SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU
1.1.Lý do chọn đề tài
Toàn học là một môn khoa học cơ bản của chương trình giáo dục phổ thông, trong hệ thống giáo dục phổ thông của nước ta. Học tập tốt bộ môn toán giúp con người nói chung và học sinh nói riêng có kỹ năng tư duy sáng tạo,tính toán các số liệu, làm cho con người linh hoạt và năng động hơn trong cuộc sống cũng như trong công việc. Nhiệm vụ của giảng dạy bộ môn toán học ở bậc trung học phổ thông là thực hiện được những mục tiêu giáo dục mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đề ra: Làm cho học sinh đạt dược các yêu cầu sau:
- Nắm vững được kiến thức cơ bản của bộ môn.
- Có những kỹ năng cơ bản để vận dụng kiến thức của bộ môn.
- Có hứng thú học tập bộ môn.
- Có cách học tập và rèn luyện kỹ năng hợp lý, đạt hiệu quả cao trong học tập bộ môn vật lý.
- Hình thành ở học sinh những kỹ năng tư duy và là nền tảng cho các bộ môn khoa học cơ bản khác. 
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, chất lượng học tập môn Toán của học sinh còn thấp, hÇu hÕt c¸c em sî häc m«n to¸n. 
Vấn đề đặt ra là: Làm thế nào để học sinh tự tin vào bản thân để giải tốt được các bài toán. Vì vậy người giáo viên cần đưa ra được những phương án hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức một cách tối ưu để học sinh có thể nhanh chóng tiếp thu và vận dụng dễ dàng vào tự tin vào bản thân để giải các bài toán cụ thể:
Theo nhận thức của cá nhân tôi, trong việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cần phải thực hiện được một số nội dung sau:
- Phân loại các bài tập của các phần theo hướng đơn giản nhất để đưa ra kết quả.
- Hình thành cách thức tiến hành tư duy, huy động kiến thức tổng hợp và thứ tự các bước thao tác cần thực hiện.
- Hình thành cho học sinh cách trình bày bài đặc trưng của phần kiến thức đó.
	Vì vậy để giúp học sinh khối 11 học tốt phần bài tập giới hạn hàm số tôi đã chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số”. 
1.2.Mục đích nghiên cứu
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
1.3.Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối 11 trường THPT
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
- Phương pháp điều tra giáo dục.
- Phương pháp quan sát sư phạm.
- Phương pháp thông kê, tổng hợp, so sánh.
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp thực nghiệm.
PHẦN HAI: NỘI DUNG
2.1.Cơ sở lí luận.
 - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình toán trung học phổ thông
 - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập 
 - Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được chứng minh, thừa nhận.
2.2.Thực trạng của đề tài.
2.2.1.Khảo sát chất lượng đầu năm
-Trước khi đưa vào vận dụng thì tôi đã vận dụng vào năm học 2015-2016 thì thấy có hiệu quả vì vậy để kiểm chứng, năm học 2016-2017 tôi tiến hành khảo sát ở 4 lớp theo bảng sau: 
Bảng số liệu khảo sát trước khi vận dụng
 Lớp
Số lượng
Giỏi
Khá
T.bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11C2
45
7
15,6
14
31,1
23
51,1
1
2,2
0
0
11C6
46
7
15,2
15
32,6
22
47,9
2
4,3
0
0
11C3
47
8
17,0
16
34,0
22
46,9
1
2,1
0
0
11C5
46
7
15,2
15
32,6
22
47,9
2
4,3
0
0
- Đối với lớp 11C5 và 11C3 thì tôi dự định sử dụng phương pháp thảo luân nhóm, hỏi đáp và hệ thống lại kiến thức chương. 
- Đối với lớp 11C2 và 11C6 thi tôi đã cho học sinh dụng đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số”.
2.2.2.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em, nhiều em ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn học trong đời sống.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán.
2.3.Giải quyết vấn đề
2.3.1. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số [2]
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số [2]
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: thì:
c. Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)h(x) và 
. 
