SKKN Một số phương pháp giải các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian

MỤC LỤC
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG
CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình môn Toán THPT, chủ đề Hình học không gian chiếm một khối lượng lớn kiến thức và được bố trí ở lớp 11 và lớp 12. Phần lớn học sinh gặp khó khăn khi học phần này. Thực tế giảng dạy tại trường THPT Tống Duy Tân, tôi nhận thấy rằng, nếu có thể chuyển bài toán Hình học không gian sang bài toán tọa độ trong không gian thì nhiều em học sinh lại có thể làm tốt các bài toán này. Nhiều em học sinh cũng chưa có kĩ năng đưa khối đa diện đang xét về khối đa diện quen thuộc, do đó rất lúng túng khi tìm lời giải.
Câu hỏi đặt ra là: Làm sao có thể giúp học sinh yêu thích học phần hình học không gian, giúp các em giải được các bài toán hình học không gian? Câu trả lời đó là: Chuyển được bài toán hình học không gian (mang nặng định tính) về bài toán định lượng. Nghĩa là, thay vì chứng minh các mối quan hệ trong không gian, ta đưa về bài toán tính toán. Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian giúp chúng ta làm được điều này. Một phương pháp nữa có thể giúp các em giải được các bài toán hình học không gian là kĩ năng quy về các hình đa diện quen thuộc, hoặc đưa về bài toán hình học phẳng. Các em có thể sử dụng các kiến thức hình học phẳng để giải bài toán hình học không gian, và như vậy sẽ giảm bớt sự trừu tượng của hình học không gian cho các em.
Từ những lí do đó, tôi lựa chọn đề tài SKKN: “Một số phương pháp giải các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian”. Đề tài SKKN này là một góp ý, trao đổi của tác giả với các đồng nghiệp để nâng cao chất lượng dạy học chủ để hình học không gian.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra những phương pháp giúp các em học sinh lớp 12, các em học sinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia áp dụng vào các bài tập hình học không gian cụ thể. Đồng thời thông qua đó nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các nội dung kiến thức và kĩ năng chủ đề hình học không gian; phương pháp tọa độ trong không gian; véc-tơ và các phép toán véc-tơ trong không gian.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về chủ đề hình học không gian; phương pháp tọa độ trong không gian; véc-tơ và các phép toán véc-tơ.
Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh khi học và giải các bài toán thuộc chủ đề hình học không gian; những khó khăn mà học sinh thường mắc phải trong việc lựa chọn phương pháp giải toán cụ thể.
Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Chủ đề hình học không gian trong chương trình môn Toán THPT
Chủ đề hình học không gian được phân phối ở chương trình môn toán lớp 11 và 12. Cụ thể như sau:
Trong chương trình môn Toán 11: Chủ đề hình học không gian được học ở hai chương (Chương 2: Quan hệ song song trong không gian; Chương 3: Quan hệ vuông góc trong không gian).
Trong chương trình môn Toán 12: Chủ đề hình học không gian được tiếp nối chương trình môn Toán 11 và được học ở hai chương (Chương 1: Khối đa diện và thể tích của chúng; Chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón).
2.1.2. Một số nội dung kiến thức được sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm
a) Phương pháp tọa độ trong không gian
Tọa độ của véc-tơ và của điểm;
Công thức tọa độ của tích vô hướng của hai véc-tơ; 
Tích có hướng của hai véc-tơ;
Phương trình mặt phẳng; phương trình đường thẳng; phương trình mặt cầu;
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
b) Tỉ số thể tích
Cho hình chóp , trên các tia , , lần lượt lấy các điểm , . Khi đó, ta có .
c) Một số công thức trong hình học phẳng: định lí cô-sin trong tam giác; định lí sin trong tam giác; 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy, đa phần học sinh rất ngại học hình, đặc biệt phần hình học không gian. Các em cho rằng, phần hình học không gian rất trừu tượng và nhiều bài toán không tìm ra hướng giải. Mong muốn của các em là có thể chuyển các bài toán hình học nặng về định tính sang bài toán định lượng. Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian có thể giúp các em học sinh giải bài toán hình học không gian một cách dễ dàng hơn. Tất nhiên, không phải bài toán nào cũng có thể tọa độ hóa được, nhưng đây cũng là một hướng tư duy tìm lời giải cho bài toán rất có ích cho học sinh.
Một trong những khó khăn của học sinh trong việc học hình học không gian là chưa biết quy lạ về quen. Công thức thể tích khối tứ diện đều các em đều biết, như khi ta thay đổi kích thước các cạnh , , thì nhiều em lại không tính được thể tích khối này.
Một dạng bài tập nữa gây khó cho học sinh là bài toán tìm đường đi ngắn nhất khi đi quanh khối chóp; khối tròn xoay. Bài toán này sẽ trở nên đơn giản khi học sinh biết kĩ thuật trải hình.
Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian; qui về các khối đa diện quen thuộc và phương pháp trải hình cũng đã có một số tài liệu đề cập đến nhưng chưa thành hệ thống. Thực tế đó đòi hỏi cần hệ thống lại các phương pháp này để giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và vận dụng hiệu quả vào học tập, đó cũng là mục tiêu của SKKN này. 
