SKKN Một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng giải các bài toán về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Sách giáo khoa hình học 11

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài :
Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: Cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. 
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11CB rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, khó vẽ hình, và thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được “Một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng giải các bài toán về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - sách giáo khoa hình học 11” nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. 
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm một số kỹ năng cơ bản trong vẽ hình biểu diễn một hình không gian và phương pháp giải một số dạng toán trong chương 2 - sách giáo khoa hình học 11. Để học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập bắt buộc trong sách giáo khoa Hình học lớp 11CB.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
Sử dụng kiến thức về: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” để phân loại và đưa ra phương pháp giải một số bài toán thường gặp ở chương 2 - Hình học lớp 11.
Lớp được áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm: 11B3, 11B4.
Lớp đối chứng: 11B2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy và học; tổng hợp so sánh, đút rút kinh nghiệm; trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ‎ý kiến đồng nghiệp.
	1.5. Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:	
 Nâng cao chất lượng giáo dục được xác định là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học đối với các trường phổ thông nói chung và đối với mỗi thầy cô giáo nói riêng. Vì vậy, việc đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh luôn là vấn đề quan trọng được đặt ra đối với mỗi giáo viên khi đứng lớp. Từ đó giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày càng tốt hơn, hiệu quả giảng dạy của giáo viên cũng được nâng dần. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính hệ thống, do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
Những trường THPT có chất lượng đầu vào thấp thì hầu như các em đều bị mất căn bản và không có hứng thú với việc học. Có nhiều em đến trường chỉ là ngồi cho có lớp, cho vừa lòng cha mẹ chứ không có mục tiêu học tập. Bên cạnh đó, cũng có những em đến trường là để thực hiện ước mơ nghề nghiệp của mình sau này nhưng do kiến thức càng học lên cao càng khó, hơn nữa để học tốt môn toán thì các em phải nắm vững kiến thức cơ bản ở những lớp dưới nhưng các em lại bị hổng kiến thức cơ bản, do đó khi học lên cấp ba các em được nghe thầy cô giảng thấy khá hay nhưng vẫn không hiểu gì. Cứ như vậy, các em sinh ra chán học, thiếu tự tin trong học tập. 
 Nâng cao chất lượng giáo dục được xác định là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học đối với các trường phổ thông nói chung và đối với mỗi thầy cô giáo nói riêng. Vì vậy, việc dạy học phù hợp với đối tượng học sinh luôn là vấn đề quan trọng được đặt ra đối với mỗi giáo viên khi đứng lớp. Từ đó giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày càng tốt hơn, hiệu quả giảng dạy của giáo viên cũng được nâng dần. 
2.2. Thực trạng: 
Trong năm học 2017-2018 tôi được nhà trường phân công dạy toán các lớp 11B2, 11B3, 11B4. Sau đây là bảng số liệu thống kê về kết quả học tập môn toán của HS lớp 11B2, 11B3, 11B4 trường THPT Thường Xuân 2 trong kỳ thi khảo sát hai tháng đầu năm năm học 2017 – 2018:
Lớp
Tổng số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
8 ≤ Điểm ≤ 10
6.5 ≤ Điểm < 8
5 ≤ Điểm < 6.5
3.5 ≤ Điểm < 5
0 ≤ Điểm < 3.5
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
11B2
35
0
0%
0
0%
12
34.29%
12
34.29%
17
48.57%
11B3
42
1
2.38%
8
19.05%
6
14.29%
10
23.81%
7
16.67%
11B4
35
0
0%
0
0%
2
5.71%
10
28.57%
23
65.71%
 Thống kê trên cho ta thấy được lực học môn toán của học sinh đa số là rất thấp. Việc đổi mới phương pháp dạy và học cho phù hợp với đối tượng học sinh là một việc làm cấp bách. 
 Đặc biệt trong môn hình học không gian, khi làm một bài toán, học sinh phải vẽ hình và tìm hướng giải quyết. Đối với các học sinh trung bình, yếu, đây là một việc hết sức khó khăn vì nó đòi hỏi học sinh phải hình dung được hình vẽ, kẻ thêm các đường phụ rồi giải quyết bài toán đấy như thế nào? Trong đầu các em luôn đặt câu hỏi tại sao lại kẻ thêm những đường phụ như vậy? Và các bước tiếp theo sẽ phải làm gì thì mới giải quyết được bài toán? 
 Hiểu được tâm lý học sinh như vậy, nên tôi đưa đề tài này và được thực hiện theo hướng như sau:
+ Một số kỹ năng vẽ hình biểu diễn của hình học không gian.
+ Phân loại theo dạng toán, đưa ra phương pháp giải. Kèm theo các ví dụ minh họa cho mỗi dạng và có các lời bình, giải thích tại sao ta lại làm như vậy?
+ Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập.
2.3. Biện pháp giải quyết vấn đề.
Để giải được bài hình học tốt theo tôi nghĩ có một số giải pháp tăng cường kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là:
* Đối với học sinh:
- Nắm vững lý thuyết cơ bản nhất.
- Vẽ hình đúng – trực quan nó gợi mở và tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các bài toán và phát huy trí tưởng tượng không gian, phát huy tính tích cực và niềm say mê học tập của học sinh. Vẽ đúng – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh được các sai lầm đáng tiếc. 
* Đối với giáo viên:
- Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình học không gian như : hình chóp; tứ diện; hình hộp; hình hộp chữ nhật; .; quan hệ song song của hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng và mặt phẳng,
- Dạy học theo các chủ đề, các dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất. 
Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh cách vẽ hình biểu diễn của một hình không gian(sách giáo khoa hình học 11- trang 45): 
- Dùng nét liền biểu diễn cho đường nhìn thấy, nét đứt biểu diễn cho đường bị che khuất. 
- Hình bình hành biểu diễn cho: Mặt phẳng, Hình bình hành, Hình chữ nhật, Hình thoi, Hình vuông.
- Một tam giác biểu diễn cho một tam giác bất kỳ.
- Bảo toàn: Sự song song, tỷ lệ của các đoạn thẳng cùng phương, quan hệ thuộc, sự thẳng hàng, thứ tự các điểm.
- Không được bảo toàn: Độ lớn của góc, góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, tỷ lệ các đoạn thẳng không cùng phương. 
- Nên đọc hết cả bài toán trước khi vẽ hình. Vừa đọc vừa dựa vào lí thuyết, giả thiết và cả đến điều cần phải chứng minh để chọn cách vẽ hình rõ ràng và tốt nhất.
Biện pháp 2 : Phân dạng bài tập và phương pháp giải các dạng bài tập ở chương 2.
Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (b)(Sách bài tập hình học 11 – trang 57).
Phương pháp giải: 
Cách 1: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.
Nếu: thì AB = 
 Hình 1
Cách 2: Xác định một điểm chung và sử dụng quan hệ song song 
Dựa vào các định l‎ý sau:
* Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu thì	 
* Hệ quả: Nếu 	 thì	 	 
 Hình 2	 Hình 3	Hình 4
* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu thì a // b 	 (hình 5)
* Hệ quả : Nếu thì a // d 	(hình 6)
* Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu thì 	 (hình 7)
	Hình 5	 Hình 6	 Hình 7
* Nhận xét: 
- Cách giải 1: Học sinh sử dụng cách này để làm các bài tập tìm giao tuyến trong sách giáo khoa sau bài 1.
- Cách giải 2: Học sinh chỉ sử dụng được từ sau bài học 2 trở đi.
- Để làm bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó.
Ví dụ 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(α). Tìm giao tuyến của các mp sau:
a) mp(SAC) và mp(SBD)
b) mp(SAB) và mp(SCD)
c) mp(SEF) và mp(SAD)
Nhận xét: 	Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được giao tuyến. 
Với câu c GV cần gợi ý cho HS phát hiện ra được điểm chung thứ hai.
	Lời giải:
a) Ta có: S Î (SAC) Ç (SBD) (1); 
 F = AC Ç BD Þ F Î (SAC) Ç (SBD) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra : SF = (SAC) Ç (SBD).
b) Ta có: S Î(SAB) Ç (SCD) (1); 
 E = AB Ç CD Þ E Î (SAB) Ç (SCD) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra : SE = (SAB) Ç (SCD).
c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD tại N.
 Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
 S Î (SAD) Ç (SEF) ; N Î (SAD) Ç (SEF) 
 Vậy : SN = (SAD) Ç (SEF). 	 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang (AB // CD, 
AB > CD).
a) Tìm giao tuyến của hai mp(SAD) và (SBC).
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SAB) và (SDC).
Nhận xét: 	Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được điểm chung thứ nhất là S. Với câu a học sinh sẽ tìm điểm chung thứ hai dựa vào giả thiết AB>CD nên AD cắt BC. Đối với câu b học sinh sẽ dùng giả thiết là AB//CD để áp dụng hệ quả nêu trên.
Lời giải:
a) 	Ta có S là điểm chung thứ nhất.
	Trong mp(ABCD) có AD cắt BC tại E
Suy ra : SE = (SAD) Ç (SBC).
b) 	Ta có S là điểm chung thứ nhất.
	Lại có: 
Dạng 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(α).
 Hình 8	Hình 9
Phương pháp giải(Sách bài tập hình học 11 – trang 58) :
- Trường hợp 1: Trong mp(α) có sẵn đường thẳng a cắt d tại A.