2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số [3]
a.Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: .
b.Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:.
c.Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: 
B. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường hợp tìm giới hạn cơ bản sau:
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: 
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số : 
Ba là: Giới hạn một bên của hàm số: 
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định.Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư duy [1] sau: 
Giới hạn vô cực
Giới hạn một bên
ĐỀ BÀI
Dạng 3:()
Dạng 2:()
Dạng 1:
Quan sát chia trường hợp
Dạng 1:Tính trực tiếp
Dạng:
Dạng3:
Dạng 2
Giới hạn tại một điểm:
Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong sơ đồ tư duy.
2.3.2. Bài toán minh họa và một số kinh nghiêm khi giải bài toán giới hạn:
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM SỐ: 
Dạng 1: 
Phương pháp:
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận: 
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
1/. 	 2/. 	. 
 3/. 4/
Hướng dẫn: 
1/
2/
3/
4/
Bài tập tương tự:
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
1. 2. 3. 
4. ; 	5.
Dạng 2: (ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0. nên lúc này có dạng 
Phương pháp:
Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.[2]
Chú ý 1:
Nếucó 2 nghiệm thì ta phân tích
Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp
Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn: 
Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:
Dạng 3: (với ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lúc này có dạng 
Phương pháp:
Bước 1: Tính (với )
Bước 2: : Tính và xét dấu biểu thức g(x) với 
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận 
L > 0
g(x) > 0
L > 0
g(x) < 0
L < 0
g(x) > 0
L < 0
g(x) < 0
Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn: 
Ta có: 
Ta có:
Ta có:
Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ: 
Dạng 1: 
Phương pháp: 
Chia tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu. Chú ý rằng nếu thì coi như x>0, nếu thì coi như x < 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn [5]
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:
Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
1/. 	 	2/. 
 3/. 4/. 
Hướng dẫn: 
1/. 
2/. 
. 
Bài tập tương tự:
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:
 Dạng 2: 
Phương pháp: 
Ta biến đổi về dạng 1: [5]
Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
Chú ý: với 
 với 
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn: 
Bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:
Dạng 3: 
Phương pháp: 
Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa về dạng hoặc [5]
Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp
Chú ý: 
Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn: 
= 
Chú ý: Ta cũng có thể giải bài 3 của ví dụ 6 này theo cách sau tạm gọi là:
Cách 2
Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4 này có thể giải theo cách 2 của bài 3 như trên không?
Câu trả lời là không vì nếu giải theo giải theo cách 2 của bài 3 ta sẽ có:
Tới kết quả sẽ dẫn đến dạng vô định (0. ) lại quay về dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vô định (0, ) lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình, yếu
Bài tập tương tự:
Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ: hoặc .
Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc biệt của giới hạn tại một điểm, lúc này không tiến đến a mà tiến đến bên trái điểm a (), hoặc tiến về bên phải bên phải điểm a ().Bài tập Giới hạn một bên: hoặc .chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường hợp Giới hạn tại một điểm là
 (với ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lúc này có dạng [2]
Phương pháp:
Bước 1: Tính (với )
Bước 2: Tính và xét dấu biểu thức g(x) với hoặc 
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận (bảng xét dấu đã 
nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn: 
Ta có: 
Vậy 
Ta có: 
Vậy 
Bài tập tương tự:
Bài tập 7: Tính các giới hạn sau:
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
2.4.1.Kết quả từ thực tiễn:
Ban ®Çu häc sinh gÆp khã kh¨n nhÊt ®Þnh trong viÖc phân loại và gi¶i nh÷ng d¹ng bài tập nh­ ®· nªu.Tuy nhiªn gi¸o viªn cÇn h­íng dÉn häc sinh tØ mØ c¸ch ph©n tÝch mét bµi to¸n tõ nhận dạng hàm số : hàm số dạng cơ bản, hàm số dạng nhân lượng liên hợp,dạng ®Ó lùa chän ph­¬ng ph¸p phï hîp trªn c¬ së gi¸o viªn ®­a ra nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh th­êng m¾c ph¶i trong qu¸ tr×nh suy luËn,trong c¸c b­íc tÝnh tÝch ph©n nµy råi tõ ®ã h­íng c¸c em ®i ®Õn lêi gi¶i ®óng.
