SKKN Một số biện pháp giúp học sinh khắc phục các lỗi thường gặp khi giải các bài toán đếm trong chương ii: tổ hợp – xác suất, sgk đại số và Giải Tích 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC 
CÁC LỖI THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TRONG CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT, 
SGK ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11”
Người thực hiện: Lê Kim Hoa
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
1
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1 Cơ sở lý luận.
2
2.2 Thực trạng của vấn đề.
3
2.3 Các giải pháp
3
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
21
3. Kết luận và kiến nghị.
22
1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
 	Toán học ra đời để giải quyết nhiều vấn đề trong đời sống, khoa học kỹ thuật. Nhờ tính gắn liền với thực tế nên Toán học luôn mang lại niềm say mê hứng thú cho người học. Một trong những phần toán học mang tính ứng dụng cao trong chương trình toán THPT đó chương 2 “Tổ hợp và Xác suất” trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11.
Phần mở đầu của chương này là Hai quy tắc đếm cơ bản, Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp là phần kiến thức rất mới, học sinh chưa từng được làm quen ở lớp dưới, khái niệm, thuật ngữ, ký hiệu mới lạ, bài tập “nhiều chữ” nhiều bài tập khó. Do đó, trong quá trình dạy học còn gặp một số khó khăn nhất định, thực tế giảng dạy tôi nhận thấy các em còn hạn chế trong việc nắm cú pháp, hiểu ngôn ngữ toán học, mơ hồ giữa các định nghĩa các ký hiệu. Đặc biệt do chưa hiểu về các quy tắc đếm, về khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân, nhầm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp dẫn tới lúng túng khi lựa chọn phương pháp giải dẫn tới giải sai đáp án hoặc giải mà không biết có giải đúng không.
Nhằm giúp học sinh khắc phục các nhược điểm nêu trên, từ đó đạt được kết quả tốt khi giải toán Tổ hợp nói riêng cũng như đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung tôi chọn đề tài: “Một số biện pháp giúp học sinh khắc phục các lỗi thường gặp khi giải bài toán đếm trong chương II: Tổ hợp– Xác suất, SGK Đại số và Giải tích 11”
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đại số Tổ hợp là phần toán quan trọng không thế thiếu trong chương trình phổ thông và được đưa vào chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Học đại số tổ hợp trang bị cho học sinh khả năng suy luận cao, tư duy logic chặt chẽ, chính xác và giúp các em giải quyết nhiều tình huống trong thực tế như: thiết kế số điện thoại, mã khóa, số seri sản phẩm, mã vạch, thiết kế biển số xe, phân chia nhóm người nhóm sự vật, tính nhanh về các tập con của một tập hợp , tính nhanh số vec tơ được thành lập từ các điểm Ngoài ra toán Tổ hợp còn là nền móng quan trọng để giải toán Xác suất, có học tốt toán Tổ hợp thì mới có thể giải đúng toán xác suất, phần toán có nhiều ứng dụng thực tế và áp dụng trong các môn học khác. Tổ hợp xác suất lại là phần không thể thiếu trong các kỳ thi quan trọng như THPT quốc gia kỳ thi Olimpic, kỳ thi học sinh giỏi.
Khi giáo viên nghiên cứu sâu về toán tổ hợp cụ thể là bài toán dùng hai quy tắc đếm dùng hoán vị, tổ hơp, chỉnh hợp thì khả năng suy luận, phân tích, tư duy cũng được phát triển Nâng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Qua đó truyền thụ kiến thức một cách có hệ thống cho học sinh, mang tới những kiến thức hay mới mẻ, sáng tạo cho các em. Làm tốt vai trò hướng dẫn của người thầy để học sinh tự tìm tòi gải quyết vấn đề tự phát hiện mâu thuẫn, tự nhận ra sai lầm và sữa chữa sai lầm, nhận ra những đặc biệt, những điều bổ ích của toán Tổ hợp. Giúp học sinh phát triển kỹ năng tư duy sáng tạo, vận dụng một cách linh hoạt, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộc sống. Truyền cho các em sự hứng thú say mê và có niềm yêu thích với Tổ hợp nói riêng và môn Toán nói chung.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là học sinh trung bình, học sinh khá và bộ phận học sinh có năng lực dưới trng bình ở khối 11 bậc THPT.
