SKKN Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG 
ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG
 Người thực hiện : Hoàng Thị Thúy
 Chức vụ: Giáo Viên
 SKKN môn: Vật lí
Thanh hóa , năm 2016
MỤC LỤC
 Nội Dung
Trang
A .Đặt vấn đề
1
B. Giải quyết vấn đề
2
Phân loại các dạng bài tập
2
 2. Cơ sở lý thuyết
3
 3. Phương pháp giải 
6
 4. Nhận xét
18
C. Kết luận
19
Tài liệu tham khảo
20
CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu
Tên Tiếng Việt
HS
Học sinh
THPT
Trung học phổ thông
VD
Ví dụ
SL
Số lượng
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng dạy cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển. Cụ thể là phương pháp kiểm tra đánh giá bằng phương tiện trắc nghiệm khách quan. Trắc nghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chất lượng dạy và học trong nhà trường THPT. Điểm đáng lưu ý là nội dung kiến thức kiểm tra tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ, nắm vững toàn bộ kiến thức của chương trình, tránh học tủ, học lệch và để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển học sinh không những phải nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có phản ứng nhanh đối với các dạng toán, đặc biệt các dạng toán mang tính chất khảo sát mà các em thường gặp. 
Đối với môn vật lý cũng là môn thi trắc nghiệm. Trong thi trung học phổ thông quốc gia : số lượng câu tương đối lớn, lượng kiến thức giàn chải cả chương trình, số câu tính toán chiếm hơn 2/3 tổng số câu. Mà thời gian làm bài tương đối ít, mỗi câu chỉ dành thời gian 1,5 phút. Vì vậy đòi hỏi học sinh phải nắm vững các phương pháp giải toán cho từng dạng, biết được phương pháp giải nhanh cho từng dạng bài tập đặc biệt . 
 Trong các bài toán về tổng hợp hai dao động điều hòa với những bài toán đơn giản học sinh có thể nhớ công thức để áp dụng. Bên cạnh đó có một số bài chỉ “biến tướng” đi một chút như: khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa hai vật dao động điều, hòa tìm vận tốc, li độ dao động và thời điểm khi hai vật gặp nhau lần thứ N, bài toán về hai dao động khác tần số, bài toán cho hệ thức liên hệ như ... Ngoài ra còn mở rộng các bài toán liên quan về điện tích và cường độ dòng điện trong mạch dao động LC , các bài toán về giao thoa sóng, sóng dừng, bài toán điện xoay chiều. Với loại bài toán khác nhau có phương pháp giải riêng do đó tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “ Phân loại và hướng dẫn giải các bài tập tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương”. Trong sáng kiến của mình tôi cố gắng phân loại từ dễ đến khó, từ dạng cùng tần số tới dạng không cùng tần số và đưa ra phương pháp giải cho từng loại bài toán cụ thể và mỗi loại có ví dụ và bài tập vận dụng để học sinh có thể hiểu rõ phương pháp và vận dụng để có kĩ năng, kĩ xão giải nhanh mỗi dạng. 
 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP
1.1. Loại 1: Các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Đối với bài toán này chia làm rất nhiều dạng từ cơ bản đến nâng cao tôi chia làm các dạng sau:
Dạng 1: Tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số.
Đây là bài toán đơn giản nhất trong loại bài toán về dao động điều hòa cùng phương cùng tần số, học sinh có thể sử dụng máy tính để tổng hợp hai, ba, bốn dao động cùng phương cùng tần số. Và dựa vào dao động tổng hợp có tính toán tiếp như cơ năng của vật dao động, vận tốc, lực hồi phục ...
Dạng 2: Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp
Đây là bài toán đòi hỏi sự vận dụng cao hơn loại một, hay nói cách khác đó là một bài toán ngược bài toán trên. Trong dạng này ngoài bài đơn thuần là cho dao động tổng hợp và một dao động thành phần tìm dao động còn lại, còn có các bài toán tìm dao động thành phần khi có giới hạn về pha dao động thành phần, hoặc bài toán cho năng lượng dao động tổng hợp tìm dao động thành phần ...
