SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH. I. LÝ DO HÌNH THÀNH BIỆN PHÁP.
Thực trạng của vấn đề:
Trong chương trình toán THCS có một dạng toán mà học sinh thường mất điểm hoặc không đạt điểm tối đa đó là dạng toán : “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”. Dạng toán này tương đối khó và mang tính trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức về số học, đại số, hình học, vật lí và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho với thực tiễn đời sống. Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh không đáp ứng được những khả năng trên nên không giải được các dạng của bài toán lập phương trình, hệ phương trình. Ở dạng toán này đề bài cho không phải là những phương trình, hệ phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên, Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế.
Mặc khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại dạng toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc
nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Là một giáo viên dạy toán, tham gia dạy ôn thi lớp 9 vào lớp 10 THPT, trong quá trình giảng dạy tại trường THCS Lũng Hòa. Tôi thấy học sinh hay bị nhầm hoặc mất điểm dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Chính vì vậy tôi xin chia sẻ “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” hy vọng phần nào giải quyết được vấn đề trên.
Lĩnh vực áp dụng giải pháp:
Giải pháp này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình toán của trường THCS Lũng Hòa, giải pháp chủ yếu chú trọng hướng dẫn học sinh giải được các dạng cơ bản của dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
Trang bị cho học sinh kỹ năng giải từng dạng cơ bản của dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình giúp học sinh không lung túng khi gặp dạng toán này từ đó nâng cao chất lượng môn toán nói chung và chất lượng thi vào lớp 10 nói riêng.
Áp dụng trực tiếp vào các tiết dạy của dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, vào chương trình ôn thi cấp ba của học sinh.
NỘI DUNG CỦA BIỆN PHÁP:
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc sau):
Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị)và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình: Tuỳ từng phương trình mà chọn cách giải cho ngắn gọn và phù hợp.
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).
=> Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình chúng ta cũng làm tương tự các bước như giải bài toán bằng cách lập phương trình.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA DẠNG TOÁN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 
Theo kinh nghiệm giảng dạy của tôi thì có thể phân loại thành 8 dạng như sau :
Dạng toán liên quan đến số học.
Dạng toán về chuyển động.
Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
Dạng toán về năng suất lao động.
Dạng toán về tỉ lệ chia phần.
Dạng toán có liên quan hình học.
Dạng toán có nội dung vật lí, hoá học.
Một số dạng toán khác.
Khi dạy mỗi dạng toán giáo viên nên đi theo các bước như sau:
Bước 1. Gv đưa ra các đại lượng của dạng toán, kèm theo công thức liên hệ giữa các đại lượng. Một số đặc điểm nhận dạng dạng toán hoặc một số chú ý khi giải dạng toán dang xét.
Bước 2. Khi vào giải bài tập cụ thể giáo viên hướng dẫn học sinh theo các bước sau:
Cho học sinh đọc đề, tìm hiểu bài toán, tìm hiểu mối quan hệ giữa các đại lượng => nhận ra dạng toán để áp dụng cách giải của dạng toán phù hợp.
GV hướng dẫn học sinh kẻ bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Rồi căn cứ dữ kiện của bài toán lập ra phương trình hoặc hệ phương trình.
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình hoặc hệ phương trình
Đối chiếu điều kiện của ẩn rồi trả lời bài toán.
Bước 3. Mỗi dạng toán giáo viên cho học sinh làm 2 hoặc 3 bài tương tự tùy vào mức độ khó của bài toán để học sinh thành thạo dạng toán.
Bước 4. Mỗi dạng toán khi dạy xong giáo viên ra đề kiểm tra ngay tại lớp với dạng bài tập tương tự và xây dựng theo đề chẵn, đề lẻ để kiểm tra xem học sinh
hiểu rõ dạng toán chưa đồng thời phát hiện các lỗi sai từ đó giáo viên điều chỉnh cho học sinh. Ra đề về nhà cho học sinh theo từng dạng toán.
Bước 5. Khi học xong tất cả các dạng toán của giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình giáo viên cho học sinh kiểm tra dưới dạng tổng hợp các dạng toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình mục đích để học sinh biết phân loại dạng toán và nắm được toàn bộ dạng toán.
DẠNG 1: DẠNG TOÁN LIÊN QUAN TỚI SỐ HỌC.
Các em thường gặp loại bài tìm một số tự nhiên có hai chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi giải loại bài này thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan như : - Cách viết số trong hệ thập phân.
Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm; điều kiện của các chữ số.
Nắm được sự thay đổi của số khi viết theo thứ tự ngược lại, khi xem chữ số vào số đó,...
*BÀI TOÁN( Đề thi vào lớp 10 năm học 2013 – 2014 Vĩnh Phúc ):
Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số của số đó bằng 11 và nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì ta được số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị.
