SKKN Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn Đại số lớp 7

I. MỞ ĐẦU
	1.1. Lí do chọn đề tài:
	Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là nội dung cơ bản của chương I đại số 7 cũng là nội dung cơ bản của chương trình Toán 7. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh vẫn còn mắc những sai lầm khi giải dạng toán về tỉ lệ thức. Dạng toán này xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7. Hiện nay ngoài kiến thức và bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập thì chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này một cách đầy đủ nên khi dạy phần này giáo viên dạy và ôn đội tuyển gặp không ít khó khăn để biên soạn cho hết nội dung của chủ đề. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứu thấy phần này hay, tâm đắc muốn trình bày một số kinh nghiệm về nội dung kiến thức của chủ đề để giáo viên dễ dàng áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh.
 	Đối với học sinh, thông qua hướng dẫn giải bài tập của giáo viên, giúp học sinh rèn luyện tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú trong học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả năng phân tích phán đoán, khái quát đồng thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong khi làm bài tập.
	Trường THCS Xuân Vinh là trường có tỉ lệ học sinh mũi nhọn còn hạn chế so với mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh yêu thích môn Toán và dự thi học sinh giỏi cấp huyện. Là người đã giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 7 nhiều năm với mong muốn giúp học trò học tốt hơn môn Toán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7, tôi đã nghiên cứu và viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn Đại số lớp 7”.
	1.2. Mục đích nghiên cứu:
	Giúp học sinh đại trà hiểu được kiến thức cơ bản và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải bài tập;
	Giúp học sinh giỏi được tiếp cận với nhiều dạng và nhiều cách giải để không còn thấy khó khăn khi gặp phải dạng bài tập này;
	Muốn bản thân, đồng nghiệp trong và ngoài trường tham khảo để giảng dạy được tốt hơn về dạng toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau;
 Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.
	1.3. Đối tượng nghiên cứu:
	Đề tài nghiên cứu về việc hướng dẫn học sinh sử dụng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán trong chương trình Đại số 7.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, tài liệu trên mạng
- Phương pháp điều tra;
- Phương pháp đối chứng;
- Phương pháp thực nghiệm;
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
	2.1. Cơ sở lý luận 
	2.1.1. Kiến thức cơ bản
 	a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số . ()
 Ta còn viết: a : b = c : d.
 trong đó a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ; b và c là các số hạng trong hay trung tỉ 
	b. Tính chất của tỉ lệ thức: 
	Tính chất 1: Nếu thì a.d = b.c
	Tính chất 2: (Đảo lại) 
 Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức: 
; ; ; 
a.d = b.c
 	Như vậy, với a, b, c, d 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại: 
 	c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
	Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức suy ra , (b ≠ ± d)
	Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra: 
	 (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
 Tính chất 3: Nếu có n tỉ số bằng nhau (n 2): thì 
	 (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
	d. Nâng cao.
	1. Nếu thì 
	2. Từ => ; (Tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
 3. Nếu 
 4. Nếu 
	2.1.2. Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c 
 	Ta còn viết x : y : z = a : b : c
	Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “ - ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi để sử dụng các dữ kiện của bài toán.
	2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
 	Qua quá trình công tác giảng dạy và bồi dưỡng phần kiến thức về tỉ lệ thức, 
của dãy tỉ số bằng nhau tôi thấy: 
- Học sinh ( ngay cả giáo viên) gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán. Các em hay sai trong cách trình bày lời giải, sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”; giữa “=” với dấu “+”, sử dụng thiếu dữ kiện bài toán hoặc vận dụng tính chất một cách tương tự ...
- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, lười suy nghĩ, lười tư duy dẫn đến mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân;
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm tìm tòi, phân dạng để tìm hiểu chuyên sâu từng dạng toán; 
- Học sinh sau khi đi tìm được một lời giải đúng thì các em hài lòng và dừng lại mà không đi tìm cách giải khác, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân;
- Tài liệu viết về các dạng toán này còn ít, mỗi cuốn chỉ đề cập đến một dạng nhỏ và chưa đưa ra phương pháp giải cụ thể hoặc phương pháp giải đơn giản chưa đưa ra được nhiều cách giải để phát triển bài toán
 Trước thực trạng trên đòi hỏi giáo viên phải có các giải pháp trong phương pháp dạy học sao cho phù hợp. Năm học 2016 – 2017 tôi được giao nhiệm vụ dạy Toán 7. Khối 7 có 02 lớp với 56 học sinh. Giữa học kì I của năm học, tôi ra đề khảo sát học sinh như sau: Thời gian 45 phút
Bài 1 (3 điểm): Tìm x, y biết
a. và x + y = 16. b. 3x = 7y và x – y = 20
c. và 2x – 3y = -12
Bài 2 (3 điểm): Tìm x , y, z biết 
a. và x + 2y – z = 10 b. ; và 2x + 3y –z = 186
 Bài 3 (3 điểm): Có 16 tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ và 10000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Bài 4 (1 điểm): Cho ba tỉ số bằng nhau: ; ; .
 Tính giá trị mỗi tỉ số đó?
 Kết quả ban đầu khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này: 
TSHS
Gioûi
Khaù
Trung bình
Yeáu
Keùm
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
56
3
5,4
8
14,3
27
48,1
15
26,8
3
5,4
 Đứng trước thực trạng trên tôi đưa ra một số dạng toán và cách giải giúp các em không còn sai sót khi trình bày lời giải. Các dạng toán đó là: 
 1. Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước
 2. Tìm các thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.
 3. Toán chia tỉ lệ.
 4. Tính giá trị của biểu thức
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
	Để học sinh vận dụng kiến thức giải bài tập một cách chính xác, nhanh nhất, ngắn nhất giáo viên cần giúp các em xác định kiến thức, phương pháp cơ bản cần dùng để giải từng dạng toán cụ thể. Muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh, giáo viên cần chọn những bài tập có tính chất cơ bản và mang tính phát triển các kiến thức ở mọi khía cạnh, hướng dẫn học sinh giải các bài tập theo nhiều cách khác nhau. Qua đó giúp học sinh vừa nắm được kiến thức cơ bản vừa phát triển được tư duy, sáng tạo linh hoạt khi làm bài, tạo hứng thú và yêu thích môn học.
 2.3.1. Dạng 1: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
	Phương pháp giải: Tìm cách biến đổi tỉ lệ thức ban đầu để trở về đẳng thức cần chứng minh hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó rồi biến đổi các vế của đẳng thức cần chứng minh theo hằng số k.
 Bài 1.1 (Bài 102a/ tr50/ SGK): 
 Cho (a, b, c, d 0, ). Chứng minh rằng: .
	Hướng dẫn: Đối với bài toán này ta có thể biến đổi tỉ lệ thức cho trước để trở thành đẳng thức cần chứng minh hoặc đặt rồi biến đổi hai vế của đẳng thức cần chứng minh theo k.
	- Giáo viên trình bày kĩ cho học sinh bốn cách giải sau: 
	Giải:
	Cách 1: (đpcm)
	Cách 2: ( cách này được áp dụng vào nhiều bài toán dạng này)
 Đặt: suy ra 
	Khi đó ta được: 
	Từ (1) và (2) suy ra : (đpcm)
	Cách 3: ad = bc ad + bd = bc + bd ( a + b)d = ( c + d)b 
 (đpcm)
	Cách 4: (đpcm)
	Giáo viên kết luận: Như vậy để chứng minh tỉ lệ thức dạng: , ta thường dùng hai phương pháp chính: 
	Phương pháp 1: Chứng tỏ tích ad bằng tích bc
	Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số có cùng giá trị. Nếu trong đề bài đã cho trước một tỉ lệ thức khác, ta có thể đặt giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho bằng k, rồi tính giá trị của mỗi tỉ số trong tỉ lệ thức phải chứng minh theo k (cách 2) cũng có thể dùng các tính chất của tỉ lệ thức như hoán vị các số hạng, tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để biến đổi tỉ lệ thức đã cho đến tỉ lệ thức phải chứng minh (cách 1, 3)
	Kinh nghiệm khi dạy bài tập dạng 1.1 giáo viên nên đưa cả 4 cách giải trên để học sinh được biết, tuy nhiên giáo viên nên cho học sinh nhận xét từng cách giải, phân tích cách giải, chọn cách giải tối ưu cho bài toán và chọn cách giải phù hợp với các bài tập dạng tương tự như bài tập 1.1. 
