SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU	1
1.1 Lí do chọn đề tài	1
1.2 Mục đích nghiên cứu	2
1.3 Đối tượng nghiên cứu	2
1.4 Phương pháp nghiên cứu	2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM	2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến	3
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến	3
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề	4
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan	4
2.3.2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý	4
2.3.3. Hướng dẫn học sinh vận dụng định lý	5
2.3.4. Định hướng để học sinh khai thác định lý	9
2.3.5. Hệ thống bài tập tự luyện.. .13 	
2.4. Hiệu quả của sáng kiến	14
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ	15
3.1. Kết luận	15
3.2 Kiến nghị	16
1.Mở đầu:
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con người phát triển toàn diện. Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn diện để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội. Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có cả phương pháp dạy học môn Toán. Chính vì thế trong quá trình dạy học giáo viên cần phát huy cao độ tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhằm đưa đến kết quả cao nhất trong các giờ dạy. Muốn vậy đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kĩ chương trình, đối tượng học sinh, đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền đạt.
 Trong thời gian giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, đặc biệt là trong việc dạy học các định lý. Đó là tôi luôn đưa ra kiến thức một cách tự nhiên, bằng cách dẫn dắt từng bước cho học sinh tự tìm lấy, phân tích hướng dẫn các em thấy ý nghĩa, ứng dụng của định lý, sau đó đưa ra hệ thống bài tập áp dụng phù hợp. Với phương pháp truyền thụ như vậy tôi thấy rằng: Trước hết người dạy luôn cảm thấy thoải mái, nhẹ nhàng, say sưa, qua mỗi tiết dạy thấy đạt được tốt mục đích của mình; đối với học sinh tiếp thu kiến thức một cách say mê hứng thú; các kiến thức các em tiếp thu được thì ghi nhớ lâu hơn và vận dụng tốt hơn trong quá trình giải và khai thác các bài tập liên quan.
 Chính vì vậy, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 	Từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số’’. Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh. Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi chỉ đề cập đến bốn dạng toán: 
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.
Dạng 4: Sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải trong chứng minh bất đẳng thức.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen với định lý đồng thời biết cách vận dụng định lý để giải quyết các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số một cách nhanh nhất, hiệu quả nhất.
- Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để học sinh có thể khai thác định lý về tiếp tuyến của đồ thị hàm số để đi tìm lời giải cho một số bài toán chứng minh bất đẳng thức.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Kiến thức về đạo hàm của hàm số.
- Kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm.
- Kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số.
- Kiến thức liên quan đến hệ số góc của đường thẳng.
- Học sinh lớp 11D, 11G năm học 2018 – 2019 trường THPT Nga Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp.
- Sử dụng phương pháp thực nghiệm.
- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề tài.
- Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm: a)
+) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm .
+) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là:
b) Quy tắc tính đạo hàm:
+) +) 
+) +) 
+) +) 
+) +) 
+) +) 
c) Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số và :
+) Xét phương trình: (1)
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của và 
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của và
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là rất cần thiết vì các lí do sau: Thứ nhất, trong quá trình dạy học tôi thường đi dự giờ đồng nghiệp và thấy rằng khi dạy định lý cho học sinh, nhiều giáo viên thường cho học sinh đọc định lý trong sách đồng thời thấy chứng minh. Cách dạy như vậy sẽ làm cho học sinh thụ động trong việc tiếp thu nội dung định lý cũng như cách vận dụng và khai thác định lý. Qua trao đổi với đồng nghiệp chúng tôi nhận ra rằng: Hiện nay còn nhiều học sinh khi tiếp cận một vấn đề toán học đặc biệt là các định lý đang còn ngộ nhận, không thấy hết được các trường hợp đặc biệt, việc khai thác ứng dụng định lý trong giải bài tập còn lúng túng. Chính vì vậy, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các mối liên hệ giữa các yếu tố đặc trưng để tìm tòi lời giải. Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy, óc vận dụng sáng tạo. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán giúp học sinh hoàn thiện hơn kỹ năng định hướng, phân tích trong quá trình tìm tòi lời giải . Thứ hai, môn toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất có thể, để tiết kiệm thời gian. Thứ ba, trong quá trình ôn luyện học sinh giỏi thường có bài toán chứng minh bất đẳng thức, đây là phần toán khó mà đôi khi học sinh đọc lời giải còn không hiểu lý do tại sao họ lại có thể nghĩ ra được hướng làm như vậy. Chính vì thế tôi muốn qua sáng kiến kinh nghiệm này cung cấp thêm cho học sinh một định hướng nữa cho việc đi tìm lời giải cho bài toán chứng minh bất đẳng thức. 
 Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi đưa ra bốn dạng toán mà trong quá trình giảng dạy thường gặp và một số bài tập tự luyện( xin phép chưa đề cập đến các bài toán tiếp tuyến có liên quan đến tham số m). Mong rằng bài viết này sẽ giúp ích cho một số em học sinh hay chí ít cũng cung cấp cho các em có một tài liệu hữu ích trong quá trình học tập, đồng thời cùng trao đổi, học hỏi với các đồng nghiệp.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề: 
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan:
2.3.2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Đặt vấn đề với các câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là gì?
Câu hỏi 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k.
Từ đó yêu cầu học sinh viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . Qua đó hình thành định lý cho học sinh
2.3.3. Hướng dẫn học sinh cách vận dụng định lý để giải quyết một số dạng toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
 Sau khi đã hình thành định lý cho học sinh, tôi tiếp tục đưa ra một số dạng toán về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và yêu cầu học sinh vận dụng nội dung định lý để giải quyết:
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm.
Phương pháp: 
+) Bước 1: Tính đạo hàm suy ra hệ số góc của tiếp tuyến 
+) Bước 2: Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là: 
Chú ý: 
+) Nếu đề bài cho thì tìm 
+) Nếu đề bài cho thì tìm bằng cách giải phương trình: 
+) Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị và đồ thị . Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 
Đặc biệt: Trục và trục .
Sử dụng máy tính cầm tay:
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng 
+) Đầu tiên tìm hệ số góc của tiếp tuyến .
Bấm và nhập . Sau đó nhấn ta được k.
+)Tiếp theo: Bấm phím để sửa lại thành , sau đó bấm phím với và bấm phím ta được m.
Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực chất là rút gọn các bước của cách trên. Việc sử dụng máy tính giúp ta nhanh chóng tìm ra kết quả và hạn chế được sai sót trong tính toán. Nếu học sinh có khả năng tính nhẩm tốt thì có thể bỏ qua cách này.
Thí dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là:
A. B. C. D. 
Lời giải:
Cách 1:
Ta có: 
Phương trình tiếp tuyến tại là: 
Chọn đáp án B.
Cách 2: 
+) Bấm và nhập . Sau đó nhấn ta được kết quả .
+) Tiếp theo: Bấm phím để sửa lại thành , sau đó bấm phím với và bấm phím ta được kết quả .
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.
Phương pháp: 
+) Bước 1: Tính đạo hàm suy ra hệ số góc của tiếp tuyến 
 Giải phương trình này tìm được , sau đó thay vào tìm .
+) Bước 2: Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là: 
Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc của đường thẳng dưới một số dạng như sau:
+) Tiếp tuyến 
+) Tiếp tuyến 
+) Tiếp tuyến tạo với Ox một góc thì 
+) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc : Khi đó 
Sử dụng máy tính cầm tay:
Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng 
Thí dụ 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2
+) Tìm hoành độ tiếp điểm 
+) Nhập sau đó bấm phím với và bấm phím ta được kết quả m.
 Thí dụ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng là:
A. B. C. D. 
Lời giải:
Ta có: 
Cách 1:
Phương trình tiếp tuyến tại là: 
Chọn đáp án B.
