SKKN Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xuân 2 giải thành thạo bài toán tính xác suất

MỤC LỤC
1. Mở đầu	1
1.1. Lý do chọn đề tài	1
1.2. Mục đích nghiên cứu	1
1.3. Đối tượng nghiên cứu	1
1.4. Phương pháp nghiên cứu	1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm	2
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm	2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng sáng kiến	2
2.3. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề	3
2.3.1. Giải pháp 1: Tóm tắt lý thuyết	3
2.3.2. Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loại bài toán tính xác suất	4
2.3.3. Giải pháp 3: Bài tập áp dụng	15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm	17 
3. Kết luận và kiến nghị	17
3.1. Kết luận	17
3.2. Kiến nghị	17
TÀI LIỆU THAM KHẢO	19
1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lý do chọn đề tài.
Gần đây, vấn đề đổi mới phương pháp dạy học nói chung đang được bàn đến trên nhiều diễn đàn khác nhau. Người ta đã đề xuất, thử nghiệm nhiều phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả giờ dạy Toán. Luật giáo dục do Quốc hội khóa X thông qua đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Toán học là một môn học đòi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc phân dạng và hình thành phương pháp giải từng dạng toán là biện pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu.
Toán xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, Y học, công nghệ thông tin và các ngành kinh tế. Lý thuyết xác suất được đưa vào chương trình Đại số & Giải tích 11 và cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về ngành toán học này. Hơn nữa, trong những năm gần đây thì dạng toán này còn có trong đề thi THPT Quốc gia do bộ giáo dục và đào tạo quy định.
Đứng trước một bài toán xác suất nhiều học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng không dám chắc mình đã làm đúng. Từ những lí do trên tôi đã chọn đề tài: “ Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xuân 2 giải thành thạo bài toán tính xác suất”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung xác xuất gồm định nghĩa và tính chất để tìm ra phương pháp cho từng dạng bài toán tính xác suất, giúp học sinh tiếp thu dễ dàng. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu. 
Các dạng toán và phương pháp tính xác suất. Khám phá, phân tích lời giải chi tiết từ đó học sinh hoàn thiện kiến thức và nắm bắt bài toán một cách thấu đáo và có chiều sâu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo về các vấn đề liên quan đến đề tài.
1.4.2. Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều tra theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ.
1.4.3. Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình giảng dạy, kiểm tra đánh giá nhằm minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụng các giải 
pháp.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Theo Nguyễn Bá Kim thì "Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh” và “.một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào học vấn phổ thông..." 
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Với đa số học sinh phổ thông việc làm quen, áp dụng và giải các bài toán về xác suất còn rất bỡ ngỡ và thấy khó. Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản đồng thời phải thường xuyên làm bài tập để học hỏi, trau rồi phương pháp, kĩ năng khi giải quyết các bài toán bằng các phương pháp phù hợp.
Do đó tôi luôn có ý định tìm ra một phương pháp mới để truyền dạy cho học sinh, một phương pháp học đơn giản, một phương pháp mà học sinh cảm thấy hứng thú khi học.
Để tiếp cận bài toán xác suất cũng như các bài toán khác ta nên tập cho học sinh vận dụng quy trình giải toán của G. Polia.
Quy trình 4 bước của G. Polia như sau: 
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải cho bài toán.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước 2.
Bước 4: Nghiên cứu sâu về lời giải. 
Đối với quy trình này, khi áp dụng vào mỗi dạng toán cụ thể sẽ góp phần tập cho HS xây dựng được một phương pháp chung để giải bài toán đó. Bản chất của việc này là làm cho HS chủ động tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trường THPT Thường Xuân 2 đóng trên địa bàn miền núi, với đa số học sinh là con em dân tộc Thái, Mường, còn nhiều hạn chế trong việc tiếp thu kiến thức, đặc biệt là kiến thức của các môn đòi hỏi tư duy trừu tượng như môn Toán. Đại đa số các em đều có học lực môn Toán là trung bình, yếu. Với đặc điểm như trên, để cải thiện chất lượng môn Toán cho đối tượng học sinh đại trà, chúng tôi thường tập trung vào giúp các em nắm vững và giải thành thạo các bài toán ở phần kiến thức được đánh giá là dễ học, dễ tiếp thu và giới hạn hàm số là một trong số kiến thức cần cung cấp cho các em.
