SKKN Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian

 PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài 
Để giúp học tốt các môn học khác thì toán học đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất. 
 Qua quá trình dạy hình học không gian 11 và luyện thi TNTHPT. Tôi nhận thấy rằng, đa số các em học sinh còn yếu trong viêc giải các bài toán về tính thể tích, tính khoảng cách trong hình học không gian. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa nắm vững những kiến thức cơ bản về phần quan hệ vuông góc trong không gian ở sgk hình học lớp 11 nên không tìm được phương pháp giải cho phù hợp bài toán. Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống lại các phương pháp giải toán, tạo sự thích thú cho các em học sinh học phân môn hình học không gian.Tôi đã xây dựng nghiên cứu hệ thống lại các dạng bài tập về phần quan hệ vuông góc trong không gian từ đó phát triển thành đề tài để học sinh dễ tiếp cận hơn trong việc giải toán và hình thành cho học sinh những kỹ năng vận dụng tri thức trong bộ môn toán để giải các bài tập toán.
Vì vậy tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian” nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan hơn môn hình không gian. 
II. Mục tiêu nghiên cứu
 Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm về làm các dạng bài toán liên quan đến phần quan hệ vuông góc từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán về tính thể tích và các bài toán về khoảng cách, phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ :
-Hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh 
- Biết làm những bài toán liên quan.
- Những khó khăn học sinh thường mắc khi giải bài tập toán
- Đánh giá được kết quả của việc thực hiện đề tài.
IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
 Học sinh lớp trường TTGDTX THIỆU HÓA
V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,) và đi đến kết luận. Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phù hợp với từng đối tượng học sinh.
PHẦN II. NỘI DUNG
 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
Cách 1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
Cách 2: góc.
Cách
P
3: Dùng hệ quả:
Cách 4: Dùng hệ quả: 
// , 
 [1] 
`
[1] Tham khảo trong chương III sgk hình học 11
Cách 5 : Dùng hệ quả:
Cách 6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
Cách 7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác
Cách 8: ab khi 2 véctơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc.
Chú ý:Định lí hàm số cosin ;
B. Bài tập:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD đều.Chứng minh:AB vuông góc với CD
Hướng dẫn: 
A
C
B
D
Cách 1: Dùng tích vô hướng 
Ta có
Cách 2: Để chứng minh AB vuông góc với CD 
ta chứng minh AB vuông góc với một mặt phẳng chứa CD.
Gọi M là trung điểm của AB, chứng minh cho AB (MCD)
Thật vậy: ABCM; ABDM 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh:
a. AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC
b. SA vuông góc với BC
B
A
C
S
M
Hướng dẫn:
a. Ta có ABC cân tại A AM BC.
Ta có: SAB=SAC(cgc) SB=SCSMBC
b. Từ câu a ta có: AM BC
	SMBC
Suy ra BC(SAM) BCSA.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
a. Chứng minh: AOCD
b. Chứng minh: ABCD
Hướng dẫn: a. Ta có:
b. Gọi M là trung điểm của CD AM CD ,lại có AOCDCD(AMB) CDAB
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và AB= AC = . 
M
S
C
B
A
a. Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC
b. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC
Hướng dẫn:
a. Gọi M là trung điểm của BC 
và có AMBCBC(SAM)	
góc giữa SA và BC là 
b. Ta có:
Ta có thể làm cách sau: Gọi M là trung điểm của AB, chứng minh cho
AB(MCD).
Các bài tập vận dụng: 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD trong đó ABAC, ABBD. Gọi P và Q lần lựơt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh AB PQ
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 600. Chứng minh
a. AB CD
b. Nếu M, N là trung điểm của AB và CD thì MNAB, MNCD
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, có
AB= AC= AD = 
a. CMR AD vuông góc BC
b. Gọi I là trung điểm CD. Tính góc giữa AB và CD
Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB, SAC, SAD đều vuông, SA=. Tính góc giữa SC và AD.
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
 Cách 1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
Cách 2 : Dùng hệ quả: 
Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
// , 
, cắt nhau , , 
Cách 3: Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia.1
1Tham khảo lí thuyết trong sgk hình 11 chương 3 bài 2;3;4
Cách 4: Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
Lưu ý các kiến thức thường gặp: 
- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau2
B. Bài tập:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là trung điểm BC.
a. Chứng minh BC vuông góc AD
b. Kẻ AH là đường cao trong ADI. Chứng minh AH vuông góc với mp(BCD)3
H
I
D
C
B
A
Hướng dẫn:
a.Ta có: BCDI; BCAI nên BCAD
b.Ta có: AHDI và AHBC nên AH(BCD)
Bài 2: Cho hình chóp SABC. SA vuông góc với
 đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B.
a. Chứng minh: BC SB 
b. Từ A kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. 
