SKKN Một số kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” cho học sinh lớp 8 trường THCS Đông Hải

MỤC LỤC
STT
 Nội dung
Trang
1
1. Mở đầu
2
1.1. Lý do chọn đề tài.
1
3
1.2. Mục đích của đề tài. 
2
4
1.3. Phạm vi đề tài nghiên cứu.	
2
5
1.4. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành.
2
6
 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
7
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3
8
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3
9
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.	
4
10
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục.
19
11
3. Kết luận
3.1 Kết luận
3.2 Đề xuất
20
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Nghị quyết 29-NQ/TW của Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục Đào tạo trong đó có mục tiêu tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của Giáo dục,Đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, năng lực của người học. Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Đồng thời, trong nhiều năm qua Đảng và Nhà nước ta rất quan tâm đến giáo dục nói chung và vấn đề đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) trong trường trung học nói riêng. Vấn đề này được nhiều lần đề cập trong các văn kiện Đại hội Đảng, trong Luật Giáo dục. Đặc biệt văn bản số 242-TB/TW ngày 15/4/2009 thông báo kết luận của Bộ chính trị về tiếp tục thực hiện Nghị quyết Trung ương 2 (khoá VIII) phương hướng phát triển Giáo dục và Đào tạo đến năm 2020 chỉ rõ: “ Tiếp tục đổi mới phương pháp dạy và học, khắc phục cơ bản lối truyền thụ một chiều. Phát huy PPDH tích cực, sáng tạo, hợp tác; giảm thời gian giảng lí thuyết, tăng thời gian tự học, tự tìm hiểu cho học sinh, giáo viên; Gắn bó chặt chẽ giữa học lí thuyết và thực hành, đào tạo gắn liền với nghiên cứu khoa học, sản xuất và đời sống”
 Trong chương trình giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay nhìn chung tất cả các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng. Đặc biệt bộ môn Toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh thần toán học hiện đại. ngay từ khi cắp sách đến trường các em đã làm quen với phương trình dưới dạng đơn giản đó là các bài toán tìm x và cao hơn nữa ở lớp 8, lớp 9 dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Đặc trưng của dạng toán này là đề bài cho dưới dạng lời văn và có sự đan xen của nhiều dạng ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý, hoá học.
 Trong nhiều bài toán lại có các dữ kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng để dẫn đến lập phương trình .
 Mặt khác, loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với thực tế. Chính vì thế mà việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly với thực tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn, hoặc không so sánh, đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn. Hoặc học sinh không khai thác hết các mối liên hệ ràng buộc của thực tế. Mặt khác kĩ năng phân tích, tổng hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập còn yếu. Với những lý do đó mà học sinh rất sợ và ngại làm loại toán này. Ngoài ra, cũng có thể do trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Chính vì thế giải bài toán bằng cách lập phương trình chỉ đạt kết quả tốt khi biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong bài thành những mối quan hệ toán học. Vì vậy nhiệm vụ của người thầy không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải bài tập và giải bài tập dạng này, đó là động lực thôi thúc tôi thực hiện đề tài : Một số kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình ” cho học sinh lớp 8 trường THCS Đông Hải
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu quả đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh tư duy giải bài toán bằng cách lập phương trình. Đồng thời với cách làm này khi học sinh có được khả năng giải toán tốt thì càng góp phần kích thích sự hứng thú và làm tăng lòng say mê môn Toán ở các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 8A, 8C năm học 2016-2017 trường THCS Đông Hải, thành phố Thanh Hóa, tỉnh Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tìm tòi và hệ thống các hướng khai thác giải bài toán bằng cách lập phương trình.
 - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả áp dụng đề tài.
 - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
 Dạng toán “Giải bải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” ở chương trình đại số lớp 8, lớp 9 trong trường THCS là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Do đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được kết hợp giữa toán học, lý học và hoá học. Hầu hết các bài toán có dữ liệu ràng buộc lẫn nhau nên học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên quan giữa các đại lượng để lập được phương trình hoặc hệ phương trình. Trong phân phối chương trình toán ở trường THCS thì ở lớp 8 học sinh mới được học khái niệm về phương trình, nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán từ các lớp dưới với mức độ và yêu cầu đơn giản hơn. Đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế. Vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những đại lượng có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải bài toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác hết mối quan hệ ràng buộc trong thực tế từ những lý do dẫn đến hầu hết học sinh rất ngại giải dạng toán này. Vì thế muốn giải được bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán học và thiết lập phương trình. Mặt khác qua dạng toán này học sinh thấy rõ nhất ứng dụng của bộ môn Toán học trong giái quyết các tình huống thực tiễn đồng thời hình thành và phát triển các năng lực cho học sinh như: năng lực tự học, năng lực sáng tạo, năng lực dụng ngôn ngữ, năng lực tính toán. Đó cũng là một trong những định hướng đổi mới chương trình giáo dục chuyển từ chương trình định hướng nội dung dạy học sang chương trình định hướng năng lực.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.2.1. Đối với học sinh:
 - Ở các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập được phương trình phù hợp với đề bài thì mới có được kết quả của bài toán đã ra. Đây chính là khâu khó nhất đối với học sinh, những khó khăn thường gặp:
 + Không biết tóm tắt bài toán để đưa bài toán từ nội dung thực tế về bài toán mang nội dung toán học. Không xác định được đại lượng nào phải tìm các số liệu đã cho, đại lượng nào đã cho.
 + Không biết cách chọn ẩn, điều kiện của ẩn.
 + Không biết biểu diễn và lập luận mối liên hệ của ẩn theo các dự kiện của bài toán. Không xác định được tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngay được .
 Những lí do trên dẫn đến học sinh không thể lập được phương trình, hệ 
phương trình.
 - Ở bước 2 một số học sinh không giải được phương trình mà lí do cơ bản là học sinh chưa phân dạng được phương trình, hệ phương trình để áp dụng cách giải tương ứng với phương trình, hoặc học sinh không biết cách giải phương trình.
 - Đối với bước 3 học sinh thường gặp khó khăn trong các trường hợp sau:
 + Không chú trọng khâu thử lại nghiệm của phương trình với các dự kiện của bài toán và điều kiện của ẩn.
 + Không biết biện luận: Chọn câu trả lời, các yếu tố có phù hợp với điều kiện thực tế không ?.
2.2.2. Về giáo viên:
 - Thời gian giảng dạy trên lớp hạn hẹp nên không thể dạy học sinh hết các dạng bài toán thường gặp như đã trình bày trong chuyên đề này
 - Bản thân đã có nhiều cố gắng song năng lực chuyên môn có hạn và kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều
2.2.3. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên,
 Trước khi thực hiện đề tài này tôi đã tiến hành cho học sinh 8A; 8C(năm học 2016 - 2017) của trường THCS Đông Hải làm bài kiểm tra khảo sát. Kết quả là số học sinh làm đúng cả bài trọn vẹn không nhiều, một số học sinh còn lúng túng trong trình bày lời giải, một số học sinh còn làm tắt các bước của bài toán, có em không hoàn thành được bước 1 của bài toán,cụ thể kết quả khảo sát lớp 8A ; 8C như sau :
Lớp 8C
Dưới điểm 5
Điểm 5 - 6
Điểm 7 - 8
Điểm 9 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12
36
16
48.5
4
12
1
3.5
Lớp 8A:
Dưới điểm 5
Điểm 5 - 6
Điểm 7 - 8
Điểm 9 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
13
38
16
47
4
11.7
1
3.3
2.3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
2.3.1. LÀM CHO HỌC SINH NẮM VỮNG CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
 Như đã nói ở phần đầu, dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là bài toán có lời văn, với dạng toán này vấn đề đặt ra trước hết là phải lập được phương trình từ những dữ kiện mà bài toán đã cho thông qua tìm lời giải, sau đó mới là cách giải phương trình để tìm nghiệm thoả mãn yêu cầu của đề bài. Do đó yêu cầu học sinh phải nắm vững các bước giải của dạng toán này.
 Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm các bước giải sau:
Bước 1: Lập phương trình:
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
+ Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận
2.3.2. RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
 Ở các bước trên thì bước một là quan trọng nhất vì có lập được phương trình phù hợp với đề bài thì mới có được kết quả của bài toán đã ra. Để có thể giải đúng, nhanh bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình cả giáo viên và học sinh cần chú ý:
 + Đọc kĩ đề bài và tóm tắt bài toán để hiểu rõ: đại lượng phải tìm, các đại lượng và số liệu đã cho, mô tả bằng hình vẽ nếu cần, chuyển đổi đơn vị nếu cần. 
 + Thường chọn trực tiếp đại lượng phải tìm làm ẩn, chú ý điều kiện của ẩn sao cho phù hợp với yêu cầu của bài toán và với thực tế.
 + Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngay được.
 + Khi đã chọn số chưa biết của một đại lượng trong một tình huống là ẩn khi lập phương trình phải tìm mối liên quan giữa các số liệu của một đại lượng khác hoặc trong một tình huống khác. Mối liên hệ này được thể hiện bởi sự so sánh 
( bằng, lớn hơn, bé hơn, gấp mấy lần ...).
 + Khi đã lập phương trình cần vận dụng tốt kỹ năng giải các dạng phương trình đã học để tìm nghiệm của phương trình.
 + Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình với điều kiện của bài toán và với thực tế để trả lời.
 Mặc dù đã có quy tắc chung để giải loại toán này. Song người giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải loại toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát các yêu cầu sau :
 a. Bài toán không được sai sót: 
 Để bài giải của học sinh không sai sót, trước hết người giáo viên phải phân tích cho học sinh hiểu bài toán vì nếu hiểu sai đề bài thì sẽ trả lời sai. Học sinh cần hiểu rõ mục đích của các công việc đang làm, chú ý không được bỏ qua điều kiện của ẩn, đơn vị của ẩn.
 b. Lời giải phải có lập luận:
 Trong quá trình giải các bước phải có lập luận chặt chẽ với nhau. Xác định ẩn khéo léo. Mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm bật lên được ý phải đi tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài mà lập phương trình.Từ đó tìm được các giá trị của ẩn.
 c. Lời giải phải mang tính toàn diện:
 Cần hướng dẫn học sinh hiểu rằng kết quả của bài toán tìm được phải phù hợp với cái chung, với thực tế trong trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn còn đúng.
d. Lời giải phải đơn giản: 
 Lời giải ngoài việc phải đảm bảo ba yêu cầu nói trên cần phải chọn cách làm đơn giản mà đa số học sinh đều hiểu và có thể tự làm lại được.
e. Trình bày lời giải phải ngắn gọn và khoa học:
 Khoa học ở đây là mối quan hệ giữa các bước giải của bài toán phải lôgic, chặt chẽ với nhau, các bước sau tiếp nối các bước trước và được suy ra từ bước trước, nó đã được kiểm nghiệm và chứng minh là đúng hoặc những điều đó đã được biết từ trước .
f. Lời giải phải rõ ràng:
 Nghĩa là các bước giải phải không được chồng chéo lên nhau, hoặc phủ định lẫn nhau. Các bước giải phải thật cụ thể và chính xác.
g. Những lưu ý khác:
 + Cần chú trọng việc đưa bài toán thực tế về bài toán mang nội dung toán học thông qua việc tóm tắt và chuyển đổi đơn vị.
 + Để thuận tiện và tạo điều kiện dễ dàng khi khai thác nội dung bài toán cần:
 - Vẽ hình minh hoạ nếu cần thiết.
 - Lập bảng biểu thị các mối liên hệ qua ẩn để lập phương trình.
2.3.4. HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM TÒI LỜI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
4.1. Dạng toán chuyển động:
a. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Với dạng toán này cần khai thác ở các đại lượng:
+ Vận tốc.
+ Thời gian.
