SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh yếu, trung bình tiếp cận và chinh phục toán tổ hợp nhằm bồi dưỡng hứng thú, phát huy tính chủ động tích cực của các em trong học tập

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3
*****************
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT VÀI KINH NGHIỆM 
HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU - TRUNG BÌNH 
TIẾP CẬN VÀ CHINH PHỤC TOÁN TỔ HỢP 
NHẰM BỒI DƯỠNG HỨNG THÚ, PHÁT HUY TÍNH CHỦ ĐỘNG TÍCH CỰC CỦA CÁC EM TRONG HỌC TẬP
Người thực hiện: Hoàng Thị Trang Nhung
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
I – MỞ ĐẦU
MỤC LỤC
MỤC LỤC
Trang
I – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.1
1.2. Mục đích nghiên cứu..2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.2
1.4. Phương pháp nghiên cứu2
II – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ...........2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề...3
2.3.1. Dạy học quy tắc cộng, quy tắc nhân bằng sơ đồ... 3
	a) Quy tắc cộng......3
	b) Quy tắc nhân......4
	c) BT áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân cho bài toán đếm5
	d) Bài tập kết hợp hai quy tắc đếm8
2.3.2.Sử dụng sơ đồ quy tắc đếm để dạy Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp.9
	a) Hoán vị.. 9
	b) Chỉnh hợp......9
	c) Tổ hợp......10
2.3.3. Các bài tập giúp HS phân biệt Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp.12
2.3.4. Cách khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh...16
2.3.5. Bài tập trắc nghiệm củng cố.17
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.........19
III – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận.20
3.2 Kiến nghị...20
Tài liệu tham khảo
I – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
	Lý thuyết về Đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triển của Toán học, là nền tảng của lý thuyết xác suất, là công cụ giải quyết nhiều bài toán trong thực tế. Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh. Những kiến thức này cũng giúp ích rất nhiều cho học sinh khi các em tiếp tục học lên đại học ở các ngành toán học, kế toán, tài chính, xây dựngVì vậy, dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trường phổ thông có một ý nghĩa rất lớn.
	Thực tế cho thấy những kiến thức toán học về Tổ hợp được đưa vào trường phổ thông mới là những kiến thức cơ bản, nhưng nếu so sánh với những loại kiến thức khác như lượng giác, đạo hàm, tích phân thì học Toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh. Học sinh thường phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn trong việc dùng công thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp
	Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó” [5]. Trong quá trình học chủ đề Đại số Tổ hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa. Không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa. 
	Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu quả đòi hỏi người giáo viên phải đề ra được những biện pháp hợp lý về cách chọn nội dung và phương pháp: Dạy cái gì? Dạy như thế nào để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả? Làm thế nào để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập?
	Công tác tại một trường miền núi, trong quá trình giảng dạy, nhiều năm tôi dạy chương trình lớp 11 ở những đơn vị lớp đa phần là học sinh yếu, trung bình và nhận thấy các em gặp khó khăn trong việc giải bài tập chương tổ hợp, xác suất. Dẫn đến chán nản trong học tập, tiếp thu thụ động, chưa tích cực, kết quả học tập thấp.
	Nhận thức được những điều trên, tôi viết đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh yếu, trung bình tiếp cận và chinh phục toán tổ hợp nhằm bồi dưỡng hứng thú, phát huy tính chủ động tích cực của các em trong học tập” với mong muốn đưa ra phương pháp tiếp cận giúp các em hiểu đúng bản chất và có hứng thú học với chương Tổ hợp xác suất, từ đó giúp các em tích cực hơn trong học tập, thấy được ý nghĩa thực tế của toán học trong cuộc sống, yêu thích môn học hơn, chủ động và học tập đạt kết quả cao hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 	Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối 11 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong giảng dạy. Tôi đã hệ thống lại kiến thức cơ bản, kĩ năng giải toán Tổ hợp thông qua sơ đồ “Quy tắc đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp”. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ giúp cho học sinh yếu, trung bình, trung bình - khá hiểu đúng bản chất các khái niệm cơ bản về quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Thành thạo phương pháp sơ đồ trong vận dụng suy luận làm bài tập. Từ đó khơi dậy hứng thú học tập, giúp các em yêu thích môn học hơn, có động lực hơn để học tập đạt kết quả tốt nhất. Và quan trọng hơn hết là nhằm rèn luyện cho các em kĩ năng và giáo dục cho các em tự tin, chủ động, sẵn sàng ứng dụng toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc – như trong Nghị quyết TW4 (khoá VII) đã nhấn mạnh mục tiêu giáo dục: “Đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động và sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra, tự lo được việc làm, lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” [8]
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	- Học sinh yếu, trung bình, trung bình - khá các lớp 11.