Dạng 3: Bài toán tìm biên độ thành phần hoặc biên độ tổng hợp cực đại, cực tiểu khi có điều kiện ràng buộc.
Với bài toán này có nhiều cách giải khác nhau song vẫn dựa vào phương pháp cơ bản để biến đổi .
Dạng 4: Bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Đây là dạng bài toán vận dụng kiến thức của tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số . Dạng này có rất nhiều dạng và đơn giản nhất khoảng cách cực đại, cực tiểu, khoảng cách hai dao động ở thời điểm đã cho, tìm thời điểm để khoảng cách của hai vật cách nhau một khoảng cho trước, hoặc gặp nhau. Hoặc cho khoảng cách cực đại giữa hai dao động cùng pha tìm tỉ số động năng ,thế năng ở thời điểm cho trước. Ngoài vận dụng kiến thức tổng hợp hai dao động còn có các kiến thức trước đó về dao động điều hòa để làm.
Dạng 5: Bài toán liên quan đến hệ thức li độ, vận tốc của hai dao động hoặc li độ của các dao động.
Loại bài toán này khá phức tạp và đòi hỏi các kiến thức đạo của toán học, các biến đổi nhanh nhạy linh hoạt thì học sinh mới giải quyết được, nếu chưa gặp lần nào thì học sinh cảm thấy rất khó khăn và mất rất nhiều thời gian để giải quyết.
Dạng 6: Đồ thị hai dao động điều hòa 
Dạng này dễ song học sinh thường ngại làm, và kêu khó. 
1.2. Loại 2: Hai dao động điều hòa cùng phương khác tần số
Dạng 1: Hai dao động điều hòa cùng phương, khác tần số cùng biên độ gặp nhau và tỉ số vận tốc giữa hai dao động khi chúng gặp nhau.
Dạng 2: Thời gian gặp nhau của hai con lắc trùng phùng
Dạng 3: Cho hệ thức liên hệ giữa li độ và vận tốc của các dao động tìm li độ dao động hoặc tốc độ khi biết li độ hoặc tốc độ của dao động khác
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Để giải quyết hai loại bài toán trên ta dùng các phương pháp “chuyên biệt” cho từng dạng dựa trên cơ sở lý thuyết sau 
2.1. Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số
2.1.1. Dao động điều hòa , biểu diễn dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động mà li độ dao động được biểu diễn dưới dạng sin hoặc cosin theo thời gian x = Acos(wt + j) với A, ω, φ là hằng số
 Trong đó : A>0 là biên độ dao động
 ω là tần số góc mà ω= 2πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo , 
 con lắc đơn với f là tần số dao động, T là chu kì dao động.
 ωt+φ là pha ban dao động, φ là pha ban đầu
-Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay có:
+ Gốc: tại O. + Độ dài OM = A. + 
 O
x
M
+
j
(Chọn chiều dương là chiều dương của đường tròn lượng giác). 
2.1.2. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
O
x
y
y1
y2
x1
x2
j1
j2
j
M1
M2
M
A
A1
A2
 Xét vật thực hiện đồng thời hai DĐĐH cùng phương cùng tần số
x1 = A1cos(wt+j1) và x2 = A2cos(wt+j2)
khi đó dao động tổng hợp của vật là : x = x1 + x2
2.1.2.1. Phương pháp giản đồ Fre-nen
Biểu diễn x1, x2 bằng các vecto quay , 
trên trục Oxy, hợp với Ox góc tương ứng là φ1, φ2
 Vectơ là một vectơ quay với tốc độ góc w quanh O.