 Giáo viên kết luận: Cách 2 có thể áp dụng được cho nhiều bài toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
 Bài 1.2 (Bài 63/ Tr31/ SGK): Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức: 
 , ta có thể suy ra tỉ lệ thức .
Giáo viên định hướng cho học sinh làm theo cách 1, cách 2 và cách 4 của bài 1.1
	Giải:
 Cách 1: Từ 
	Cách 2: Đặt suy ra 
	Khi đó: (1) 
	 Và (2)
	Từ (1) và (2) suy ra: .
 Cách 3: Ta có: 
	Từ (1) và (2) => (đpcm)
 Bài 1.3 (Bài 84/ Tr 14/ SBT): 
 Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc (với thì:
 a) b) 
	Hướng dẫn: Từ a2 = bc ta suy ra được tỉ lệ thức nào? ( hoặc )
 Ta nên sử dụng tỉ lệ thức nào để chứng minh? ()
	Giải: 
 a) Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải theo các cách sau:
 Cách 1: Từ . Đặt 
 Khi đó: 
 Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
 Cách 2: Ta có (do a2 = bc)
 = ( do a, b 0)
 Do đó: (đpcm)
 Cách 3: Từ a2 = bc (đpcm)
Nhận xét: Ngược lại từ ta cũng suy ra được a2 = bc (Bài 60/ Tr 35/ Sách Tuyển chọn 400 bài tập Toán 7 - Phan Văn Đức)
 Từ đó ta có bài toán: Cho chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức. 
b) Từ (1)
	 Ta lại có (vì ) (2). 
 Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
 Bài 1.4 (Bài 54/ Tr 21/ Sách Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7):
Chứng minh rằng nếu thì: 
 a) b) 
Hướng dẫn: 	 - Ở câu a làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
 - Ở câu b từ làm thế nào để xuất hiện a2, b2?
 - Tính chất nâng cao của dãy tỉ số bằng nhau cho ta biết gì? 
Giải: 
Cách 1: Từ: .
 Cách 2: Đặt suy ra: a = kb; c = kd.
 Khi đó: (1)
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: 
Cách 1: 
Vậy: (đpcm)
 Cách 2: Đặt suy ra: a = kb; c = kd.
 Khi đó: (1)
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: .
Nhận xét: Trong câu a và b thì cách 1 ngắn gọn hơn tuy nhiên khó hơn, còn cách 2 tuy dài hơn nhưng dễ hơn.
 Bài 1.5: (Nguồn internet, hệ quả của bài tập 55/ tr21/ Sách nâng cao và các chuyên đề Đại số 7) Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b + d) (2) 
 (đk: b;d ≠ 0) thì 
Hướng dẫn: Ở bài toán này đề bài cho các đẳng thức, từ các đẳng thức ta phải chứng minh tỉ lệ thức, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ngược như sau: 
	Muốn có a.d = b.c.(a + c)d = c(b + d). Căn cứ vào (1) và (2) ta đưa cả hai vế của (1) cùng bằng 2bd. Vậy từ a + c = 2b ta nhân cả hai vế với d. Ta có thể trình bày bài giải như sau: 
	Giải:
	Ta có: 
	Từ (2) và (3) suy ra: c( b+ d) = ( a+c)d cb + cd = ad + cd
 cb = ad (đpcm)
 Bài 1.6 (Bài 88/ Tr29/ Sách Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7):
Biết: (với a, b, c 0) Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn: Giáo viên hướng dẫn học sinh suy luận ngược: 
Để có ay = bx, cx = az, bz = cy ay – bx =0, cx – az = 0, bz – cy=0
Giải: 
Ta có: 
 = 
 Suy ra: 
 Suy ra (đpcm).
