SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD & ĐT THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 VẬN DỤNG CÔNG THỨC NGHIỆM VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀO GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
 	Người thực hiện: Vũ Thị Tuyên
 	Chức vụ: Giáo viên
	 	Đơn vị: Trường THCS Lê Thánh Tông - Thọ Xuân
 	SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
Trang
1.PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài ................ ... ......................................................................... 1
1.2. Mục đích nghiên cứu............... ......................................................................... 1 
1.3.Đối tượng nghiên cứu......................................................................................... 2
1.4.Phương pháp nghiên cứu ..................................................................... ............. 2
2.NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................... 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................... 3
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm 
Giải phương trình bậc hai .. ............................................................................... 4
Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai ........................................ 5
Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm ......9
Áp dụng vào giải các bài toán khác ........................................................... ..... 13
Bài tập tương tự ............................................................................................... 19
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ............................................... .....................................19
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận ...................................... .................................................................. 20
3.2 Kiến nghị ...................................................................................... ................ 21
1 MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 Như chúng ta đã biết, môn toán học là môn khoa học tự nhiên đóng vai trò quan trọng. Để học sinh có kiến thức môn toán được vững vàng thì các em phải chăm chỉ học tập, có phương pháp học tập đúng đắn và phải nắm kiến thức một cách có hệ thống. Trong khi đó nhiều học sinh hiện nay chưa có phương pháp học hiệu quả, chưa biết cách hệ thống các kiến thức mà mình đã được học trong sách giáo khoa. Các em chỉ trông chờ vào các thầy cô giáo, thầy cô dạy bài nào thì biết bài đó, dạy dạng nào thì biết dạng đó. 
 Chuyên đề phương trình bậc hai đã có nhiều tác giả viết và xuất bản nhiều tài liệu, nhưng các tài liệu hoặc là quá dài và nhiều bài khó đối với học sinh lớp 9, hoặc là chưa làm nổi bật được các ứng dụng của công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Vì vậy học sinh lớp 9 khó tìm được tài liệu phù hợp để hỗ trợ cho các em khi các em ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông, ôn thi vào các trường chuyên và thi học sinh giỏi.
 Khi ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông, ôn thi học sinh giỏi hay ôn thi vào các trường chuyên thì đi sâu tìm hiểu các đề thi mới thấy được hầu như đề nào cũng có những bài toán áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai hoặc hệ thức Vi-ét. Trong khi đó nhiều học sinh nắm vững các kiến thức trong sách giáo khoa, nhưng khi áp dụng vào bài tập thì còn lúng túng, nhất là các bài toán nâng cao thì tiếp cận chưa tốt. 
 Bản thân tôi từ khi bắt đầu đi dạy, tôi tình cờ đọc được một đề thi vào trường chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá cách đây nhiều năm, tôi rất tâm đắc với một bài thi có cách giải độc đáo bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Và trong quá trình giảng dạy, tôi đã thấy nhiều bài tập khi áp dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai thì cho lời giải hay, ngắn gọn. Vì thế, sau mỗi năm học, tôi lại tích luỹ thêm được nhiều bài tập hay về phần này, và mỗi khi dạy đến phần này tôi đưa ra các bài tập đó thì nhiều em học sinh đã vô cùng ngạc nhiên vì lại có những cách giải hay, lý thú như vậy.
 Vì những lý do trên, năm học này tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp về đề tài: " Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập". Tôi cũng hy vọng đây là một tài liệu giúp ích cho các em học sinh lớp 9 trong khi các em ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông, thi vào các trường chuyên và thi học sinh giỏi cấp tỉnh. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với sáng kiến kinh nghiệm "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập " tôi mong muốn giúp các em học sinh lớp 9 nắm vững công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Các em biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập, nắm được hệ thống các dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh lớp 9 giải quyết được các bài thi trong các đề thi vào lớp 10 THPT, thi vào lớp 10 chuyên và thi học sinh giỏi. Cũng qua phần này, tôi muốn các em thấy được đằng sau những công thức trong sách giáo khoa tưởng chừng như đơn giản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, bổ ích và lý thú. Từ đó khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong chương trình toán phổ thông, phần phương trình bậc hai, hệ thức Vi- ét là một phần kiến thức rất rộng lớn, nó xuyên suốt từ lớp 9 đến lớp 12. Trong các đề thi vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trong toàn quốc và cả đề thi đại học ta thường xuyên bắt gặp các bài thi áp dụng kiến thức về phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét từ dạng đơn giản đến các bài khó. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai vào giải bài tập, hệ thống các dạng bài tập cũng như phương pháp giải cho mỗi dạng bài. Với mỗi dạng bài tập tôi trình bầy theo mức độ từ dễ đến khó, đặc biệt tôi hệ thống các ứng dụng của công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào giải các dạng bài tập nâng cao. Từ đó giúp học sinh mọi trình độ đều có thể sử dụng tài liệu này một cách hiệu quả. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa toán 9, sách bài tập toán 9, sách giáo viên, tạp chí toán học và tuổi trẻ, toán tuổi thơ, các sách tham khảo. Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm hiểu các đề thi vào lớp 10 THPT của nhiều tỉnh thành trong cả nước, các đề thi vào các trường chuyên, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh của nhiều tỉnh để có được hệ thống bài tập phong phú và đa dạng. Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này cho học sinh thì tôi luôn tự rút kinh nghiệm để hoàn thiện hơn trong năm tiếp theo.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Ngày 4/11/2013, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng đã ký ban hành Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW). Nghị quyết có nội dung về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế.