Cách 2: 
+) Bấm và nhập . Sau đó nhấn ta được kết quả .
+) Tiếp theo: Bấm phím để sửa lại thành , sau đó bấm phím với và bấm phím ta được kết quả .
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.
Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm 
Phương pháp: 
Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hàm số
+) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm và có hệ số góc k.
+) d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ : có nghiệm.
+) Giải hệ tìm và suy ra phương trình tiếp tuyến
Cách 2: 
+) Gọi là tiếp điểm.
+) Tính hệ số góc theo 
Thí dụ 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3
+) Phương trình tiếp tuyến có dạng: 
Vì nên . Giải phương trình tìm 
+) Thay vào (2) ta được phương trình tiếp tuyến
Thí dụ 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: đi qua điểm có phương trình là:
 A. B. 
 C. D.
Hướng dẫn: Ta có 
+) Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k.
+) d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ : có nghiệm.
Thay (2) vào (1) ta được: 
Với . Phương trình tiếp tuyến là: 
Với . Phương trình tiếp tuyến là: 
Kết luận: Đáp án D
Nhận xét: Đối với bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính toán tương đối mất thời gian và dễ dẫn đến sai lầm. Do đó để giải bài toán này một cách nhanh chóng và chính xác nhằm tiết kiệm thời gian ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để thử các đáp án như sau:
+) Cho bằng các đáp án, từ đó ta thu được các phương trình.
+) Sử dụng chức năng giải phương trình bậc ba của máy tính bỏ túi . Thông thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đó.
Cụ thể trong bài toán này: 
+) Thử đáp án A, ta cho: . Máy tính cho 3 nghiệm loại A.
+) Thử đáp án B, ta cho: . Máy tính cho 3 nghiệm loại B.
+) Thử đáp án C, ta cho: . Máy tính cho 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức loại C.
Thí dụ 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4
 Chọn đáp án D
2.3.4. Định hướng để học sinh biết cách khai thác định lý để tìm lời giải cho một số bài toán chứng minh bất đẳng thức
Dạng 4: Sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải trong chứng minh bất đẳng thức.
Phương pháp:
Đặt vấn đề: 
Câu hỏi 1: Quan sát hình vẽ bên và cho biết vị trí tương đối giữa tiếp tuyến d với đồ thị hàm số (C) trên khoảng ?
Câu hỏi 2: Tương tự cho học sinh quan sát hình vẽ bên và cho biết vị trí tương đối giữa tiếp tuyến h với đồ thị hàm số (C) trên khoảng ? 
b
x
y
a
O
d
(C)
h
e
f
Qua đó giáo viên rút ra lưu ý sau: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại mọi điểm lõm luôn nằm phía dưới đồ thị hàm số, còn tại điểm uốn thì tiếp tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét:
+) Nếu là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( M không phải điểm uốn) khi đó tồn tại khoảng chứa điểm : hoặc . Đẳng thức xảy ra khi: 
Từ đó ta có: với và đẳng thức xảy ra 
Nếu ( không đổi) hoặc 
 Sau đây chúng ta sẽ vận dụng nhận xét trên để chứng minh một số bất đẳng thức:
Thí dụ 4: Cho . Chứng minh: 
Phân tích: 
Bất đẳng thức 
Từ đó: . Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tại điểm có hoành độ là . Ta hi vọng đánh giá được: 
Thật vậy ta có: 
Qua đó ta có thể trình bày lời giải như sau:
 Ta có: 
 Suy ra: 
Tương tự: 
Từ ,, ta có: 
 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra 
Nhận xét: Nếu học sinh chưa biết tới phương pháp này thì sẽ không thể hiểu được là tại sao người ta có thể nghĩ ra là phải trừ đi “” mà không phải là một biểu thức khác. Như vậy sau khi được tiếp cận với phương pháp này học sinh sẽ có tư duy sâu hơn, rộng hơn, bao quát hơn trong việc giải toán chứng minh bất đẳng thức.