Chứng minh: AH (SBC), SC ( AHK)
 2Tham khảo lí thuyết trong sgk hình 11 chương 3 bài 2;3;4
 3 Trích bài tập 2 trang 104 sgk hình 11
Hướng dẫn:
K
H
S
C
B
A
a. Ta áp dụng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc 
với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh 
còn lại.
Ta có: BC AB và BCSA nên BCSB
b.Ta có: AH SB và AH BC nên AH(SBC). 
Theo trên ta có AHSC 
và AKSC nên SC(AHK)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi
tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng minh: 
a. SO vuông góc với (ABCD)
b. AC vuông góc SD, BD SA
c. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. Chứng minh: IJ(SBD)
O
S
B
C
D
A
H
J
I
d. Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. Chứng minh: AD(SOH) 4
Hướng dẫn:
a. Vì SOAC và SOBD nên SO(ABCD)
b. Vì ACBD và ACSO nên AC(SBD) suy ra ACSD
c. Ta có: IJ //AC mà AC(SBD) nên IJ//(SBD)
d. Vì ADSH và ADSO nên AD(SOH)
S
D
C
B
A
M
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy. 
Đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Có AD = 2AB = 2BC
a. Chứng minh: BC (SAB)
b. Chứng minh: SC CD
Hướng dẫn:
a. Ta có: BCSA và BCAB ( vì AD song song với BC) 
 nên BC(SAB)
b. Tam giác MAC cân tại M nên góc MCA =tương tự tam giác MCD vuông cân tại M suy ra góc MCD=, do đó CDSA và CDAC nên CDSC.
4Trích bài tập 3 trang 104 sgk hình 11
Bài 5: Hình chóp S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung điểm BC.
H
S
M
C
B
A
a.Chứng minh: BC (SAM) 
b.Vẽ AH SM tại H. Chứng minh: AH SB
Hướng dẫn : 
a. Ta có: BC AM và BCSA nên BC(SAM)
b. Ta có: AHSM và AHBC nên AH(SBC)
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a và SA(ABCD)
a. Gọi I là trung điểm SD.Chứng minh AI (SCD)
b.Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình chiếu của O trên CM.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD.
a. Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông
b. Chứng minh SI(SCD); SJ(SAB)
c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ. Chứng minh: SHAC
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA(ABCD). 
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b. Chứng minh (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB CD, AC BD. Gọi H là trực tâm BCD.
a. Chứng minh: AH (BCD)
b. Chứng minh: AD CD
Dạng 3: Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
Ta sử dụng các định lý:
1. 2. 3.
4. 5. 
B. Bài tập
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,
 SA vuông góc (ABCD). Gọi () là mặt phẳng qua A và 
vuông góc với SC, () cắt SC tại I.
S
I
O
D
C
B
A
J
a. Xác định giao điểm của SO và ()	
b. Chứng minh: BD vuông góc SC. 
 Xét vị trí tương đối của BD và ()
c. Xác định giao tuyến của (SBD) và ()
Hướng dẫn:
a. Ta có J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm 
của SO và ( )
b. Vì BDAC và BDSA nên BD(SAC) suy ra BDSC
c. Vì BD nằm trong (SBD) và BD song song ()
 Giao tuyến của (SBD) và () là đường thẳng qua J và song song với BD.
S
O
D
C
B
A
M
H
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, 
SA vuông góc(ABCD) và SA = AB. Gọi H và M lần lượt
 là trung điểm của SB và SD. 
Chứng minh OM vuông góc với (AHD).
Hướng dẫn:Ta có: OM //SB và SBAH; SBAD
SB (AHD) suy ra OM(AHD)
Bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, Gọi I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC, dựng SH (ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Chứng minh MN (ABC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA (ABC)
a. Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB. Chứng minh: BC (SAB) và AH (SBC)
b. Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. Chứng minh SC (AHK)
c. Kẻ đường cao BM trong tam giác SBC. Chứng minh BM //(AHK)
Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 
A. Phương pháp chứng minh
 Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng là một vuông
+) , , 
Khi đó:
 góc góc 
+) 
Cách 2: Dùng định lí: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
B. Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi. Chứng minh:
 a.SO (ABCD) b. (SAC) (SBD) 
Hướng dẫn:
a. Ta có tam giác SAC cân tại S, mà OA= OC suy ra SOAC (1)
Tam giác SBD cân tại S và OB=OD Suy ra SOBD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO (ABCD)
b. Trong mp(SAC) chứa đường thẳng AC vuông góc với mp(SBD) 
suy ra (SAC) (SBD) 
Bài 2: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. Có SA vuông góc với đáy ABC.
