SKKN Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy khả năng giải bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11 PHÁT HUY KHẢ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Phan Thị Nhường
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán 
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài....
2
1.2. Mục đích nghiên cứu..
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
3
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
3
3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ..............................
3
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN.
5
2.3. Các giải pháp thực hiện.............
6
2.4. Hiệu quả của SKKN.
19
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ....
20
3.1. Kết luận
20
3.2. Kiến nghị..
21
MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO
22
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 	Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết như học sinh học hình học còn yếu, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán và đặc biệt đại đa số học sinh khi nhắc đến hình học không gian lại rất ngại nói đúng hơn là sợ sệt. Đặc biệt năm học 2018-2019 là năm học có nội dung trắc nghiệm hình học không gian lớp 11 trong kỳ thi THPT Quốc gia, vì vậy học sinh cần có vốn kiến thức và kỹ năng nhất định, đặc biệt là những câu hỏi vận dụng về tính khoảng cách trong hình học không gian. Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức về hình học không gian còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để từ đó sẽ quy bài toán từ khó về dễ và phù hợp với trình độ kiến thức mình đang có đặc biệt là kỹ năng xác định và tính toán nhanh để đạt được yêu cầu kiến thức lẫn thời gian của một đề thi trắc nghiệm. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh những phương pháp để giải quyết các bài toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu là rất cần thiết trong dạy học. 
 	Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi xin chia sẻ đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy khả năng giải bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình học không gian ”.
	Đây là một nội dung quan trọng, hay và khó trong chương trình hình học 11 nên đã có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu. Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận đối với bài toán này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người đọc. Ngoài ra sáng kiến kinh nghiệm này còn là tài liệu dùng cho các em học sinh lớp 12 để ôn luyện thi THPT quốc gia về chuyên đề khoảng cách . Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết, các em hiểu sâu hơn về bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng và yêu thích chủ đề khoảng cách trong hình học không gian.
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắm được cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen. Đồng thời giúp học sinh có một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt. Hình thành cho các em thói quen tìm tòi, tích lũy và rèn luyện khả năng giải quyết các bài toán. Hy vọng đề tài sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11 và cho học sinh lớp 12 vững thêm kiến thức chuẩn bị ôn thi THPT quốc gia, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung chính của đề tài là nghiên cứu một số tính chất về khoảng cách. Tính khoảng từ một điểm đến mặt phẳng chứa đường cao, tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ dựa vào chân đường cao hình chóp (hoặc hình lăng trụ). 
 Đề tài tập trung bài tập ở dạng trắc nghiệm khách quan và vận dụng nó trong các bài toán thực tế của đời sống xã hội. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, mạng internet 
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh Gia 4.
- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu quả sử dụng đề tài nghiên cứu trong việc giảng dạy lớp 11 và ôn thi THPT quốc gia năm học 2018-2019 ở trường THPT Tĩnh Gia 4. 
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
	Theo tôi được biết đã có nhiều đề tài viết về chuyên đề khoảng cách . Nhưng theo quan điểm cá nhân tôi do sự đổi mới trong hình thức thi cử kể cả thi cuối kỳ hay thi THPT quốc gia thì đều thi theo hình thức trắc nghiệm. Đối với môn hình học thì đề tài của tôi là một quan điểm hoàn toàn mới về cách thức giải các bài toán, cụ thể:
	- Thứ nhất, sáng kiến kinh nghiệm này trình bày một cách có hệ thống , các bài toán có sự phân dạng và phân loại theo từng mức độ. Câu hỏi theo hình thức trắc nghiệm được sưu tầm ở các chuyên đề hình học không gian, đề thi thử, đề thi THPT quốc gia các năm trước giúp giáo viên và học sinh dễ hình dung.
	- Thứ hai, sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra một giải pháp hoàn toàn mới Giúp học sinh giải toán một cách nhanh nhất. Đặc biệt với giải pháp chủ yếu là thông qua ba bước là dựng hình, chứng minh, tính khoảng cách. Như vậy nó rất tiện lợ cho các em học sinh thi trắc nghiệm khi đã ôn luyện nhuần nhuyễn thì có thể rút ngắn thời gian làm bài bằng cách dựng hình xong rồi tính khoảng cách luôn.	
