SKKN Một số kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi lớp 11, chủ đề: Tìm giới hạn dãy số

 MỤC LỤC
 Nội dung
Trang
I- MỞ ĐẦU
2
1. Lí do chọn đề tài.
2
2. Mục đích nghiên cứu.
2
3. Đối tượng nghiên cứu.
2
4. Phương pháp nghiên cứu. 
2
II- NỘI DUNG
3
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 
4
 2.1. Thuận lợi.
 4
 2.2. Khó khăn.
 4
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
5
 3.1. Giải pháp 1: Tính giới hạn dãy số bằng cách tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đó.
5
 3.2. Giải pháp 2: Tính giới hạn dãy số bằng công thức cơ bản.
9
 3.3. Giải pháp 3: Tính giới hạn dãy số bằng nguyên lý kẹp.
13
 Bài tập tham khảo.
15
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
17
III- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
17
Tài liệu tham khảo
18
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
 Dãy số và giới hạn của dãy số là phần mở đầu của bộ môn giải tích, do vậy nó đóng vai trò quan trọng đối với môn học và đối với người học. Bài toán tính giới hạn của dãy số thường xuyên xuất hiện trong các kì thi olimpic Toán, các kì thi học sinh giỏi quốc gia và thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Song khái niệm dãy số học sinh mới được làm quen trong chương trình toán lớp 11 phần mở đầu của giải tích toán học. Các dạng toán liên quan đến nội dung này thường là khó đối với học sinh THPT không chuyên, các em học sinh không định hướng hoặc chưa nắm được cách thức để giải các bài toán về tính giới hạn của một dãy số, đặc biệt là các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi. 
 Qua thực tế giảng dạy chương trình môn toán lớp 11 những năm qua, cũng như việc ôn luyện trực tiếp cho đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 11, tôi nhận thấy rằng phần lớn các em học sinh chỉ làm được các bài toán đơn giản về giới hạn của dãy số, còn đối với các bài toán dãy số nằm trong đề thi học sinh giỏi các cấp thì các em học sinh hầu như không làm được hoặc làm chưa hoàn chỉnh câu này. 
 Xuất phát từ các lý do trên tôi chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi lớp 11, chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’. Qua nội dung các bài toán trong đề tài này nhằm giúp các em học sinh giỏi lớp 11 không chuyên có thêm kiến thức, kĩ năng giải một số bài toán về tính giới hạn của dãy số nhằm đáp ứng cho việc học và ôn thi học sinh giỏi môn toán lớp 11. 
2. Nhiệm vụ của đề tài.
 + Nắm được định nghĩa dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn, định lý tồn tại giới hạn của một dãy số, nguyên lý kẹp để tìm giới hạn của dãy số. 
 + Nắm được cấp số cộng, cấp số nhân và các tính chất của nó để tìm công thức số hạng tổng quát phục vụ cho việc tính giới hạn của dãy số. 
 + Nắm vững một số công thức cơ bản và biết tính tổng hoặc tích của các dãy số hữu hạn có quy luật. 
3. Đối tượng nghiên cứu.
 Các em học sinh giỏi môn toán lớp 11 trường THPT Yên Định 2. 
4. Phạm vi nghiên cứu.
 Chỉ xét các bài toán tính giới hạn của một số dãy số có quy luật hoặc dãy số cho bởi hệ thức truy hồi tuyến tính mà học sinh được học trong chương trình môn toán lớp 11 hoặc các dãy số có thể dùng định lý kẹp để giải.
5. Phương pháp nghiên cứu.
 + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài. 
 + Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng để nắm bắt được những mặt hạn chế, những sai lầm thường gặp của học sinh giỏi lớp 11 
THPT trong quá trình học chuyên đề tính giới hạn của dãy số. 
 + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và đối chứng tại một số lớp học cụ thể để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp. Kết quả thực nghiệm sư phạm được xử lý bằng phương pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục. 
II. NỘI DUNG
 1. Cơ sở lý luận.
 1.1. Định nghĩa dãy số:
 Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn ( hay gọi tắt là dãy số )
 Người ta thường kí hiệu dãy số u = u(n) bởi 
 1.2. Dãy số tăng, dãy số giảm.
 + Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu 
 + Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu 
 1.3. Dãy số bị chặn.  
 + Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho
 + Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho
 + Dãy số được gọi là bị chặn nếu tồn tại m và M sao cho  
 1.4. Cấp số cộng.
 1.4.1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là
 là cấp số cộng 
 Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 
 1.4.2. Số hạng tổng quát: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức sau:
 1.4. 3. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: Giả sử là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Khi đó, ta có: 
 1.5. Cấp số nhân.
 1.5.1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:
	là cấp số nhân . 