Trong nghị quyết 29 có nêu rõ: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội"
Với vị trí là một giáo viên trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy, để thực hiện theo định hướng trên thì trước hết mỗi giáo viên phải luôn luôn biết tự hoàn thiện mình, phải tâm huyết với nghề, có năng lực chuyên môn vững vàng, biết làm chủ kiến thức. Giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy, tạo ra các giờ học sinh động và hấp dẫn. 
Đối với môn toán, khi giảng dạy giáo viên cần giúp cho học sinh hệ thống được các nội dung kiến thức theo từng chủ đề, biết vận dụng tốt các kiến thức trong sách giáo khoa vào giải các bài tập và các bài toán thực tế. Vì vậy khi giảng dạy chuyên đề " Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét", bản thân tôi luôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh có thể nắm vững được hệ thống các kiến thức và các dạng bài tập từ đơn giải đến phức tạp, từ những bài tập trong sách giáo khoa đến những bài thi trong các kỳ thi mà các em sẽ trải qua, từ đó tạo ra hứng thú học tập cho học sinh, hình thành ở học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo và chủ động tiếp thu kiến thức. Khơi dậy cho học sinh, nhất là các em học sinh khá giỏi lòng say mê học tập, sự khao khát khám phá những điều mới lạ. Điều này đã được tôi thể hiện rõ nét trong sáng kiến kinh nghiệm này.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình môn toán lớp 9, phần phương trình bậc hai đóng vai trò rất quan trọng. Vì vậy việc giúp học sinh nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa và biết áp dụng kiến thức vào giải bài tập là việc làm vô cùng cần thiết. Nó giúp các em vượt qua các kì thi quan trọng và tạo nền tảng kiến thức cho những năm học ở cấp trung học phổ thông. Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới giảng dạy môn toán 9, khi dạy phần phương trình bậc hai tôi còn khá lúng túng. Các bài tập tôi cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa làm nổi bật được tầm quan trọng của công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Vì vậy khi học sinh học phần này, các em cũng nắm kiến thức một cách dàn trải, chưa có hệ thống. Các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấy được những điều thú vị ẩn sau các công thức đơn giản trong sách giáo khoa. Sau một vài năm , bản thân tôi cũng có kinh nghiệm hơn trong giảng dạy, tôi nghĩ rằng mình phải làm thế nào để kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, đã nhớ thì khó quên. Do đó tôi đã dần dần hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm này mà hôm nay xin được chia sẻ cùng các đồng nghiệp.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng
Khi giảng dạy cho học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc thì đầu tiên tôi nhắc lại cho học sinh các kiến thức mà các em đã được học trong sách giáo khoa:
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
*Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ) và biệt thức 
- Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
- Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: ;
- Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
(Sách giáo khoa toán 9, tập 2, trang 44)
Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ) có a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
*Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ) và b = 2b', 
- Nếu ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
- Nếu ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép: ;
- Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
(Sách giáo khoa toán 9, tập 2, trang 48)
Tiếp theo tôi đưa ra hệ thống kiến thức theo sơ đồ sau: 
Công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Ứng dụng vào giải các bài toán khác
Giải phương trình bậc hai
Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm.
Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai
Từ đó tôi giới thiệu các dạng bài tập cho học sinh.
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai
Khi hướng dẫn học sinh áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập thì việc đầu tiên là giúp học sinh hiểu và áp dụng kiến thức để giải các bài tập đơn giản nhất, đó là giải phương trình bậc hai. Với tôi khi giảng dạy, bao giờ cũng bắt đầu từ những bài tập dễ và tăng dần độ khó. Ta bắt đầu từ một bài tập trong sách bài tập toán 9, tập 2:
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
	a, 2x2 – 5x + 1 = 0
b, x2 + 4x + 4 = 0
c, 5x2 – x + 2 = 0
(Bài tập 20, sách bài tập toán 9, tập 2)
Hướng dẫn giải:
a, . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
b, . Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -2
c, < 0. Phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình: 
Hướng dẫn giải:
Vì > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 
Nhận xét:
Khi đưa ra bài tập 1 tôi muốn củng cố kiến thức về giải các phương trình bậc hai ở dạng đơn giản, vận dụng trực tiếp công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn, mục đích giúp cho học sinh nhớ công thức, vận dụng được công thức ở dạng đơn giản nhất.
Trong khi đó, với bài tập 2 tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh rằng, các phương trình sau khi biến đổi mà đưa được về phương trình bậc hai thì bằng cách áp dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình.