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.[1]
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là khoảng cách giữa hai điểm và , trong đó là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Kí hiệu: 
2.1.2. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.[1]
Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng .
2.1.3. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.[1]
Định lý
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
2.1.4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.[1]
	Định lý 1
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
	Hệ quả 1
	Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
2.1.5. Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng [5]
-Xác định điểm sao cho vuông góc với tại .
- .
Cụ thể:
-Xác định mp chứa điểm M và vuông góc với mptheo giao tuyến .
-Trong mp kẻ vuông góc với tại ().
- 
Chứng minh: 
Ta có 
2.1.6. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.[3]
	Cho tam giác vuông tại . Gọi là đường cao. Đặt ta có 
	; 
2.1.7. Định lý talet trong mặt phẳng.[3] 
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của một tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
nếu MN // BC thì ; .
2.1.8. Phương pháp đổi điểm[6]
+ Nếu AB // mp() thì d(A,())=d(B,()).
+ Nếu AB cắt mp() tại I thì ta gọi là hình chiếu của trên và Gọi là hình chiếu của trên . Áp dụng định lý talet trong mặt phẳng ta có 
+Nhận xét: Phương pháp đổi điểm cho phép ta chuyển việc tính khoảng cách từ một điểm không phải chân đường cao về tính khoảng cách từ điểm là chân đường cao. Trong một số bài toán ta có thể kết phương pháp đổi điểm song song và đổi điểm cắt đề tính như sau:
Nếu và thì
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Tĩnh Gia 4, tôi thấy rằng bài toán tìm khoảng cách là một vấn đề khó khăn với phần đa số học sinh. Học sinh rất nhanh quên và không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán. Trong khi đó bài toán tìm khoảng cách khá nhiều dạng nên các em dễ rối khi tiếp cận đề bài. Đăc biệt những năm gần đây hình thức thi học kỳ hay thi THPT quốc gia đều được đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm, lượng bài tập khá nhiều mà các em chưa thể phân loại được. 
Khảo sát chất lượng học sinh lớp 11 trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấy chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưng không đúng hoặc chưa định hình được phương pháp và thường bị mất điểm ở những bài tập này.
Với tình hình ấy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách tiếp cận bài toán dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện khả năng giải toán của bản thân. để giúp học sinh có lượng kiến thức nhất định, để khi các em gặp bài toán nào cũng có thể khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán đó, biết quy lạ về quen, đưa cái chưa biết về cái đã có để rút ra một lời giải nhanh gọn nhất. 
 Vậy tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng tốt các kiến thức khoảng cách để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài toán khoảng cách một cách chính xác và nhanh nhất.
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề
Như đã nói ở trên, đối với các dạng bài tập này đề tài đưa ra hướng giải có các bước phân tích, dựng hình, chứng minh và tính khoảng cách. 
Sau đây là một số giải pháp minh họa mà tôi đã áp dụng trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài. Hệ thống bài tập có sự phân dạng, phân loại từ dễ đến khó có thể làm tài liệu ôn tập áp dụng cho các kỳ thi học kỳ, kỳ thi THPT quốc gia. Hi vọng thông qua các bài tập này các em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự.
2.3.1. Giải pháp 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng chứa đường cao hình chóp (hoặc hình lăng trụ)
Phương pháp:
- Dựng hình(dựng đường vuông góc từ điểm M đến cạnh đối diện nằm trong ).
- Chứng minh tính vuông góc
- Tính khoảng cách.
Ví dụ 1: [4]Cho hình chóp có là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy, là giao điểm của và . là trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách từ 
 đến mặt phẳng ; 
 đến mặt phẳng . 
Hướng dẫn
Tính 
* Phân tích 
- vuông góc với mặt phẳng đáy nên là đường cao hình chóp.
-Ta nhận thấy mặt phẳng chứa đường cao . 
- Để xác định khoảng cách từ đến thì từ điểm ta dựng vuông góc với cạnh đối diện là . Thì là khoảng cách từ đến . 