Lượng kiến thức về phần xác suất trình bày trong sách giáo khoa Đại số & Giải tích 11 không nhiều. Qua thực tế giảng dạy xác suất cho học sinh ở trường THPT Thường Xuân 2 tôi nhận thấy: Đa số các em chưa hiểu sâu sắc các khái niệm cơ bản như: Không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắcvà đặc biệt đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất để giải các bài tập về tính xác suất. Cụ thể năm học 2017-2018 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi cho học sinh lớp 11B2 làm bài khảo sát, kết quả như sau:
Lớp
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
11B2
39
2
5,1
11
28,2
14
35,9
12
30,8
Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2018-2019 tôi đã tiến hành đổi mới cách dạy nội dung này tại các lớp 11B4, 11B5, 11B6 (Trong đó có lớp 11B5 có chất lượng tương đương với lớp 11B2 trong năm học trước). 
2.3. Các giải pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.
2.3.1. Giải pháp 1. Hệ thống lại kiến thức liên quan đến xác suất.
a. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố.
a1. Phép thử ngẫu nhiên: Là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.
a2. Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là .
a3. Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu. Biến cố thường được ký hiệu bằng chữ in hoa và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
 Tập được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).
Tập được gọi là biến cố chắc chắn.
a4. Phép toán trên biến cố.
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
Tập được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và xảy ra khi và chỉ khi không xảy ra.
Tập được gọi là hợp của các biến cố và .
Tập được gọi là giao của các biến cố và , còn được viết là .
Nếu thì ta nói và là xung khắc.
Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến cố kia.
b. Xác suất của biến cố.
b1. Định nghĩa cổ điển của xác suất.
 Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.
Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố kí hiệu là . Vậy 
b2. Tính chất của xác suất.
+) Tính chất cơ bản. 
, với mọi biến cố .
+) Quy tắc cộng xác suất
Nếu và xung khắc () thì: .
Nếu thì 
+) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố và độc lập khi và chỉ khi: .
Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loại bài toán xác suất.
Đối với bài toán tính xác suất ta có thể chia thành các dạng sau:
Dạng 1: Các bài toán tính xác suất áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất:
Với dạng này giáo viên cần hướng dẫn học sinh thực hiện theo 3 bước sau: 
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu(số khả năng xảy ra của phép thử): .
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi): 
Bước 3: Tính xác suất theo công thức: 
Bài toán 1(Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích ). Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho.
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Hướng dẫn giải:
a)
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu 
* Phép thử T: ‘‘Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang” (6 người vào 6 ghế).
* Số phần tử của không gian mẫu: 
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố 
Xét biến cố : “Nam nữ ngồi xen kẽ nhau”: 
Bước 3: Tính xác suất: . 
 b) 
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu: 
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố 
Xét biến cố : “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”: 
Bước 3: Tính xác suất: . 
Bài toán 2( Đề thi chính thức 2018 ). Từ một hộp chứa quả cầu đỏ và quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời quả cầu. Xác suất để lấy được quả cầu màu xanh bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu 
* Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa 15 quả cầu”.
* Số phần tử của không gian mẫu:(phần tử) 
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố 
 Xét biến cố : “Lấy được quả cầu màu xanh” ( phần tử ).
Bước 3: Tính xác suất: . Chọn A.
Bài toán 3 (Đề thi chính thức THPT 2018). Ba bạn mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu 
* Phép thử T: “Ba bạn mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn ”
* Số phần tử của không gian mẫu:(phần tử).
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố 
Xét biến cố : “ba số được viết ra có tổng chia hết cho ”.
Lấy một số tự nhiên từ đến ta có các nhóm số sau:
+) Số chia hết cho : có số thuộc tập .
+) Số chia cho dư : có số thuộc tập .
+) Số chia cho dư : có số thuộc tập .
