SKKN Một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

Mục lục
 Phần I : Mở đầu............................................................................................trang 2
 Phần II : Nội dung.........................................................................................trang 2
 1. Cơ sở lý luận.........................................................................................trang 2
 2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.............................trang 4
 3. Các giải pháp .......................................................................................trang 5
 4. Hiệu quả của sáng kiếntrang 16
 Phần III : Kết luận........................................................................................ trang 17
 Tài liệu tham khảo........................................................................................trang 19
 Phụ lục .................................................................................................trang 20-21
1. MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài:
 Nhiệm vụ trọng tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức phổ thông, đặc biệt là bộ môn Toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
 Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết nâng tầm giải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu và có nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp dạy học .
 Qua thực tế giảng dạy, việc chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng kiến thức về lượng giác đối với học sinh còn mới mẻ, chưa thành thạo. Tuy nhiên với một số bài toán về bất đẳng thức đại số nếu ta sử dụng kiến thức lượng giác vào giải quyết thì lại rất dễ dàng.Với lý do đó, tôi nghiên cứu thực hiện đề tài: ‘ Một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số’’.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Nghiên cứu ứng dụng của lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp: 	
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn, tham khảo tài liệu liên quan. .
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp trong năm học 2017-2018 và 2018-2019.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến
 +.Tập xác định, tập giá trị, chu kỳ của các hàm số lượng giác.
Hàm số y = sinx :
 -Tập xác định : R 
 -Tập giá trị : 
 -Chu kì : 
Hàm số y = cosx :
 -Tập xác định : R 
 -Tập giá trị : 
 -Chu kì: 
Hàm số y = tanx
 -Tập xác định: 
 -Tập giá trị: R 
 -Chu kì: 
Hàm số y = cotx
 -Tập xác định: 
 -Tập giá trị: R 
 -Chu kì: 
Chú ý: Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có kết quả sau
Vậy ta có: 
Kết quả (*) sẽ được áp dụng nhiều trong đề tài.
 +.Các dấu hiệu:
 Dựa vào một số dấu hiệu sau đây để có thể ứng dụng lượng giác vào giải quyết một số bài toán về đại số
1) Nếu có điều kiện của là , ta có thể đặt:
	 với hoặc với .
Trong trường hợp riêng:
Nếu ta có thể đặt:
	 với hoặc với .
Nếu ta có thể đặt :
	 với hoặc với .
2) Nếu có điều kiện của là , ta có thể đặt:
	 với hoặc với .
3) Nếu , ta có thể đặt:
	 với hoặc với .
Trong trường hợp riêng:
	Nếu , ta có thể đặt:
	 với hoặc với .
Nếu , ta có thể đặt :
	 với hoặc với .
4) Nếu thỏa mãn điều kiện với , ta được :
 . 
đặt 
 với 
Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của ta có thể hạn chế góc 
Ngoài ra học sinh cần nắm vững cách giải phương trình lượng giác.
Chú ý : Vì hàm lượng giác là tuần hoàn nên khi đặt điều kiện các biểu thức lượng giác thật khéo léo sao cho lúc khai căn không có giá trị tuyệt đối, có nghĩa luôn luôn dương.
5) Các biểu thức thường được lượng giác hóa
Biểu thức
 Cách lượng giác hóa biểu thức
 với hoặc với 
với hoặc với 
 với hoặc với 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Hầu hết học sinh kể cả với những học sinh khá giỏi các em đều cảm thấy “ngại” khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.Quá trình giảng dạy tại trường THPT Quan Hóa giúp tôi thấy được thực trạng đáng buồn là gần như 100% học sinh đều xem như “không có” bất đẳng thức trong việc học tập và ôn luyện môn toán. Qua tìm hiểu và khảo sát với câu hỏi “Bất đẳng thức là gì? Có quan tâm đến bài toán bất đẳng thức trong các kỳ thi hay không?” tôi nhận được kết quả như sau:
 Trả lời
Số HS
được hỏi
Không biết, không quan tâm
Biết chút ít nhưng không quan tâm
Có quan tâm nhưng thấy quá khó
Biết, quan tâm và muốn nghiên cứu
100
81
11
5
3
Từ thực tế “đáng buồn” như vậy dẫn đến việc cả giáo viên và học sinh thường hay bỏ qua chủ đề bất đẳng thức trong việc ôn luyện, ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả cuối cùng trong việc thi cử. Với mong muốn phần nào đó dần dần khắc phục vấn đề này tôi đã thực hiện thí điểm đề tài ở các lớp 11A1, 11A4 trong các tiết tự chọn sẵn có.
2.3. Các giải pháp
Để thay đổi hình thức của bài toán từ việc chứng minh bất đẳng thức đại số thành việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác, ta thực hiện theo 2 bước sau đây:
 -Bước 1: Từ bài toán với cách đặt hợp lý, ta chuyển từ bài toán bất đẳng thức đại số về bài toán bất đẳng thức lượng giác.