Ta có ngay: .
- Trường hợp 2: Trong mp(α) không có sẵn đường thẳng a cắt d. Khi đó ta thực hiện như sau:
1. Chọn mặt phẳng phụ chứa d và .
2. Đặt A = . Ta có: .
* Nhận xét : Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và nếu phải chọn mp(b) thì cần chọn sao cho tìm giao tuyến a là dễ nhất.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AD sao cho . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xét : 
- HS dễ dàng phát hiện ra đường thẳng a chính là đường thẳng BD.
- GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song.
Lời giải :
Trong DABD có: và , suy ra IJ không song song BD. 
Gọi 
Vậy K = IJ Ç (BCD).
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp(SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)
‎
Nhận xét: 
Câu a) 	
- HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC. Không nhìn ra được đường thẳng nào nằm trong mp(SAC) để cắt được BM. 
- GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM đó là mp(SBD) và xác định giao tuyến của 2mp(SBD) và (SAC). 
Câu b) 	
- HS gặp khó khăn khi không nhìn ra được đường nào nằm trong mp(SBC) để cắt IM. 	
- GV cần hướng dẫn HS chọn 1 mp phụ thích hợp chứa IM 
Câu c) 	
- Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC và tìm giao tuyến của mp đó với mp(IJM). Có mp nào chứa SC? 
- Giáo viên hướng dẫn học sinh chọn mp nào cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi.
Lời giải:
a) Ta có BM Ì (SBD)
Xét 2 mp(SAC) và (SBD) có S là điểm chung thứ nhất (1)
Gọi O = AC Ç BD Þ O là điểm chung thứ hai (2) 
Từ (1) và (2) Þ SO = (SAC) Ç (SBD).
Trong mp(SBD) có BM cắt SO tại P. Vậy P = BM Ç (SAC).
b) Ta có IM Ì (SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất 
Gọi E = AD Ç BC Þ E là điểm chung thứ hai
Þ SE = (SAD) Ç (SBC).
Trong mp(SAE) có IM cắt SE tại F. Vậy F = IM Ç (SBC) 
c) Ta có SC Ì (SBC)
Xét 2 mp(IJM) và (SBC) ta có : JF = (IJM) Ç (SBC)
Trong mp(SBE) có JF cắt SC tại H. Vậy H = SC Ç (IJM).
Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Phương pháp giải(Sách bài tập hình học 11 – trang 58): Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt.
Ví dụ 5: Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.
	a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
	b. Tìm giao điểm I = BC Ç ( LMN) và J = SC Ç ( LMN)
	c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Giải
a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
	Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC)
	Trong (SAB) , LM không song song với AB
	Gọi K = AB Ç LM
	K Î LM mà LM Ì (LMN ) Þ K Î (LMN )
	K Î AB mà AB Ì ( ABC) Þ K Î ( ABC)
	Þ (ABC) Ç ( LMN) = NK 	
b. Tìm giao điểm I = BC Ç ( LMN).
	Trong (ABC), gọi I = NK Ç BC	
	IÎ BC 
	IÎ NK mà NK Ì (LMN ) Þ I Î (LMN)
	Vậy : I = BC Ç ( LMN)
	Tìm giao điểm J = SC Ç ( LMN).
	Trong (SAC), LN không song song với SC. Gọi J = LN Ç SC	
	JÎ SC 
	JÎ LN mà LN Ì (LMN ) Þ J Î (LMN)
	Vậy : J = SC Ç ( LMN)
c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng.
	Ta có	: M , I , J là điểm chung của (LMN) và ( SBC)
	Vậy : M , I , J thẳng hàng.
Dạng 4: Tìm thiết diện của một mặt phẳng và một hình.
 Phương pháp giải (Ví dụ 5 – sách giáo khoa hình học 11): 
- Xác định các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình 
- Xác định giao điểm của các giao tuyến với các cạnh của hình đến khi ta thu được một đa giác khép kín, đa giác khép kín đó chính là thiết diện.
 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
b) Tìm giao tuyến của đường thẳng BM và mp(SAC).
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM).
Bài giải: 
a) Gọi 
Ta thấy SO=(SAC)(SBM)
b) Trong mp (SBM), đường thẳng BM cắt SO tại I
Ta có 
 c) Trong mp (SAC), đường thẳng AI cắt SC tại P, ta có P và M là hai điểm chung của mp (ABM) và mp (SCD)
Vậy đường thẳng PM cắt SD tại Q.Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (ABM) là tứ giác ABPQ
Dạng 5: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α)
 Phương pháp giải: (Định lí 1 SGK trang 61)
	 Tóm tắt: Nếu thì d // (α)
Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác định như thế nào, làm thế nào để xác định được nó. GV cần làm cho HS biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp. 
