SKKN Kỹ thuật quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn quan trọng trong chương trình phổ thông. Việc giảng dạy và học tập môn Toán không những trang bị cho học sinh những kiến thức, rèn luyện cho học sinh các kỹ năng và phương pháp tư duy toán học cụ thể. Mà còn áp dụng những kiến thức đó trong cuộc sống cũng như trong các bộ môn khoa học khác mới là điều quan trọng.
Trong chương trình toán THPT, sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản các bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian được đưa ra khá đơn giản, học sinh chưa được tiếp cận với cách tính cụ thể dẫn đến phần lớn học sinh học phần hình học không gian lớp 11 đặc biệt là bài toán khoảng cách các em còn gặp rất nhiều vướng mắc. Với suy nghĩ làm thế nào để học sinh tự tìm ra và tháo gở những vướng mắc trong khi học hình học không gian lớp 11, hiểu rõ bản chất, thực hiện thành thạo kỹ năng tính khoảng cách và có hứng thú với môn học này. Từ đó, các em có thể tự học, tự tìm tòi và khám phá những điều hay, những cái mới của môn Toán. Và từ kinh nghiệm giảng dạy của mình, để giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy và có thêm kiến thức để tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán khó. Đồng thời giúp cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình. Vì vậy, tôi chọn đề tài: 
 '' Kỹ thuật quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11''.
1.2. Mục đích nghiên cứu
+ Giúp các em học sinh lớp 11 rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học không gian lớp 11 bằng cách quy về một điểm là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng và các em biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải các bài toán tính khoảng cách, đặc biệt là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dưới dạng câu hỏi tự luận cũng như dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm như hiện nay. Từ đó giúp các em phát triển, nâng cao năng lực tư duy và tạo hứng thú giải các bài toán khó.
+ Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là bài toán cơ bản về tính khoảng cách.
Tìm phương pháp, kỹ thuật quy về điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11.
Phân biệt và lựa chọn phương pháp tối ưu để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian và áp dụng vào câu hỏi trắc nghiệm một cách linh hoạt hơn.
Phạm vi áp dụng: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho các em học sinh lớp 11, 12 ôn thi THPT Quốc Gia , các em học sinh giỏi và tất cả Thầy, Cô giáo giảng dạy môn Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của đề tài được xây dựng trên cơ sở lý thuyết bộ môn toán, thực tiễn giảng dạy và đối tượng học sinh được áp dụng:
+ Tìm hiểu thực trạng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian lớp 11.
+ Tìm hiểu về thực trạng học tập môn hình học không gian ở trường Trung học phổ thông. 
+ Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập hình học không gian lớp 11.
+ Tổ chức thực hiện đề tài vào thực tế dạy học tại trường THPT Như Thanh.
+ Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng cho các lớp học sinh đã được giảng dạy. 
Nghiên cứu tài liệu.
2. NỘI DUNG 
2.1. Cơ sở lý luận
	Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang đổi mới và áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo, và năng lực giải quyết vấn đề của người học. 
	Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đang được thực hiện. Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trung tâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề. Người dạy là người hướng dẫn, định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học.
	Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú, là môn học đòi hỏi học sinh có tư duy lôgic, trí tưởng tượng không gian, và tính sáng tạo cao. Đặc biệt là bài toán tính khoảng cách là bài toán khó yêu cầu học sinh phải có vốn kiến thức tổng hợp về hình không gian, hình học phẳng từ vẽ hình đến các kiến thức cơ bản để vận dụng vào bài toán cụ thể. 
	Vì vậy, là giáo viên tôi phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khác nhau trong dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh. Trong đó, việc tổ chức các hoạt động học tập để giúp các em học sinh nắm bắt được những kiến thức cơ bản của hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách nói riêng. Bồi dưỡng cho các em khả năng tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư duy và nhất là tạo cho các em có sự hứng thú trước các vấn đề khó hay các bài toán khó. Từ đó giúp các em đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và vận dụng được các kiến thức, kỹ năng được học vào hoạt động thực tiễn.