+ Quãng đường đi.
Lưu ý phải thống nhất đơn vị.
- Chọn ẩn và điều kiện ràng buộc cho ẩn.
- Tuỳ theo từng nội dung mà chọn ẩn cho phù hợp, sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác để tìm lời giải như sau:
Các trường hợp
(Hay loại phương tiện)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Quãng đường(km)
Theo dự định
Theo thực tế
Phương trình lập được 
b. Bài toán minh hoạ:
 Bài toán: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km. Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một ô tô đi hết 2 giờ. Biết vận tốc của ca nô kém vận tốc của ô tô là 17km/h.Tính vận tốc của ca nô?
 Hướng dẫn giải: 
Hướng dẫn học sinh biểu thị các đại lượng đã biết và chưa biết vào trong bảng:
Phương tiện
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Quãng đường(km)
Ca nô
x
Ô tô
x+17
2
2.(x+ 17)
Phương trình lập được
+ Lời giải :
Cách 1: Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h) (x > 0)
 Vận tốc của ô tô là: x +17 (km/h)
 Đường sông từ A đến B dài là: (km)	
 Đường bộ từ A đến B dài là: 2.(x+17) (km)
 Theo đề bài thì đường sông ngắn hơn đường bộ là 10 km ta có phương trình: (1)
Giải phương trình (1) : (1) 
x = 18 ( thoả mãn điều kiện ).
Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h.
Cách 2: Gọi quãng đường sông từ A đến B có độ dài là x (km) (x > 0)
Ta có bảng sau:
Phương tiện
s (km)
t(h)
v (km/h)
Ca nô
x
ô tô
x+10
2
(x+10):2
Phương trình lập được
Ta có phương trình: 	(2)
 Giải phương trình (2) ta được x=60 (thoả mãn điều kiện)
Vậy vận tốc của ca nô là: (km/h)
Bài toán 2: Anh Hùng đi xe đạp từ nhà lên tỉnh với vận tốc dự định là 10 (km/h). Trong 1/3 quãng đường đầu tiên anh đi với vận tốc ấy. Sau đó anh đi với vận tốc bằng 150% vận tốc cũ. Do đó anh đã đến sớm hơn dự định là 20 phút. Tính quãng đường từ nhà đến tỉnh.
+ Hướng dẫn cách tìm lời giải.
+ Vẽ sơ đồ:
 x
 A	C 	 B 
 10km/h 150%.10km/h
+ Nếu gọi quãng đường AB là x (km), ta có thể hướng dẫn học theo bảng sau:
Các trường hợp
S (km)
v (km/h)
t (h)
Dự định đi
x
10
Thực tế đi
 quãng đường
x
10
x: 10
 quãng đường
x
10.150%=15
x:15
Phương trình lập được
+ Lời giải: Gọi quãng đường cần tìm là x(km), x > 0
Thời gian dự định đi với vận tốc 10 km/h là: (h)
Thời gian đi 1/3 quãng đường đầu là: (.x):10 = (h)
Thời gian đi 2/3 quãng đường sau là: (.x):15 = (h)
 Đổi 20 phút = 1/3 giờ 
 Do đó theo đề bài ta có phương trình: (3) 
 Giải phương trình (3): 
x= 15 thoả mãn đề bài. Vậy quãng đường cần tìm là 15 km.
 Tóm lại: Với dạng toán chuyển động thì giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được mối quan hệ giữa các đại lượng: quãng đường, vận tốc, thời gian và các đại lượng này liên hệ với nhau bởi công thức: S = v.t 
 Trong quá trình chọn ẩn nếu ẩn là quãng đường, vận tốc, hay thời gian thì điều kiện của ẩn là luôn dương.
 Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì lập phương trình: Thời gian dự định + thời gian đến chậm = Thời gian thực tế.
 Nếu chuyển động trên một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau.
4.2. Dạng toán liên quan tới số học:
a. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Những lưu ý khi giải các bài tâp:
+ Viết chữ số tự nhiên đã cho dưới dạng tổng các lũy thừa của 10:
 .