® biểu diễn phương trình dao động điều hoà tổng hợp: 
x = Acos(wt + j)
Từ giản đồ Fre-nen ta chiếu lên hai trục tọa độ
A cosφ=A1 cosφ1+ A2 cosφ2
A sin φ= A1 sin φ1 + A2 sin φ2 	 (2.1)
Từ đó tính ra 	 (2.2)
Dựa vào định lý hàm số cos trong tam giác ta có biên độ dao động
 	 (2.3)
Ảnh hưởng của độ lệch pha
TH1: Nếu các dao động thành phần cùng pha
 Dj = j2 - j1 = 2np (n = 0, ± 1, ± 2, ) Suy ra A = A1 + A2
TH2: Nếu các dao động thành phần ngược pha
 Dj = j2 - j1 = (2n + 1)p (n = 0, ± 1, ± 2, ) Suy ra A = |A1 - A2|
TH3: Nếu các dao động thành phần vuông pha
 Dj = j2 - j1 = (2n + 1)p/2 Suy ra 
 Từ đó suy ra : Amin £ A £ Amax Û |A1 - A2| £ A £ A1 + A2
 Ngoài cách tổng hợp dao động điều hòa theo giản đồ Fre-nen ta có thể sử dụng số phức
2.1.2.2 Phương pháp số phức
Ta đã biết một đại lượng biến thiên điều hòa theo thời giancó thể biểu diễn dưới dạng số phức x.
Số phức với a là phần thực; b là phần ảo và i là dơn vị ảo 
Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức:
mođun của số phức ; acgumen số phức là với 
Dạng lượng giác của số phức
y
b
O
 a x x
r 
 j
 với 
Theo công thức ole ta có 
Biểu diễn dao động điều hòa bằng số phức
Hàm dao động điều hòa khi t = 0 thì 
Ta thấy và 
=> tại t = 0 biểu diễn x bằng số phức 
Vậy một hàm dao động diều hòa (xét tại t = 0) có thể viết dưới dạng số phức như sau:
=> tại t = 0 : 
Với ; ; 
Để tổng hợp các dao động điều hòa
x= x1 +x2+x3... suy ra 
Acos(wt+j)= A1cos(wt+j1)+ A2cos(wt+j2) + A3cos(wt+j3) ... 
Áp dụng số phức ta có
 ...= a+b.i với a=a1+a2+a3 ... và b=b1+b2+b3 ...
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R) 
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R) 
(fx 570 MS)
nhập A1 shift +A2 shift +...
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A và 
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A còn Shift = thì ra φ
2.1.3 Mở rộng 
2.1.3.1 Phương pháp giản đồ Fren-nen
+ Tổng hợp nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
từ hệ thức (2.1) 
A cosφ=A1 cosφ1+ A2 cosφ2+ A3 cosφ3+...
A sin φ= A1 sin φ1 + A2 sin φ2 + A3 sin φ3 +... (2.4)
Từ đó ta tính (2.5)
Tính được φ thay vào một trong hai phương trình của (2.4) tính được A
 + Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp
Giả sử biết được dao động x1= A1 cos(ωt+φ1) và x= A cos (ωt+φ) tìm dao động thành phần thứ 2
Từ (2.1) A2 cosφ2 = A cosφ - A1 cosφ1
 A2 sin φ2 =A sin φ- A1 sin φ1 (2.6)
từ đó ta tính được (2.7)
Tính A2 theo biểu thức (2.5) hoặc đựa vào định lý hàm số cosin cho tam giác OMM1 ta có (2.8)
+ Tìm khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
 x1 = A1cos(wt+j1) và x2 = A2cos(wt+j2)
Đặt khoảng cách giữa hai dao động là vì đây là hiệu của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số do đó là một dao động điều hòa cùng tần số với dao động trên nên 	 (2.9)
áp dụng các kiến thức trên ta dễ dàng suy ra (2.10)
 độ lêch pha (2.11)
từ biểu thức (2.9) ta tìm ra được khoảng cách min, max,khoảng cách giữa hai dao động bất kì chú ý ở đây là ta vẫn biểu diễn nó giống dao động điều hòa rồi lấy trị tuyệt đối.
