SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vec tơ giải bài toán hình học không gian

MỤC LỤC 	01
A. Phần mở đầu	02 
I. Lý do chọn đề tài 	02 
II. Mục đích nghiên cứu	03 
III. Phương pháp nghiên cứu	03 
IV. Thực trạng trước khi thưc hiện các giải pháp của đề tài 	04
V. Dự kiến kết quả đạt	05 
B. Phần nội dung	06
I Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ
1. Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ	06
2. Các dạng hình học chuyển đổi cơ bản	06
3. Các dạng bài tập cơ bản 	06
II. Các bài tập minh họa	08
1. Dành cho học sinh trung bình khá	08
2. Dành cho học sinh khá giỏi	11
III. Bài tập tham khảo	14
IV. Kết quả	14
V. Giải pháp mới	15
VI. Thực tiễn giảng dạy	16
VII. Kết luận 	16 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 	18
Phần mở đầu
I- Lí do chọn đề tài: 
 1.Về mặt lý luận
 Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2015: Phương pháp giáo dục cần phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. 
 Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực. Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho học sinh. Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyêncho học sinh. Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. 
 “ Sử dụng phương pháp vectơ trong giải bài toán hình học không gian ” là một cách nghiên cứu giải bài tập hình học bằng phương pháp vectơ là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như : quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. 
 Đáp ứng yêu cầu “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”.	Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. sức cần thiết.
 2.Về mặt thực tiễn
 Trong chương trình hình học ở THPT, khi dạy giải bài tập toán nói chung , giải bài tập toán bằng công cụ vectơ nói riêng học sinh thường gặp những khó khăn trong việc trả lời các câu hỏi sau:
 - Làm thế nào để phát hiện công cụ thích hợp cho việc giải bài toán đã cho ?
 - Dựa vào cơ sở nào để lưạ chọn đúng các kiến thức đã biết để giải bài toán đã cho?
 - Biến đổi bài toán như thế nào để có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc ?
 - Có những dạng bài toán nào có thể lựa chọn công cụ vec tơ để giải ?
Việc chỉ ra các căn cứ để phát hiện hướng giải đúng bài toán hình học phổ thông bằng phương pháp vec tơ sẽ giúp người học có tư duy trong việc hệ thống hóa các dạng toán, giải được các bài toán hình học một cách đơn giải hơn mà việc giải nó bằng phương pháp tổng hợp thì công kềnh và hình vẽ thì phức tạp.Ngoài ra phương pháp này còn giúp giáo viên và học sinh trong hoạt động giảng dạy và học tập môn hình học đạt hiệu quả cao hơn.
 Ở sách giáo khoa chương trình hiện nay, phần vec tơ trong không hian được trình bày kĩ, khuyến khích được học sinh học và sử dụng phương pháp vec tơ vào giải bài tập hơn chương trình cũ. Song ngay cả ở sách giáo khoa, sách bài tập và cả các tài liệu tham khảo cũng chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cho từng phần mà chỉ đưa ra một số ví dụ rồi giải. Do đó học sinh chưa khai thác sâu được phương pháp này nên chủ yế giải bài tập hình bằng phương pháp thông thường mà phương pháp này đòi hỏi phải có tư duy , trí tưởng tượng cao và hình vẽ phức tạp. Trong khi nhiều bài toán hình học không gian nếu giải bằng phương pháp vec tơ thì lời giải sẽ ngắn gọn và hình vẽ không phức tạp.
 Mặt khác các đề thi đại học cao đẳng hằng năm đáp án cho bài hình không gian không đưa ra cách giải bằng phương pháp vec tơ. Điều đó làm cho giáo viên và học sinh ít chú trọng cũng như chưa thấy được tính ưu việt của phương pháp này.
 Việc sử dụng thành thạo phương pháp véc tơ giúp học sinh có thể làm nhanh một số bài tập rèn luyện và phát triển tư duy lôgic toán, giúp học sinh lớp 11 có tiền đề tốt để học phương pháp tọa độ trong hình học giải tích lớp 12, phù hợp với xu thế học và thi hiện nay.
 3.Về cá nhân
 Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán là khoa hoc tư duy trừu tượng nhưng Toán học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này. 
 Một mặt khác toán học còn có tính thực triễn. Các kiến thức toán học đều bắt đầu từ cuộc sống. Mỗi mô hình toán học là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học toán học ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán.
 Vì vậy tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình là ‘‘Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vec tơ giải bài toán hình học không gian’’.
II- Mục đích nghiên cứu.
 Nghiên cứu luận văn người học nắm được các căn cứ lựa chọn công cụ thích hợp, lựa chọn đúng kiến thức đã học để vận dụng giải bài tập hình học bằng công cụ vectơ. Ngoài ra còn giúp người học phân dạng được các bài tập , mối liên hệ giữa bài tập này với bài tập kia.
III- Đối tượng nghiên cứu
 Véc tơ trong không gian và các phép toán, các bài tập hình học trong không gian
III- Phương pháp nghiên cứu
 Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề ra trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:
Phương pháp nghiên cứu lý luận
 - Nghiên cứu tài liệu.
 - Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy.