Thí dụ 5: Cho và . Chứng minh: 
Phân tích: 
Ta thấy đẳng thức xảy ra 
Và bất đẳng thức có dạng:
Thí dụ 4, thí dụ 5 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2
Trong đó: . Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tại điểm có hoành độ là . Ta hi vọng đánh giá được: 
Thật vậy ta xét: 
Qua đó ta có thể trình bày lời giải như sau:
 Ta có: 
 Suy ra: 
Tương tự: 
Từ ,, ta có: (đpcm)
Dấu bằng xảy ra 
Nhận xét: Như vậy qua hai ví dụ trên ta thấy việc đầu tiên là phải hướng dẫn các em chọn điểm “rơi” chính xác, sau đó xác định hàm số , viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm rơi đó và đánh giá. Tuy nhiên không phải bài chứng minh bất đẳng thức nào cũng có sẵn hàm số hoặc dễ dàng tìm thấy hàm số như hai ví dụ trên mà có những bài ta phải thực hiện một vài phép biến đổi thì mới xuất hiện hàm số như trong các thí dụ sau:
Thí dụ 6: Cho . Chứng minh: 
Phân tích: 
Ta có: 
Nên bất đẳng thức có thể viết dưới dạng: 
Từ đó: . Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tại điểm có hoành độ là . 
Ta có: 
 Suy ra: 
Tương tự: 
Thí dụ 6 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 1
Từ ,, ta có: (đpcm)
Dấu bằng xảy ra .
Thí dụ 7: Cho . Chứng minh: 
Phân tích:
 Trước hết chúng ta cần biến đổi bất phương trình như sau: 
Do các phân thức ở vế trái có tử số và mẫu số đồng bậc, không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó bất đẳng thức được viết lại dưới dạng: 
Ta thấy đẳng thức xảy ra 
Bất đẳng thức được viết lại: 
Trong đó: . Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tại điểm có hoành độ là . 
Thật vậy ta chứng minh: 
 Suy ra: 
Dấu bằng xảy ra 
 Nhận xét:
 Bất đẳng thức luôn “ hay ” và “ khó” không chỉ với học sinh mà còn đối với cả giáo viên. Chính vì vậy tôi muốn thông qua sáng kiến kinh nghiệm nho nhỏ của mình giúp học sinh thấy được cái hay cái đẹp của bất đẳng thức,học sinh không còn e sợ bất đẳng thức nữa.Từ đó không ngừng học hỏi, tìm tòi trong giải toán bất đẳng thức nói riêng và trong nghiên cứu toán học nói chung.
Thí dụ 7 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2
 Qua việc phân dạng và đưa ra phương pháp giải tương ứng như trên. Hi vọng rằng nó sẽ giúp học sinh có thể nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp cho từng bài nhằm tiết kiệm thời gian tối đa và có kết quả làm bài chính xác nhất.
 Dưới đây là hệ thống bài tập tương tự mà tôi đã siêu tầm được. Mong rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích giúp các em học sinh ôn tập tốt phần kiến thức này: 
2.3.5. Hệ thống bài tập tự luyện:
Bài tập trắc nghiệm :
Bài tập 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có phương trình là:
A. B. C. D. .
Bài tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có phương trình là:
A. B. C. D. .
Bài tập 3: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0.
Bài tập 4: Đồ thị của hàm số có bao nhiêu tiếp tuyến song song vói trục hoành
A. 3 B. 2 C. 0 D. 1.
Bài tập 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: biết tiếp tuyến có hệ số góc 
 A. B. 
 C. D. .
Bài tập 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
A. B. C. D. .
Bài tập 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Bài tập 1,2,3,4,5,6,7 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4
A. B. C. D. .
Bài tập 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: biết tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc .
A. B. 
C. D. .
Bài tập 9: Số tiếp tuyến đi qua điểm của đồ thị hàm số 
A. 3 B. C. 0 D. 1.
Bài tập 10: Số tiếp tuyến đi qua điểm của đồ thị hàm số 
A. 1 B. C. 3 D. 4.
Bài tập tự luận:
Bài tập 11: Cho và . Chứng minh: 
Bài tập 12: Cho và .. Chứng minh: 
Bài tập 13: Cho và . Chứng minh: 
Bài tập 14: Cho và . Chứng minh: .
Bài tập 15: Cho và . Chứng minh: .
Bài tập 16: Cho . Chứng minh: .
Bài tập 17: Cho và . Chứng minh: .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Bài tập 8, 9, 10,11,12,13,14,15,16,17 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 1
 Thực tế cho thấy, đối với đối tượng học sinh tôi đang trực tiếp giảng dạy và ôn luyện, các em có lực học ở mức trung bình, khá thì khi gặp những bài toán ở ba dạng đầu đều có thể dễ dàng xử lý được, nhưng khi gặp bài toán bất đẳng thức thì thường rất sợ và bỏ qua, tuy nhiên sau khi tôi đã hệ thống lại toàn bộ kiến 
thức về phương trình tiếp tuyến và các kiến thức liên quan, đồng thời tiến hành dạy cho các em việc đi tìm lời giải cho bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng kiến thức về tiếp tuyến từ những bài đơn giản nhất và nâng dần mức độ lên thì thấy rằng cách làm đó đã tạo được cho học sinh sự nhanh nhẹn, kiên trì, linh hoạt, hứng thú và không còn thấy sợ các bài toán chứng minh bất đẳng thức nữa. Qua đó kích thích các em không ngừng tìm tòi, khám phá những phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác. Đồng thời học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều phương pháp giải cho mỗi phần trong cùng một bài toán. Cách làm trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi đã được ôn tập kĩ lưỡng, học sinh đã tự giải được những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề thi học sinh giỏi. Đồng thời biết tự xây dựng cho mình hệ thống bài tập phù hợp với nội dung kiến thức được học và những bài tập tương tự trong các đề thi. Qua đó, hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên rõ rệt.
Qua kết quả thực nghiệm, đồng thời với cương vị là người trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy việc hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là rất cần thiết và hiệu quả.
3. Kết luận, kiến nghị:
3.1. Kết luận:
 Phương pháp dạy học này đã được tôi thực hiện thí điểm trên các lớp 11D, 11G và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11. Kết quả thu được rất khả quan:
 Hầu hết các em học sinh say mê hứng thú hơn trong các giờ học, trong quá trình ôn tập, kiểm tra bài cũ thấy rằng các em nắm rất vững kiến thức và vận dụng làm bài tốt. Kết quả cuối kỳ, cuối năm các em đạt được rất cao.
Kết quả cụ thể như sau:
+) Lớp 11D:
Kết quả
Học kì 1
Học kì 2
Cả năm
Ghi chú
Giỏi
15
20
20
Khá
25
24
23
TB
4
0
1
Yếu
0
0
0
+) Lớp 11G:
Kết quả
Học kì 1
Học kì 2
Cả năm
Ghi chú
Giỏi
5
8
8
Khá
20
24
25
TB
15
8
7
Yếu
0
0
0
 Trong quá trình trao đổi với đồng nghiệp được các đồng nghiệp đánh giá cao và cùng nghiên cứu vận dụng.
 Tuy nhiên muốn phương pháp này phát huy hiệu quả tối đa thì đòi hỏi người thầy phải biết vận dụng sáng tạo, linh hoạt, phù hợp với kiến thức đang cần truyền thụ cho học sinh, đánh giá đúng đối tượng học sinh để giới thiệu và khai thác kiến thức một cách phù hợp.
 3.2. Kiến nghị:
 Đối với giáo viên: cần nhiệt tình, tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ của học sinh làm mục đích chính, luôn trau dồi kiến thức, không ngừng tìm tòi, nghiên cứu phương pháp mới, phù hợp vớ