Tiếp theo, ta sẽ xét các phương trình bậc hai có hệ số là các số vô tỉ. Ta tiếp tục với bài tập sau: 
Bài 3: Giải phương trình: 4x2 – 2(1 + )x + =0
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Vì > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 
Nhận xét: 
Khi các hệ số a, b, c của phương trình là số vô tỉ thì sau khi tính hoặc xong cần xem có đưa được về bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu hay không.
Ở dạng này, tôi chỉ đưa ra các bài tập giải phương trình bậc hai đơn giản, mục đích muốn giúp học sinh nắm vững công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Các phương trình phức tạp thì không đề cập đến trong phần này mà sẽ giới thiệu trong chuyên đề phương trình quy về phương trình bậc hai.
Dạng 2: Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai.
Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 của nhiều tỉnh, thành trong cả nước. Ta thường gặp dạng bài chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt hoặc vô nghiệm. Ta xét một số bài tập sau: 
Bài 1: Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + m2 – 2m + 5 = 0 (m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm với mọi giá trị của m.
 Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: 
Vì -3(m-1)2 0 với mọi giá trị của m nên -3(m - 1)2 – 16 < 0 với mọi giá trị của m
với mọi giá trị của m
Vậy phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm ta chứng minh hoặc .
Bài 2: Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số).
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá năm học 2004 - 2005)
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: 
Vì nên . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ta chứng minh hoặc .
Bài 3: Cho phương trình: , m là tham số
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định năm học 2015 - 2016)
Hướng dẫn giải:
Ta có: ’ = (1 – m)2 – 1(-3 + m) 
 = m2 – 2m + 1 + 3 – m 
 = m2 – 3m + 4
 = 
Vì với mọi giá trị của m nên với mọi giá trị của m.
 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 - - m = 0. (với m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá năm học 2003 - 2004)
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
- Nếu mthì . Do đó (vì m) nên phương trình có nghiệm. 
- Nếu m < 0 thì . Do đó nên phương trình có nghiệm kép. 
Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh hoặc .
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c: (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Hướng dẫn giải:
Biến đổi phương trình về dạng: 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0.
Phương trình trên là phương trình bậc hai có: 
Với mọi a, b, c ta có: nên suy ra .
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c.
Nhận xét: Khi đưa ra bài tập này, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được: Phương trình ban đầu không phải là phương trình bậc hai nhưng sau khi biến đổi ta đưa về được phương trình bậc hai. Khi đó ta áp dụng công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 6: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.
 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k.
Hướng dẫn giải:
+ Nếu k = 0, phương trình có dạng 2(x - 1) = 0 x = 1
+ Nếu k 0, phương trình biến đổi về dạng: kx2 + 2(1 - 2k) x + 3k - 2 = 0 (*)
 = (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k
 = k2 - 2k + 1 = (k - 1)2 
Vì (k - 1)2 > 0 với mọi giá trị của k nên > 0 với mọi giá trị của k, do đó phương trình (*) luôn có nghiệm.
Kết hợp hai trường hợp ta có phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k
Nhận xét: Khi đưa ra bài tập này, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được: Phương trình ban đầu không phải là phương trình bậc hai nhưng sau khi biến đổi ta đưa về được phương trình dạng ax2 + bx + c = 0. Tuy nhiên khi gặp phương trình này, giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng chỉ được tính hoặc khi hệ số a khác 0. Trong trường hợp a có thể bằng 0 thì cần phải xét các trường hợp xảy ra.
 Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 
 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: 
Vì và nên với mọi giá trị của a, b, c; suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c.
Bài 8: Cho phương trình: (m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = 0
Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m
Phân tích, tìm cách giải: Nếu bài này ta dùng điều kiện thì bài toán trở nên khá phức tạp. Vậy có cách nào khác để chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt hay không. Đối với bài toán này, ta áp dụng kiến thức sau: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.(Sách giáo khoa toán 9, tâp 2, trang 45). 
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình:(m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = 0
Ta có: a = m2 – 2m + 5 = (m - 1)2 + 4 > 0 
 c = –(m2 – m + 1) = 
Do đó phương trình bậc hai (m2 – 2m + 5)x2 – (m3 – 2m2 + 7)x –(m2 – m + 1) = 0 có a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn chốt lại hai cách chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
- Cách 1: Chứng minh phương trình có hoặc 
- Cách 2: Chứng minh phương trình có a và c trái dấu.
Bài 9: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:	ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
Hướng dẫn giải:
Vì các phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên Ta có: 
 nên:
Dó đó suy ra: .
Vậy trong ba số ít nhất phải có một số không âm (vì nếu cả ba số đều âm thì tổng ba số phải là một số âm, vô lý), suy ra có ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm.
Nhận xét: Qua bài tập trên tôi muốn chốt lại cách giải các bài tập chứng minh ít nhất một trong các phương trình bậc hai đã cho có nghiệm.
-Khi chứng minh ít nhất một trong hai phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh hoặc (hayhoặc )
- Khi chứng minh ít nhất một trong ba phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh hoặc (hayhoặc )
Các bài toán khác có cách giải tương tự.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, phương trình vô nghiệm.
Khi giới thiệu dạng bài tập này, tôi đưa ra cách giải tổng quát cho học sinh trước khi đưa ra hệ thống bài tập:
	Xét phương tr