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. 
 1.5.2. Số hạng tổng quát: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức sau:
 1.5.3. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: Giả sử là một cấp số nhân với công bội thì là tổng n số hạng đầu tiên của nó được tính theo công thức: 
 1.6. Phương trình sai phân tuyến tính đơn giản. 
 1.6.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một: Phương trình sai phân tuyến tính cấp một có dạng 	
 1.6.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng 
 1.7. Nguyên lý kẹp.
 Cho ba dãy số ; và thỏa mãn 
 Nếu thì . 
 1.8. Định lý về sự tồn tại giới hạn của dãy số.
 Định lý: Một dãy số tăng ( giảm ) và bị chặn trên ( dưới ) thì có giới hạn.
 1.9. Phương pháp quy nạp toán học. 
 Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì ( gọi là giả thiết quy nạp ), chứng minh nó đúng với n = k + 1.
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. 
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 2.1. Thuận lợi: Trong những năm gần đây công tác bồi dưỡng cho học sinh giỏi khối 11 rất được nhà trường và BGH quan tâm. Chất lượng học sinh cũng được nâng cao, đa số các em đều có ý thức trong học tập, các thầy cô trong tổ toán hăng say nhiệt tình trong vấn đề ôn luyện cho đội tuyển học sinh giỏi. 
 2.2. Khó khăn: Tuy chất đội tuyển đã được nâng cao, tuy vậy giữa các em học sinh còn có khoảng cách nhất định, kiến thức về phần giới hạn của dãy số trình bày trong sách giáo khoa chỉ là kiến thức cơ bản, tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên về chuyên đề giới hạn dãy số không nhiều. Tuy nhiên các bài toán về tính giới hạn của dãy số trong kì thi học sinh giỏi các cấp lại rất khó và đa dạng, cần vận dụng nhiều kiến thức, nhiều kĩ năng mới giải quyết được các bài toán đó. 
 Được tổ Toán trường THPT Yên Định 2 trực tiếp phân công dạy chuyên đề giới hạn của dãy số cho đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11, tôi nhận thấy rằng các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài toán về tính giới hạn của dãy số. Vì vậy thông qua đề tài này tôi mong rằng sẽ phần nào giúp các em học sinh giải thành thạo các bài toán tính giới hạn của dãy số, đặc biệt là các bài toán về giới hạn dãy số trong đề thi học sinh giỏi các cấp. 
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 3.1. Giải pháp 1: Tính giới hạn của một dãy số bằng cách tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đó. 
 Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng, cấp số nhân, hoặc sử dụng cách giải một số phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2 để tìm ra công thức số hạng tổng quát, từ đó suy ra giới hạn dãy số cần tính. 
+ Dùng cấp số cộng và cấp số nhân:
Bài 1: Cho dãy được xác định như sau: 
 Tìm 
Giải : Từ điều kiện đề bài suy ra 
Do đó dãy là cấp số cộng với công sai 
Vậy 
Bài 2: Cho dãy được xác định như sau: 
Hãy tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn 
Giải : Mấu chốt của bài toán ở đây chính là tìm số hạng tổng quát 
Ta có (2) với mọi 
Đặt . Khi đó từ (2) ta có với mọi . 
Như vậy lập thành cấp số nhân với q=2 và . 
Ta có: 
 =. 
Hay . Vậy 
Bài 3: Cho dãy số được xác định như sau: Hãy tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn 
Giải:
 Từ giả thiết ta có: (3) với mọi 
Đặt . Khi đó từ (3) ta có với mọi . 
 lập thành cấp số cộng với công sai d=1 và . 
Ta có: 
 Hay . vậy 
Bài 4: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2016 ) Cho dãy số được xác định bởi: 
Tìm công thức số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số 
Giải:
Từ giả thiết ta có: 
 với mọi 
 (4)
Đặt . Khi đó từ (4) ta có với mọi . 
 lập thành cấp số nhân với và . 
Ta có: . Vậy 
Bài 5: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2017 ) Cho dãy số được xác định bởi: 
Tìm công thức số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số 
Giải: Ta có
Đặt 
Vậy 
Bài 6: Cho dãy số xác định bởi:
 và với mọi . 