2.2. Thực trạng của vấn đề
	Thực trạng học môn Toán hiện nay ở các trường THPT là một bộ phận không nhỏ các học sinh học toán nhưng không hiểu rõ bản chất, chưa chủ động tìm hiểu sâu về một vấn đề dẫn đến các em gặp phải nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn toán cũng như các môn học khác.
Ở trường các em học sinh được học sách Hình học 11 cơ bản, các bài tập tương đối đơn giản nhưng trong thực tế bài tập có yêu cầu cao hơn; hình thức thi trắc nghiệm cũng đòi hỏi học sinh phải giải quyết nhanh các bài toán dẫn đến học sinh đã không mấy hứng thú với môn hình học không gian lại còn thấy lúng túng và bế tắc hơn. 
Giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương pháp, phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau, dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kết quả học tập của học sinh còn hạn chế.
Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh... 
Từ thực trạng trên, là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 11, tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp sau để các em học sinh có kỹ năng tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian lớp 11 thành thạo và có thể vận dụng vào các bài toán khác cũng như môn học khác. 
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.3.1. Giải pháp để giải quyết vấn đề được nêu:
Bước 1. Tổ chức cho học sinh nắm bắt các kiến thức cơ bản về lí thuyết Bài 5: Khoảng cách (SGK Hình học 11, cơ bản) theo phân phối chương trình dạy học. 
Bước 2. Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ năng quy về điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian.
Thời lượng thực hiện thông qua thời lượng các tiết dạy học tự chọn. Qua đây cũng rèn luyện khả năng tự học, phương pháp tư duy sáng tạo và tạo hứng thú học môn hình học không gian cũng như giải các bài toán khó cho học sinh.
2.3.2. Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung: 
	Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11
Phần I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng 
a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản).
+ d(M, a) = MH trong đó là hình chiếu của trên a (Hình 1).
+ d(M, (P)) = MH trong đó là hình chiếu của trên ( Hình 2).
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì d vuông góc với .
+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách sử dụng điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng.
	Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
 Cho một điểm M và không chứa , xác định khoảng cách từ đến mp(P)? Vì khoảng cách ( Hình 2) nên luôn nằm trên một nào đó mà vuông góc với . Vì vậy, để xác định khoảng cách này ta cần làm theo các bước sau:
Bước 1. Dựng đi qua và vuông góc với 
Bước 2. Xác định giao tuyến d của và 
Bước 3. Kẻ MH vuông góc với d tại H thì: 
Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt :
+ Hình chóp đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. 
+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy. 
c) Áp dụng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp có là hình vuông cạnh bằng . vuông góc với đáy và . Tính khoảng cách 
a) Từ đến . b) Từ đến 
Hướng dẫn giải.
a) ( Học sinh dễ dàng tính được)
Ta có: 
b) Giáo viên cần hình thành cho học sinh tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng qua ba bước sau:
Bước 1: Xác định được 
.
Bước 2: 
Bước 3:Trong kẻ tại H thì , suy ra .
ÞÞ.
Ví dụ 2. Cho hình chóp đều có cạnh bằng , là trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách 
a) Từ đến . b) Từ đến 
Hướng dẫn giải.
a) ( Học sinh áp dụng trường hợp đặc biệt)
 là hình chóp đều nên trọng tâm của tam giác cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Ta có: 
 mà 
 = .
b) Giáo viên tiếp tục rèn luyện cho học sinh tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng qua ba bước sau:
Ta có: là trung điểm của .
hay , và 
Kẻ tại , suy ra: 
. Vậy =
Nhận xét 1: Trong Ví dụ 2. nếu thay yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) bằng tính khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mp(SBC) thì việc tìm mp(Q) qua N và vuông góc với (SBC) khá là khó đối với học sinh khi mới làm quen với bài toán tính khoảng cách. Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh có thể tính khoảng cách đó bằng cách quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC), ( G là hình chiếu vuông góc của điểm S lên (ABC)) và sử dụng kết quả sau:
* Nếu không thuộc mà cắt mp(P) tại và thì: 
Thậtvậy, 
 ( Hình 3)
Ví dụ 2. c) Tính khoảng cách từ ( trung điểm của ) đến ()?