Nội dung là bài 1 Quy tắc đếm và bài 2: Hoán vị- Tổ hợp-Chỉnh hợp trong chương trình sgk Đại số và Giải tích lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
	 - Điều tra, quan sát.
	 - Thực nghiệm sư phạm.
	 - Tổng kết rút kinh nghiệm.
	 - Tôi xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với năng lực học sinh, củng cố khái niệm, so sánh các khái niệm để học sinh tự nhận ra sự giống và khác nhau giữa chúng, tự lựa chọn phương pháp giải quyết bài tập, chỉ ra những sai lầm các em mắc phải, chỉnh sửa lời giải, đưa ra lời giải đúng và rút ra kết luận cho các em.
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1 Cơ sở lý luận.
	Trong khoa học cũng như trong đời sống chúng ra thường gặp các bài toán xác định số lượng các đối tượng thỏa mãn yêu cầu nào đó. Ta gọi đó là bài toán đếm. Tổ hợp nghiên cứu nhiều vấn đề mang cấu trúc rời rạc trong đó có bài toán đếm. Các kiến thức, kỹ năng của toán tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều môn khoa học từ kinh tế tới tin học, sinh học, hóa học, quản trị kinh doanh
Phần tổ hợp trong chương 2 “Tổ hợp và Xác suất” có mục đích trang bị cho học sinh hai quy tắc đếm cơ bản, các khái niệm hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp. Nhờ đó chúng ta có thể xác định được số lượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh chóng và chính xác mà không cần liệt kê và nhiều khi không thể liệt kê hết được do số lượng các phần tử đó quá lớn.
Căn cứ vào yêu cầu mục tiêu của hệ thống giáo dục bậc THPT.
Căn cứ vào tình hình học tập của hệ THPT trong việc học môn Đại số và Giải tích.
2.2 Thực trạng của vấn đề.
	Trong công tác giảng dạy toán THPT thì nội dung Tổ hợp được đánh giá là khó dạy, bởi nó là những khái niệm mới, học sinh chưa hề được làm quen ở các lớp dưới, các khái niệm thì “na ná” nhau làm học sinh khó phân biệt, công thức ký hiệu mới lạ, khái niệm và bài tập thì “nhiều chữ” cách suy luận thì không hoàn toàn giống suy luận toán học đã được học.	
Thực tế học sinh trường THPT Thạch Thành 4 đa số là con em đồng bào dân tộc thiểu số sinh sống ở miền núi vùng đặc biệt khó khăn, đời sống còn thấp ảnh hưởng không nhỏ tới việc học của các em, điều kiện học tập không có nên học lực còn yếu khả năng tiếp thu môn toán chậm, không tự học tự làm được bài tập, nhất là những phần “khó nhằn” như tổ hợp xác suất. Học sinh lười học, nhiều thầy cô không hào hứng khi dạy làm phần toán này đã khó lại càng khó hơn. Thời lượng phân phối chương trình cho bài: Hai quy tắc đếm là 2 tiết, bài Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp là 3 tiết, 1 tiết bài tập và 1 tiết thực hành. Thời lượng này quá ít để truyền tải hết quy tắc khái niệm và phân biệt các quy tắc khái niệm. Không còn thời gian cho các em luyện tập. Dẫn tới kết quả không như mong muốn.
Kết quả điểm bài kiểm tra chương II Tổ hợp- Xác suất của học sinh (năm học 2014- 2015) như sau:
Lớp
Số HS 
Tỷ lệ học sinh đat điểm
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
11C2
49
3hs (6%)
9Hs (18%)
23hs (47%)
15hs (30.6%)
0hs (0%)
11C3
36
1Hs (2.8%)
5hs (13.9%)
7hs (19.4%)
10hs (27.8%)
13hs(36.1%)
11C5
41
0hs (0%)
1hs (2.4%)
5hs (12.2%)
20 hs (48.8%)
15hs (36.6%)
Hầu như các em chỉ đạt điểm trung bình và dưới trung bình, số lượng học sinh đạt điểm khá không nhiều, có ít học sinh đạt điểm gỏi.