	- Nội dung phần tổ hợp của chương II - Đại số & giải tích 11 [1]
	+ Quy tắc đếm	+ Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
	+ Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa và các tài liệu tham khảo có liên quan.
	+ Điều tra, quan sát. Thực nghiệm sư phạm.
	+ Tổng kết rút kinh nghiệm.
	+ Xây dựng hệ thống bài tập có phân biệt các mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	2.1.1. Nhiệm vụ trọng tâm ở trường THPT là hoạt động dạy của Thầy và hoạt động học của Trò
	Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững những kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức bộ môn Toán học là việc làm rất cần thiết. Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy lôgic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần giúp cho học sinh cách học và biết sử dụng các kiến thức đã học vào từng bài toán cụ thể. Mục đích là làm cho học sinh khi đứng trước một bài toán biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển bài toán mới về bài toán đơn giản hơn hoặc một bài toán quen thuộc đã biết cách giải
	2.1.2. Dạy học Toán ở trường THPT hiện nay là làm cho học sinh học tập một cách tích cực, biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển được tư duy linh hoạt
	Điều 24.2 Luật giáo dục (1998) viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh” [ 5]
	Trên quan điểm chung về phương pháp dạy học như vậy, người giáo viên phải đề ra được phương pháp hợp lý, phù hợp với từng đối tượng học sinh Dạy làm sao để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, không bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập.
	2.1.3. Tổ hợp là nền tảng của lý thuyết xác suất
	Ban đầu tiếp cận với tập hợp thì học sinh thường liệt kê các phần tử của tập hợp. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng liệt kê được. Quy tắc đếm ra đời nhằm giúp học sinh có thể xác định được số lượng các phần tử trong tập hợp nhanh chóng và chính xác, làm cơ sở nền cho “lí thuyết xác suất” phát triển và một số ngành khoa học khác cần dùng.
2.2- Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	- Nội dung chương tổ hợp xác suất được xem là trừu tượng, khó nắm bắt, khó phân biệt các khái niệm.
	- Học riêng lẻ các khái niệm thì học sinh có thể nắm bắt được nhưng khi kết hợp thì học sinh lại lúng túng khi phải phân biệt, kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân giữa hoán vị - chỉnh hợp, giữa chỉnh hợp - tổ hợp.
	- Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không nắm được khái niệm mới.
	- Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến việc tất yếu là học sinh giải toán sai. Điều đó đòi hỏi người giáo viên phải dạy để học sinh phân biệt rõ bản chất các khái niệm và kĩ năng tư duy, phân tích bài toán.
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
	Trong khuôn khổ đề tài tôi xin nêu một số vấn đề:
	- Sử dụng sơ đồ quy tắc dạy học sinh quy tắc cộng, nhân.
	- Trình bày khái niệm và cách phân biệt hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp.
	- Các bài tập cơ bản giúp học sinh nhận biết, thông hiểu và vận dụng kiến thức làm bài tập.
	- Một số sai lầm học sinh thường mắc phải và hướng khắc phục
2.3.1. Dạy học quy tắc cộng và quy tắc nhân bằng sơ đồ
Mục đích: Nhằm giúp học sinh dễ dàng hơn trong phân biệt được thế nào là công việc được thực hiện bởi nhiều phương án và công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn.
a) Quy tắc cộng.