+ Số chính phương: Nếu a là số chính phương thì a = b2( )
- Hướng dẫn học sinh theo bảng thông thường như sau:
Cách trường hợp
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng đơn vị
Mối liên hệ
Ban đầu
Về sau
Phương trình lập được
b. Bài toán minh hoạ:
Bài toán: Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng các chữ số của nó bằng 16. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số lớn hơn số đã cho là 18. Tìm số đã cho?.
* Hướng dẫn giải:
- Bài toán tìm số có hai chữ số thực chất là bài toán tìm hai số (chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị )
- Biểu diễn số có hai chữ số dưới dạng: ab = 10a + b 
- Biết chữ số hàng chục tính chữ số hàng đơn vị 
- Khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số ba, tìm mối liên hệ giữa số mới và số cũ. 
- Chú ý điều kiện của các chữ số.
Các trường hợp
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng đơn vị
Mối liên hệ
Ban đầu
x
16- x
Về sau
16 - x
x
Phương trình lập được
 x( 16- x) + 18 = (16- x)x
* Cách giải:
Gọi chữ số hàng chục của số phải tìm là x ( 0 < x) 
Chữ số hàng đơn vị là 16 - x 
Số phải tìm có dạng: x(16- x)
Sau khi đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau ta được số mới là: (16- x)x
Theo đề bài số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị, nên ta có phương trình:
 x( 16- x) + 18 = (16- x)x
 Ta có: 
 x( 16- x) + 18 = (16- x)x
 10x + (16-x) + 18 = 10(16- x) + x
 10x + 16 - x + 18 = 160- 10x + x
 18x = 126 x = 7 ( thoả mãn điều kiện)
Vậy chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 16- 7 = 9
Do đó số phải tìm là 79
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chọn ẩn là chữ số hàng đơn vị
* Khai thác: Có thể thay đổi dữ kiện của bài toán thành biết tổng các chữ số của nó bằng tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, khi đó ta cũng có cách giải tương tự
 Bài toán: Tìm một số có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn gấp ba lần chữ số hàng đơn vị, khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số đã cho là 36
Giải: Gọi chữ số hàng đơn vị là x ( .Chữ số hàng chục là 3x
Số phải tìm có dạng (3x)x = 30x + x
Sau khi đổi chỗ hai chữ số được số mới là: x(3x) = 10x + 3x
Ta có phương trình: 10x + 3x + 36 = 30x + x (4)
Giải phương trình (4) ta được x = 2 ( thoả mãn điều kiện) 
Vậy số phải tìm là: 62
4.3. Dạng toán công việc: 
a. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
 - Với dạng toán này giáo viên cần làm cho học sinh hiểu: Coi toàn bộ công việc là một đơn vị và biểu thị bằng 1, nếu thực hiện xong một công việc hết x ngày (giờ, phút...) thì trong một ngày (giờ, phút...) làm được 1/x công việc và tỉ số 1/x chính là năng xuất lao động trong một ngày (giờ, phút...).
- Hướng dẫn học sinh thông qua lập bảng như sau:
Bảng 1
Cách trường hợp
Thời gian làm xong 1 công việc
Năng suất công việc
Mối liên hệ(tổng khối lượng công việc)
Theo dự định
Máy 1(đội1)
Máy2(đội2 )
Theo thực tế
Máy 1(đội1)
Máy2(đội2 )
Phương trình lập được
Bảng 2
Các sự kiện
Đội I(vòi 1)
Đội II(vòi 2)
Cả hai đội
Số ngày
Phần việc làm trong một ngày
Phương trình lập được
Bài toán 1: Hai công nhân nếu làm chung thì 12 giờ hoàn thành công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi người thứ hai làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó.
 Hướng dẫn giải: Nếu gọi thời gian để một mình người thứ hai làm xong công việc là x giờ (x > 0)
Khi đó: Trong 1 giờ người thứ hai làm được bao nhiêu phần công việc? ( )
Trong 10 giờ người thứ hai làm được ba