SKKN Một số dạng toán về véc tơ trong hình học lớp 10

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
 Thế giới đã bước sang thời kỳ phát triển kinh tế tri thức và thế kỷ này được mệnh danh là thế kỷ của khoa học công nghệ. Sự vận động và phát triển không ngừng của khoa học, kinh tế, giáo dục, công nghệ khiến thế giới thay đổi từng ngày. Trên con đường hội nhập vào nền kinh tế tri thức này đòi hỏi mỗi quốc gia phải có đội ngũ nhân lực đủ trình độ, am hiểu. Để đáp ứng được yêu cầu này thì giáo dục giữ vai trò quan trọng và quyết định trong sự nghiệp chung của đất nước.
 Giáo dục thường xuyên là một ngành học quan trọng của ngành giáo dục, nó dành cho mọi đối tượng có nhu cầu học tập từ học nghề đến học văn hoá. Do đó các học viên hệ GDTX có độ tuổi và trình độ không đồng đều trong cùng một lớp. Đa số học viên có học lực từ trung bình trở xuống, một bộ phận vừa học, vừa làm nên thời gian tự học ở nhà rất ít, nhiều học viên nghỉ học đã lâu nên kiến thức cũ quên nhiều, một bộ phận không nhỏ các học viên có khả năng nhận thức, vốn hiểu biết, vốn kiến thức kỹ năng toán học, tư duy lô gíc rất yếu, nhiều em không xác định được đúng đắn mục đích học và động cơ học tập, ý thức học tập và ý thức tổ chức kỷ luật kém.
 Thời gian có hạn, kiến thức lại nhiều và với đặc điểm học viên như trên, đòi hỏi giáo viên cần chọn kiến thức và phương pháp truyền đạt cho phù hợp để dẫn dắt học viên đến với khoa học. Giáo viên không chỉ là người cung cấp kiến thức bằng phương pháp thuyết trình, giảng giải mà bằng việc tổ chức các hoạt động dạy học để học sinh có khả năng khám phá ra tri thức mới. Đó là một trong những hoạt động sáng tạo của học sinh. Tư tưởng đại số hoá hình học thể hiện trong SGK hiện nay là rất khó đối với trình độ học sinh lớp 10.
 Cái khó thứ nhất chính là khó về mặt thuật ngữ trong việc xoá bỏ một thói quen đã được hình thành sẵn. Tại sao lại gọi là hình học khi giải các bài toán hình học bằng công cụ vectơ có thể không dùng hình vẽ làm công cụ trợ giúp ban đầu. Tính "công cụ"của vectơ phải thông qua rất nhiều ví dụ và phải một thời gian dài học sinh mới cảm nhận được.
	Cái khó thứ hai là do thời lượng phân bố hạn chế nên khó có thể hoàn thiện được kỹ năng. Vectơ trong trương trình THPT hiện nay là khái niệm được định nghĩa, việc giải toán bằng công cụ vectơ cần thiết phải được liên hệ với các đối tượng dùng để định nghĩa nó. Vì vậy trong cuốn sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin trình bày một đề tài nhỏ mà tôi đã nghiên cứu và áp dụng trong những năm gần đây đó là: “ Một số dạng toán về véc tơ trong hình học lớp 10” với mong muốn giúp học sinh khắc sâu kiến thức về vectơ và vận dụng được trong quá trình giải và làm toán.
1.2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng toán về véc tơ trong hình học lớp 10 nhằm mục tiêu giúp học viên hệ thống được các kiến thức cơ bản về vectơ như sau:
 - Nắm được các đối tượng cấu thành véctơ, quan hệ cơ bản giữa hai véctơ.
 - Dựng được một véctơ bằng một véctơ nếu biết điểm đầu hoặc điểm cuối.
 - Biết cách dựng tổng, hiệu của hai véctơ và các tính chất của phép toán.
 - Biết phân tích một véctơ thành tổng, hiệu của hai véctơ khác.