Ba bạn , , mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn thỏa mãn ba số đó có tổng chia hết cho thì các khả năng xảy ra như sau:
TH1: Ba số đều chia hết cho có cách.
TH2: Ba số đều chia cho dư có cách.
TH3: Ba số đều chia cho dư có cách.
TH4: Một số chia hết cho , một số chia cho dư , chia cho dư có cách.
 ( phần tử ).
Bước 3: Tính xác suất: . Chọn D
Bài toán 4( Câu 40 - Đề minh họa 2019): Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu 
* Phép thử T: “Xếp ̉ học sinh vào ̉ ghế”.
* Số phần tử của không gian mẫu:(phần tử) 
 Bước 2: Tính số phần tử của biến cố 
Xét biến cố : “Mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ”.
* Học sinh nam thứ nhất có 6 cách xếp, học sinh nam thứ 2 có 4 cách xếp, học sinh nam thứ 3 có 2 cách xếp.
* Học sinh nữ có: cách xếp.
 ( phần tử ).
Bước 3: Tính xác suất: . Chọn A
Bài toán 5 (Thi thử THPT Quốc gia của sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019): Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc . Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho và tổng chữ số của nó cũng chia hết cho 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn học sinh giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
* Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số ”.
* Số phần tử của không gian mẫu:(phần tử) 
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố : “Lấy được một số chia hết cho và tổng chữ số của nó cũng chia hết cho ”.
Gọi số tự nhiên thuộc có dạng .
Vì 
nên 
Từ giả thiết 
Các cặp có tổng chia hết cho 11 là 
 ( phần tử ).
Bước 3: Tính xác suất: . Chọn D
Dạng 2: Biến cố đối.
 Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phức tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn. Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy.
Bài toán 1 (Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích). Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:
a) Cạnh của lục giác.
b) Đường chéo của lục giác.
c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.
Hướng dẫn giải:
* Phép thử : ‘‘ Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ từ 6 thẻ”. Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng có thể tạo ra được  đoạn thẳng.
* Số phần tử của không gian mẫu: 
a) Xét biến cố : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là cạnh của lục giác”:.
b) Xét biến cố : cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo của lục giác”: .
c) Xét biến cố : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”: 
Bài toán 2. Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:
a) Biến cố : “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b) Biến cố : “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Hướng dẫn giải:
Học sinh có thể giải quyết bài toán theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.
Do đó học sinh sẽ giải bài toán theo cách giải dạng 1:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
* Phép thử : ‘‘tiền xu cân đối đồng chất 3 lần’’
* Số phần tử của không gian mẫu gồm phần tử
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố 
* Xét biến cố : “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
Bước 3: Tính xác suất: 
Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Ta có thể xét biến cố đối của biến cố là biến cố : “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa”. Do đó bài toán này sẽ được giải theo cách khác:
Cách khác.
* Phép thử : ‘‘tiền xu cân đối đồng chất 3 lần’’.
* Số phần tử của không gian mẫu gồm phần tử.
* Xét biến cố : “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
Ta có biến cố đối của biến cố là biến cố: : “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa”.
Và ta có: = 
b) Biến cố : “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Ta có biến cố đối của biến cố là biến cố: : “Trong 3 lần gieo hoặc là không có mặt ngửa, hoặc là không có mặt sấp”.
Ta có:  .
Bài toán 3. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Biến cố : “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”.
b) Biến cố : “Tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn ”
 Hướng dẫn giải:
Nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp, chẳng hạn:
- Đối với biến cố .
· Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất.
· Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai.
· Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm (khả năng này lại nằm trong cả hai khả năng trên).
- Đối với biến cố . Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn tức là có khả năng xảy ra.
Vì thế đối với bài toán này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là phương pháp tối ưu.
* Phép thử: “Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần”.
* Số phần tử của không gian mẫu: 
a) Biến cố đối của biến cố là : “Không lần nào xuất hiện mặt một chấm”.
b) Biến cố đối của biến cố là : “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là một số không nhỏ hơn ”.
.
Bài toán 4( Câu 34 - Đề thi thử THPT Quốc gia của sở GD&ĐT Thanh Hóa 2018). Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang. Tính xác suất để có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau.
