SKKN Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ

 MỤC LỤC
 Trang
1. Mở đầu 2
 Lý do chọn đề tài ...............................................................................2 
 Mục đích nghiên cứu.........................................................................2
 Đối tượng nghiên cứu.........................................................................2
 Phương pháp nghiên cứu....................................................................2 
2. Nội dung SKKN 3
 2.1 Cơ sở lý luận.......................................................................................3 
 2.2 Thực trạng vấn đề...............................................................................3
 2.2.1 Sai lầm khi giải điều kiện................................................................4
 2.2.2 Sai lầm khi đặt điều kiện................................................................. 5 2.2.3 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.......................................7
 2.2.4 Sai lầm khi giải bài toán lên quan đến đạo hàm.............................12
 2.3 Một số giải pháp................................................................................13
 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ................................................15
3. Kết luận và kiến nghị 17
 3.1 Kết luận............................................................................................. 16
 3.2 Kiến nghị........................................................................................... 16	
 1 Mở đầu
 1.1 Lý do chọn đề tài
 Ở Trường phổ thông dạy toán là một hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững được tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. 
 Trong quá trình học môn toán ở trường THPT bất cứ một học sinh nào cũng được làm quen với các dạng phương trình và cũng không tránh khỏi một số sai lầm phổ biến khi giải phương trình vô tỉ. Vì vậy, tôi tập hợp các sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình dạy học thành tập sáng kiến với tên gọi “ Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ” . Từ đó rút ra kinh nghiệm nhằm giúp các em học sinh học tập môn toán tốt hơn.Tập đúc rút kinh nghiệm này gồm các nội dung sau:
 Sai lầm trong khi giải điều kiện.
 Sai lầm khi đặt điều kiện.
 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.
Sai lầm khi giải bài toán liên quan tới đạo hàm
 Mục đích nghiên cứu
 Trong qua trình học toán ở trường phổ thông học sinh thường hay gặp khó khăn khi giải phương trình vô tỷ. Vì vậy đề tài này sẽ chỉ ra ra một số sai lầm mà học sinh dễ mắc phải khi giải phương trình vô tỉ đồng thời đề xuất một số giải pháp để khắc phục các sai lầm đó.
 Đối tượng nghiên cứu
 Phương trình vô tỷ( phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức) 
 1.4 . Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp:
Nghiên cứu lý luận chung
Khảo sát điều tra từ thực tế và dạy học
Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm
Cách thực hiện:
 - Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí có liên quan tới dạy và học phương trình vô tỉ.
 - Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo trong tổ bộ môn.
 - Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
Nội dung SKKN
2.1. Cơ sở lý luận
 Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu” Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lưc, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết trong đời sống.
 Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững các tri thức khoa học ở môn toán một cách hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào các dạng bài tập. Điều đó đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình phổ thông, vận dụng lý thuyết vào bài tập, phân dạng bài tập rồi tổng hợp các cách giải cụ thể để tránh những sai lầm dễ mắc phải. 
 2.2. Thực trạng vấn đề
 Trong gặp các bài toán về giải phương trình vô tỷ chưa phân dạng, học sinh chưa định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện, sử dụng các phép biến đổi không tương đương dẫn tới làm mở rộng hoặc thu hẹp miền xác định của phương trình đó và dẫn tới miền nghiệm không chính xác bởi nó có thể mất nghiệm hoặc thêm nghiệm.
 Khi giải phương trình vô tỷ học sinh thường mắc những sai lầm sau:
2.2.1. Sai lầm thứ nhất: Sai lầm trong khi giải điều kiện.
Ví dụ 1: Giải phương trình 
Có học sinh giải như sau: 
ĐK: 
(1) 
Do nên chia hai vế cho 
Ta có: - 1 = 
Với < - 1< 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
	Phân tích sai lầm mắc phải ở đây là do học sinh lầm tưởng rằng
 Cho nên học sinh đã giải sai điều kiện
	Lời giải đúng
	ĐK: 
Với x=-1 nghiệm đúng phương trình
Với giải như trên
Vậy phương trình có nghiệm x=-1
 	Giáo viên lưu ý cho học sinh
	Ví dụ 2: Giải phương trình:
	Có học sinh giải như sau:
	ĐK: 
	Vậy không tồn tại x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên phương trình đã cho vô nghiệm.