 - Nắm được quy tắc hợp thành của tích một số thực với một véctơ, điều kiện đủ để hai véctơ cùng phương.
 - Biết cách chuyển đổi ngôn ngữ từ bài toán hình học thông thường thành hệ thức véctơ tương ứng (trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, điểm chia đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước).
 - Biết cách sử dụng phương pháp véctơ trong giải toán hình học. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài tập trung nghiên cứu các phép toán trên vectơ. Đó là các phương pháp biến đổi các véc tơ dựa vào các phép toán, tính chất và đặc trưng của nó. Thông qua các bài tập ví dụ hình thành nên kĩ năng, tính nhuần nhuyễn cho học viên trong quá trình xử lí các bài toán về véctơ.
 - Bài toán sử dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng và phép trừ vectơ. Cách sử dụng quy tắc hình bình hành thông qua một số dạng bài tập 
 - Bài toán xác định vị trí của một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước
 - Bài toán chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài.
 - Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song.
 - Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng.
 - Bài toán chứng minh hai điểm trùng nhau. Những bài toán liên quan đến trọng tâm của một hệ điểm
 - Bài toán chứng minh một số đẳng thức véctơ khác nhau để thể hiện mối quan hệ giữa đối tượng hình học và đẳng thức véctơ. Cách chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ véctơ.
1.4. Phương pháp nghiên cứu. 
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Thu thập và xử lý các tài liệu có liên quan đến véctơ và ứng dụng các phép toán về véctơ.
 - Phương pháp thực tiễn: Đánh giá chất lượng học sinh qua các bài giảng trên lớp đại trà, lớp bồi dưỡng học sinh giỏi và các bài kiểm tra hình học có liên quan đến véc tơ đối với học sinh lớp 10, 11.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: 
	Ở sáng kiến kinh nghiệm năm 2011 với đề tài “Hướng dẫn học sinh cách thành lập ngôn ngữ véctơ và vận dụng các phép toán trên véctơ để giải toán hình học chương I-Hình học 10” tôi mới chỉ ra cho học sinh cách tiếp cận với kiến thức véctơ và thành lập ngôn ngữ véctơ. Bước đầu cho học viên làm quen và bớt đi cảm giác bỡ ngỡ trong việc học toán về véctơ. Trong đề mới năm nay (2019) với đề tài “Một số dạng toán về véc tơ trong hình học lớp 10” tôi cụ thể hóa bằng cách dang toán cụ thể về véctơ để học viên được rèn luyện, qua đó thuần thục trong kĩ năng nhận dạng và vận dụng các phép toán trên véctơ trong quá trình giải các bài toán.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
	Các phép toán trên vectơ:
a, Phép cộng các véctơ:
Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: 
Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta luôn có:
Các tính chất: Cho ba véctơ , , tuỳ ý ta có:
+ = +( Tính chất giao hoán)
(+) + = +(+) (Tính chất kết hợp)
+ = + (Tính chất của véctơ-không)
b, Phép trừ các véctơ: 
Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: 
c, Phép nhân một véctơ với một số: 
Cho ba véctơ , tuỳ ý, với mọi số h, k ta có
 k(+) =k + k (h+k) = h + k
 h(k) = (hk) 1. = 
 (-1) = -
d, Tích vô hướng của hai vectơ: 
2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu.