2.1.3.2 Phương pháp số phức
 Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp và các dao động thành phần khác 
Ví dụ: Một vật thực hiện ba dao động điều hòa tìm dao động điều hòa thứ hai biết dao động tổng hợp và hai dao động thành phần là 
Dựa vào phương pháp số phức ta có 
Thao tác máy tính
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R) 
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R) 
(fx 570 MS)
nhập A,shift φ - A1 shift -A3 shift
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A2 và 
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A2 còn Shift = thì ra φ2 
2.2. Dao động điều hòa cùng phương khác tần số
2.2.1.Bài toán hai dao động điều hòa cùng phương cùng biên độ gặp nhau 
Dạng 1 : Giả sử cho hai dao động điều hòa cùng phương 
x1 = Acos(w1 t+j1) và x2 = A cos(w2 t+j2) 
 Khi hai dao động gặp nhau thì x1=x2 	 	 	
Tỉ số vận tốc của các dao động 
Dạng 2 : Bài toán hai con lắc trùng phùng là bài toán mở rộng trường hợp trên khi hai con lắc đơn ở thời điểm ban đầu đều cùng ở vị trí cân bằng và chuyển động cùng chiều sau thời gian Δt thì hai con lắc lại gặp nhau.
Khi đó Δt=n1.T1=n2.T2 với T1 và T2 là chu kì dao động của hai dao động
Dạng 3 : Thông thường ta có hệ thức liên hệ sau
 hoặc 
đối với những bài toán này ta sẽ đạo hàm hai vế và tìm ra hệ thức cuối cùng.
3. Phương pháp giải
 Dựa trên cơ sở lý thuyết trên tôi đưa ra phương pháp giải cho từng bài toán sao cho giải quyết bài toán đơn giản nhất và công thức ngắn gọn dễ nhớ nhất, để khi gặp học sinh giải quyết bài toán trắc nghiệm không đầy 30s.
 3.1 Phương pháp giải loại 1 hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
3.1.1 Dạng 1 : Tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Giả sử cho bài toán : Một vật thực hiện đồng thời các dao động điều hòa sau : 
x1 = A1cos(wt+j1), x2 = A2cos(wt+j2), x3 = A3cos(wt+j3), x4 = A4cos(wt+j4)... 
Hãy viết phương trình dao động tổng hợp
 Để giải quyết bài toán này cách đơn giản nhất là dùng phương pháp số phức 
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R) 
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R) 
(fx 570 MS)
nhập A1 shift +A2 shift +...
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A và 
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A còn Shift = thì ra φ
VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1 Tổng hợp hai dao động cùng phương ,cùng tần số sau
a. x1=3.cos(5t+/2) cm , x2=3.cos5.t cm
b. x1=5.cos( cm , x2=5.sin( cm
Giải
Đối với những bài toán này ta nên dùng máy tính là nhanh nhất tức sử dụng cách 2
3shift +3shift =3 
Phương trình dao động tổng hợp là 
Đổi x2 sang hàm số cos ta có x2=5 cos(π.t- )
 5shift +5shift =5 
Phương trình dao động tổng hợp là 
VD 2 Tổng hợp 3 dao động sau
a. x1=8 cos3.t cm, x2=4cos(3.t+3 cm và x3=3.cos(3.t+cm
b. x1=1,5 cos() cm , x2= cm và x3= cm
Dùng máy tính ta có
a. 8shift +4 shift+3 shift =7 
Phương trình dao động tổng hợp là 
b. 1,5shift +0,5 shift+ shift = 
Phương trình dao động tổng hợp là 
VD 3. Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng pha, cùng tần số có phương trình lần lượt là: x1 = A1cos(2t +) cm; x2 = A2cos(2t)cm; x3 = A3cos(2t - )cm.Tại thời điểm t1 các giá trị ly độ x1 = - 20cm, x2 = 80cm, x3 = -40cm, thời điểm t2 = t1 + T/4 các giá trị ly độ x1 = - 20cm, x2 = 0cm,x3 = 40cm. Tìm phương trình của dao động tổng hợp.