	Phân tích sai lầm học sinh mắc phải khi giải bất phương trình :
	Lời giải đúng: 
	ĐK: 
	Thay x=1 vào phương trình ta có: 
	Suy ra x=1 nghiệm đúng phương trình.
	Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
	2.2.2. Sai lầm thứ hai: Sai lầm khi đặt điều kiện.
	1. Đối với phương trình dạng (1) học sinh thường biến đổi như sau:
	(1) 	(2) 
	Hoặc (1) 	(3)
	Sau khi giải được nghiệm học sinh không thử lại với phương trình (1) mà khẳng định ngay nghiệm của (2) hoặc (3) là nghiệm của (1) và kết luận đó là nghiệm của phương trình ban đầu. 
Để khắc phục sai lầm này cho học sinh giáo viên hướng dẫn cho học sinh học theo phương pháp sau: 
Ví dụ 1: Giải phương trình 	(1)
Giải:
	(1) 
	2. Đối với phương trình dạng : 	(1)
Học sinh cần biến đổi như sau:
	(1) () = 
	 (2)
Sau khi giải song phương trình (2) học sinh kết luận luôn nghiệm của (2) chính là nghiệm của (1)
	Sai lầm của học sinh là coi (1) và (2) là hai phương trình tương đương, nhưng thực ra đó không tương đương vì ta đã thay thế h(x) bởi .
	Do đó để khắc phục sai cho học sinh ta nhấn mạnh rằng (1) và (2) không tương đương, phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) nên khi giải xong phải thử lại nghiệm vào phương trình (1).
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải:
	(1) 
Thử lại (1) chỉ có là thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm 
3. Đối với phương trình dạng (1), học sinh thường biến đổi như sau:
	(1) 	
Do đó để khắc phục sai lầm cho học sinh ta cần nhấn mạnh rằng muốn bình phương 2 vế được phương trình tương đương thì 2 vế phải không âm. Thực chất (1) 
	Nhiều học sinh kiến thức còn mắc phải sai lầm về kiến thức cơ bản
	f(x) = g(x) + h(x).
2.2.3. Sai lầm thứ ba: Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.
 	Trong khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ học sinh thường mắc một số sai lầm sau. Thứ nhất, khi đặt ẩn phụ học sinh thường lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm.Thứ hai, có đặt điều kiện nhưng điều kiện quá hẹp, quá rộng hoặc không sát, đặt ẩn phụ để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên học sinh chỉ đưa ra một điều kiện cần đối với t chứ không phải là điều kiện cần và đủ. Việc học sinh gặp sai lầm nói trên không chỉ giới hạn trong việc giải những phương trình mà ngay cả rất nhiều dạng toán khác.
1. Học sinh không đặt điều kiện của ẩn phụ
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
	(1)
Giải: 
	Đặt: 
	(1) 
	 	(2)
Học sinh thường mắc sai lầm: phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm .
Mà thực chất: phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t 0.
Sử dụng kiến thức về đạo hàm ta có m + 1 0 m -1.
 	 2. Học sinh có đặt điều kiện của ẩn phụ nhưng nó mới là điều kiện cần chứ chưa phải điều kiện đủ.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
	(1)
Giải:
	Đặt 
	(1) 	(2)
Học sinh thường mắc sai lầm:
	Phương trình (1) có nghiệm suy ra phương trình (2) nghiệm t 0. 
	Học sinh mắc phải sai lầm này là do nhầm tưởng rằng chỉ cần t 0 là đủ nhưng thực ra t 0 mới chỉ là điều kiện cần.
	Thực chất ta phải tìm điều kiện đủ của t.
	Ta có: t = 
	.
	Vậy phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm đường thẳng y = 1 – m cắt đồ thị hàm số y = t2 + t tại những điểm có hoành độ thuộc [0, 1].