 -Bước 2: Thực hiện việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác.
Chú ý: Để thực hiện đề tài trên một cách hiệu quả, ta phân loại thành các dạng cụ thể, qua cách phân loại đó khi áp dụng đề tài trên giảng dạy cho học sinh thì học sinh dễ dàng tiếp thu hơn và hình thành kỹ năng cơ bản khi sử dụng lượng giác vào chứng minh một số bài toán về bất đẳng thức đại số một cách rõ ràng. Trong khuôn khổ của đề tài phân thành một số dạng sau:
1- Dạng 1: Nếu cho 
 Ta đặt: với 
 ( hoặc đặt với )
Các ví dụ minh họa dạng 1:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 
Giải
 Điều kiện: 1 – x2 ³ 0 Û ½x½ £ 1
Đặt x = cosa với a Î [0; p]
Khi đó bất đẳng thức (1) được biến đổi về dạng: 
Û ½4(cos3a - sin3a) – 3 (cosa - sina)½ £ 
Û ½(4cos3a - 3cosa) + (3sina - 4sin3a)½£ Û½cos3a + sin3a½£
Û (đúng) 
Vậy (1) được chứng minh.
Nhận xét: Qua ví dụ 1, từ bài toán bất đẳng thức đại số (1) với cách đặt , ta chuyển về chứng minh bất đẳng thức lượng giác (2). Sử dụng kiến thức lượng giác ta chứng minh được bất đẳng thức (2), có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Ta xét tiếp các ví dụ tiếp theo sau đây
Ví dụ 2: Chứng minh rằng : 
 (1)
Giải
 Điều kiện: 
Đặt: x = cos với .
Khi đó (1) trở thành: (luôn đúng). Thật vậy theo BĐT Bunhiacopxki thì 
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng : (1)
Giải
 Điều kiện: 
Đặt: x = cos với .
Khi đó (1) trở thành: 
 (2) 
Theo BĐT Bunhiacôpski thì (2) luôn đúng, vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng : Nếu thì 
 (1)
Giải
Từ giả thiết: nên ta đặt
 với 
Khi đó (1) trở thành:
 (luôn đúng)
 Vậy (1) được chứng minh.
2- Dạng 2: Nếu cho 
 Ta đặt: với 
 ( hoặc đặt với )
Các ví dụ minh họa dạng 2:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng : 	
 (1)
Giải
Điều kiện: 
Đặt x = 3sin với 
Khi đó (1) trở thành : 
 (luôn đúng )
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: với a >0 
 (1)
Giải
Điều kiện: 
Đặt: với 
Khi đó (1) trở thành: 
 (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Với a > 0. Chứng minh rằng 
 (1)
Giải 
Điều kiện: 
Đặt: với 
Khi đó (1) trở thành:
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng : Với a > 0, ta có 
 (1)
Giải
Điều kiện: .
Đặt: x = a sin, y = a sin với 
Khi đó (1) trở thành: (luôn đúng )
Vậy (1) được chứng minh.
3- Dạng 3: Nếu cho 
 Ta đặt: và 
 ( hoặc đặt và )
Các ví dụ minh họa dạng 3:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu x2+y2 = 1 thì 
Giải
Vì x2+y2 = 1, nên ta đặt: . Khi đó, ta có:
= 
Ví dụ 2: Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1. Chứng minh rằng
a) ½xu + yv½£ 1.
b) ½xv + yu½£ 1.
c) –2 £ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) £ 2.
Giải
Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb 
và 0 £ a, b £ 2p. Khi đó
a) ½xu + yv½=½cos(a – b)½£ 1.
b) ½xv + yu½=½sin(a + b)½£ 1.
c) (x – y)(u + v) + (x + y) (u – v)=(cosa – sina)(cosb+sinb)+(cosa + sina)(cosb – sinb) 
= 2cos(a + b)
 Rõ ràng –2 £ 2cos(a + b) £ 2 nên 
 –2 £ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) £ 2.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Với mọi a, b ta có 
 (1)
Giải
 Ta có : (.
Nên ta đặt: . 
 (luôn đúng) 
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với mọi x , y ta có :
 (1)
Giải
Ta có : (, (.
Nên ta đặt: 
 .
Khi đó (1) trở thành :
 (luôn đúng) 
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 5: Cho . Chứng minh rằng :
 (1)
Giải
(1) (2)
Ta có: ( , ( 
 nên ta đặt: , 
Khi đó (2) trở thành: (luôn đúng).
Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
4- Dạng 4: Nếu cho 
 Ta đặt: và 
 ( hoặc đặt và )
Các ví dụ minh họa dạng 4:
Ví dụ 1: Cho . Chứng minh rằng 
 (1)
Giải
Đặt: 
Khi đó (1) trở thành : 
 (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Cho . Chứng minh rằng
 (1)
Giải
Đặt: 
Khi đó (1) trở thành: 
 (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Cho Chứng minh rằng :
 (1)
Giải
Đặt: 
Khi đó (1) trở thành : 
 (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
5- Dạng 5: Nếu cho (ax)+ (by)= 1 .
 Ta đặt: ax = sin , by = cos
 ( hoặc đặt ax = cos , by = sin ) 
Các ví dụ minh họa dạng 5 :
Ví dụ 1: Cho 4x+ 9y= 25. Chứng minh rằng 
 (1)
Giải
4x+ 9y= 25 . 
Đặt: , 
Khi đó (1) trở thành : 
 (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Cho . Chứng minh rằng 
 (1)
Giải
Đặt: 
Khi đó (1) trở thành: (luôn đúng) Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Cho . Chứng minh rằng : (1) Giải
Đặt : 2x = cos, 3y = sin
Khi đó (1) trở thành : 
 (luôn đúng) 
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Cho . Chứng minh rằng : (1)
Giải
Đặt: ax = cos , by = sin 
Khi đó (1) trở thành: 
 ( luôn đúng ) 
Vậy (1) được chứng minh.
6- Dạng 6: Nếu cho .
 Ta đặt: x = với .
 ( hoặc đặt x = với )
Các ví dụ minh họa dạng 6:
Ví dụ 1: Cho . Chứng minh rằng : (1)
Giải
Vì giả thiết nên ta đặt 
Ta có = = cos(tan +) = 
 (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Cho . Chứng minh rằng: 
 (1)
Giải
Vì nên ta đặt 
 (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Cho . Chứng minh rằng: 
 (1)
Giải
Vì nên ta đặt 
 = = (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 4: Cho . Chứng minh rằng: 
 (1)
Giải
(1) (2)
Vì nên ta đặt với 
Khi đó (2) trở thành : 
 (luôn đúng)
Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
Giải
 Điều kiện: x2 – 1 ³ 0 Û ½x½ ³ 1.
Đặt:	½x½ = , với a Î [0;).
Khi đó bất đẳng thức (1) được biến đổi về dạng:
Û sina + cosa £ 2 Û sina + cosa £ 1
Û sin (a + ) £ 1 (luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Ví dụ 6: Cho . Chứng minh rằng : 
 Giải
Đặt 
Khi đó A = 
 (1+cos2t) 6sin2t = cos2t 6sin2t
Vì = .
Nên 
Ví dụ 7: Cho . Chứng minh rằng 
Giải
Vì nên đặt : x = , với t 
Khi đó A = = 
 = [
 = 
Vì nên 
7- Dạng 7: Nếu cho 
 Ta đặt: x = tan với 
 (hoặc ta đặt x = cot với )
Các ví dụ minh họa dạng 7:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với mọi x ta có
 (1)
Giải
Ta có (1) (2)
Đặt x = tan với . Khi đó (2) trở thành .
Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng : Với mọi x ta có
 (1)
Giải
(1) (2)
Đặt x = k tan với 
Khi đó (2) trở thành: 
Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng
 (a + b)4 £ 8(a4 + b4) (1)
Giải
*Với a = 0: bất đẳng thức hiển nhiên đúng. 
*Với a ¹ 0: chia hai vế cho a4 
 (2)
đặt tan = với – << .
Bất đẳng thức (2) trở thành: (1 + tan)4 £ 8(1 + tan4) 
 Û (cos + sin)4 £ 8(cos4+ sin4) 
 Û 8(cos4 + sin4) – (cos + sin)4³ 0 (3)	
Vì sin4 + cos4 = (sin2 + cos2)2 – 2sin2 cos2 = 
 (sin + cos)4 = (1 + sin2)2 = 
Nên: 8(cos4 + sin4) – (sin + cos )4 = cos4 – 2sin2 ³ 0.
Điều này hiển nhiên đúng vì cos4³ –1 và –2sin2³ –2 nên (3) đúng.
Vậy (1) được chứng minh.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
Qua việc thực hiện đề tài với các em học sinh, tôi thấy đề tài:
 + Ngoài các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đã biết, đề tài trang bị cho học sinh thêm một phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số bằng cách sử dụng kiến thức về lượng giác. Đôi khi một số bài toán nếu giải theo những cách khác thì việc giải quyết có thể phức tạp nhưng nếu sử dụng kiến thức lượng giác vào giải quyết thì bài toán trở nên dễ dàng. Tuy nhiên để áp dụng được lượng giác vào chứng minh bất đẳng thức đại số đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức vềlượng giác, kiến thức về bất đẳng thức. 