 Sở GD ĐT Thanh Hoá hàng năm có mở nhiều lớp tập huấn chuyên môn, bồi dưỡng và hướng dẫn phương pháp dạy học. Nhờ đó mà giáo viên chúng tôi có điều kiện vận dụng vào thực tiễn giảng dạy. Sự chỉ đạo sát sao của Sở giáo dục, sự đôn đốc và tạo điều kiện của ban giám đốc trung tâm, tổ bộ môn cùng với sự nhiệt tình của các thầy cô giáo là động lực để đổi mới phương pháp dạy học có hiệu quả. Phong trào thao giảng dự giờ rút kinh nghiệm diễn ra sôi nổi, đặc biệt là phong trào thi giáo viên giỏi cấp trường hàng năm cũng như thi giáo viên giỏi cấp tỉnh theo định kỳ. Qua đó tôi cũng như các đồng nghiệp rút ra được nhiều điều bổ ích về chuyên môn. Đời sống giáo viên ngày một được nâng cao, được Đảng, nhà nước quan tâm đãi ngộ, chế độ lương đảm bảo cho cuộc sống. Bên cạnh những thuận lợi nói trên thì công tác giảng dạy và học tập môn toán của học viên trong trường còn vấp phải những khó khăn đáng kể. Đầu vào kiến thức của các học viên quá yếu, tư tưởng xác định mục tiêu học tập của nhiều học viên và phụ huynh còn nhiều lệch lạc. Tình hình đạo đức của học viên có biểu hiện xuống cấp (ở một số không nhỏ) nhất là ở những học viên học yếu.
 Với thực trạng như trên thì một tiết hình học của học viên trôi qua một cách nặng nhọc và khó khăn. Các em thường có tâm lý “sợ” phải học hình. Qua hình thức trắc nghiệm mức độ thích học đối với môn hình học thì có tới 80% học viên không thích (thậm chí là không muốn) học môn hình học. Khi chưa thực sự khắc sâu và hình thành đc kĩ năng về giải các bài toán vectơ, dẫn tới các giờ học hình học uể oải, chất lượng không cao. Vì thế kết quả kiểm tra đánh giá chưa được như mong muốn, tỉ lệ học sinh yếu kém còn cao, cụ thể là: Qua khảo sát chất lượng lớp 10A-Trung tâm GDNN- GDTX Hà Trung (năm học 2017-2018) như sau:
Sự hứng thú học đối với bộ môn hình học:
Lớp
Sĩ số
Thích học
Bình thường
Không thích
SL
%
SL
%
SL
%
10A
20
01
5
3
15
12
80
Kết quả bài kiểm tra hình học:
Lớp
Sĩ số
Yếu
TB
Khá
Giỏi
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10A
20
9
45
9
45
1
5
1
5
Qua thực tế và kết quả khảo sát tôi nhận thấy rằng:
	- Về sự hứng thú đối với môn hình học kết quả chủ yếu vẫn là mức bình thường và không thích chiếm tỷ lệ cao, tỷ lệ học sinh thích học vô cùng ít. 	
 - Về kết quả bài kiểm tra hình học thì còn ở mức độ yếu kém cao, số lượng học sinh đạt điểm khá giỏi còn khá hạn chế.
2.3. Các giải pháp tổ chức thực hiện
2.3.1. Bài toán sử dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng và phép trừ vectơ. Cách sử dụng quy tắc hình bình hành thông qua một số dạng bài tập 
Dạng 1: Bài tập thay tổng đại số của nhiều vec tơ bởi một véc tơ 
Ví dụ 1 : Đơn giản biểu thức 
a) . b) .
 Trong bài tập dạng này giáo viên phải gợi cho học sinh về các phép toán sẽ sử dụng nhằm mục đích thay đổi vị trí và nhóm ghép được các véctơ lại với nhau tạo thành các biểu thức véctơ đơn giản hơn. Chẳng hạn như câu a, ta sẽ nhóm theo cặp các véctơ và ; và ; và để sử dụng quy tắc trừ hoặc quy tắc ba điểm.
Ta có thể giải ví dụ trên như sau:	
a, - +++- -
=( - )+(-)+ +(-) = + (+) + +
= ++ = ++= 
b, + - - = (- )+(- ) = + = 
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Xác định điểm M, biết rằng hệ thức véctơ sau thỏa mãn :
a) = ,. b)= , .