Học sinh phải nắm được :
Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số).
Quan hệ giữa số đó và số khi đổi chỗ hai chữ số như thế nào?
-Quan hệ giữa hai chữ số như thế nào?
Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị).
Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị.
Bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng đơn vị
Số
Lúc đầu
x
y
xy
Lúc sau
y
x
yx
Giải:
Gọi số cần tìm là

xy ( x, y Î N;0 < x, y £ 9)
Số khi đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị là: yx
Vì tổng hai chữ số của số cần tìm là 11nên ta có: Do số mới hơn số ban đầu 27 đơn vị, nên ta có:
x + y = 11
(1)
yx - xy = 27 Û y - x = 3
Từ (1) và (2) ta có hpt:

ìx + y = 11
î
í y - x = 3
(2)
giáo viên hướng dẫn học sinh giải hệ phương
trình ra kết quả x = 4 và y = 7( thỏa mãn điều kiện) Vậy số cần tìm là 47.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Có một số tự nhiên có hai chữ số lớn gấp ba lần tổng các chữ số của nó. Còn bình phương tổng các chữ số của nó gấp 3 lần số đã cho. Tìm số ấy .
Bài 2: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình phương các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó cộng thêm 5.
Bài 3: Tổng của hai số tự nhiên bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7. Tìm hai số đó?
Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2 và dư cũng là 2.
Bài 5: Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của nó bằng 10. Tích của hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Bài 6: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 335, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 9 và số dư là 15.
Bài 7: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ sốhàng chục là 2, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì được số mới hơn số đã cho 540 đơn vị.
DẠNG 2: DẠNG TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG.
GV cần cho học sinh nắm được các đại lượng trong dạng toán chuyển động, kèm theo công thức liên hệ.
Các đại lượng: vận tốc, quãng đường, thời gian.
Công thức liên hệ: s
; v= s ; t= s
v.t
t	v
Riêng đối với chuyển động trên dòng nước thì : vxuôi = vThực + v dòng nước
vngược = vThực - v dòng nước
Khi dạy dạng toán này GV cần chia nhỏ từng dạng toán chuyển động cho học sinh dễ tiếp cận dạng toán hơn. Thông thường tôi thường chia dạng toán này thành hai loại là:
* Chuyển động trên cạn: Chia thành hai dạng:
+ Bài toán có một chuyển động: Gồm: Chuyển động dự định và thực tế. Chuyển động mức đi và mức về. Chuyển động trên các quãng đường với vận tốc khác nhau...
+ Bài toán có nhiều chuyển động: Gồm: Chuyển động cùng chiều, ngược chiều...
- Chuyển động trên mặt nước: Gồm:
+ Bài toán có một chuyển động: Chuyển động dự định và thực tế. Chuyển động mức đi và mức về. Chuyển động trên các quãng đường với vận tốc khác nhau...
+ Bài toán có nhiều chuyển động: Chia thành hai dạng nhỏ là chuyển động cùng chiều, ngược chiều...
Khi giáo viên hướng dẫn một bài toán cụ thể nên theo các bước như sau:
Bước 1: Cho học sinh đọc đề, tìm hiểu bài toán và yêu cầu trả lời các câu hỏi như:
Bài toán mấy chuyển động: nếu có một chuyển động thì chuyển động này được chia thành các mức nào?
Nếu bài toán có nhiều chuyển động( thông thường là hai chuyển động) thì các chuyển động đó cùng chiều hay ngược chiều? Mỗi chuyển động đi từ đâu đến đâu? Mối quan hệ của các chuyển động ra sao?
Bước 2: GV hướng dẫn học sinh kẻ bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượn. Rồi căn cứ dữ kiện của bài toán lập ra phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phương trình hoặc hệ phương trình
Bước 4: Đối chiếu điều kiện của ẩn rồi trả lời bài toán.
*Bài toán có 1 chuyển động:(Đề thi vào 10 năm học 2009 – 2010 Vĩnh Phúc)
Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4 km/h, rồi đi ô tô từ B đến C với vận tốc 40 km/h. Lúc về, anh ta đi xe đạp trên cả quãng đường CA với vận tốc 16 km/h. Biết rằng, quãng đường AB ngắn hơn quãng đường BC là 24 km, và thời gian lúc đi bằng thời gian lúc về. Tính độ dài quãng đường AC.