 + Với việc ứng dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số đã truyền cho học sinh sự sáng tạo trong cách học toán, truyền thêm sự say mê toán học. 
 + Với việc ứng dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số của đề tài, từ đó bằng cách tương tự ta có thể vận dụng vào giải quyết một số bài toán đại số khác: chứng minh đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, giải phương trình, giải hệ phương trình và vận dụng lượng giác trong giải một số bài toán hình học. Nói cách khác là đề tài trên còn gợi ý cho ta giải quyết nhiều bài toán đại số, hình học dựa vào lượng giác.
 + Thực hiện đề tài trên với các em học sinh lớp 11A1, 11A4 do tôi dạy, tôi thấy các em rất hứng thú học tập bởi nó đã trang bị cho các em thêm một phương pháp giải toán về bất đẳng thức và như vậy đề tài trên thật sự có ích đối với học sinh. Đề tài này có thể áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi; bồi dưỡng đội tuyển, ôn thi Đại học. Tuy nhiên để đạt hiệu quả cao khi giảng dạy cho học sinh thì giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh là: khi gặp bài toán có dấu hiệu gì thì dùng được phương pháp lượng giác, chính vì vậy trong đề tài tôi đã phân loại một số dạng toán nhằm tạo cho học sinh nhận biết cách làm dễ dàng, qua đó hình thành kỹ năng dùng lượng giác để giải toán.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Trên đây là một số suy nghĩ của tôi sau khi viết nên đề tài này, đề tài mà tôi thực hiện mong là đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa đại số và lượng giác với nhau và quan trọng là có thêm một phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số, qua đó áp dụng giải các dạng toán khác nhau, đó cũng là mục đích mà tôi muốn vươn tới trong đề tài này. Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài sẽ không tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự đóng góp của đồng nghiệp để đề tài của tôi hoàn thiện hơn.
* Kiến nghị và đề xuất: 
- Với nhà trường: Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện để học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa các tài liệu, sách tham khảo để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ. Nhà trường tổ chức nhiều các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, tổ chức các buổi trao đổi về chuyên môn với các trường bạn, mời chuyên viên của Sở giáo dục về truyền đạt lại một số kinh nghiệm dạy học.
- Với Sở giáo dục và đào tạo: Tổ chức các đợt tập huấn về chuyên môn cho giáo viên để nâng cao trình độ.
 Trên đây là đề tài nghiên cứu khoa học của tôi. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề tài được đầy đủ hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG 
Thanh Hóa, ngày 10tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Hà Thị Nga
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Phương (2009), Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, NXB Tri thức.
[2] G. Polya (1978), Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục.
[3] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Ngọc Bích, Lê Hữu Trí (2006), Các phương pháp giải bằng phép lượng giác hóa, NXN Hà Nội.
[4] Võ Thanh Vân, Lê Ngọc Sơn, Nguyễn Ngọc Thủy (2010), Chuyên đề ứng dụng hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong giải toán THPT, NXB Đại học sư phạm .
[5] Phan Đức Chính(1997), Một số các phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp , NXB Giáo dục.
[6] Ngô Long Hậu, Trần Thanh Phong, Nguyễn Đình Thọ (2011), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng toàn quốc, NXB Hà Nội.
[7] Tạp chí toán học tuổi trẻ năm 2014-2015, NXB Giáo dục
PHỤ LỤC
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 : Cho Chứng minh rằng : 
Bài 2: Chứng minh rằng 
 Bài 3: Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2)
Bài 4: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng: x2 + y2 ³ 
Bài 5: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=2. Chứng minh rằng: (India MO 2003). 
Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c. 
Chứng minh rằng:	 x2 + y2 ³ 
Bài 7: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng : £ x6 + y6 £ 1
Bài 8: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng:
½16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y)½ £ 
Bài 9: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: 
Bài 10: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng: Bài 11: Cho ½a½ ³ 1. Chứng minh rằng: –2 £ £ 2. Bài 12: Cho các số thoả mãn Chứng minh rằng : 
Bài 13: Cho liên hệ bởi 
Chứng minh rằng 	
Bài 14: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn Chứng minh rằng 
 (Poland 1999)
Bài 15: Cho . Chứng minh rằng .
Bài 16: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng: 
Bài 17: Cho 0 £ ai £ 1 , i = 1, 2, , n. Chứng minh
(1 + a12)(1 + a22) (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22) (1 – an2) £ 22
Bài 18: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt. Chứng minh rằng có thể chọn được ít nhất 2 trong 4 số đó sao cho: 
0 £ < 2 -
Bài 19: Cho a1, a2, a17 là 17 số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng ta luôn chọn được hai số aj, ai từ 17 số đó sao cho:
0 < 
Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn 
 thì 
 (Tuyển sinh khối A năm 2009)
Bài 21: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
 (Ukraine 2005)