 Trong ví dụ 2 này thì học sinh ngoài kỹ năng vận dụng phép cộng, trừ các véctơ ra còn phải hình thành được kỹ năng định hướng và dựng véctơ để chỉ ra điểm cần tìm. Muốn làm được như vậy, trước hết giáo viên phải định hướng được cho học sinh là sẽ nhóm những véctơ nào lại với nhau và sử dụng những phép toán nào trên véctơ để làm cơ sở lý luận cho việc giải bài toán. Ta có thể giải ví dụ 2 như sau:
A
D
O
a, Dựng hình bình hành OADB ta có: 
 Dựng hình bình hành ODMC ta lại được:
B
 +=
M
C
Vậy điểm M là đỉnh của hình bình hành ODMC.
	b, Tương tự câu a, ta có: 
 = ó - + = ó +=
 Vậy M là đỉnh của hình bình hành ACBM.
Dạng 2 : Bài tập biểu một vectơ thành tổng đại số của nhiều vectơ .
Ví dụ 1: 
a) Biểu diễn vectơ dưới dạng tổng đại số của ba vectơ , ,.
b) Biểu diễn vectơ dưới dạng tổng đại số của ba vectơ , ,.
	Ở ví dụ này sẽ hướng học sinh tới việc phải đảo vị trí các điểm trong véctơ để có phép toán mình mong muốn và thực hiện được kết quả cuối cùng. Ở đây các em sẽ nhìn thấy điểm chung của hai véctơ và , đảo vị trí của điểm C và điểm D cho nhau ta được quy tắc trừ , sau đó áp dụng quy tắc ba điểm ta sẽ được kết quả của bài toán. Ta cũng có thể làm tương tự như vậy cho câu b. Dựa trên cơ sở đó ta sẽ giải ví dụ trên như sau:
	a, = ++ = +-
	b, = ++ = -+
Ví dụ 2: Cho OAB . Gọi M,N lần lượt là trung điểm OA, OB . Tìm các số m, n thích hợp trong các đẳng thức sau :
a) = m+ n; b) = m+ n
c)= m+ n; d) = m+ n.
A
	Nhận dạng ban đầu có thể nói đây là dạng bài tập phân tích một véctơ thành tổng đại số của các véctơ không cùng phương. Yêu cầu của bài toán dạng này là học sinh phải định hướng được là sẽ phải phân tích các véctơ ở vế trái thành tổng đại số của các véctơ ở vế phải hoặc tối thiểu thì cũng phải là các véctơ cùng phương với các véctơ ở vế phải đó. Từ đó ta có thể giải ví dụ 2 như sau:
M
B
N
O
a, Vì M là trung điểm của OA nên: = ( n = 0)
 b, = = = ( m=; n= )
 c, = - = ( m=-1; n=)
 d, = = - ( m=; n=1)
 Ví dụ 3 : Cho ABC , M là điểm thỏa hệ thức vectơ 
a, Xác định vị trí của điểm M .
b, Phân tích vectơ theo vectơ 
A
M
	Tương tự như các ví dụ ở trên, khi học sinh đã nắm bắt được bản chất của bài toán thì việc giải các ví dụ này dựa trên quy tắc ba điểm và quy tắc trừ là hoàn toàn đơn giản.
a, Áp dụng quy tắc trừ: 
 ó + = 
B
C
 Vậy M là đỉnh của hình bình hành ABCM.
b, Vận dụng câu a, ta có: = = - 
 	Hai dạng bài tập ở trên chúng ta thường chú ý ở dạng thứ nhất. Lý do khá đơn giản đó là thay “nhiều” bằng “một”. Kết quả của vế này có vẻ đơn giản hơn vế kia. Tuy thế cũng cần trao đổi một điều là, dạng bài tập thứ nhất sẽ là tiền đề cần thiết cho việc nghiên cứu việc giải toán hình học bằng phương pháp tâm tỷ cự của một hệ chất điểm, dạng bài tập thứ hai sẽ là cơ sở cho phép biểu diễn véctơ và giải toán hình học bằng phương pháp tọa độ. Với kết cấu và yêu cầu chung của chương trình hiện nay, việc giải toán bằng công cụ tọa độ nhấn mạnh nhiều hơn. Đối với học sinh có năng khiếu Toán, giáo viên có thể phối hợp cả hai loại trên giúp học sinh có thêm công cụ giải toán . 