Định hướng cách giải :
 - Dựa vào hai thời điểm của một dao động ta tính được A
 - Tổng hợp ba dao động điều hòa bằng máy tính
Giải
Vì t2 = t1 + T/4 nên dao động ở thời điểm t2 lệch pha so với dao động ở thời điểm t1 là p/2. Do đó ta có :
 => A1 = 40cm
 => A2 = 80cm
 => A3 = 80cm
Dao động tổng hợp : x = x1 + x2 + x3
Dùng máy tính ta có 40shift +80 shift+80 shift =40 
Phương trình dao động tổng hợp là : x = 40cos(2t - p/3) (cm)
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa với phương trình: ;. Phương trinh dao động tổng hợp là:
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 2. Một vật tham gia đồng thời vào hai dao động điều hoà có phương trình: và . Vận tốc của vật khi t = 2s là bao nhiêu? 
A. 125cm/s 	B. 120,5 cm/s 	C. -125 cm/s 	 D. 125,7 cm/s
3.1.2 Dạng 2 : Tìm dao động thành phần
 * Giả sử cho bài toán : Cho phương trình dao động tổng hợp của hai dao động là x= Acos(ω.t+φ) và phương trình dao động thành phần x1= A1 cos(ω.t+φ1) và x3= A3 cos(ω.t+φ3) tìm dao động thứ 2
 Phương pháp giải dùng máy tính 
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad (R) 
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ Rad (R) 
(fx 570 MS)
nhập A,shift φ - A1 shift -A3 shift 
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A2 và 
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A2 còn Shift = thì ra φ2
 * Giả sử cho bài toán  Cho vật thực hiện hai dao động điều hòa, cho biết các thông số thành phần còn thông số A2 chưa biết. Song có các giá trị cơ năng, hoặc vận tốc cực đại ... của vật dao động để tìm ra biên độ tổng hợp từ đó tìm biên độ A2.
 Định hướng cách giải :
Dựa vào giữ liệu ban đầu ta tính được A
Để làm bài toán này ta không thể dùng số phức ta dùng giản đồ Fren-nen
*Giả sử cho bài toán  Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình x1 = A1cos(wt+j1) , x2 = A2cos(wt+j2) và phương trình tổng hợp 
x= Acos(ω.t+φ) với A1, ω, A2 , A,φ đã biết góc giớ hạn của hai dao động là
Sử dụng phương pháp giản đồ Fren-nen ta có
VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức . Dao động thứ nhất có biểu thức là . 
Tìm biểu thức của dao động thứ hai.
Giải
 Để giải bài toán này ta dùng phương pháp số phức hay máy tính
nhập 5 shift - 5 shift =5 
Phương trình dao động thứ hai là x2=5 cos(6π.t+π/3) cm
VD2: Một vật thực hiện đồng thời được hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số là : x1=A1cos(20.t+ và x2=3cos(20t+ cm. Biết vận tốc cực đại của vật là 140cm/ s .Tìm A1.
Định hướng cách giải	
 - Tìm A theo công thức vận tốc cực đại
 - Sử dụng công thức tính biên độ tổng hợp để tính A1
Giải:
 Ta có vmax=Aω suy ra A=7 (cm)
 áp dụng thay vào ta được 
giải ra ta có A1= 8 và A1= -5 ta lấy kết quả A1= 8 cm
VD3: Một vật thực hiện đồng thời được hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số là : x1=2 cos(4.t+φ1) và x2=2cos(4t+φ2) cm với . Biết phương trình dao động tổng hợp là x=2 cos (4.t+ ) cm .Hãy xác định φ1.