 - Nghiên cứu một số quan điểm, tư tưởng sáng tạo.
 2.Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập
- Nghiên cứu các bài toán khai thác về tri thức cội nguồn.
- Nghiên cứu các bài toán có cấu trúc tương tự.
 IV- Thực trạng trước khi thưc hiện các giải pháp của đề tài 
Thuận lợi
 - Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập .
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề. 
Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp.
Khó khăn
	- Đa số học sinh học yếu hình học đặc biệt là phần vec tơ. Có tư tưởng sợ học phần này. 
 - Giáo viên mất nhiêu thời gian để soạn bài 
Số liệu thống kê
	Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến véc tơ và vận dụng phương pháp véc tơ để giải, số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:
Mức độ 
Không nhận biết được
Nhận biết nhưng không biết vận dụng
Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được hoàn chỉnh
Nhận biết và vận dụng , giải được bài tập hoàn chỉnh
Số lượng
44
8
4
1
Tỉ lệ
66,7
22,2
9,9
1,1
V- Dự kiến kết quả đạt được.
 Nghiên cứu các căn cứ để định hướng đúng hướng giải các bài toán hình học phổ thông nhờ công cụ vec tơ nhằm giúp học sinh pháp hiện , huy động đúng đã học, các bài tập đã biết cách giải vào việc giải các bài tập mới.
 Đưa ra một số dạng bài tập và cách nhận biết hướng giải bài tập đó, các hệ thống bài tập có liên quan.
Phần nội dung
I – Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ
Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ
 Bước 1: Lựa chọn hệ véc tơ gốc : 
 - Thường là 3 véc tơ cùng điểm đầu và không đồng phẳng.
 - Ưu tiên chọn các véc tơ đã biết độ dài, biết góc giữa chúng.
 Bước 2: Chuyển các giả thiết, kết luận hình học của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ và biểu diễn các vec tơ liên quan theo hệ vec tơ gốc.
Các dạng hình học chuyển đổi cơ bản
Giả thiết hình học
Ngôn ngữ vec tơ (có thể)
M là trung điểm của đoạn thẳng AB
G là trọng tâm tam giác ABC
G là trọng tâm tứ diện ABCD
Các dạng bài tập cơ bản
Bài toán 1: Chứng minh hai đường thẳng song song:
 Để chứng minh đường thẳng AB // CD , ta chứng minh : AB=kCD
Bài toán 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:
 Để chứng minh đường thẳng AB // (MNP) , ta chứng minh :
Bài toán 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia (thực hiện bài toán 2 hai lần)
Bài toán 4: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
 Để chứng minh đường thẳng ab ta chứng minh , trong đó lần lượt là vec tơ chỉ phương của a và b.
Bài toán 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Để chứng minh ta chứng minh 
Bài toán 6: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia (thực hiện bài toán 5 hai lần) 
Bài toán 7: Các bài toán về góc
*) Gọi là góc giữa hai đường thăng a và b. lần lượt là hai vec tơ chỉ phương của a và b. Khi đó : 
*) Gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). 
Cách1: Ta đưa bài toán về xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a’ là hình chiếu của a lên (P). Sau đó thực hiện bài toán 7
 Cách2: Ta đưa về xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng trong dó b là đường thẳng vuông góc với (P) 
 Chú ý : ( trong đó lần lượt là véc tơ chỉ phương của a và b)
*) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). lần lượt là hai véc tơ nằm trên hai đường thẳng vuông góc với (P) và (Q). . 
 Khi đó : 
Bài toán 8: Xác định khoảng cách ( từ một điểm tói motjomawtj phẳng, hai đường thẳng chéo nhau) : ta đưa bài toán về tính khoảng cách giữa hai diểm 
 Để tính khoảng cách giữa hai điểm M và N ta biến đổi (trong đó tr là bộ ba vec tơ gốc đã chọn và đã biết , , 
 Ta tính được 
II - Các bài tập minh họa:
1 )Dành cho học sinh trung bình khá¸
Ví dụ 1
 Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm 
tam giác . là điểm nằm trên đoạn 
 CD sao cho 
 Chứng minh : 
 Giải: 
Đặt : 
Vì nên 
Gọi là trung điểm của , khi đó :
 . 
Ở ví dụ này ta chọn hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thiết , kết luận hình học sang ngôn ngữ vectơ như sau: 
Vì nên 
Ví dụ2 ( Bài tập 4 SGK Hình Học 11 trang 9)
 Cho hình hộp . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tứ diện vµ .
Chứng minh : .
Giải: 
Đặt : 
 là trọng tâm của tứ diện nên
 là trọng tâm của tứ diện nên
Ta có: 
 Nhận xét :Nếu không sử dụng phương pháp vec tơ trong bài toán này thì việc vẽ hình để xá định được trọng tâm của hai tứ diện phải vẽ nhiều đường và đương nhiên việc chứng minh cũng vậy
Ở ví dụ này ta chọn hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thiết , kết luận hình học sang ngôn ngữ vectơ như sau
 là trọng tâm tứ diện nên 
 là trọng tâm tứ diện nên 
Ví dụ 3
 Cho hình hộp . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh: 
Giải: 
Đặt : 
 Ta có , 
 (1)
, 
 (2) 
Từ (1) và (2) ta suy ra 
Ví dụ 4: 
Cho hình lăng trụ tam giác đứng có tất cả các cạnh đều bằng . là trung điểm của .