Sau khi h­íng dÉn häc sinh nh­ trªn vµ yªu cÇu häc sinh gi¶i mét sè bµi tËp tÝch ph©n trong s¸ch gi¸o khoa Gi¶i TÝch Líp 12 vµ mét sè bµi trong c¸c ®Ò thi tuyÓn sinh vµo ®¹i häc,cao ®¼ng vµ trung häc chuyªn nghiÖp cña c¸c n¨m tr­íc th× c¸c em ®· thËn träng trong khi t×m vµ tr×nh bµy lêi gi¶i vµ ®· gi¶i ®­îc mét l­îng lín bµi tËp ®ã.
2.4.2.Kết quả thực nghiệm.
Thông qua tiến hành nghiên cứu và thực hiện trên bốn lớp với đề tài trên tôi đã thu được kết quả theo bảng số liệu sau:
Bảng số liệu so sánh sau khi tiến hành vận dụng đề tài
Lớp
Số lượng
Giỏi
Khá
T.bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11C2
45
20
44,4
19
42,3
6
13,3
0
0
0
0
11C3
46
2
4,3
12
20,1
27
64,9
5
10,7
0
0
11C5
47
2
4,3
11
23,4
31
65,9
3
6,4
0
0
11C6
46
15
32,6
20
43,5
11
23,9
0
0
0
0
Qua bảng số liệu trên chúng ta thấy sau khi đưa vào vận dụng đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số”, thì kết quả thật khã quan, cụ thể là không những học sinh yếu trung bình sẽ giảm đi rõ rệt mà số học sinh khá, giỏi còn tăng lên rất nhều, còn đối với lớp không áp dụng thì số lượng học sinh khá, giỏi giảm, trung bình giảm, yếu và kém thì lại tăng lên.
Ngoài ra khi thùc hiÖn s¸ng kiÕn häc sinh häc tËp rÊt tÝch cùc vµ høng thó ®Æc biÖt lµ khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n c¸c em tÝnh tÝch ph©n rÊt thËn träng vµ hiÓu b¶n chÊt cña vÊn ®Ò chø kh«ng tÝnh rËp khu«n mét c¸ch m¸y mãc nh­ tr­íc, ®ã lµ viÖc thÓ hiÖn viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, chñ ®éng, s¸ng t¹o cña häc sinh.
PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
 	Đề tài này giúp cho việc hướng dẫn được một số dạng bài toán giới hạn hàm số trong chương trình toán học phổ thông và hướng dẫn cho học sinh các phương pháp làm các bài tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán học theo phương pháp đổi mới. 
Qua việc nghiên cứu, giúp học sinh nắm vững các phương pháp giải quyết được các bài tập đơn giản và nâng cao, liên hệ, biết cạch suy luận lôgíc, tự tin vào bản thân khi đứng trước một bài tập giới hạn hàm số, có cách suy nghĩ để giải quyết vấn đề một cách đúng đắn nhất.
3.2. Kiến nghị
Do thời gian có hạn nên đề tài này chưa được áp dụng rộng rãi và chắc chắn không tránh hết những thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn động nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp dụng phổ biến hơn trong những năm học tới. 
Xin chấn thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 28 tháng 04 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết đề tài
 Nguyễn Văn Thường
TÀI LIỆUTHAM KHẢO
1.(Tony & Barry Buzan 2009) – Sơ đồ Tư duy – NXB TP.Hồ Chí Minh. 
2. “Trần Chí Hiếu-Nguyễn Danh Phan” TuyÓn chän c¸c bµi to¸n PTTH §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11, NXB GD 
3. “TrÇn Ph­¬ng vµ NguyÔn §øc Tên” Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán – NXB Hµ Néi – 2004)
4.G.KORN-T.KORN.Sổ tay toán học(Phan Văn Hạp và Nguyễn Trọng Bá dịch).Nhà xuất bản đại học và trung học và chuyên nghiệp giáo dục-1997.
5.Phan Đức chính,Vũ Dương Thụy,Tạ Mân,Đào Tam,Lê Thống Nhất.Các bài giảng luện thi môn Toán.NXBGD
6. Tài liệu khai thác trên mạng.