	Định nghĩa: Một công việc được thực hiện theo hai phương án A1; A2.
Phương án A1 có thể làm bằng n1 cách. Phương án A2 có thể làm bằng n2 cách (không trùng cách thực hiện phương án 1).
	Þ Khi đó, công việc đó có thể được thực hiện bởi n1 + n2 cách. [1]
Sơ đồ:
Công việc
Phương án A1
Phương án A2
Có n1 cách
Có n2 cách
Có ( n1 + n2 ) cách thực hiện công việc
Ví dụ : Đi từ Hà Nội vào Thanh Hóa có thể đi bằng ô tô hoặc tàu hỏa. Mỗi ngày có 15 chuyến ô tô; 4 chuyến tàu hỏa. Vậy có bao nhiêu cách chọn đi từ Hà Nội – Thanh Hóa.
HD Giải: Phân tích theo sơ đồ
HN®TH
Đi ô tô
Đi tàu hỏa
Có 15 lựa chọn
Có 4 lựa chọn
 Phương án 1 
 Phương án 2
Có 19 cách chọn
đi Hà Nội – Thanh Hóa
Sơ đồ Quy tắc cộng (dạng tổng quát)
Công việc
Phương án A1
Phương án A2
Có n1 cách
Có n2 cách
Phương án Am
... 
Có nm cách
(n1+n2+...+nm) cách thực hiện công việc
b) Quy tắc nhân.
	Định nghĩa: Một công việc được thực hiện gồm 2 công đoạn.
Công đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện. Công đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện Þ có n1n2 cách hoàn thành công việc. [1]
	Sơ đồ: Công việc
Công đoạn 1
Công đoạn 2
2
 n1 cách
 n2 cách 
 n1n2 cách
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau lập từ các số 1;2;3;..;9?
HD giải: Gọi số cần tìm có dạng . Ta có sơ đồ sau:
ab
Chọn a
Chọn b
Có 9 cách chọn
Có 8 cách chọn
9.8 = 72 số
Sơ đồ Quy tắc nhân (dạng tổng quát)
Công việc
Công đoạn 1
Công đoạn 2
2
n1 cách
n2 cách
n1n2 nm cách
Công đoạn m
2
nm cách
Chú ý: - Một công việc có nhiều phương án thực hiện nghĩa là ta có thể thực hiện theo phương án này thì không cần thực hiện theo phương án kia.
 Þ Sử dụng quy tắc cộng.
- Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn tức là muốn hoàn thành công việc phải thực hiện từng công đoạn, không được bỏ qua bước nào mới xong công việc.Þ Sử dụng quy tắc nhân.
	- Trong nhiều trường hợp cần kết hợp cả 2 quy tắc để giải bài toán đếm.
c) Bài tập sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân cho bài toán đếm.
Bài tập 1: [2] Từ các chữ số 1;2;3;4;5; 6 có thể tạo nên bao nhiêu số tự nhiên
a) Có 3 chữ số? b) Có 3 chữ số khác nhau? c) Số chẵn có 3 chữ số khác nhau? 
HD giải:
a) Phân tích bằng sơ đồ:
abc
Chọn a
Chọn b
Chọn c
Có 6 cách chọn
Có 6 cách chọn
Có 6 cách chọn
6.6.6 = 216 số
b) Phân tích bằng sơ đồ:
abc
Chọn a
Chọn b
Chọn c
Có 6 cách chọn
Có 5 cách chọn
Có 4 cách chọn
6.5.4 = 120 số
a ≠ b
b ≠ c
c ≠ a
c) Phân tích bằng sơ đồ:
abc
Chọn c
Chọn a
Chọn b
Có 3 cách chọn
Có 5 cách chọn
Có 4 cách chọn
3.5.4 = 60 số
* a ≠ b
 b ≠ c
 c ≠ a
ưu tiên
* Số chẵn
cÎ{2,4,6}
Bài tập 2: Từ các số A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể tạo nên bao nhiêu số tự nhiên.