a. Chứng minh: (SAB) (SBC) 
b.Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh: (SAC) (SBM)
B
S
C
A
M
Hướng dẫn:
a. Trong (SBC) có BCAB, BCSA suy ra BC(SAB)
mà BC thuộc mp(SBC) nên (SBC) (SAB)
b. Trong (SBM) có BMAC, BMSA suy ra BM(SAC) 
nên (SBM) (SAC)
H
S
A
B
C
K
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC). Tam giác ABC 
vuông tại B. Chứng minh: (SAC) (ABC). Gọi H là 
hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu 
của A lên SB. Chứng minh (AHK)(SBC)
Hướng dẫn:
a. Trong (SAC) có SA(ABC) suy ra (SAC) (ABC) 
b. Ta có: BCAB; BCSA suy ra BC(SAB) suy ra BCAK
Trong (AHK) có AKBC,AKSB suy ra AK(SBC) suy ra (AHK)(SBC)
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, 
mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a. Chứng minh: (SBC)(SAC) 
b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh (ABI)(SBC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC.
a. Chứng minh (SAD) (SAB) và (SBC) (SAB)
b. Chứng minh: (SDK) (SIC)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh:
a. (SAB) (SBC); (SAD) (SCD) 
b. (AEF) (SBC); (AEF) ((SCD)
Bài 4: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SOmp(ABCD). 
SO = a/2. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh:
a.(SBD)(SAC) b. (SIJ) (SBC)
Dạng 5: Khoảng cách
Ta phân làm hai bài toán sau:
Bài toán 1: Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng, tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng .
Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ta có thể sử dụng các phương pháp:
a. Phương pháp trưc tiếp: Xác định chân đường vuông góc H hạ từ M đến mặt phẳng hoặc chỉ ra một mặt phẳng đi qua M và . Tìm giao tuyến . Kẻ MH thì = MH.[2]
Bài tập:
Bài 1 : Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a, 
cạnh SA (ABC) và SA = a.
a. Chứng minh: (SAB)(SBC)
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC)
c. Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
d. Gọi D là trung điểm của BC. Tính khoảng cách từ A đến SD.
H
I
O
S
C
B
A
D
K
Hướng dẫn:
a. Ta có: BCAB; BCSA suy ra BC(SAB) 
mà BCmp(SBC) nên (SBC) (SAB)
b. Trong tam giác SAB kẻ AHSB ,
AH(SBC)
 d(C;(SAB))=CB=a;
 d(B;(SAC))=BO=a với O là trung điểm của AC.
c. Gọi I là trung điểm của AB	
d. Tam giác SDA vuông tại A, kẻ AKSD thì AK=d(A;SD)= 
[2] Tham khảo qua tài liệu: Các bài giảng luyện thi môn toán: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- ĐàoTam- Lê Thống Nhất
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA (ABCD) và SA = 5. Tính các khoảng cách từ:
a. A đến (SBD) b. A đến (SBC) c. O đến (SBC)
Hướng dẫn:
 a. Kẻ AIBD BDSI, trong (SAI) kẻ AHSIAH(SBD).; d(A;(SBD))=AH
Ta có: 
I
S
C
D
B
A
H
M
O
b. Kẻ AKSB vì BCmp(SAB)BCAK
 AKmp(SBC)
d(A;(SBC))=AK Ta có: 
c. M là trung điểm của ABOM//(SBC) nên d(O;(SBC))=d(M;(SBC))=d(A;(SBC))=
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc mp(ABCD) ,
H
S
D
A
B
C
với SA= . Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD).
 Hướng dẫn:
 Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường 
tròn đường kính AD= 2a nên ta có: AD//BC,
 AB= BC= CD= a
AC CD, AB BD , AC= BD= a 
Ta có CD mp(SAC)
Kẻ AH SC tại H ta có AH CD Nên AH mp(SCD). Vậy AH= 
Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao
Do đó 
Nhận xét: Không phải bài toán nào ta cũng xác định được ngay chân đường vuông góc hạ từ điểm đó đến mặt phẳng như ở trên. Do đó ta có thể làm gián tiếp theo cách sau:
b. Phương pháp gián tiếp:
I
A
M
a
D
Hướng 1: Tìm đường thẳng qua M và cắt mp 
tại I trên chọn điểm A . 
Lúc đó 
dẫn đến 
Nhận xét : Ở hướng này thay vì tính khoảng cách từ A đến mp ta đưa về tính khoảng cách từ một điểm khác A thuộc đường thẳng đi qua A mà khoảng cách đó tính được một cách dễ dàng.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mp(ABCD), SA= . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G đến mp(SAC).
Hướng dẫn: Gọi O là tâm hình vuông ABCD. 
S
C
F
B
A
D
O
G
Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) tại F.
Khi đó 
Mà 
 Nên 
Vậy .