2.3. Một số phương pháp giải bài toán hình học không gian ở mức độ vận dụng và vận dụng cao
2.3.1. Phương pháp 1: Tọa độ hóa bài toán hình học không gian
Ví dụ 1. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của và là trung điểm của . Biết , ; góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính côsin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ?
A..	B. .	C. .	D. .
Phân tích: Khi giải bài toán này, học sinh gặp khó khăn khi giải phải dựng được góc giữa hai mặt phẳng và dựng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Chúng ta để ý rằng, từ giả thiết ta thấy tam giác cân đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy nên ta có thể tọa độ hóa để giải bài toán này.
Lời giải
Chọn C. 
Từ là trung điểm của và là trung điểm của , suy ra , hay tam giác cân đỉnh .
Đặt . Do suy ra . Đặt .
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Ta có , , ; , .
Từ đó ; .
Nên .
Suy ra có một véc-tơ pháp tuyến là .
Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là .
Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng nên
.
Khi đó , đường thẳng có véc-tơ chỉ phương .
Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , ta có
 .
Do đó .
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng. Tính thể tích của khối lăng trụ ?
A. 	B. 	
C. 	D. 
Lời giải
Chọn D.
Gọi chiều cao của hình lăng trụ là .
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó , , , là trung điểm của .
Vì và nên là véc-tơ pháp tuyến của .
Ta có là véc-tơ pháp tuyến của .
Theo giả thiết góc giữa và mặt phẳng bằng 
Vậy thể tích của khối lăng trụ là 
Ví dụ 3. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Tính khoảng cách từ đến mp.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta có , , , 
, 
Véc tơ pháp tuyến của là 
Phương trình của là 
Suy ra khoảng cách từ đến mp là: .
2.3.2. Phương pháp 2: Quy về các hình đa diện quen thuộc
Ví dụ 4. Cho khối chóp có ; , , . Tính thể tích theo .
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích: Học sinh đã quen thuộc với công thức tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh là . Từ giả thiết ta có thể quy bài toán về tính thể tích của khối tứ diện đều, sau đó sử dụng công thức tỉ số thể tích ta tính được thể tích của khối chóp .
Lời giải
Chọn B.
Trên cạnh ta lấy điểm sao cho , trên cạnh ta lấy điểm sao cho .
Từ và ta suy ra hình chóp là một tứ diện đều cạnh . Do đó .
Mặt khác: 
2.3.3. Phương pháp 3: Phương pháp trải hình
Ví dụ 5. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều cạnh bên bằng , góc bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp . Trong đó điểm cố định và . Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?
A. mét.	B. mét.	
C. mét.	D. mét.
S
S
Lời giải
Chọn C.
Ta sử dụng phương pháp trải đa diện
Cắt hình chóp theo cạnh bên rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau
Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng .
Từ giả thiết về hình chóp đều ta có .
Ta có 
.
Nên .
Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là mét.
Ví dụ 6. Để chào mừng năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào có hai hình trụ. Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng vòng đèn Led cho mỗi cột, biết bán kính hình trụ cổng là cm và chiều cao cổng là m. Tính chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D.
Cắt hình trụ theo đường sinh của nó rồi trải liên tiếp trên mặt phẳng lần ta được hình chữ nhật có và .
Độ dài dây đèn Led ngắn nhất trang trí cột là 
.
Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là: .
Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa đến .
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 2. Cho hình lập phương có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của . Tính khoảng cách từ đến .
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 4. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Một đường thẳng d đi qua đỉnh và tâm I của mặt bên . Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng và sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ).
Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 5. Cho khối chóp có , , , . Tính thể tích .
Bài 6. Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ diện đều cạnh bên mét, . Do có sự cố đường dây điện tại điểm (là trung điểm của ) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ đến gồm bốn đoạn thẳng , , , (hĩnh vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài con đường từ đến ngắn nhất. Tính tỉ số .
A. .	B. .	C. .	D. .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
SKKN đã được tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 12A năm học 20175 – 2018 của trường THPT Tống Duy Tân ở các tiết tự chọn. Sau khi học nội dung này, tác giả nhận thấy các em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức được đề cập. Thông qua các ví dụ được trình bày, các em có thể giải các bài toán tương tự và tìm ra cách giải các bài toán cụ thể cùng chủ đề. 
SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy Tân giảng dạy các tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi và nhận được phản hồi tốt. SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích. 
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Những phương pháp giải bài toán hình học không gian được trình bày trong SKKN này giúp học sinh có những cách tiếp cận với bài toán hình học không gian một cách dễ dàng hơn. Nội dung SKKN là tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, là tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy đối với giáo viên.
3.2. Kiến nghị
Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho học sinh, tôi mong muốn nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt thì cần được phổ biến một cách rộng rãi để tài liệu đến tay những giáo viên và học sinh yêu thích môn toán.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu).
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2008 (Tái bản lần thứ hai).
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu).
Các Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 của các trường THPT, các Sở Giáo dục và Đào tạo trên cả nước.
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đỗ Đường Hiếu
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân 
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Hướng dẫn học sinh giải bài toán hình học giải tích không gian bằng kĩ thuật tham số hóa
Ngành GD cấp tỉnh
C
2014
Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ
Ngành GD cấp tỉnh
C
2016
Xây dựng hệ thống bài tập dạy học chủ đề ứng dụng hình học của tích phân theo định hướng phát triển năng lực
Ngành GD cấp tỉnh
C
2017
----------------------------------------------------