 Giải: 
Ta có: (theo câu b) Ví dụ 2).
Ví dụ 3.( Trích đề thi tuyển sinh- Khối A – 2014, môn Toán) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng a, , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng () là trung điểm của . Tính khoảng cách từ điểm A đến .
Phân tích bài toán: để tính khoảng cách từ điểm A đến ta cần dựng được hình chiếu vuông góc của A lên , tuy nhiên nếu việc làm này khó khăn thì ta có thể dùng cách khác để tính . Nếu theo Nhận xét 1 ta có thể quy về tính khoảng cách khác. Vậy, ta có thể quy về tính khoảng cách từ điểm nào đến ? Điểm đó có gì đặc biệt?
Áp dụng Bài toán 1.
+ Học sinh lập luận và đưa ra lời giải: 
Bước 1: Quy về .
Bước 2: Tính với H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).
Giải.
Gọi là trung điểm của , nên . Ta có: 
 .
Kẻ tại thì hay ,.
Trong kẻ tại , suy ra: . Ta có: 
 .
Tam giác vuông tại , là đường cao nên: 
.
Vậy .
Nhận xét 2: Trong các ví dụ trên việc tích khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng () chúng ta đều phải dựng hình chiếu vuông góc của A lên (). Bài toán dễ dàng giải được nếu ta quy khoảng cách đó về khoảng cách từ điểm đến (), mà là hình chiếu vuông góc của một điểm trên () lên () nào đó và () phải cắt ().
Khi đó việc tính khoảng cách từ đến () như sau:
+Bước 1: Sử dụng Nhận xét 1. quy về 
+Bước 2: Tính .
- Kẻ MI vuông góc với giao tuyến d của () và () tại .
- Kẻ tại thì , suy ra: 
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều có , là trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách từ điểm đến 
Giải.
Gọi là tâm của , ta có: 
=> 
Gọi là trung điểm của , ta có: => hayvà
Trong kẻ tại , suy ra: .
 và 
 .
Vậy .
Phần II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)
+ d(a,(P)) = d(M,(P))	 với a // (P), M là điểm bất kì nằm trên a ( Hình 4).
+ d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M là điểm bất kì nằm trên (Q) (Hình 5).
b) Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
Phương pháp giải: 
Bước 1. Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.( tức là chuyển Bài toán 2 về Bài toán 1)
Bước 2. Giải Bài toán 1.
c) Áp dụng.
 Ví dụ 5. Cho hình chóp có tất cả các cạnh bẳng a. Tính khoảng cách giữa và .
Giải.
Ta có: nên . 
Gọi là tâm của thì mà , suy ra: 
Gọi là trung điểm của . Ta có: hay và .
Trong kẻ tại thì nên .
Ta có: , 
Vậy =2.=.
 Ví dụ 6. Cho hình lập phương có cạnh bẳng a. Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách:
a) Giữa và . b) Giữa và . 
Giải.
a) Ta có , suy ra: .
Gọi là tâm của , vì nên .
Ta có: hay mà .
Kẻ tại thì suy ra . 
. Vậy .
b) Ta có:
 nên .
Gọi là giao của và thì là trọng tâm của tam giác , suy ra: , 
 khi đó: 
=. (theo câu a))
Vậy = .
Nhận xét 3: Trong các Ví dụ 5, Ví dụ 6 thì việc tính khoảng cách giữa các đối tượng đều dùng kỹ thuật quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và điểm đó phải là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng. Đây là kỹ thuật rất cần thiết và quan trọng mà học sinh cân có trong tính khoảng cách.