 Hãy tính giới hạn của dãy số 	
Giải: 
Ta có
 Đặt , ta được 
 và 
 lập thành cấp số nhân với và công bội q=2 
. Vậy 
+ Dùng cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2 
Bài 7: Cho dãy số được xác định bởi:
 Hãy tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn 
Giải:
 Phương trình đặc trưng có nghiệm . Ta có 
 trong đó , . Thay vào phương trình ( 7 ) ta được:
Với n=1 ta được 3a+b=2
Với n=2 ta được 5a+b=4
Ta có . Vì nên 
Suy ra hay . Vậy 
Bài 8: Cho dãy số được xác định bởi:
	 (8)
Hãy tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn 
Giải:
 Phương trình đặc trưng có nghiệm . 
Ta có trong đó , . 
Thay vào phương trình (8) ta được:
. Do đó . 
Vì nên . 
Hay . Vậy 
Bài 9: Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn 
Giải:
 Phương trình đặc trưng có nghiệm hoặc . 
Khi đó . 
Từ ta có hệ phương trình:
Vậy . Do đó 
Bài 10: Cho dãy số xác định bởi: 
Hãy tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn 
Giải:
 Phương trình đặc trưng có nghiệm kép . 
Khi đó với và 
Thay vào (10) ta được:
Từ ta có hệ phương trình 
Suy ra . Vậy 
 3.2. Giải pháp 2: Tính giới hạn của dãy số bằng các công thức cơ bản.
 Ta chú ý một số công thức cơ bản sau đây:
 1) 2) 
 3) 4) 
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán vận dụng các công thức nêu trên
Bài 1: Tính 
 Ta có 
Bài 2: Tính 
Giải:
 Ta có 
Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số biết: 
Ta có 
 = 
 = . Vậy 
Bài 4: Tính 
Giải:
 Ta có:
Nhận xét : Để tính tổng hữu hạn ta thường biểu diễn nó dưới dạng
Bài 5: Tính 
Giải:
Ta có . 
 . 
 . 
 ;;. 
Do đó:là một đa thức bậc có hệ số bậc là . 
Và là một đa thức bậc có hệ số bậc là . 
Do đó:. 
Bài 6: Cho dãy số được xác định như sau:
Đặt , hãy tính . 
Giải:
Dễ thấy: 
Theo bài ra ta có : 
. 
Suy ra . 
Do đó . 
Mặt khác, từ ta suy ra . 
Bằng quy nạp ta chứng minh được : 
Từ đó ta có 
Bài 7: Cho dãy số thỏa mãn: 
 Hãy tìm 
Giải:
Dễ thấy . Từ giả thiết ta có . 
. Đặt ta được 
Do đó . 
 Vậy . 
Bài 8: ( HSG Tỉnh Nghệ An, năm 2010 ) Cho dãy số thỏa mãn 
 Tìm với 
Giải:
Ta có 
Với n: (1). 
 (2). 
Từ (1) và (2) ta có . 
Suy ra . 
 suy ra =
Nhận xét : Để tính tích hữu hạn ta thường biểu diễn nó dưới dạng
Bài 9: ( HSG Tỉnh Lạng Sơn năm 2012 ) Cho dãy số xác định bởi: 
Hãy tìm 
Giải:
 Vì nên là dãy số tăng
Giả sử dãy số có giới hạn là a thì ( vô lý )
Do đó 
Ta có:
 3.3. Giải pháp 3: Tính giới hạn của dãy số bằng nguyên lý kẹp.
Phương pháp giải:
 Định lý: Cho ba dãy số ; và thỏa mãn 
 Nếu thì . 
Bài 1: Cho dãy số xác định bởi: 
Chứng minh rằng:
 b) 
Từ đó suy ra 
Giải:
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Chứng minh bằng quy nạp ta có: 
 Từ đó suy ra 
Bài 2: Cho dãy số xác định bởi:
Chứng minh rằng:
 . Từ đó suy ra 
Giải:
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Ta có:
 Đặt , ta có 
Bằng quy nạp ta chứng minh được: 
Suy ra . Vậy 
Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số với 
Giải:
Ta có 
Nên . Vì nên .
Bài 4: Cho dãy số thỏa mãn . 
Chứng minh dãy không bị chặn trên. 
Xét dãy xác định bởi 
Tìm 
Giải:
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng . 
Thật vậy:
 Với n = 1, ta có nên khẳng định đúng. 
Giả sử khẳng định đúng với n = k . 
 Ta có . 
Vậy . Do đó dãy số đã cho không bị chặn trên.
Ta có 
Bằng cách cộng các đẳng thức trên ( với k = 1, 2, , n ) ta được:
Vì . Vậy 
Bài 5: Cho dãy số được xác định bởi 
 Tìm 
Giải:
Vì . Do đó là dãy tăng, suy ra 
Mặt khác, ta có . 
Do đó . 
Thay vào (*) ta được . 