Do đó vấn đề dạy học chủ đề Tổ hợp cần được nghiên cứu rèn luyện cho học sinh nắm vững bản chất của hai quy tắc đếm, các khái niệm Hoán vị, Tổ hợp, Chỉnh họp và phân biệt được các quy tắc, khái niệm đó với nhau. Nhớ chính xác các ký hiệu , rèn luyện các dạng bài tập về hai quy tắc đếm, đếm số các hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, bài tập về hoán vị thẳng, hoán vị vòng, đếm các số thỏa mãn điều kiện cho trước với mức độ cơ bản, phổ thông phù hợp năng lực học sinh THPT Thạch Thành 4.
2.3 Các giải pháp
	- Trong các giờ học lý thuyết tôi làm rõ cho học sinh các khái niệm cơ bản, để học sinh phân biệt được quy tắc cộng vơi quy tắc nhân, khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân phân biệt các khái niệm Hoán vị, Chỉnh hợp và tổ hợp cho học sinh bằng cách so sánh điểm giống và điểm khác nhau giữa các khái niệm có ví dụ minh họa.
- Sau đó trong các tiết tự chọn tôi xây dựng hệ thống bài tập đơn giản phù hợp với học sinh của mình. Có khi phải lược bỏ bớt những câu hỏi phức tạp chỉ giữ lại câu dễ, khi thì phải diễn đạt lại những câu hỏi lạ thành câu quen thuộc. Xong rồi xắp xếp lại những bài tập cùng loại cho học sinh vận dụng bài tập tương tự. 
Cho các em trình bày lời giải rồi tôi phân tích, chỉ ra những sai lầm các em mắc phải, sữa chữa sai lầm và đưa ra lời giải đúng cho các em. Sau mỗi dạng tôi nêu những lưu ý và kết luận cho các em. Cuối cùng đưa ra hệ thống bài tập trắc nghiệm cho các em tự luyện ở nhà và tôi sẽ giải đáp vào buổi học tiếp theo.
 Trong qua trình gải toán tổ hợp tôi định hướng cho học sinh như sau:
Bước 1: Đọc kỹ đề bài, xem xét các yêu tố lựa chọn cách giải.
Bước 2: kiểm nghiệm lại bài, xét xem còn những khả năng nào xảy ra nữa mà có thể đã bị bỏ sót. Xét xem có thiếu hay thừa dữ kiện của bài toán không.
Khích lệ học sinh làm bài theo nhiều cách khác nhau. Để củng cố khắc sâu khắc niệm quy tắc, phân biệt chúng với nhau. Tự giải quyết bài toán, tự phát hiện được sai lầm và sửa chữa được sai lầm đó. Kích thích tính tò mò ham học hỏi của học sinh. 
1. Quy tắc cộng.
Khái niệm: Giả sử một công việc được thực hiện theo hai phương án:
Phương án A có m cách thực hiện.
Phương án B có n cách thực hiện (không trùng với bất cứ phương án nào của phương án thứ nhất).
Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử một công việc sẽ được thực hiện bởi k phương án: A1, A2,  Ak.
A1 có n1 cách thực hiện.
A2 có n2 cách thực hiện.
Ak có nk cách thực hiện.
Khi đó công việc sẽ được thực hiện bởi n1+n2++ nk phương án.
Phương pháp dùng quy tắc cộng để đếm.
Bước 1: Chia yêu cầu bài tập thành các trường hợp không giao nhau (rời nhau).
Bước 2: Tính số cách thực hiện trong từng trường hợp.
Bước 3: Tính tổng cộng các cách thực hiện trong tất cả các trường hợp trên.
2. Quy tắc nhân.
Khái niệm: Một công việc được thực hiện bởi hai hành động liên tiếp nhau.
Hành động thứ nhất có m cách thực hiện.
Ứng với mỗi cách thực hiện của hành động thứ nhất có n cách để thực hiện hành động thứ hai.
Thì ta có m.n cách thực hiện công việc.
Quy tắc nhân dạng tổng quát:
Giả sử một công việc có k hành động để thực hiện công việc là A1, A2, , Ak
Công đoạn A1 có n1 cách thực hiện.