Có 3 chữ số khác nhau.
Có 3 chữ số chẵn khác nhau.
Có 3 chữ số chẵn khác nhau chia hết cho 5. [2]
HD giải: 
Số cần lập có dạng 
a) Phân tích bằng sơ đồ:
abc
Chọn a
Chọn b
Chọn c
Có 6 cách chọn
Có 6 cách chọn
Có 5 cách chọn
6.6.5 = 180 số
a≠0, aÎA
cÎA\{a,b}
bÎA\{a}
b) Phân tích: Số có 3 chữ số là số chẵn Þ cÎ{2,4,6,0} Þ Ưu tiên chọn c 
	® chọn a 
	® chọn b 
 Phân tích bằng sơ đồ:
Chọn a 
(a≠c, a≠0)
abc
Chọn cÎ{2,4,6}
Chọn b
Có 3 cách chọn
Có 5 cách chọn
Có 5 cách chọn
3.5.5 = 75 số
b≠a
b≠c
c=0
Chọn a
Chọn b
1 cách chọn
6 cách chọn
5 cách chọn
 1.6.5=30 (số)
75+30=105
(số)
c) Phân tích bằng sơ đồ:
 Có 5 cách chọn
30+25
=55 (số)
b≠a
b≠c
Phương án 2
Phương
án 1
25 số
b có 5 cách chọn
a có 5 cách chọn
c có 1 cách chọn
b
a≠0
a≠5
c = 5
b≠0
b≠a
6.5 = 30 số
Có 6 cách chọn
Có 1 cách chọn
b
a ≠0
c = 0
abc
Bài tập 3: Lớp 11A3 có 32 học sinh gồm 18 học sinh nam, 14 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được:
a) 1 bạn học sinh trong lớp đó?	b) 1 đội song ca nam nữ của lớp đó? [3]
HD giải: 
a) Phân tích bằng sơ đồ:
Chọn 1 HS 
HS nam 
HS nữ 
18 cách chọn 
14 cách chọn 
32 cách chọn
b) Phân tích bằng sơ đồ:
Chọn 1 đội song ca
Chọn 1 HS nam
Chọn 1 HS nữ
2
 Có 18 cách 
 Có 14 cách 
 18´14 = 252 (cách 
Bài tập 4: 	Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
HD giải: 
A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Số cần lập: có dạng Phân tích bằng sơ đồ:
e=a
abcde
Chọn a
Chọn b
Chọn c
Có 9 
cách chọn
9.10.10.1.1 = 900 số
a≠0
bÎA
Chọn d
Chọn e
Có 10 
cách chọn
cÎA
Có 10 
cách chọn
d=b
Có 1 
cách chọn
Có 1 
cách chọn
d) Bài tập kết hợp hai quy tắc
Bài tập 1: Từ A={1;2;3;4;5;6;7} lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?[3] HD giải:
Số tự nhiên nhỏ hơn 100
Số tự nhiên có 1 chữ số
Số tự nhiên có 2 chữ số
Có 7 số
ab
Chọn a
Chọn b
Có 7
cách chọn
Có 7
cách chọn
7.7 = 49 số
aÎA
bÎA
7 + 49
= 56 số
Bài tập 2:Từ A={0;1;2;3;4;5;6;7} lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
Số tự nhiên nhỏ hơn 100
Số tự nhiên có 1 chữ số
Số tự nhiên có 2 chữ số
Có 8 số
ab
Chọn a
Chọn b
Có 7
cách chọn
Có 8
cách chọn
7.8 = 56 số
aÎA\{0}
bÎA
8+56
= 64 số
	● Các bài toán trên đây là các bài toán mở đầu và tương đối đơn giản nên việc sử dụng sơ đồ tưởng chừng có vẻ cồng kềnh. Nhưng đối với đối tượng học sinh yếu kém, trung bình thì việc dạy học theo sơ đồ sẽ giúp các em tiếp cận tốt hơn kiến thức về quy tắc đếm, có cái nhìn tổng quát hơn cho bài toán, dễ dàng phân biệt quy tắc cộng và quy tắc nhân để giải quyết bài toán. Hơn nữa tạo cho các em thói quen tư duy để có thể vận dụng linh hoạt cho các bài toán phức tạp hơn sau này.