	 0 1 – m 2
	 -1 m 1
 Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
 2(x2 – 2x) + (1)
H.D giải: Đặt t = ta có phương trình: 2t2 + t - m – 10 = 0 (2)
Giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh :
- Hãy chỉ ra miền xác định của ẩn x? (x2 – 2x +5 0 |R)
- Với những giá trị của x thuộc miền xác định chỉ ra miền giá trị của t ? 
t = , 
Có thể nói gì về biểu thức dưới dấu căn?
x2 – 2x +5 = (x - 1)2 + 4 4, R
Biểu thức dưới dấu căn luôn lớn hơn hoặc bằng 4 với mọi giá trị của |R
- Có thể xác định được giá trị lớn nhất của biểu thức dưới dấu căn hay không?
( Không vì x dẫn tới + thì x2 – 2x + 5 sẽ dẫn tới + )
- Hãy chỉ ra miền giá trị của t?
t = = . Miền giá trị của t là [2, +]
- Với giá trị nào của t thì phương trình t = có nghiệm (t 2)
- Để phương trình (1) có nghiệm thì (2) phải như thế nào?
 Trong ví dụ trước ta đã phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh phát hiện ra điều kiện ẩn phụ cũng như mỗi tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. ở đây ta thấy, không phải mọi giá trị của ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của ẩn ban đầu, mà chỉ những giá trị ẩn phụ thoả mãn t 2 thì mới tồn tại của ẩn ban đầu tương ứng. 
Để giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tương ứng giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giáo viên đưa ra thêm một số yêu cầu mới, chẳng hạn:
 * Tìm m để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm
 * Tìm m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm, 
Bây giờ học sinh phải xét kỹ hơn là: với một giá trị của t 2 thì sẽ tồn tại bao nhiêu giá trị của x tương ứng. chính sự xét sự tương ứng sau đây sẽ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc, đầy đủ hơn về bài toán.
+ t = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tương ứng là x = 1
+ t > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tương ứng
	Giáo viên cần tận dụng những cơ hội thích hợp cho học sinh giải đúng những bài toán bằng phương pháp đồ thị, bảng biến thiên,
Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm:
	 (1)
HD giải: Đặt t = với x .
Khi đó bài toán sẽ trở thành:
Tìm m để phương trình t2 – 2t + 2m – 2 = 0 (*)có nghiệm.
Nếu dịch chuyển bài toán như thế là không tương đương, bởi vì các em chưa phát hiện được mối liên hệ giữa x và t.
Để phát hiện được điều kiện tương ứng của t cũng không phải là dễ ! 
Học sinh thường mắc sai lầm sau:
 - Do t là tổng 2 căn thức nên t 0
 - Do t 0, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được t 2 nên điều kiện của t là t .
 Ở đây thực ra là phải tìm miền giá trị của t với xÎ[2, 4]. Đối với HS cuối cấp (lớp 12) sau khi đã được học kiến thức về hàm số thì phương pháp hay nhất vẫn là tìm miềm giá trị của t là lập bảng biến thiên của hàm số t với ẩn x 
 t = Þ 
t’=0 Þ Þ x=3
 Ta có bảng biến thiên:
 x ////// 2 3 4 ///
 y’ ////// + - ///
 y ////// 2 /// 
 Vậy với xÎ[2, 4] thì tÎ [ ,2]. 
 Khi đó ta có bài toán tương đương: Tìm m để phương trình
 t2 – 2t + 2m - 2 = 0 có nghiệm tÎ [ , 2]. 
Ta biến đổi PT (*) về dạng: t2 – 2t – 2 = -2m 
 Khảo sát hàm số f(t) = t2 – 2t – 2 với tÎ [ , 2] tìm Max f(t)=-2 và minf(t) = -2 , tÎ [ , 2].