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’.
a) Tìm giao tuyến của hai mp(AB’C’) và (ABC).
b) Chứng minh rằng CB’ // (AHC’)
Lời giải:
a) Ta có : 
Þ A là điểm chung của (AB’C’) và (ABC).
Mà 
nên (AB’C’) Ç (ABC) = Ax và Ax // BC // B’C’ 
b) Ta có tứ giác AA’CC’ là hình bình hành 
Suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của mỗi đường
Do đó IH // CB’ (IH là đường trung bình của DCB’A’)
Mặt khác IH Ì (AHC’) nên CB’ // (AHC’).
Dạng 7 : Chứng minh hai mp(α) và mp(b) song song với nhau.
 Phương pháp giải: (Định lí 1 SGK trang 64)
Tóm tắt : Nếu thì (P) // (Q). 
* Nhận xét : Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào ? Nằm trên mặt phẳng (P) hay mp(Q) ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát hiện ra được vấn đề của bài toán. 
Ví dụ 8: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, CD. Chứng minh (MNO) // (SAD).
Lời giải :
Trong DSCD có MN là đường trung bình 
Þ MN // SD mà SD Ì (SAD) 
Þ MN // (SAD). (1) 
Trong DSAC có MO là đường trung bình
Þ MO // SA mà SA Ì (SAD)
 	Þ MO // (SAD). (2) 
Từ (1) và (2) suy ra (MNO) // (SAD).
Biện pháp 3: Bài tập rèn luyện :
Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD nằm trên mp(P) và một điểm S nằm ngoài mp(P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(CMN)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SAD) và (CMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(CMN) 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD. Trong DSBC lấy điểm M, trong DSCD lấy điểm N.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(SAC)
b) Tìm giao điểm của SC với mp(AMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(AMN). 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E là điểm thuộc đoạn AN ( không là trung điểm AN) và Q là điểm thuộc đoạn BC.
a) Tìm giao điểm của EM với mp(BCD)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(EMQ) và (BCD) ; (EMQ) và (ABD)
c) Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi mp(EMQ).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SA.
1) Xác định giao tuyến d của hai mp (MBD) và (SAC). Chứng tỏ d // mp(SCD). 
2) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (MBC). Thiết diện đó là hình
 gì?
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SC.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Tìm giao điểm H của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD).
2) Gọi I là giao điểm của AM và DN. Chứng minh rằng SI // (ABCD). 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
Với kinh nghiệm này tôi đã áp dụng để ôn tập cho học sinh các lớp 11B3, 11B4 năm học 2017 – 2018 và thu được kết quả như sau:
- Đa số học sinh áp dụng để giải được các bài tập trong sách giáo khoa hình học 11 - Chương 2.
- Kết quả cụ thể còn được thể hiện rõ qua một bài kiểm tra sau:
* Đối với lớp không áp dụng đề tài:
Lớp
Tổng số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
8 ≤ Điểm ≤ 10
6.5 ≤ Điểm < 8
5 ≤ Điểm < 6.5
3.5 ≤ Điểm < 5
0 ≤ Điểm < 3.5
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
11B2
35
0
0%
1
2.86%
17
48,57%
10
28.57%
7
20%
* Đối với lớp áp dụng đề tài:
Lớp
Tổng số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
8 ≤ Điểm ≤ 10
6.5 ≤ Điểm < 8
5 ≤ Điểm < 6.5
3.5 ≤ Điểm < 5
0 ≤ Điểm < 3.5
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
11B3
42
5
11.90%
11
26.19%
12
28.57%
14
33.33%
0
0%
11B4
35
1
2.86%
3
8.57%
13
37.14%
18
51.43%
0
0%
- Kết quả kiểm tra học kỳ 1 cho thấy số học sinh làm được bài toán hình nhiều hơn so với các năm học trước.
- Đa số học sinh không còn tâm lý "sợ" học hình không gian ở học kỳ 2.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
 Với mục đích nâng cao chất lượng dạy và học, khơi dậy và phát huy khả năng tìm tòi, sáng tạo của học sinh tôi mạnh dạn đưa ra một sáng kiến nhỏ này. Kính mong người đọc và các đồng nghiệp góp ý để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn.
	3.2. Kiến nghị.
Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với môn học, bản thân có kiến nghị với nhà trường có kế hoạch mua bổ sung một số mô hình của hình không gian, một số tranh minh họa các nội dung được thể hiện trong sách giáo khoa nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn.
XÁC NHẬN 
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 12 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
Đỗ Thị Oanh
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 11 – NXB Giáo Dục.
2. Sách bài tập hình học 11 – NXB Giáo Dục.
3. Sách giáo viên hình học 11 – NXB Giáo Dục.