Phần III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)
a) Đường thẳng d cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b.
b) Nếu d là đường thẳng vuông góc và cắt a, b tại thì được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
c) Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a, b được gọi là khoảng cách giữa a, b. 
+ trong đó là đoạn vuông góc chung của a và b ( Hình 6).
b) Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
	Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Ta đã biết khoảng cách giữa a và b là độ dài của đoạn vuông góc chung của a và b. Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn, ta thường dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau:
Cách 1 (Áp dụng khi hai đường thẳng a, b vuông góc):
Bước 1. Dựng chứa b, vuông góc với a tại A ( Hình 7).
Bước 2. Kẻ vuông góc với b tại . Đoạn là đoạn vuông góc chung của a và b.
Cách 2:
Bước 1. Dựng mp() chứa b song song với a, 
Bước 2.Dựng mp() chứa a () ^ (), () cắt b tại 
Bước 3. Từ B dựng cắt a tại . Đoạn là đoạn vuông góc chung của a và b. (Hình 8)
Cách 3:
Bước 1. Dựng tại O và dựng hình chiếu vuông góc b' của b lên ().
Bước 2. Dựng hình chiếu vuông góc của lên b'
Bước 3. Qua dựng d // a và d cắt b tại B, kẻ ^ a tại . Đoạn là đoạn vuông góc chung của a và b. (Hình 9) 
c) Áp dụng.
 Ví dụ 7. Cho hình tứ diện có đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của . Xác định và tính khoảng cách:
a) Giữa và . b) Giữa và .
Hướng dẫn giải
a)( Học sinh dễ dàng giải được)
Ta có: nên mà tam giác cân tại . Suy ra là đoạn vuông góc chung của và .
Ta có: 
Bình luận: Ở câu a) thì nên việc dựng đoạn vuông góc chung khá dễ dàng. Nhưng ở câu b) này thì việc dựng đoạn vuông góc chung khó hơn, vậy ta sẽ dựng theo cách nào? Nếu quan sát thật kỹ thì có nên ta có thể dùng cách 3 để dựng đoạn vuông góc chung của và như sau:
b) Hướng dẫn giải
Ta có: 
Bước 1 Ta đi dựng hình chiếu vuông góc của lên :
Qua kẻ và cắt tại trung điểm , suy ra , nên là hình chiếu vuông góc của lên . 
Bước 2 Kẻ tại .
Bước 3 Hoàn thành dựng đoạn vuông góc chung của và :
Kẻ () và kẻ (). Khi đó là đoạn vuông góc chung của và và . Ta có: 
. Vậy .
Ví dụ 8. Cho hình chóp có là hình vuông cạnh bằng a, vuông góc với và = a. Tính khoảng cách giữa và . 
Hướng dẫn giải.
Ta đi dựng đoạn vuông góc chung của và theo cách 2 như sau:
Dựng đường thẳng , dựng tại , suy ra , kẻ tại , kẻ ( ) và kẻ (). Khi đó là đoạn vuông góc chung của và và . 
Ta có là hình vuông nên, tam giác vuông tại 
và là đường cao nên
 . Vậy = .
Nhận xét 4: 
+ Ở Ví dụ 7a) thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau này rất đơn giản nên học sinh có thể áp dụng và làm rất nhanh.
+ Còn ở Ví dụ 7b), Ví dụ 8 thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau gặp khó khăn. Nếu như học sinh không nắm được cách dựng cho mỗi trường hợp cụ thể, nhất là không nắm rõ bản chất của nó dẫn đến học sinh không mấy hứng thú gì đến bài toán này. 
Khi đó học sinh cần biết cách chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau qua các khoảng cách quen thuộc hơn nhờ hai kết quả sau ta có thể chuyển bài toán này qua Bài toán 1.