Công đoạn A2 có n2 cách thực hiện.
.
Công đoạn Ak có nk cách thực hiện.
Khi dó công việc được thực hiện bởi n1. N2 nk cách.
Phương pháp dùng quy tắc nhân để đếm:
Bước 1: Chia yêu cầu bài toán thành cách hành động không giao nhau rời nhau)
Bước 2: Tính số cách thực hiện trong từng hành động
Bước 3: Nhân số cách trong tất cả các hành động trên.
Chú ý: Phân biệt quy tắc cộng và quy tắc nhân:
Một công việc có nhiều phương án để thực hiện, nếu ta chỉ cần thực hiện theo một phương án nào đó là đã hoàn thành công việc thì ta dùng quy tắc cộng.
Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn liên tiếp nhau, tức là phải thực hiện lần lượt từng bước không được bỏ qua bước nào mới hoàn thành được công việc thì ta dùng quy tắc nhân.
3. Dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân để đếm
Phương pháp: Chia bài toán thành các trường hợp:
Trường hợp 1: thường dùng quy tắc nhân để tính có n1 cách thực hiện.
Trường hợp 2: thường dùng quy tắc nhân để tính có n2 cách thực hiện.
Trường hợp k: thường dùng quy tắc nhân để tính có nk cách thực hiện.
Vậy theo quy tắc cộng có: n1+n2++ n3.
Bài ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải có sai lầm 1: Gọi số tự nhiên cần lập là: , 
Chọn d: , d có 2 cách chọn.
Chọn a: , a có 8 cách chọn.
Chọn b: , , b có 7 cách chọn.
Chọn c: , , c có 6 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: số cần tìm nên chọn đáp án B.
Lời giải có sai lầm 2: Gọi số tự nhiên cần lập là: , 
Chọn d: , d có 2 cách chọn.
Chọn a: , , a có 8 cách chọn.
Chọn b: , , b có 8 cách chọn.
Chọn c: , , c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: số cần tìm.
Lời giải có sai lầm 3: Gọi số tự nhiên cần lập là: , 
Chọn a: , a có 9 cách chọn.
Chọn b: , b có 8 cách chọn.
Chọn c:, , c có 7 cách chọn. 
Chọn d: , d có 2 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: số cần tìm.
Phân tích nguyên nhân sai lầm: 
Hai lời giải 1 và 2 trên của học sinh đã nhầm lẫn giữa điều kiện các chữ số khác nhau thành a, b, c khác 0 và 5 nên thiếu trường hợp.
Lời giải 3 thiếu điều kiện nên thừa trường hợp.
Ngoài ra các em thường quên các điều kiện do yêu cầu bài toán đưa ra: 
Quên điều kiện các chữ số khác nhau. 
Quên điều kiện các chữ số đứng đầu là a phải khác 0 
Phân tích bài toán: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 là: , .Ta có thể chia thành hai trường hợp theo d là: hoặc .
Lời giải chi tiết: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 là: , 
Điều kiện . Ta chia thành hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: , thì N có dạng 
Chọn a: nên a có 9 cách chọn.
Chọn b: , , nên b có 8 cách chọn.
Chọn c: , nên c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: 9.8.7=504 số có dạng mà các chữ số khác nhau.
Trường hợp 2: , thì N có dạng 
Chọn a: , nên a có 8 cách chọn
Chọn b: , nên b có 8 cách chọn.
Chọn c: nên c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: 8.8.7=448 số có dạng mà các chữ số khác nhau.
Vậy theo quy tắc cộng có 504+448 =952 số cần tìm.
Bài ví dụ 2: Bà Nga cần tìm chủ nhân một số điện thoại di dộng mà quên mất hai chữ số cuối cùng. Hỏi để tìm ra đúng chủ nhân của số điện thoại thì bà Nga phải kiểm tra được tối đa bao nhiêu số điện thoại?
Lời giải có sai lầm: Gọi số điện thoại cần tìm có hai chữ số cuối là . Ta có:
Chọn x: nên x có 10 cách chọn. 
Chọn y: nên y có 10 cách chọn.
Theo quy tắc cộng có 10+10=20 số điện thoại. 