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 1 £ m£ 
 Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
 (1)
 Giả sử học sinh đã biết hướng giải của bài toán này là đưa phương trình ban đầu về dạng Sau đó tìm miền giá trị của (thường bằng cách sử dụng công cụ đạo hàm). Khi đó, phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của 
 Học sinh không quá khó khăn để phát hiện phương pháp giải nói trên. Trong thực tế giảng dạy, chúng tôi thấy hầu như chỉ có những em có học lực khá trở lên mới tìm ra được kết quả cuối cùng. Đa số các em thường gặp phải một trong các trở ngại sau:
 Sau khi biến đổi (1) về dạng: 
thì các em gặp khó khăn trong việc tìm miền giá trị của mà trước hết là tìm bởi biểu thức của khá phức tạp. Để học sinh vượt qua chướng ngại này, giáo viên hãy yêu cầu các em nhận xét và phát hiện về mối liên hệ giữa các biểu thức có chứa trong 
Do đó, nếu đặt thì ta có 
 Các em sẽ phạm sai lầm nếu kết luận rằng, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số: mà quên tìm điều kiện của biến t. Tuy nhiên, việc tìm miền giá trị của t phải sử dụng công cụ đạo hàm (hoặc sử dụng bất đẳng thức), khảo sát hàm số: 
 Tìm được miền giá trị của t là 
 Cuối cùng, một lần nữa sử dụng công cụ đạo hàm (hoặc bất đẳng thức), khảo sát hàm số: . Tìm được miền giá trị của là 
Điều này cũng có nghĩa:Thỏa mãn bài toán.
 Bên cạnh đó, có những bài toán mà việc tìm ra phương pháp giải không khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thế nhưng cái khó chủ yếu lại thuộc về kỹ thuật giải. Điều này đòi hỏi người làm toán không những sáng tạo trong quá trình tìm phương pháp giải mà còn phải sáng tạo trong quá trình thực hiện lời giải bài toán.
Để khắc phục sai lầm cho học sinh người dạy cần nhấn mạnh các bước giải bài toán như sau:
 	Bước 1: Đặt ẩn phụ, từ điều kiện của ẩn chính tìm điều kiện của ẩn phụ.
 	Bước 2: Chuyển bài toán của ẩn chính về bài toán của ẩn phụ.
 Bước 3: Giải bài toán của ẩn phụ và kết luận.
 Khi học sinh làm bài yêu cầu học sinh kiểm tra xem mình có thực hiện đầy đủ các bước chưa? 
	2.2.4. Sai lầm thứ tư: Sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm
Trong khi giải bài toán bằng phương pháp đạo hàm học sinh hay mắc sai lầm là lấy giá trị chặn dưới ( hoặc chặn trên ) của tập giá trị là giá trị nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất ) của hàm số.
Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
	(1)
Giải:
	ĐK: 
	Xét 	 trên (5, )	
	 =
Ta có bảng biến tiên
 x 5 
 f’ - 
 f 
 0 
Học sinh thường kết luận phương trình có nghiệm khi sai lầm mắc phải là do học sinh lầm tưởng 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm f, thực chất nó là giá trị chặn dưới.
 Kết luận đúng: phương trình có nghiệm .
 2.3.Một số giải pháp
 Nhiệm vụ quan trọng của người thầy là hướng dẫn học sinh dự đoán được những sai lầm, biết phân tích để tự tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp tích cực để rèn luyện năng lực giải toán.
 Các sai lầm của học sinh trong giải toán hoàn toàn có thể khắc phục được. Hơn nữa chỉ ra các dạng sai lầm là cần thiết, song điều quan trọng hơn là dự đoán và khắc phục các sai lầm. Để hạn chế được vấn đề này theo cá nhân tôi người thầy giáo cần trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức về bộ môn Toán, các kiến thức về phương pháp giải toán. Khắc phục hoàn toàn sai lầm là một vấn đề khó bởi lẽ các nguyên nhân dẫn đến sai lầm rất đa dạng, dưới đây tôi xin đưa ra một số giải pháp sau:
 2.3.1. Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức về môn toán
 Việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức được kích thích bởi việc học sinh tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lí luận về bản chất của các sai lầm.
 Một trong các nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các sai lầm là do trình độ còn yếu, trong đó có thể học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản về môn toán. Trong quá trình dạy học giáo viên cần lưu ý:
 + Nắm vững nội dung môn Toán, đặc biệt là các tình huống điển hình trong môn toán (dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp và đặc biệt là dạy học giải bài tập toán học). 
 + Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần chú ý tới các hoạt động nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, làm cho học sinh chủ động nắm kiến thức. Đó là các hoạt động nhận dạng, thể hiện, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ và hoạt động ngôn ngữ. Thông qua những hoạt động này học sinh mới bộc lộ những sai lầm, từ đó để dự đoán, phòng tránh và sữa chữa sai lầm.