 Bài 1.7: (Nguồn internet) 
 Cho: 
	Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn: 
- Có nhận xét gì về ? ( )
- Khi đó: ++. . .+ như thế nào? (0)
- Từ đề bài suy ra điều gì: ++. . .+ =0
- Vận dụng bài 1.6 giải tiếp bài toán
Giải: 
Ta có: ; ; 
do đó: ++. . .+ 0
Mà: ++. . .+ 0
Nên: ++. . .+ = 0
Hay: ; ;; ; 
Suy ra: ; ;; 
 ; ;; 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 (đpcm).
Nhận xét: Từ bài 1.7 ta có thể đưa ra bài toán tổng quát như sau: 
 Cho: ++. . .+ 0
 Chứng minh rằng: 
 2.3.2. Dạng 2: Tìm các thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.
	Phương pháp giải: Đối với từng bài thì có phương pháp giải riêng tuy nhiên chủ yếu dùng các phương pháp sau: 
Phương pháp 1: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ.
Phương pháp 3: Dùng phương pháp thế.
 Bài 2.1 (Bài 74/ Tr14/ SBT): Tìm hai số x, y biết: và x + y = -21.
	Hướng dẫn: Với bài này học sinh chỉ cần vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải, tuy nhiên yêu cầu đối với bài này giáo viên cần hướng dẫn, trình bày cụ thể và nêu những chú ý mà học sinh có thể dẫn đến sai như đặt ra ở mục thực trạng của vấn đề. Ví dụ:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: .
 Điều này là thiếu sót vì nếu chỉ áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chỉ cho ta đến . Cần có thêm điều kiện x + y = -21 thì ta mới được .
 Giải: 
 Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x + y = -21 ta có:
Suy ra : x = -3.2 = - 6 ;
 y = -3.5 = -15 
Vậy x = -6 ; y = -15
Lưu ý: Ngoài cách giải trên thì giáo viên còn có thể hướng dẫn học sinh theo cách sau: 
Cách 2: Đặt ẩn phụ: Đặt , suy ra: x = 2k, y = 5k
 Theo giả thiết: x + y = -21 nên: 2k + 5k = -21 7k = -21 hay k = -3
 Do đó: x = - 6 và y = -15
 Cách 3: Phương pháp thế: Từ: 
 mà x + y = - 21 suy ra: = -21 nên y = -15
 Do đó: x = - 6.
Nhận xét: Trong ba cách giải trên thì cách 1, 2 hay dùng nhất còn cách 3 thì ít sử dụng vì kĩ năng biến đổi theo phương pháp thế của học sinh lớp 7 còn hạn chế.
 Bài 2.2 (Bài 61/ Tr31/ SGK): Tìm ba số x, y, z biết rằng: 
 và x + y – z = 10
	Hướng dẫn: Ở bài toán này chưa có một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thế nào? Ta thấy ở tỉ số và có hai số hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới (ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy đồng hai tỉ số này. 
	Giải:
 Ta có: (1) ; (2)
	Từ (1) và (2) suy ra: . 