* Giải
+ Dựng hình: . 
+ Chứng minh: ta có .
+ Tính : Xét có .
Vậy .
Tính 
 * Phân tích 
- vuông góc với mặt phẳng đáy nên là đường cao hình chóp.
-Ta nhận thấy mặt phẳng chứa đường cao . 
- Để xác định khoảng cách từ đến thì từ điểm ta dựng vuông góc với cạnh đối diện là . Thì là khoảng cách từ đến .
* Giải
+ Dựng: . 
+ Chứng minh: ta có .
+ Tính Trong có nên áp dụng định lý talet trong mặt phẳng 
ta có: .
Vậy 
Ví dụ 2: [4]Cho hình lăng trụ ,Tam giác vuông ở . Hình chiếu của A’ trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh . . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng Dẫn Tính 
* Phân tích
-Vì là hình chiếu vuông góc của trên mp(ABC) nên là đường cao hình lăng trụ. 
-Ta nhận thấy mặt phẳng chứa đường cao 
- Để xác định khoảng cách từ đến thì từ điểm ta dựng vuông góc với cạnh đối diện là . Thì là khoảng cách từ đến 
* Giải
+ Dựng: .
+ Chứng minh: Ta có .
+ Tính Ta có .
. 
.
Mà .
Vậy . Chọn đáp án A.
2.3.2. Giải pháp 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bất kỳ
Thực tế các em học sinh thường thấy khó trong việc dựng hình. Nên ở giải pháp này đề tài sẽ phân ra 3 trường hợp cụ thể để cho các em học sinh tiếp cận cách dựng khoảng cách dễ dàng hơn.
Nội dung
Cách dựng
Hình minh họa
Chứng minh
Trường hợp 1: có ,và tam giác đáy vuông tại . Hãy xác định khoảng cách từ đến .
Dựng thì 
+ 
+ 
Từ (1) và (2)
Vậy 
Trường hợp 2: có và tam giác đáy vuông tại . Hãy xác định khoảng cách từ đến .
Dựng thì 
+ 
+ 
Từ (1) và (2)
Vậy 
Trường hợp 3: Hình chóp có và tam giác đáy không vuông ở và . Hãy xác định khoảng cách từ đến 
Ta cần tạo một góc vuông ở mặt phẳng đáy để quy bài toán về trường hợp 1 và trường hợp 2.
Dựng và . Khi đó 
Ta có:
theo giao tuyến . 
Trong kẻ 
. 
Vậy 
Nhận xét: Nhìn chung khi dựng khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên thì học sinh phải lưu ý rằng mặt phẳng đáy có góc vuông hay không. Nếu mặt phẳng đáy vuông ở đỉnh nào thì ta dựng vuông góc với cạnh bên chứa đỉnh ấy.
Tức là nếu vuông ở thì ta dựng . Nếu vuông ở thì ta dựng Nếu không có góc vuông thì ta tạo thêm góc vuông như trường hợp 3. 
* Trường hợp đặc biệt
Tứ diện có đôi một vuông góc. Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng thì và .
Ví dụ 3. (Tuyển sinh đại học khối D-năm 2002)
Cho tứ diện có vuông góc với mặt phẳng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
A.	B. 	C. 	D. 
Hướng Dẫn Tính 
* Phân tích: Ta nhận thấy mp không chứa đường cao và là chân đường cao hình chóp nên bài toán thuộc giải pháp 2, Tam giác đáy không vuông ở và nên nó thuộc trường hợp 3.Nhận xét tam giác đáy có nên ta có thể giải theo 2 cách.
* Giải
Cách 1
+ Dựng và . 
Khi đó . 
+ Chứng minh:
Ta có theo giao tuyến . 
Trong kẻ . 
Vậy là khoảng cách từ đến .
+ Tính : Vì có nên vuông tại . 
Trong : . 
Trong vuông tại : .
Vậy . Chọn đáp án C
Cách 2: Vì nên vuông tại . 
Tứ diện là tứ diện vuông tại (vì đôi một vuông góc)
Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng thì: 
.
Vậy .