 Chứng minh 
Giải: 
Đặt : 
Vì là lăng trụ tam giác đứng 
nên ta có: 
, 
Ví dụ 5:
Cho hình chóp có . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh .
Giải: 
Ta có: 
Khi đó:
Ví dụ 6:
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng . và 
. Gọi lần lượt là trung điểm của. Tính góc giữa hai đường thẳng và .
Giải:
Đặt : 
Ta có : 
 vµ 
Gọi là góc của hai đường thẳng và , thì
2) Dành cho học sinh khá giỏi
Ví dụ1
 Cho hình chóp tam giác đều có đáy là hình vuông cạnh . là điểm đối xứng của qua trung điểm của . lần lượt là trung điểm của vµ . Chứng minh .
Giải: 
Gọi . Khi đó 
Đặt : 
Ta có : 
Ví dụ 2: 
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh: 
 Giải: 
Gọi là trung điểm của 
Đặt: 
Ta có: 
Ví dụ 3:
 Cho hình chóp ó đáy là hình chữ nhật , , = .
, là trung điểm . Chứng minh : . 
Giải:
Đặt : 
Ta có : vµ (1)
 (2)
Từ (1) và (2) 
Ví dụ 4
Cho hình chóp có đáy là hình thang. , . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Tính khoảng cách từ đền mặ phẳng . 
Giải
Đặt 
Ta có: 
Gọi là hình chiếu vuông góc hạ từ 
Lên mặt phẳng 
Khi đó : 
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh . là điểm đối xứng của qua trung điểm của . lần lượt là trung điểm của vµ . TÝnh khoảng cách giữa và . 
Giải: 
Đặt : 
Ta có : 
Gọi là đường vuông góc chung của và , ta có:
III Bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD . Chứng minh rằng // (BCD).
Bài 2:Cho hình chóp có đáyy là hình thoi cạnh tâm . , canh bên . lần lượt là trung điểm của . Chứng minh 
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình thang vuông tại và , ,, .
a) Tính góc giữa và .
b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng và.
Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của và G là trọng tâm .
Chứng minh 
 Chứng minh 
Bài 5:Cho tứ diện , có , . Tam giác vuông tại , các điểm thuộc và thuộc sao cho . 
Tính độ dài đoạn thẳng theo và .
Bài 6:hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh 7a , có cạnh SC vuông góc với mf (ABC) và SC= 7a.
Tính góc giữa SA và BC.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 7: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
IV. Kết quả
Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy 11, 12 và Luyện thi Đại học trong hai năm gần đây. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.
Kết quả sau khi thực hiện chuyên đề:
Mức độ 
Không nhận biết được
Nhận biết nhưng không biết vận dụng
Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được hoàn chỉnh
Nhận biết và vận dụng , giải được bài tập hoàn chỉnh
Số lượng
6
9
22
20
Tỉ lệ %
10,5
15,9
38,5
35,1
V. Giải pháp mới
Bài tập hình học nói chung và bài tập hình học không gian nói riêng rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.
VI. Thực tiễn giảng dạy
 1. Quá trình áp dụng
 Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.
 2. Hiệu quả sau khi sử dụng
Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học và tự nghiên cứu. 
 3. Bài học kinh nghiệm
Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh.
Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy của học sinh.
VII. Kết luận 
“ Phương pháp véc tơ giải bài toán hình học không gian ” giúp học sinh có thể giải những bài toán phức tạp một cách đơn giản bằng cách sử dụng các phép biến đổi véc tơ. Tuy nhiên đây không phải là phương pháp tối ưu cho mọ bài toán. Vì vậy khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp vec tơ học sinh cần lưu ý lựa chọn, kết hợp các phương pháp khác nhau để tìm được phương án giải tối ưu nhất. 
 Trên đây là một số bài toán hình học không gian giả bằng phương pháp vec tơ mà tôi thấy hay và đã sắp xếp lại. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên việc sưu tầm, tổng hợp và sắp xếp chưa được hoàn thiện. Rất mong được thầy giáo và các bạn đồng nghiệp góp ý.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh hóa ngày 10 tháng 4 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Tạ Thị Thúy Chinh
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1] Đào Tam, Giáo trình hình học sơ cấp 2007, NXB Đại học Sư phạm.
[2] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải toán hình học phẳng, NXB Giáo Dục.
[3] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải toán hình học không gian, NXB Giáo Dục.
[4] Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ , NXB Giáo Dục.
[5] Tạp chí toán học nhà trường - tháng 7/ 2015.
[6] B. I. Acgunop- M.B.Ban, Hình học sơ cấp 1977, NXB Giáo Dục.
[7] Lê Thiếu Tráng , Luận văn tiến sĩ , Vận dụng phép biện chứng duy vật nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh khá giỏi trong dạy học nội dung vec tơ trong trường phổ thông - 2015.