Vì: nên:
Bài 6: Cho dãy số thỏa mãn . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn bằng 0 khi . 
Giải:
Từ giả thiết ta có , do đó dãy số là dãy tăng. 
Vì vậy . 
,
. Mà nên:
. 	
Bài tập tham khảo
Bài 1. ( HSG Tỉnh Nghệ An, năm 2019 ) Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn 
Bài 2. ( HSG Tỉnh Hà Tĩnh, năm 2019 ) Cho dãy số thỏa mãn
Đặt Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. 
Bài 3. ( HSG Tỉnh Bắc Ninh năm 2019 ) Cho dãy số được xác định bởi:
Tính giới hạn 
Bài 4. ( HSG Tỉnh Vĩnh Phúc, năm 2019 ) Cho dãy số thỏa mãn
Đặt Tính 
Bài 5. ( HSG Tỉnh Hà Nam, năm 2019 ) Cho dãy số thỏa mãn
Tìm công thức tổng quát của dãy số . Tính 
Bài 6. ( Đề thi olimpic 30 – 4 năm 2000 ) Cho dãy số thỏa mãn
Tính 
Bài 7. ( Đề thi olimpic 30 – 4 năm 2006 ) Cho dãy số thỏa mãn
Đặt Tính 
Bài 8. Cho dãy số thỏa mãn
Tìm 	
Bài 9. ( HSG Tỉnh Thanh Hóa năm 2018 ) Cho dãy số thỏa mãn
Tính giới hạn 
Bài 10. ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2018 ) Cho dãy số được xác định bởi:
Tính giới hạn 
4. Hiệu quả của SKKN
 + Trước khi áp dụng sáng kiến, tôi thấy rằng phần lớn các em học sinh giỏi môn toán lớp 11 đều ngại học hoặc gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán thuộc chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’. Tuy nhiên sau khi áp dụng các giải pháp nêu trên, hầu hết các em trong đội tuyển học sinh môn toán lớp 11 đã hăng say và làm rất thành thạo các bài toán tìm giới hạn dãy số. 
+ Giúp bản thân dạy học có hiệu quả, có nhiều động lực để tiếp tục cố gắng tìm tòi sáng tạo trong quá trình thực hiện nhiệm vụ chuyên môn. 
+ Chia sẻ kinh nghiệm của bản thân với đồng nghiệp cũng như học hỏi từ đồng nghiệp để tìm ra cách dạy học phù hợp đối với học sinh giỏi môn toán 11. 
+ Giúp các em học sinh có hứng thú, có động lực và có niềm tin để học tập chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’. 
+ Giúp học sinh tiến bộ nhanh trong việc làm các bài tập tìm giới hạn dãy số từ đó đạt kết quả cao hơn trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. 
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 + Đề tài này đã nêu được một số phương pháp tìm giới hạn dãy số có dạng đặc biệt hoặc dãy số cho bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai. Từ các phương pháp đó đã giúp các em trong đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 11 giải quyết thành thạo các bài toán tìm giới hạn của dãy số trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. 
+ Phương pháp sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm công thức số hạng tổng quát dãy số thực sự dễ hiểu đối với học sinh, còn phương pháp sử dụng phương trình sai phân tuyến tính còn xa lạ đối với học sinh, cần có nhiều thời gian để các em học sinh có thể tiếp thu được nội dung này. 
+ Với thời gian nghiên cứu và khả năng có hạn, tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích phần nào cho các thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 trường THPT trong việc học và ôn thi học sinh giỏi. 
+ Kết quả thực nghiệm của đề tài là cơ sở đề khẳng định đề tài là thiết thực, mang lại hiệu quả cho cả người dạy và người học, có thể là tư liệu hữu ích cho các bạn đồng nghiệp tham khảo, vận dụng. Khả năng ứng dụng của đề tài vào thực tiễn dạy học của nhà trường là khả thi và đề tài còn có thể phát triển mở rộng, phạm vi nghiên cứu hơn nữa để phù hợp hơn với nhiều đối tượng học sinh. 
Tài liệu tham khảo
Nguyễn Huy Đoan: Đại số & giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục
Nguyễn Huy Đoan: Bài tập Đại số & giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục. 
Nguyễn Qúy Dy: Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán –Tập 3, Nhà xuất bản Giáo dục.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30 – 4 Môn Toán lần thứ VI - 2000, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30 – 4 Môn Toán lần thứ VIII - 2002, Nhà xuất bản Giáo dục.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30 – 4 Môn Toán lần thứ XII - 2006, Nhà xuất bản Giáo dục.
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
Thanh hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. 
Trịnh Hữu Thực