Ví dụ 4: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy. , , góc giữa và mặt phẳng đáy bằng . 
a) Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
A. 	B. 	C. 	D. 
b) Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng Dẫn 
a) Tính 	
* Phân tích Ta nhận thấy Đường cao hình chóp là , mp không chứa đường cao, điểm là chân đường cao nên bài toán dựa vào giải pháp 2. Ngoài ra vuông tại nên ta dựng thì là khoảng cách.
* Giải
+ Dựng hình: . 
+ Chứng minh:
 Ta có . 
+Tính : . 
	 	 vuông cân tại . 
	 vuông tại : . 	
Vậy . Chọn đáp án B.
b) Tính 
* Phân tích 
Ta nhận thấy mp không chứa đường cao, điểm là chân đường cao nên bài toán dựa vào giải pháp 2. Ngoài ra ta có thể tính được các cạnh nên không vuông tại và tại do đó ta dựng khoảng cách theo trường hợp 3 của giải pháp 2 .
* Giải
+ Dựng hình: Dựng và dựng . 
Khi đó . 
+ Chứng minh: 
Ta có theo giao tuyến . 
Trong kẻ . 
+ Tính : Ta có . 
. 
 vuông tại : . 
Vậy . Chọn đáp án A.
Ví dụ 5: [5]Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và . Hình chiếu của đỉnh trùng với trung điểm của đoạn . . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn tính 
* Phân tích
Ta nhận thấy đường cao hình chóp là , mp không chứa đường cao, nên bài toán thuộc vào giải pháp 2. Tam giác có nhọn, ta cần xác định góc có vuông hay không?
Gọi là trung điểm của ta có là hình bình hành .
 có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên vuông tại .
Vì tam giác vuông tại nên để dựng khoảng cách từ đến ta dựng thì là khoảng cách.
* Giải
+Dựng hình: kẻ .
+ Chứng minh: Gọi là trung điểm của ta có là hình bình hành . 
 có nên .
Ta có (1).
	(2).
Từ (1) và (2) ta có . 
+ Tính : . 
. 
Xét vuông tại : . 
Vậy . Chọn đáp án A.
Nhận xét: đối với bài tập này học sinh cần các định xem có góc vuông tại hoặc không. Vì cách dựng khoảng cách nó phụ thuộc vào độ lớn góc và 
2.3.3. Giải pháp 3: Khoảng cách từ điểm bất kỳ đến mặt phẳng bất kỳ
Phương pháp đổi điểm: Là phương pháp đổi khoảng cách từ điểm đề bài yêu cầu sang điểm khác dễ tính khoảng cách hơn (thường là chân đường cao).
Ví dụ 7.(Trích đề thi minh họa THPT năm 2015)
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Hình chiếu của trên mặt phẳng đáy là trung điểm cạnh , , , . Khoảng cách Từ đến mặt phẳng là 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn tính 
* Phân tích 
Ta nhận thấy không chứa đường cao, điểm không phải chân đường cao hình chóp nên bài toán thuộc vào giải pháp 3. Vậy ta sẽ sử dụng phương pháp đổi điểm. Ta có nên . 
* Giải 
+ Dựng hình: Lấy điểm là trung điểm . 
Kẻ và 
 thì .
+ Chứng minh: 
Tacó theo giao tuyến .
Trong có .
+ Tính độ dài : là đường trung bình nên ta có 
. 
Trong vuông tại : . 
Mặt khác , là hình chiếu của trên . 
Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng thì ta có 
.
Vậy . Chọn đáp án A.
Ví dụ 8. (Trích đề thi tuyển sinh khối B năm 2014)
Cho lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm của cạnh , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn tính 
* Phân tích 
Ta nhận thấy là đường cao đường hình lăng trụ nên mp không chứa đường cao và điểm không phải chân đường cao nên bài toán rơi vào giải pháp 3. Ta sẽ sử dụng phương pháp đổi điểm sang điểm 
Do nên . 
* Giải 
+ Dựng hình: 
Lấy là trung điểm 
Kẻ và khi đó 
+ Chứng minh: 
Ta có 
 theo giao tuyến 
Trong có (đpcm).
