Cách khắc phục: Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nguyên hàm của sinx và cosx. Để phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm và nguyên hàm của sinx và cosx.
* Các bài tập tương tự: a) 
b) c) d ) 	
5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục
5.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải
a. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm
Ví dụ 5. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm: 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này 
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
* Lời giải đúng: 
Ví dụ 6. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm: 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm hợp, đã dùng thay vì 
* Lời giải đúng: 
(Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt )
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợp tưng ứng với . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	
b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân
Ví dụ 7. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm :
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: không xác định tại 
* Lời giải đúng: Hàm số không xác định tại suy ra hàm không liên tục trên , nên không sử dụng được công thức Newton – Leinbitz như cách giải trên
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo thói quen: Khi tính cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại.
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a) 	b) 	c) 
c. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân
Ví dụ 8. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm : 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần
* Lời giải đúng: 
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Cách làm: Biểu diễn về dạng 
- Chọn u sao cho du dễ tính
- Chọn dv sao cho dễ tính 
- Lưu ý cho học sinh dựa vào công thức nguyên hàm từng phần sau
u
P(x)
P(x)
 P(x) lnx
dv
cosx.dx
 sinx.dx P(x)dx
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a) 	b) 	c) 
d. Sai lầm khi đổi biến số
Ví dụ 9. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm: Đặt 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
* Lời giải đúng: Đặt .
 Ví dụ 10. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm: Đặt 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Nhớ công thức không rõ ràng dẫn đến hiểu nhầm, cũng khá nhiều em quyên không ghi dx vào
* Lời giải đúng: Đặt 
Ví dụ 11. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint dx = costdt
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
* Lời giải đúng: Đặt x = sint dx = cost.dt
	 Đổi cận: 
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số (đổi biến và đổi cận). Khi gặp tích phân dạng , nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t
Ví dụ 12. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm: Đặt t = 2x + 1 
	Đổi cận: 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: : Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt 
* Lời giải đúng: Đặt ; 	Đổi cận: 
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường hợp những em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc phải tính cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Trong nhóm những sai lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán và trình bày như tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phânĐể khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài.
5.2. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải
a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số
Ví dụ 13. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm: 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử dụng phép biến đổi sai
 với thay vì dùng với 
* Lời giải đúng:
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ chứa hàm số dạng: thì dùng phép biến đổi ( n ≥ 1, n nguyên).
Khi đó ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a) 	b) 
b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số
Ví dụ 14. Tính tích phân 
* Lời giải có sai lầm: 
Đặt u = cosx du = -sinxdx.
u(0) = 1, u() = 0.
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi sử dụng công thức thay vì công thức 
* Lời giải đúng:
Đặt u = cosx du = -sinxdx.
u(0) = 1, u() = 0.
= 
Hoặc cách khác
Đặt u = cos2x => du=-2sinxcosxdx=-sin2xdx
u(0) = 1, u() = 0.
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a) 	b) 
* Cách khắc phục: Yêu cầu học sinh hiểu và vận dụng đúng công thức, tránh chủ quan, nóng vội.
Trên đây là một số sai lầm mà học sinh mắc phải khi tính tích phân, đó là những sai lầm khó phát hiện đối với các em học sinh. Những sai lầm này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức cộng với thói quen làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan, nóng vội, cẩu thả. Đôi