Hướng dẫn:
-Bài toán có mấy chuyển động? ( bài toán có một chuyển động)
-Chuyển động được chia thành các mức nào? (chia thành 3 mức là ba quãng đường AB, BC,AC)
-Bảng biểu diễn các mối quan hệ của các đại lượng
x>0; y>24;y>x
Vậntốc(km/h)
Quãngđường(km)
Thời gian( giờ)
Quãng đường AB
4
x
x
4
Quãng đường BC
40
y
y
40
Quãng đường CA
16
x+y
x + y
16
ì x +
y = x + y
ì20x + 2 y = 5x + 5 y
ì5x - y = 0
Hệ Phương trình: ï 4	40	16	Û	Û
í	í y - x = 24	í y - x = 24
ïî y - x = 24	î	î
Giải hệ phương trình ra nghiệm x = 6 km; y = 30 km( thỏa mãn điều kiện) Quãng đường Ac dài 6 + 30 = 36 km.
Giáo viên trình bày mẫu lời giải cho học sinh.
*Bài toán có 2 chuyển động: (Đề thi vào 10 năm học 2019-2020)
Người thứ nhất đi đoạn đường từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 78km. Sau khi người thứ nhất đi được 1 giờ thì người thứ hai đi theo chiều ngược lại vẫn trên đoạn đường đó từ B về A. Hai người gặp nhau ở địa điểm C cách B một quãng đường 36km. Tính vận tốc của mỗi người biết rằng vận tốc của người thứ hai lớn hơn vận tốc của người thứ nhất là 4km/h và vận tốc của mỗi người trên suốt đoạn đường không thay đổi.
Hướng dẫn: - Bài toán có mấy chuyển động? (hai chuyển động)
Mỗi chuyển động đi quãng đường từ địa điểm nào đến địa điểm nào?
Các chuyển động có mối quan hệ gì?
Bảng biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
x>0; y>4; x<y
Vận tốc(km/h)
Thời gian( giờ)
Quãng đường(km)
Xe thứ nhất
x
42
x
78 – 36 = 42
Xe thứ hai
y
36
y
36
Căn cứ vào dữ kiện bài toán ta có hệ phương trình:
ì 42 - 36 = 1
í
ï x	y	giáo viên hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình
ïî y - x = 4
Kết quả ta được x = 14; y = 18( thỏa mãn điều kiện)
Vậy vận tốc của người thứ nhất, người thứ hai lần lượt là: 14km/h ; 18km/h.
=> Giáo viên trình bày lời giải mẫu.
* Bài toán về chuyển động trên mặt nước:
Một ca nô chạy trên khúc sông dài 30km. Thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời ca nô ngược dòng là 1 giờ 30 phút. Tìm vận tốc của ca nô biết vận tốc dòng nước là 5km/h.
Hướng dẫn: Dạng toán này nên lập phương trình
Bài toán chuyển động trên mặt nước nên	vxuôi = vThực + v dòng nước
vngược = vThực - v dòng nước
-Bảng biểu diễn: gọi vận tốc dòng nước là x(km/h), 5<x.
5<x
Vận tốc(km/h)
Thời gian(giờ)
Quãng đường(km)
Xuôi dòng
x + 5
30
x + 5
30
Ngược dòng
x – 5
30
x - 5
30
Căn cứ vào dữ kiện bài toán ta có phương trình
30 - 30
= 3 giải phương trình ta được x = 15(nhận) hoặc x = -15 (loại)
x - 5	x + 5	2
Vậy vận tốc của ca nô là 15km/h.
*BÀI TẬP ÁP DỤNG:
DẠNG TOÁN HAI CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1: Một chiếc xe tải đi từ TP.Hồ Chí Minh đến Cần Thơ , quãng đường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ. Một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP.CầnThơ về TP.Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km. Bài 2: Hai người ở 2 địa điểm A và B cách nhau 3,6 km khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km . Nếu cả 2 cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên , nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì học sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường . Tính vận tốc của mỗi xe.
Bµi 3: Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B. VËn tốc người thứ nhất nhanh hơn vËn tốc người thứ hai là 3 km/h nên đến B sớm hơn người thứ hai là 15 phút. Tính vËn tốc mỗi người? Biết quãng đường AB là 15 km.
Bài 4: Hai bến A và B cách nhau 120km. Lúc 7 giờ một ca nô xuôi dòng từ bến A với vận tốc 12km/h, cùng lúc đó một chiếc ca nô khác ngược dòng từ B về A. Hỏi chúng gặp nhau lúc mấy giờ biết vận tốc của ca nô đi từ bến B là 14km/h và vận tốc dòng nước là 2km/h.
DẠNG TOÁN MỘT CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1: Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc 50km/h, lúc về xe chạy với vận tốc nhanh hơn lúc đi là 5 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 12 phút. Tính quãng đường xe chạy từ Hà Nội đến Hải Phòng.
Bài 2: Quãng đường AB gồmmột đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B mất 40 phút và đi từ B về A mất 41 phút ( vận tốc lên dốc lúc đi và lúc về bằng nhau ) . Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc.