 2.3.2. Bài toán xác định vị trí của một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước
Phương pháp: Sử dụng các khẳng định và các công thức sau:
*/
*/ Cho điểm A và cho . Có duy nhất điểm M sao cho 
*/
	Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng . Trong đó điểm O và véc tơ đã biết.
	Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ 
khi đó điểm ngọn của véc tơ này chính là điểm M
A
B
C
D
I
K
G
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho 
 Giải
Ta có Trong đó I là trung điểm của AB 
Và 
Trong đó K là trung điểm của CD 
Vậy theo giả thiết ta có 
 hay 
 Do đó G là trung điểm của đoạn thẳng IK	
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC gọi M là trung điểm của AB 
và N là một điểm trên cạnh AC, sao cho NC = 2NA
Xác định điểm K sao cho: 
Xác định điểm D sao cho: 
 Giải
a, Từ giả thiết ta có
Thay (3); (4) vào (1) ta được 
 K là trung điểm MN
b.Ta có (5)
Thay (5) vào (2) ta được
D là trung điểm của BC
Bài tập làm thêm
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM. Đường thẳng BN cắt AC tại P. Khi đó thì giá trị của x là:
A. x = 2	B. 	C. 	D. 
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm được xác đinh: . Khi đó vectơ bằng:
A. B. C. D. 
2.3.3. Bài toán chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Phương pháp chung:
*/ Với các biểu thức về tích vô hướng ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của tích vô hướng, cần đặc biệt lưu ý phép phân tích véc tơ để biến đổi.
*/ Với các biểu thức về độ dài ta thường sử dụng 
B
C
M
H
A
A1
 Ví dụ: Cho tam giác ABC, H là trực tâm,
 M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
 Giải
Ta có
 Gọi A1 là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC,ta được
Thay (2); (3) vào (1) ta được
b. Ta có:
 (đpcm)
Bài tập làm thêm
Bài 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a có I, J, K lần lượt là trung điểm BC, CA và AB . Tính giá trị của ||
	A. 0	B. 	C. 	D. 3a
Bài 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a, có G là trọng tâm, khi đó: bằng.
A. a	 	B. a	 	C. a	 	 D. a
Bài 3: Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng: 
2.3.4. Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc và hai đường thẳng song song
Phương pháp: Chứng minh tính vuông góc ta dùng định lý
cos
	Ngoài ra, ta còn sử dụng tính chấtcủa tích vô hướng: Nếu và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM vuông góc DE
Giải
Ta chứng minh 
ta có
(vì AB=AD;AE=AC)
vậy
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD với các cạnh đáy là AB cà CD (các cạnh bên không song song). Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm M nằm giữa hai điểm A, D thì có một điểm N nằm trên cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB
 Giải
A
B
O
D
C
M
N
Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC
Chọn . Khi đó (vì AB//DC). Giả sử 
ta xác định điểm N trên BC sao cho AN//CM .Ta chứng minh rằng DN//BM
Vì N nằm trên BC nên khi đó 
Mặt khác .