Hướng 2: Sử dụng công thức .5
Bài 5: Trên mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng và By lập với nhau một góc 450. Trên đường vuông góc với (P) tại B lấy BA= a, kẻ Ax // và lấy C thuộc Ax sao cho AC= c. Gọi D là hình chiếu của C lên By. Tính khoảng cách từ B đến mp(ACD).
Hướng dẫn: Kẻ CE// AB, dễ thấy ABEC là hình chữ nhật và CE(P).
Từ đó EDBD (định lí 3 đường vuông góc).
Kẻ DFBE từ đó ta có tam giác DBE vuông cân đỉnh D.
Mà BE= AC= c nên BD= DE= còn DF=
A
B
C
D
F
E
450
y
x’
x
K
a
c
Và F là trung điểm của BE
Vì AB(BDE)ABDF
Do đó . 
Nghĩa là DF là đường cao của hình 
chóp DABC
Từ đó 
Kẻ DKAC, tam giác ADC cân có
 AD= DC= nên K là trung điểm của AC.
Từ đó DK= 
 5Tham khảo qua tài liệu: Các bài giảng luyện thi môn toán: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- ĐàoTam- Lê Thống Nhất
Nhận xét: ở bài này nếu ta sử dụng phương pháp trực tiếp để tính khoảng cách sẽ gặp khó khăn hơn.
Bài toán 2: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Tính khoảng cách giữa a và b.
 Để giải bài toán này có 3 hướng sau:
Hướng 1: Áp dụng cho trường hợp ab.Ta chọn mpchứa a và vuông góc với b tại B. Dựng BAa tại A. Khi đó d(a;b)= AB.
Bài tập:
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh đều bằng a.Gọi M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BMB1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.
Hướng dẫn: Lăng trụ đứng có các cạnh bằng a nên các mặt bên là các hình vuông bằng nhau. Đáy là tam giác đều
Gọi I là trung điểm của ,tam giác đều nên 
 (*)
B
C
C1
A1
B1
M
O
A
I
 (1)
Mà (2)
Từ (1), (2) suy ra
ICMC1 (**)
(*),(**) mp(B1IC)
Gọi O là giao điểm B1C và BC1
M
C1
B
O
H
.
Lại có có MB= MC1= 
 cân đỉnh M. 
có BC1= a
h= OH= .
Hướng 2: Dựng mặt phẳng chứa a và mp// b
Khi đó với B là một điểm bất kì thuộc b 6
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng đáy ABC là tam giác vuông, AB= BC= a,. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B1C.
Hướng dẫn: 
Gọi N là trung điểm của BB1 khi đó MN// B1C
B1C// mp(AMN) nên 
A
C
C1
B1
A1
N
M
B
Mặt khác tứ diện BAMN vuông đỉnh B nên 
 =BH với H là trực tâm 
.
 Vậy 
Hướng 3: Dựng mặt phẳng chứa a và mp// b.
 Dựng mặt phẳng chứa b và mp// a
 Khi đó với A là một điểm bất kì thuộc 
Bài 3: Cho hình lập phương có cạnh a. Lấy M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, AB, B1C1. Tính khoảng cách giữa MN và BP.
Hướng dẫn: Gọi E, F, Q, R, S, T, O lần lượt là trung điểm của CC1, DD1, C1D1, PQ, BD, MN, B1D1. Khi đó mp(MNB1D1) // mp(BDQP)
Ta có A1E (MNB1D1).
 6 Trích tham khảo từ báo THTT trang 7 số 325 tác giả Nguyễn Anh Dũng, Đặng Thanh Hải
Thật vậy hình chiếu của A1E lên mặt phẳng 
là A1C1 .Mà 
nên (định lí 3 đường vuông góc)
B
D1
D
C1
Q
E
O
A1
B1
P
S
C
J
N
M
R
A
T
I
F
Hình chiếu của A1E lên là A1F
 mà
. Từ đó .
Tương tự .
Gọi I, J lần lượt là giao điểm 
của A1E với TO và SR. 
Độ dài IJ là khoảng cách
 giữa MN và BD. 
Áp dụng định lí Talet cho tam giác A1EC1 ta có:
. Vậy .[ 3]
Bài này đối với học sinh lớp 12 ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải
Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC) và SA = h. Gọi I là trung điểm SC.
a.Tính khoảng cách từ I đến (ABCD)
b.Tính khoảng cách từ I đến AB
c. Chứng minh rằng (SBC) (SAB); Tính khoảng cách từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SA= SB =SC =SD = . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
 [3] Tham khảo tài liệu trên mạng internet nguồn giáo án điện tử
c. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. SA(ABCD) và SA = a.
a.Chứng minh (SAE) (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD.
b. Tính khoảng cách từ A đến (SBD)
c. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AD và SB; AB và SC
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AD và CD, . Tính thể tích khối chóp S.BMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau BM và SN theo a.7
PHẦN III. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
 Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
3. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh chứng tính khả thi và hiệu q