Bài 3: Một ôtô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165 kmvà thời gian ôtô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ôtô đi quãng đường BC là 30 phút . Tính thời gian ôtô đi trên quãng đường AB và BC .
Bài 4: Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa , nếu xe chạy với 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A.
Bài 5: Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút . Nếu cũng trên quãng sông ấy , ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút . Tính vận tốc ri6ng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước.
Bµi 6: Một ca nô đi từ bến A đến bến B cách nhau 60Km, cả đi và về hết 12,5 giờ. Biết vËn tốc dòng nước là 2Km/h , tính vËn tốc thực của ca nô?
DẠNG 3: TOÁN VỀ CÔNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG.
-Ở dạng toán này giáo viên phải đưa ra một số đặc điểm của dạng toán để học sinh nhận dạng dạng toán từ đó có cách giải phù hợp của dạng toán. Chẳng hạn dạng toán này thường có hai đối tượng tham gia vào bài toán, bài toán thường cho thời gian hai đối tượng làm chung xong công việc và hỏi thời gian từng đối tượng làm riêng xong công việc đó. Đặc biệt dạng toán này là khối lượng công việc làm không rõ rang nên coi toàn bộ công việc là một đơn vị.
Các đại lượng của dạng toán:
Năng suất: số sản phẩm làm ra trên một đơn vị thời gian. Thời gian: Thời gian hoàn thành công việc
Khối lượng công việc: Lượng công việc cẩn làm ( quy ước bằng 1)
-Công thức: Năng suất . Thời gian = Khối lượng công việc(=1) Ta xét bài toán ví dụ sau:
*Bài toán: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể
nếu mở vòi thứ nhất trong 9 giờ sau đó mở vòi thứ hai 1,2 giờ nữa thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu đầy bể?
- Hướng dẫn giải:
+ Trong bài này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu thị bằng số 1.
Gv cùng học sinh phân tích bài toán và xây dựng bảng biểu diễn các đại lượng:
Năng suất
Thời gian( giờ)
Khối lượng công việc
Vòi thứ nhất
1
x
x
1
Vòi thứ hai
1
y
y
1
Cả hai vòi
1: 24 = 5
5	24
24
5
1
ç x	y
æ 1 + 1 = 5
=> hệ phương trình ç	24
ç 9. 1 +1, 2, 5 = 1
x
ç
è	24
- Lời giải:
Gọi thời gian vòi thứ nhất làm một mình xong công việc là x( giờ)
Gọi thời gian vòi thứ hai làm một mình xong công việc là y ( giờ),x,y> 24
5
Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được 1
x

(bể).
Trong một giờ vòi thứ thứ hai chảy được 1 (bể)
y
Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1: 24 = 5
5	24
ç x	y
æ 1 + 1 = 5
Theo bài ra ta có hệ phương trình: ç	24
bể.
ç 9. 1 +1, 2. 5 = 1
ç
è	x	24
Giải hệ ta được x= 12( nhận), y= 8( nhận)
Vậy nếu chảy một mình vòi thứ nhất cần 12 giờ đầy bể, vòi thứ hai cần 8 giờ đầy bể.
Chú ý: Ở loại toán này , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị qua đơn vị quy ước. Từ đó lập hệ phương trình và giải hệ phương trình.
* BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Bài 2: Hai người làm chung công việc mất 4 giờ. Người thứ nhất làm được nửa công việc và người thứ hai làm nốt cho đến khi hoàn thành tất cả hết 9 giờ. Hỏi nêú làm riêng mỗi người làm xong công việc đó hết bao lâu?
Bài 3: Hai người làm chung trong 4 giờ được 2
3
công việc. Nếu làm riêng một
mình cho xong thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng một người làm trong thời gian bao lâu?
 Bài 4: Hai công nhân cùng sơn sửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?
Bài 5: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ. Hai đội cùng làm sau 4 giờ thì đội I được điều đi làm việc khác, đội II làm nốt công việc trong 10 giờ . Hỏi đội II làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao lâu?
DẠNG 4: TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG.
*Bài toán: Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được 800 tấm thảm len. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm len. Tính xem trong tháng thứ hai mỗi tổ đã dệt được bao nhiêu tấm thảm len
Hướng dẫn : Trong bài toán số tấm thảm len cả hai tổ dệt được trang tháng đầu và trong tháng thứ hai đã biết. Số tấm thảm len mỗi tổ dệt được trong tháng đầu, tháng thứ hai chưa biết. Ta có thể chọn x là số tấm thảm len mà tổ I dệt được trong tháng đầu. Theo mối quan hệ giữa các đại lượng trong đề bài ta có bảng sau :
Số thảm len
Tổ I
Tổ II
Cả hai tổ
Tháng đầu
x
800 - x
800
Tháng thứ hai
115x
100
120(800 - x)
100
945
Cơ sở để lập phương trình là tổn