 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x+ y - z = 10 ta có:
	Suy ra: x = 8.2 = 16 ; y = 12.2 = 24 ; z = 15.2 = 30
Vậy: x = 16 ; y = 24 ; z =30
 Bài 2.3 (Bài 80/ Tr 14/ SBT): 
 Tìm a, b, c biết rằng: ; và a + 2b - 3c = - 20
Hướng dẫn: - Làm thế nào để xuất hiện tổng: a + 2b - 3c = - 20
	Giải:
 	Ta có: = 
	Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a + 2b - 3c = - 20 ta được: 
	Suy ra: a = 5.2 = 10; b = 5.3 = 15; c = 5.4 = 20
Vậy: a = 10 ; b = 15 ; c = 20
 Bài 2.4 (Bài 21/ Tr 20/ Sách Nâng cao và phát triển Toán 7): Tìm x, y, z biết:
 a) và 2x – 3y + z = 6
	b) và x + y +z = 49
 Hướng dẫn: - Câu a là sự kết hợp của bài 2.2 và bài 2.3 
 - Câu b, ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x; 3y; 4z, làm thế nào để các số hạng trên chỉ còn là x; y; z. Ta sẽ tìm BCNN (2; 3; 4) = 12 và khử các hệ số của tử để các số hạng trên chỉ còn là x; y; z
	Giải:
 a) Ta có: (1) ; (2)
	Từ (1) và (2) suy ra: . 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và 2x - 3y + z = 6 ta có:
Suy ra: x = 3.9 = 27;
y = 3.12 = 36;
 z = 3.20 = 60
	 Vậy: x = 27; y = 36; z = 60
	b) Ta có: hay 
	Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 49 ta có: 
 Do đó: x = 18 ;
* y= 16 ;
* z = 15
 Vậy: 	x = 18; y = 16; z = 15
Nhận xét: Trong các câu a, b chúng ta còn có thể hướng dẫn học sinh giải bằng cách đặt ẩn phụ .
 Bài 2.5 (Bài 45/ Tr 20/ Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7 - Vũ Dương Thụy): 
Tìm các số a1, a2, a9 biết và a1 + a2 + ... + a9 = 90(1)
	Giải:
Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a1 + a2 + ... + a9 = 90 ta có: 
 = =1
	Từ đó dễ dàng suy ra: a1 = a2 = a3 =...= a8 = a9 =10.
	Nhận xét: Ngoài cách trên, trong quá trình dạy cho học sinh tôi còn hướng dẫn học sinh các cách khác, đó là: 
Cách 2: 
Từ đó ta tìm một cách dễ dàng 
Cách 3: Đặt: 
suy ra: a1 = 9k+1; a2 = 8k +2; a3 = 7k +3;... a9 = k+ 9 rồi thế vào (1) tìm k
 Bài 2.6 (Đề thi HSG lớp 7 Huyện Thọ Xuân năm học 2015 - 2016):
 Tìm ba số a, b, c biết và a + b + c = 50
Hướng dẫn: Vận dụng bài 1.6 để biến đổi thành tỉ lệ thức quen thuộc 
Giải: 
Ta có: 
 = 
Suy ra: 
 Suy ra: 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a + b + c = -50 ta có:
Suy ra: = -10;
= -15;
 = -25
Vậy a = -10; b = -15; c = -25.
 Bài 2.7: (Nguồn internet) Tìm các số x, y, z biết (1) và = 747
Hướng dẫn: - Cách 1: Hãy đặt = k, tính x2, y2, z2 theo k rồi tìm k
 - Cách 2: Làm thế nào để xuất hiện x2, y2, z2
 Giải: 
	Cách 1: Đặt = k x = 5k ; y = 7k ; z = 3k
	Vì x2 + y2 + z2 = 747 nên 25k2 + 49k2 + 9k2 = 747 
	Với k = 3 suy ra: x = 5.3 = 15; y = 7.3 = 21; z = 3.3 = 9
	Với k = -3 suy ra: x = 5.(-3) = -15; y = 7.(-3) = -21; z = 3.(-3) = -9
	Vậy các cặp số (x, y, z) cần tìm là: (15, 21, 9) và (-15, -21, -9)
 Cách 2: 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và = 747 ta có:
 Suy ra: x2 = 9.25 = 225 x = 15 hoặc x = -15
 Với x = 15 thay vào (1) ta tìm được y = 21; z = 9
 Với x = -15 thay vào (1) ta tìm được y = -21; z = -9
Lưu ý: Với dạng bài tập này học sinh thường mắc các sai lầm sau:
 - Theo cách 1: Từ k2 = 9 học sinh chỉ suy ra k = 3 do đó thiếu trường hợp k = -3
 - Theo cách 2: Từ x2 = 225 học sinh chỉ suy ra x = 15 do đó thiếu trường hợp 
 x = -15 hoặc các em hiểu sai tính chất nên vận dụng: ( Ở đây dấu = sau tỉ số là sai)
 Bài 2.8 (Bài 62/ Tr31/ SGK –Toán 7 tập 1):
 Tìm hai số x và y, biết rằng và xy=10.
	Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y biết và x.y = P
	 Đặt suy ra: x = k.a, y = k.b. 
do đó: x.y = (k.a).(k.b) = ab.k2. Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.
	Chú ý: 
	- Cần lưu ý cho học sinh với thì k có hai giá trị là và 
	- Cần tránh sai lầm khi áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau: (sai) 
	Giải:
	Cách 1: Đặt , suy ra: x = 2k, y = 5k.
	Vì x.y =10 nên 2k.5k = 10 10k2 = 10k = 1 hoặc k= -1
	+ Với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
	+ Với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2 ; y = 5.(-1)= -5.
	Vậy: x = 2; y = 5 hoặc x = - 2; y = - 5	
	Cách 2: Từ 
 Suy ra: x2 = 4.1 = 4 x = 2 hoặc x = -2
	Với x = 2 y = 10 : 2 = 5
	Với x = -2 y = 10 : (-2) = -5
 Lưu ý: với bài này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:
 - Với cách 1: Khi k2=1 ( rất nhiều học sinh chỉ suy ra k = 1)
 - Với cách 2: Học sinh sai lầm khi áp dụng tương tự: 
 hoặc từ x =2 suy ra y = 5 dẫn đến kết luận sai bài toán.
 Bài 2.9 (Bài 61g/ Tr20/ Sách Nâng cao và phát triển Toán 7):
 Tìm các số x, y, z biết rằng: và xyz = 810
 Hướng dẫn: Thực hiện tương tự bài 2.8
 Giải: 
 Cách 1: Đặt = k, suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 5k
	Vì xyz = 810 nên 2k.3k.5k = 810 30k3 = 810k = 3
	 với k = 3 thì x = 2.3 = 6 ; y = 3.3 = 9 ; z = 5.3 = 15
 Vậy: x = 6 ; y = 9 ; z = 15
 Cách 2: 
 Suy ra : x3 = 23.27 =216 ;
 x = 6 
 y3 = 33.27 = 729 ;
 y = 9 
 z3 = 53.27 = 3375
 z = 15 
 Vậy: x = 6 ; y = 9 ; z = 15
Nhận xét : Dạng toán như bài 2.8; 2.9 không khó khi ta nắm được các bước giải và có thể mở rộng cho nhiều biến. Tuy nhiên cần lưu ý cho học sinh trong trường hợp số mũ của k là số chẵn thì phải xét đủ các trường hợp của k.
 2.3.3. Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
 Phương pháp giải
Bước 1: Biểu diễn các đại lượng cần tìm (hoặc các đại lượng liên quan) bằng các chữ cái (gọi là ẩn) . Chú ý điều kiện và đơn vị của ẩn
Bước 2: Thiết lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện ràng buộc của các ẩn
Bước 3: Tìm các thành phần chưa biết của tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.
Bước 4: Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.
 Bài 3.1 (Bài 77/ Tr13/ Sách 500 bài toán chọn lọc):
 Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được tất cả 1020 cây. Số cây lớp 7B trồng được bằng số cây lớp 7A trồng được, số cây lớp 7C trồng được bằng số cây lớp 7B trồng được. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?
	Hướng dẫn: Nếu gọi số cây trông được của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z. thì t