Vì AN//CM nên hai véc tơ cùng phương
 vậy . Từ đó 
Lại có 
Vậy cùng phương hay DN//BM
Bài tập làm thêm
Bài 1: Cho 2 điểm cố định A, B, I là trung điểm AB. Tập hợp các điểm M thoả: là:
A. Đường tròn đường kính AB	B. Trung trực của AB.
C. Đường tròn tâm I, bán kính AB.	D. Nửa đường tròn đường kính AB
Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ba đương cao đồng quy
2.3.5. Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, sử dụng mệnh đề sau
	Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng cùng phương 
 (1) ( hay )
Để nhận được (1) ta lựa chọn một trong hai cách
Cách 1: Biến đổi đẳng thức vectơ đã có về dạng (1) bằng các quy tắc biến đổi quen thuộc
Cách 2: Tính các vectơ theo hai vectơ không cùng phương đã chọn, rồi rút ra (1)
A
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho AK=1/3AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàngB
C
M
I
K
 Giải 
Chọn Ta phân tích theo 
Từ (1) và (2) suy ra .Vậy 
Do đó ba điểm B, I, K thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.
 Giải
Chọn tổ hợp hai véc tơ và . Khi đó: (1)
Gọi E là trung điểm BC và A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta được BH//CA1 cùng vuông góc với AC1; CH//BA1 cùng vuông góc với AB
=>A1BHC là hình bình hành => A1, E, H thẳng hàng => 
Ta có 
Từ (1) và (2) suy ra O, G, H thẳng hàng
Bài tập làm thêm
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N.Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.
2.3.6. Bài toán chứng minh hai điểm trùng nhau. Những bài toán liên quan đến trọng tâm của một hệ điểm
Phương pháp
Muốn chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau ta lựa chọn một trong hai cách
Cách 1: Chứng minh 
Cách 2: Chứng minh với O là điểm tuỳ ý
D
P
Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâmC
 Giải:C
M
Q
A
N
B
Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ 
và O là một điểm tuỳ ý ta có 
Mặt khác 
Từ (1)(2)(3) suy ra vậy G1 và G2 trùng nhau
Ví dụ 2: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm. 
 Giải
Với điểm G bất kỳ ta có 
 Vậy 
Suy ra trọng tâm hai tam giác MPE và NQR trùng nhau
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo cùng tỉ số k1. Chứng minh rằng ABC và MNP có cùng trọng tâm.
Bài 2: Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có cùng trọng tâm.
 2.3.7. Bài toán chứng minh một số đẳng thức véctơ khác nhau để thể hiện mối quan hệ giữa đối tượng hình học và đẳng thức véctơ. Cách chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ véctơ.
Muốn giải được bài toán hình học bằng công cụ vectơ thì các bài toán chuyển đổi ngôn ngữ học sinh phải làm thành thạo. Giáo viên cần có chiến lược giúp học sinh thực hiện thành thạo cách chuyển đổi cơ bản giữa hai ngôn ngữ hình học và véctơ như sau:
Điểm A trùng với điểm B khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau thỏa mãn :
a) b) ,.
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau thỏa mãn :
a) b) = 
c) = ( + ) . d) = (+) - ,.
Hai điểm M và M’đối xứng với trung điểm I của AB khi và chỉ khi 
 =.
G là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi :
a) b) 
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi :
a) = k. b) =k.+(1-k), , kR.	
c) = ,, kR, k1. d) = k.+l., k+l=1, .
 Ví dụ 1 : Cho ABC. Chứng minh rằng :
a)G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi 
b) I là tâm đường tròn nội tiếp tan giác ABC thì :
 a.+b.+c.=.
E
A
A^
G
C
D
M
B
F
I
C
B
 (H1) (H2)
Có khá nhiều cách để chứng minh các đẳng thức vectơ nêu ở ví dụ trên . Ta có thể chọn cách chứng minh tương đối nhất quán là tạo ra các hình bình hành, sử dụng các hệ thức trong tính chất của đường phân giác. 
Giải:
a, Kẻ trung tuyến AD, G thuộc trung tuyến AD ( hình H1)
 Lấy điểm F đối xứng với G qua D. Khi đó ta có BGCF là hình bình hành nên: 
+ = 
Hơn nữa G là trung điểm của đoạn thẳng AF nên: +=
Vậy =
 Ngược lại, giả sử =, ta vẽ hình bình hành BGCF có D là giao điểm của hai đường ch