Phân tích sai lầm: Sai lầm này nhầm lẫn giữa hai giai đoạn là phải liên tiếp nhau mới hoàn thành công việc nên áp dụng sai quy tắc.
Lời giải chi tiết: 
Để tìm ra chủ nhân số điện thoại cần tìm bà Nga phải kiểm tra nhiều nhất là số tất cả các số điện thoại với các chữ số đầu đã biết và có hai chữ số cuối là .
Giai đoạn 1 chọn x: nên x có 10 cách chọn.
Giai đoạn 2 chọn y: nên y có 10 cách chọn.
 Đây là hai giai đoạn liên tiếp nhau, theo quy tắc nhân có: số.
Vậy bà Nga cần kiểm tra tối đa 100 số điện thoại.
4. Hoán vị.
Khái niệm: Cho tập A gồm n phần tử . Mỗi bộ sắp xếp gồm n phần tử của tập A gọi là một hoán vị của A.
Phương pháp dùng hoán vị để đếm:
Số các hoán vị của n phần tử là ( qui ước 0!=1).
Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau thứ tự sắp xếp
Kết luận: Dấu hiệu nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị. Chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu: 
	+ Tất cả n phần tử đều có mặt.
	+ Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
	+ Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
Bài ví dụ 3: Một tổ gồm 5 em học sinh nam và 5 em học sinh nữ cùng ngồi vào một bàn dài.
a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi? 
b) Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một bàn dài và ngồi nam, nữ xen kẽ nhau? 
Sai lầm thường gặp: ở câu b, sai lầm chủ yếu là do các em xét thiếu trường hợp. chỉ xét trường hợp 1 mà quên mất trường hợp 2 và ngược lại.
Phân tích bài toán: ở câu b, ta xét hai trường hợp như sau:
TH1: Một bạn nam ngồi ở vị trí thứ 1 thì kết thúc ở vị trí thứ 10 là một bạn nữ như bảng sau:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nam
Nữ
Nam
Nữ
Nam
Nữ
Nam
Nữ
Nam
Nữ
Vậy để đảm bảo tính xen kẽ ta cần xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí 1,3,5,7,9. Và 5 bạn nữ vào 5 vị trí 2,4,6,8,10.
TH2: một bạn nữ ngồi ở vị trí thứ 1 thì kết thúc ở vị trí thứ 10 là một bạn nam như bảng sau:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nữ
Nam
Nữ
Nam
Nữ
Nam
Nữ
Nam
Nữ
Nam
Vậy để đảm bảo tính xen kẽ ta cần xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí 1,3,5,7,9. Và 5 bạn nam vào 5 vị trí 2,4,6,8,10.
Lời giải chi tiết:
a) 1 hàng gồm 10 học sinh được xếp thành hàng dọc một cách bất kỳ do đó mỗi hàng chính là 1 hoán vị của 10 phần tử. Vậy số cách xếp hàng là: 
b) + TH1 ta có: xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí 1,3,5,7,9 có 5! Cách xếp.
5 bạn nữ vào 5 vị trí 2,4,6,8,10. Có 5! Cách xếp.
Theo quy tắc nhân ta co 5!.5! cách xếp.
+ TH2 ta có: xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí 1,3,5,7,9 có 5! Cách xếp.
5 bạn nnam vào 5 vị trí 2,4,6,8,10. Có 5! Cách xếp.
Theo quy tắc nhân ta co 5!.5! cách xếp.
Vậy theo quy tắc cộng ta có 5!.5! +5!.5! = 28800 cách xếp.
5. Chỉnh hợp. 
Khái niệm: Cho tâp A gồm n phần tử và k là số tự nhiên với . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được họi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Phương pháp dùng chỉnh hợp để đếm.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: 
Phân tích bài toán để dùng số chỉnh hợp chập k của n phần tử, bài toán phải thỏa mãn: 
+ k phần tử đôi một khác nhau.
+ k phần tử sắp xếp có thứ tự.
Kết luận: Dấu hiệu nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp:
+ Chọn k phần tử từ n phần tử.
+ Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
Bài ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Lời giải có sai lầm: Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 5 của 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
Do đó số các số tự nhiên lập được thỏa mãn bài là: .