+ Tính : 
 là hình chiếu của trên nên 
 vuông tại : . 
vuông tại : . 
Trong vuông tại : .
Mặt khác .
.
Vậy . Chọn đáp án A.
Ví dụ 9. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=. Gọi là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
A. 	B. 	
C. 	D. 
Hướng dẫn: 
a)Tính 
* Phân tích: Ta nhận thấy đường cao hình chóp là . Như vậy rõ ràng điểm không phải chân đường cao và mp cũng không chứa đường cao. Nên trong bài này ta sẽ dùng phương pháp đổi điểm về chân đường cao là điểm .
Tuy nhiên để xác định giao điểm của với trong bài toán này không đơn giản. Các em phải nắm được cách xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Từ đó kẻ thêm đường phụ cho hợp lý. Ở ví dụ 5 ta đã chứng minh được nên trong bài này ta sẽ thừa nhận. GV yêu cầu học sinh xác định khoảng cách từ đến ? Và xác định giao điểm của với .
* Giải
+ Dựng hình: Kẻ 
+ Chứng minh: 
Ta có (theo ví dụ 5) và 
 theo giao tuyến . 
Trong mp có .
 + Tính độ 
Ta có . 
 vuông cân tại : 
 .
Trong gọi .
Trong gọi .
Do là trung điểm của .
Mà .
Nên là trọng tâm của do đó.
.
Vậy . Chọn đáp án B.
Ví dụ 10. [9]Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , , vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng đến mặt phẳng là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn tính 
* Phân tích :Ta nhận thấy không chứa đường cao và điểm cũng không phải chân đường cao của hình chóp. Vậy nên ta dùng phương pháp đổi điểm sang chân đường cao là điểm .
Trong gọi 
. Mà trong SAC có SO và AI là các đường trung tuyến nên G là trọng tâm .
- Tỉ số 
* Giải
+ Dựng hình: 
Kẻ và . Khi đó 
+ Chứng minh: Ta có theo giao tuyến 
Trong có .
+Tính : 
 vuông tại .
 vuông tại : .
Gọi và và là trọng tâm 
Ta có: 
Vậy . Chọn đáp án C.
Ví dụ 11. [7]Cho hình chóp tam giác đáy vuông tại . Tam giác lần lượt vuông tại và Khối cầu ngoại tiếp hình chóp có thể tích bằng Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn Tính 
* Phân tích 
-Vì hai điểm cùng nhìn đoạn thẳng dưới 1 góc vuông nên gọi là trung điểm của thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
- Vì vuông tại nên gọi là trung điểm thì là tâm đường tròn ngoại tiếp nên đường cao của hình chóp 
-Như vậy trong bài toán này ngoài việc đổi điểm tính khoảng cách ta còn đổi cả đỉnh hình chóp. Quy bài toán tính về tính .
-
* Giải
+ Dựng hình: Lấy lần lượt là trung điểm của 
Kẻ và . Khi đó .
+ Chứng minh: và lần lượt vuông tại và nên trung điểm của là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (1)
 vuông tại nên trung điểm của là tâm đường tròn ngoại tiếp (2)
Từ (1) và (2)đường cao hình chóp .
Ta có theo giao tuyến 
Trong mp có (đpcm).
+ Tính 
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Theo bài ra ta có
 vuông tại : 
 vuông tại : 
vuông tại : 
Vậy . Chọn đáp án A.
Ví dụ 13. [8]Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , . Từ là trung điểm của vẽ vuông góc với mặt phẳng và . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn tính 
* Phân tích: Ta nhận thấy đường cao hình chóp là , không chứa đường cao và điểm cũng không phải chân đường cao của hình chóp. Vậy nên ta dùng phương pháp đổi điểm sang chân đường cao là điểm . 
Mà 
 .
* Giải
+ Dựng hình: 
Kẻ và 
khi đó .
+ Chứng minh: 
Ta có theo giao tuyến 
Trong có . (đpcm) 
+ Tính : 
 đều nên gọi là trung điểm thì và 
Ta có và . 
SHI vuông tại H: .
Mặt khác . 
Vậy . Chọn đáp án D.
Bài tập tự luyện
Bà