Kết quả 1: ( SGK Hình học 11, cơ bản) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.( Hình 10)
Kết quả 2: ( SGK Hình học 11, cơ bản) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.( Hình 11)
* Đến đây giáo viên cần cho học sinh xác định rõ các bước (hay kỹ thuật) chuyển Bài toán 3 về Bài toán 1 như sau:
Bước 1: Dựng mp() chứa đường thẳng b và () // a. ( Hình 10, Hình 11)
Bước 2: Quy 
Bước 3: Quy , M là điểm thuộc đường thẳng a.(Bài toán 1)
Ví dụ 8. Cách giải 2:
Dựng đường thẳng thì nên: 
Kẻ tại , suy ra hay . Kẻ tại và suy ra: .
Ta có là hình vuông nên .
Tam giác vuông tại và là đường cao nên . Vậy = 
Ví dụ 7. câu b) Cách giải 2:
Kẻ thì nên: 
=. Ta có . 
Kẻ thì 
. Tam giác vuông tại và là chiều cao nên: .
Vậy .
Ví dụ 9. Cho hình chóp có là hình chữ nhật , và . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và . 
Giải.
Ta có thì nên 
, mà suy ra: . 
Ta có hay 
.
Kẻ tại thì 
Tam giác vuông tại là chiều cao ta có: 
. 
Vậy = 
Nhận xét 5: 
Qua các cách giải hai Ví dụ 7, Ví dụ 8, Ví dụ 9 phần nào giúp học sinh nắm được ưu nhược điểm của các cánh giải để có lựa chọn cách giải tốt nhất, nhanh nhất cho bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
+ Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì cách dùng đoạn vuông góc chung để tính khoảng cách là tốt nhất.
+ Trường hợp còn lại, thì việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau ta sẽ quy việc tính khoảng cách đó về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Nhất là đối các bài thi trắc nghiệm như hiện nay thì trước một bài toán học sinh không chỉ biết các giải nó mà còn phải biết lựa chọn và áp dụng cách giải nhanh nhất.
	Các ví dụ sau đây giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chuyển các bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian về Bài toán 1 và rèn luyện kỹ năng quy điểm cần tính khoảng cách về một điểm là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng.
 Ví dụ 10. Cho hình chóp có là hình thoi cạnh bằng a, góc , góc giữa và mặt đáy bằng 60o. Tính khoảng cách giữa:
 a) và . b) và . 
Giải
Gọi là tâm của , suy ra . 
a) Ta có chứa , từ kẻ tại thì: . Góc giữa và () bằng góc giữa và bằng , các tam giác là tam giác đều, có , , suy ra tam giác vuông cân tại và 
 . Vậy .
b) Ta có suy ra nên 
 = 
Vì nên 
Từ kẻ tại thì , kẻ tại , suy ra: 
.
Tam giác vuông tại ta có: 
. Tam giác vuông tại ta có:
.
Vậy = .
Ví dụ 11.( Trích đề thi tuyển sinh khối A – 2012, môn Toán) Cho hình chóp có là tam giác đều có cạnh bằng a. Hình chiếu của lên mặt phẳng là điềm sao cho . Góc giữa và mặt phẳng bằng 60o. Tính khoảng cách giữa và . 
Giải
Kẻ đường thẳng nên : 
 mà 
Kẻ tại thì hay và Kẻ tại thì suy ra: . Ta có 
, 
 = .
Vậy = 
Ví dụ 12. ( Trích đề thi THPT QG - 2015, môn Toán) Cho hình chóp có là hình vuông cạnh bằng a, , góc giữa và mặt đáy bằng 45o. Tính khoảng cách giữa và . 
Giải
Kẻ đường thẳng d qua và , 
ta có: ,
Kẻ tại , tại . Khi đó: hay 
. Suy ra 
Ta có 
.
Tam giác vuông tại và đường cao nên .
Ví dụ 13. Cho hình lăng trụ đều , là trọng tâm của tam giác , khoảng cách từ đến bằng a, góc tạo