2.3.2. Sử dụng sơ đồ quy tắc đếm để dạy Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
a) Hoán vị
* Định nghĩa: Cho tập hợp gồm phần tử ( ). Mỗi cách sắp xếp thứ tự phần tử của tập hợp được gọi là một hoán vị của phần tử.
* Số các hoán vị: Số các hoán vị của n phần tử là: 
	Quy ước: 	[1]
Ví dụ 1: Cho 3 số 1, 2, 3 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ bộ số trên?
HD giải
* Hiểu theo sơ đồ quy tắc nhân
abc
Chọn a
Chọn b
Chọn c
Có 3 cách chọn
Có 2 cách chọn
Có 1 cách chọn
3.2.1 = 3! = 6 số
aÎA
	* Hiểu theo hoán vị 3 phần tử
	Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 số vào 3 vị trí khác nhau cho ta một hoán vị của 3 phần tử Þ Số các số tạo thành là 3! = 6 (số).
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng sao cho nam nữ xếp xen kẽ? [2]
HD giải: Phân tích theo sơ đồ:
4 HS nam
3 HS nữ
Sắp xếp 4 HS nam
Sắp xếp 3 HS nữ
Đổi chỗ nam và nữ
P4=4! cách sắp xếp
4! 3! 2! cách sắp xếp
P3=3! cách sắp xếp
P2=2! cách sắp xếp
b) Chỉnh hợp
 * Định nghĩa: Cho tập hợp gồm phần tử ( ), với một số nguyên với (). Khi đó lấy phần tử của và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập của phần tử của .
* Số các chỉnh hợp: Số chỉnh hợp chập k của n . Kí hiệu 
	[1]
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào 3 vị trí khác nhau?
HD giải 
a1a2a3
a1
a2
a3
Có 5 cách chọn 1 người vào vị trí a1
Có 4 cách chọn 1 người vào vị trí a2
Có 3 cách chọn 1 người vào vị trí a3
* Phân biệt và .
+ Giống nhau : Đều có tính thứ tự.
+ Khác nhau:
	- Hoán vị :có bao nhiêu phần tử thì sắp xếp thứ tự bấy nhiêu phần tử.
- Chỉnh hợp:Sắp xếp thứ tự các phần tử của 1 tập con của tập A.
Þ Khi k = n thì =Pn.(hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp)
Ví dụ 2: Cho A ={0; 1; 2; 3; 4; 5}.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập từ A?
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ A? [2]
HD giải	
a) Phân tích theo sơ đồ:
a1a2a3a4a5a6
Chọn a1
SXTT 5 số vào 5 vị trí 
Có 5 cách chọn
P5 = 5!
5.5! = 600 (số)
a1 ≠0
a2,a3,a4,a5
b) Phân tích theo sơ đồ:
a1a2a3
Chọn a1
Chọn các số vào 2 vị trí 
a1 có 5 cách chọn
cách chọn
5. = 100 (số)
a1≠0
a2,a3
c) Tổ hợp
* Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm phần tử (), với một số nguyên (). Mỗi tập con của có phần tử gọi là một tổ hợp chập của phần tử của .