 + Đặc biệt, phương pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ trong việc phòng tránh các sai lầm cho học sinh. Nếu học sinh được làm quen với các phương pháp dạy học mới, khiêu gợi trí tò mò, sáng tạo, biết phát hiện và giải quyết vấn đề... thì họ sẽ tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế việc mắc sai lầm trong giải toán.
 2.3.2. Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức về lôgic
 Rèn luyện tư duy lôgic là một nhiệm vụ hàng đầu của việc dạy học toán ở trường phổ thông. Nhiệm vụ đó đòi hỏi giáo viên có hiểu biết cần thiết về lôgic học, khoa học về suy luận, về tư duy, vận dụng kiến thức vào môn toán.
 Kiến thức về lôgic toán đóng vai trò quan trọng trong dạy học giải toán, giúp cho tiến trình giải toán được chính xác, rõ ràng và nhất quán. Một trong những nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh khi giải toán là trình độ hiểu biết các kiến thức cần thiết về lôgic còn yếu. học sinh thường khó nhận thấy các sai lầm về lôgic. Trong tiến trình giải toán, các sai lầm thường gặp của học sinh là:
 - Các suy luận không hợp lôgic.
 - Dựa vào tiên đề sai hoặc những mệnh đề chưa biết tính đúng sai của nó.
 - Không nắm vững cấu trúc của định lí không xét toàn diện giả thiết của định lí, suy luận sai dẫn đến nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận 
 2.3.3. Làm cho học sinh nắm vững một số phương pháp giải toán cơ bản
 Việc xác định hướng giải bài toán có liên quan mật thiết với việc lựa chọn phương pháp và công cụ thích hợp để giải toán. Không tìm được phương pháp giải phù hợp với bài toán có thể đưa đến các sai lầm: Đặt điều kiện sai, biện luận không hết các trường hợp, không theo trình tự lôgic, không có cách giải tối ưu... Muốn giải tốt bài tập toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản của môn toán, các kiến thức cần thiết của lôgic học, cần phải căn cứ hướng giải đã vạch ra, vào quá trình tiếp nhận, phát hiện các đặc điểm của bài toán. Việc hệ thống hóa các phương pháp giải cho từng loại bài tập toán cơ bản cũng góp phần hạn chế sai lầm, giúp học sinh tự tin, chủ động trong tiến trình giải toán. 
 2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
 2.4.1 Mục đích thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp, rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình vô tỉ.
 2.4.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm
 a. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Đào Duy Từ
+) Lớp thực nghiệm : 10C12 
+) Lớp đối chứng : 10C11
b. Nội dung thực nghiệm
	 Thực nghiệm được tiến hành trong bài ôn tập về phương trình vô tỉ. Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra (thời gian 30 phút)
Câu 1: Giải các phương trình sau: 
a. 
b.
c.
Câu 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
 Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, đề kiểm tra này dành cho học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng. Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh.
	 Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ của học sinh. Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức của học sinh. Cả hai câu trong đề kiểm tra chủ yếu là kiểm tra khả năng suy luận, vận dụng kiến thức đã được học về phương trình vô tỉ.
Kết quả 	
TT
Lớp
Số bài
Điểm dưới TB
Điểm TB
Điểm Khá
Điểm Giỏi
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
10C12 
50
10
20.0
15
30.0
18
36.0
7
14.0
2
10C11
50
18
36.0
20
40.0
10
20.0
2
4.0
 2.4.3 Nhận xét
- Ở lớp thực nghiệm: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB thấp hơn ở lớp đối chứng, tỉ lệ khá và giỏi cao hơn.
- Ở lớp đối chứng: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB cao hơn ở lớp thực nghiệm, tỉ lệ có điểm khá và giỏi thấp hơn.
Điều đó cho thấy học sinh ở lớp thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng kiến thức tốt hơn, khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn so với học sinh lớp đối chứng.
 Qua đó có thể thấy rằng phương trình vô tỷ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán phổ thông. Nhưng đối với học sinh là