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
 Bài toán này đã trình bày ở trên bằng cách áp dụng định nghĩa cổ điển của xác
suất. Tuy nhiên bài toán này cũng có thể giải bằng cách sử dụng biến cố đối.
* Phép thử : “Xếp ngẫu nhiên chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng ngang”.
* Số phần tử của không gian mẫu: 
Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt
như sau 
- Có cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H.
- Có cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A.
- Có cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
Xét biến cố: : “Có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau”. 
Ta có: : “ Không có hai chữ cái H đứng cạnh nhau”.
Đầu tiên ta xếp 2 chữ cái A và 3 chữ cái T, O, N, có cách xếp.
Tiếp theo ta có 6 vị trí (xen giữa và ở hai đầu) để xếp 3 chữ cái H, có cách xếp
Do đó ..Chọn D
Nhận xét: Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên để vận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
 Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”, “tất cả”hoặc tính chẵn, lẻ, vô nghiệm, có nghiệm,nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta dùng biến cố đối.
Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối.
Dạng 3: Các bài toán sử dụng công thức cộng xác suất.
Khi dùng quy tắc cộng xác suất cần phải chú ý cho học sinh các biến cố cơ sở phải xung khắc, trường hợp các biến cố cơ sở khong xung khắc thì phải dùng công thức cộng xác suất mở rộng. Khi đó phải sử dụng cả công thức nhân xác suất sẽ được trình bày ở dạng 4
Bài toán 1. Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.
Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng nghĩa là không có chi tiết nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng. Bài toán này không thể giải theo dạng 1 mà phải sử dụng phép tính xác suất. Đây là bài toán dùng quy tắc cộng xác suất
Hướng dẫn giải: 
* Phép thử : “Lấy 6 chi tiết trong hòm có 10 chi tiết”.
* Số phần tử của không gian mẫu: 
Gọi là biến cố “Trong chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”.
là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”.
 là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”.
Khi đó . Do và xung khắc nhau nên 
.
Có 8 chi tiết không bị hỏng nên 
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là: .
Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là :
Theo quy tắc nhân ta có 
Do vậy ta có: .
.
Bài toán 2. Tổ I có 6 nam và 7 nữ, tổ II có 8 nam và 4 nữ. Để lập một đoàn đại biểu, lớp trưởng chọn ngẫu nhiên từ mỗi tổ hai người. Tính xác suất sao cho đoàn đại biểu gồm toàn nam hoặc toàn nữ. 
Hướng dẫn giải:
Gọi: 	 là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam hoặc toàn nữ”, 
	 là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam”, 
	 là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nữ”. 
Ta có: 
Chọn 2 người từ tổ I, có cách. 
Chọn 2 người từ tổ II, có cách.
Từ đó không gian mẫu gồm: (phần tử). 
Vậy 
Bài toán 3. Một hộp đựng 88 viên bi xanh và 44 viên bi đỏ. Lấy  ngẫu nhiên 33 viên bi. Tính xác suất để 
a)    Lấy được 33 viên bi cùng màu.
b)    Lấy được 33 viên bi khác màu.
c)    Lấy được ít nhất 22 viên bi xanh.
Hướng dẫn giải:
a) gọi   là biến cố “ Lấy được 33 viên bi xanh”,   là biến cố “ lấy
được 33 viên bi đỏ” và H là biến cố “ lấy được 33 viên bi cùng màu”. 
Ta có  và nên  
 và 
Vậy nên 
b) Biến cố “ lấy được 33 viên bi khác màu” là biến cố  , 
c) Gọi   là biến cố: “lấy được 22 viên bi xanh và một viên bi đỏ” .
 là biến cố: “ lấy được ít nhất 22 viên bi xanh”. 
Ta có  và nên  
Vậy: 
Dạng 4: Các bài toán sử dụng công thức nhân xác suất.
 Để làm được cách này học sinh phải hiểu các khái niệm về biến cố giao, các biến cố độc lập, quy tắc nhân xác suất.
Bài toán 1. Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là . Tính xác suất để trong lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia một lần.
Hướng dẫn giải:
	Gọi là biến cố: “ Người xạ thủ bắn trún