* Số các tổ hợp: Số tổ hợp chập của kí hiệu là Công thức: 	[1]
Sơ đồ tổng quát:
Tập A có n phần tử
Lấy k phần tử từ n phần tử
SXTT k phần tử đó
=
x
Ví dụ: Một hộp có 10 quả cầu trắng và 6 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong hộp. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách lấy được 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen?.
b) Có bao nhiêu cách lấy được 3 quả cầu trong đó có ít nhất một quả cầu đen?
c) Có bao nhiêu cách lấy được nhiều nhất 2 quả cầu đen? [3]
HD giải
a) Phân tích theo sơ đồ:
Lấy 3 quả cầu
Lấy 2 quả cầu trắng từ 10 quả cầu trắng
Lấy 1 quả cầu đen từ 6 quả cầu đen
cách lấy
cách lấy
(cách lấy)
b) Cách 1: Phân tích theo sơ đồ:
Lấy 3 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả cầu đen
1 quả cầu đen
2 quả cầu đen
3 quả cầu đen
2 quả 
cầu trắng
1 quả 
cầu trắng
(cách lấy)
(cách lấy)
cách lấy
+ + 
= 440 (cách lấy)
Cách 2: làm gián tiếp: * Lấy 3 quả cầu từ 16 quả cầu Þ (cách lấy)
	 * Lấy 0 quả cầu đen, 3 quả cầu trắng Þ (cách lấy)
Þ Lấy 3 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả cầu đen là: -= 440 (cách lấy)
c) Cách 1: Phân tích theo sơ đồ:
Lấy 3 quả cầu trong đó có ít nhất 2 quả cầu đen
2 quả cầu đen
1 quả cầu đen
3 quả cầu trắng
1 quả 
cầu trắng
2 quả 
cầu trắng
(cách lấy)
(cách lấy)
cách lấy
+ + 
= 540 cách lấy
Cách 2:* Lấy 3 quả cầu từ 16 quả cầu Þ (cách lấy)
	 * Lấy 3 quả cầu đen Þ (cách lấy) Þ Lấy 3 quả cầu trong đó có nhiều nhất 2 quả cầu đen là: -= 540 (cách lấy)
● Trong một số bài toán nếu đi “đường thẳng” sẽ gây cho học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh yếu kém chán nản. Nên việc hướng dẫn các em tư duy, lựa chọn phương án giải quyết bài toán bằng “đường tắt” cũng rất quan trọng. Giúp các em tự tin, chủ động hơn trong việc chiếm lĩnh tri thức. 
2.3.3. Các bài tập giúp học sinh phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp
Sơ đồ tổng quát:
 Chỉnh hợp 
 chập k của n 
Lấy k phần tử của n phần tử
SXTT k phần 
 tử đó 
Số chỉnh hợp
Số cách lấy
Số cách sắp xếp
 (cách lấy)
Pk = k!
Bài tập 1: Cho A = {1; 2; 3}
a) Có bao nhiêu tập con gồm 2 phần tử thuộc A?
	b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau lập từ A? [4]
HD giải
a) Số các tổ hợp chập 2 của 3 là: = 3
b) Phân tích theo sơ đồ
a1a2
Chọn 2 phần tử từ A
SXTT 2 phần tử ấy
Số các số lập được
= 6 (số)
Liệt kê: Chọn {1; 2} ® SXTT ta được số 12 và 21 là hai số khác nhau.
	 Chọn {1; 3} ® SXTT ta được số 13 và 31 là hai số khác nhau.
	 Chọn {2; 3} ® SXTT ta được số 23 và 32 là hai số khác nhau.
Nhận xét: Sự thay đổi thứ tự 2 số ta được 2 số khác nhau (tính phân biệt thứ tự).
Bài tập 2: Cho 5 điểm phân biệt không thẳng hàng trong mặt phẳng Oxy.
Có bao nhiêu đoạn thẳng có 2 đầu từ 5 điểm trên?
	b) Có bao nhiêu vec tơ (¹) có điểm đầu và điểm cuối từ 5 điểm trên?[2]
HD giải
a) Mỗi tổ hợp 2 điểm phân biệt cho ta một đoạn thẳng
Þ Số đoạn thẳng được tạo thành là: = 10 ( không phân biệt thứ tự) 
b) Phân tích theo sơ đồ:
Chọn véc tơ
Chọn 2 điểm từ 5 điểm đã cho
SXTT 2 điểm ấy
=
´
Số véctơ