Giải:
 Từ công thức suy ra φ2-φ1= 2π/3 (*)
 Áp dụng các công thức giản đồ Fren-nen để tìm mối liên hệ đưa ra góc φ1
Từ công thức 
thay vào ta có suy ra φ1+φ2=π/3 (**)
giải (*) và (**) ta có φ1=- π/6
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1 (ĐH 2010) Dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương ,cùng tần số có phương trình li độ x=3cos(cm.Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x1=5.cos( cm.Dao động thứ hai có phương trình li độ là 
A: x2=8.cos( cm B: x2= 2.cos( cm
C: x2=2 cm D: x2=8 cm
Câu 3: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động trên trục Ox có phương trình x1 = A1cos10t; x2 = A2cos(10t +j2). Phương trình dao động tổng hợp x = A1cos(10t +j), trong đó có j2 - j = . Tỉ số bằng
A: ½ hoặc ¾ B: 1/3 hoặc 2/3 C: ¾ hoặc 2/5 D: 2/5 hoặc 4/3
3.1.3 Tìm biên độ dao động thành phần, tổng hợp cực đại hoặc cực tiểu
- Đối với bài toán này dựa vào công thức nếu đề bài cho rõ hai góc pha ban đầu
- Áp dụng công thức nếu cho biết pha thành phần và tổng hợp.Từ đó ta đánh giá theo hàm bậc 2 để đưa ra
VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt là ; thì dao động tổng hợp là . Khi năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động A1 có giá trị là bao nhiêu? 
Định hướng giải:
Để năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ tổng hợp phải cực đại
Xem bài toán cho biết góc nào ? 
Viết biểu thức biên độ theo các góc đã cho
Biện luận theo Δ
Giải :
Bài cho φ và φ1 do đó ta viết biểu thức tính A2 
 suy ra 
ta coi hàm bậc 2 của A1 ta viết lại như sau 
Tính suy ra 
khi đó Amax= 20 cm khi đó Δ’=0 nên A1=- =10 (cm)
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu1: Hai dao động điều hòa cùng tần số và có phương trình dao động tổng hợp là . Biết biên độ A2 có giá trị cực đại tìm giá trị của A1.
A: 9 (cm) B: 9 (cm) C: 18 (cm) D: 9 (cm) 
Câu 2: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cùng phương:
 ; Phương trình dao động tổng hợp là .Biết biên độ dao động A2 có giá trị lớn nhất 
A: 5cm B: 6 cm C: 2,5 cm D: 2,5 cm
3.1.4: Khoảng cách giữa hai dao động điều hòa 
 Tìm khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
 x1 = A1cos(wt+j1) và x2 = A2cos(wt+j2)
Đặt khoảng cách giữa hai dao động là d= vì đây là hiệu của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số do đó là một dao động điều hòa cùng tần số với dao động trên nên 
Từ biểu thức (2.9) ta coi khoảng cách của hai dao động điều hòa là một hàm biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kì T’=π/ω.
Dựa vào tính chất trên ta đưa ra khoảng cách lớn nhất dmax= A, khoảng cách nhỏ nhất dmin=0.
 Để lập được biểu thức (2.9)ta dùng hai cách, giản đồ Fren-nen hoặc máy tính, xong để giải nhanh ta dùng máy tính
VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục Ox theo phương trình:
x1 = 4 cos( 4t + π/ 3) cm và x2 = 4cos( 4t + π /12) cm. Coi rằng trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Hỏi trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai chất điểm là bao nhiêu ?
Giải
 Khoảng cách giữa hai vật là 
Bấm máy tính 
Phương trình khoảng cách là 
Suy ra khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là 4cm, khoảng cách nhỏ nhất là 0 cm
VD 2 : Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắc một là A1 = 4cm, của con lắc hai là A2 = 4cm, con lắc hai dao động sớm pha hơn con lắc một. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là 4 cm. Khi động năng của con lắc một cực đại là W thì động năng của con lắc hai là bao nhiêu W?
Giải:
Khoảng cách giữa hai vật là 
Khi đó khoảng cách lớn nhất của hai vật là dmax= A= 4cm
 thay vào ta có φ2-φ1=±π/6
Ta coi φ1=0 thì φ2=±π/6 phương trình dao động của hai vật có dạng là 
x1= 4