Nguyên nhân sai lầm: Quên điều kiện chữ số a đứng đầu phải khác 0.
Phân tích bài toán: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là: 
mỗi số tự nhiên như vậy đều có tính chất là:
	+ 5 chữ số đôi một khác nhau.
	+ 5 chữ số xắp xếp có tính thứ tự (ví dụ:12345 và 54321 là hai số khác nhau).
	+ Chú ý rằng vị trí đứng đầu phải khác 0 nên .
Lời giải chi tiết: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là: 
Vì nên nên a có 9 cách chọn.
Bốn chữ số còn lại là được chọn từ tập hợp nên có số cách chọn là . Vậy có số cần tìm.
Chú ý: Phân biệt giữa hoán vị và chỉnh hợp:
Từ định nghĩa cho một tập A có n phần tử
Mỗi hoán vị là mang sắp xếp tất cả n phần tử.
Mỗi chỉnh hợp là chỉ mang sắp xếp một số k phần tử trong số n phần tử.
Vậy mỗi hoán vị của n phần tử cũng là chỉnh hợp chập n của n phần tử:
Vậy .
6. Tổ hợp.
Khái niệm: Cho tập hợp A có n phần tử .Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
Phương pháp dùng tổ hợp để đếm.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử là .
Phân tích bài toán để dùng số tổ hợp chập k của n phần tử:
Bài toán phải thỏa mãn: k phần tử trong tổ hợp phải:
+ Đôi một khác nhau.
+ k phần tử không xét tính sắp xếp (nghĩa là thay đổi thứ tự các phần tử thì dãy k phần tử vẫn không thay đổi).
Kết luận: Dấu hiệu nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp. Chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu: 
+ Chọn k phần tử trong số n phần tử.
+ Không phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
Bài ví dụ 5: Từ các môn học: Toán, Văn, Anh, Giáo dục công dân, thành lập được bao nhiêu tổ hợp môn xét tuyển kỳ thi THPT Quốc gia gồm có 3 môn học từ các môn trên?
Lời giải có sai lầm: Ba môn bất kỳ tạo được một tổ hợp môn xét tuyển, do đó số các tổ hợp môn xét tuyển lập được từ ba môn: Toán, Văn, Anh, Giáo dục công dân là: .
Nguyên nhân sai lầm: Cách giải trên đã tính lặp tổ hợp môn xét tuyển. vì ba môn thi không có tính sắp thứ tự. Ví dụ: tổ hợp: Toán, Văn, Anh và tổ hợp: Anh, Toán, Văn là như nhau.
Lời giải chi tiết: Mỗi tổ hợp xét tuyển lập được là một tập con của tập đã cho (hay ba môn thi của một tổ hợp xét tuyển không có tính sắp thứ tự), suy ra số tổ hợp xét tuyển là số tổ hợp chập 3 của 4 phần tử. Do đó, số tổ hợp xét tuyển lập được là: 
Bài ví dụ 6: Cho tập . Hỏi A có bao nhiêu tập con?
Lời giải: Mỗi tập con của A có k phần tử trong số 4 phần tử là một tổ hợp chập k của 4.
TH1: Tập con có 0 phần tử (tập rỗng), có: .
TH2: Tập con có 1 phần tử có: .
TH3: Tập con có 2 phần tử, có: .
TH4: Tập con có 3 phần tử, có: .
TH5: Tập con có 4 phần tử (tập A), có: .
Do đó số các tập con là: tập con.
Sai lầm thường gặp: Sai lầm các em thường mắc phải là quên đếm tập rỗng.
Bài ví dụ 7: Một tổ có 8 học sinh nam và 7 học sinh nữ, thầy giáo chủ nhiệm cần chọn ra một đội gồm 6 bạn để tham gia đội thanh niên xung kích của nhà trường. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất hai bạn nữ?
Lời giải có sai lầm: 
Bước 1: Vì có ít nhất 2 nữ nên chọn ra 2 nữ có: cách.
Khi đó 4 bạn trong số 13 bạn còn lại luôn thỏa mãn: “ít nhất 2 nữ”.
Bước 2: Chọn ra 4 bạn còn lại trong số 13 bạn có: .
Vậy có: cách
Lời giải bằng cách tính