SKKN Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ở môn Đại số lớp 7

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là nội dung cơ bản của chương I đại số 7 cũng là nội dung cơ bản của chương trình toán 7. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh vẫn còn mắc những sai lầm khi giải toán về dạng này. Ngoài ra trong các đề thi học sinh giỏi toán 7 đa số có toán về tỉ lệ thức. Hiện nay ngoài kiến thức và bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này một cách đầy đủ nên khi dạy phần này giáo viên dạy và ôn đội tuyển gặp không ít những khó khăn để biên soạn cho hết nội dung của chủ đề. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứu, thấy phần này hay, tâm đắc muốn trình bày một số kinh nghiệm về nội dung kiến thức của chủ đề để giáo viên dễ dàng áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh.
 	Còn đối với học sinh, thông qua hướng dẫn giải bài tập của giáo viên, giúp học sinh rèn luyện tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú trong học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả năng phân tích phán đoán, khái quát của học sinh đồng thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong khi làm bài tập.
	Trường THCS Lê Đình Chịnh của huyện Ngọc Lặc là trường tỉ lệ học sinh giỏi tương đối cao so với mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh yêu thích môn Toán và dự thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh. Là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm với mong muốn giúp học trò học tốt hơn môn toán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7, tôi đã nghiên cứu và viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm : “Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ở môn Đại số lớp 7”.
1.2. Mục đích của sáng kiến:
Giúp học sinh đại tra hiểu được kiến thức cơ bản và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải bài tập.
Giúp học sinh đi thi học sinh giỏi được tiếp cận với nhiều dạng và nhiều cách giải bài toán dạng này để không còn thấy khó khăn khi gặp phải dạng bài tập này
Muốn bản thân, đồng nghiệp trong và ngoài trường tham khảo để giảng dạy được tốt hơn các bài tập về các dạng toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
 Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.
1.3.Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh của lớp 7A1+7A2 trường THCS Lê Đình Chinh, Ngọc Lặc năm học 2015-2016
- Giúp học sinh nghiên cứu cơ sở lý thuyết và phương pháp giải các bài tập về các dạng toán tỉ lệ thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
 Đề tài được viết dựa trên cơ sở thực tế hướng dẫn học sinh giải toán về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
 - Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan.
	- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp, các tiết dạy phụ đạo, các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi 
	- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
	-Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm học đến cuối học kì I.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1.Cơ sở lý luận 
2.1.1.KIến thức cơ bản
 a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số .
 Ta còn viết :
 a : b = c : d.
 trong đó a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài) ; b và c là các trung tỉ (số hạng trong).
 b. Tính chất của tỉ lệ thức: 
	Tính chất 1: Nếu thì a.d = b.c
	Tính chất 2: (Đảo lại) Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
 (ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác bằng cách:
Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau
Đổi chỗ trung tỉ cho nhau
Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau)
Cụ thể:
 ; ;; .
	Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức suy ra các tỉ lệ thức: , , 
 c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức suy ra , (b ≠ ± d)
Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra: 
	, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n2): thì 
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
d. Nâng cao.
1. Nếu thì 
2. Từ => 
(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c => 
 Ta còn viết x:y:z = a:b:c
Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
Chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: . Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c
2.1.2. Thực trạng vấn đề 
 Khi khảo sát ở các lớp khác nhau, qua chấm bài thi tôi thấy học sinh gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán . Ví dụ các em hay sai nhất trong cách trình bày lời giải , sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”giữa “=” với dấu “+”
	Ví dụ: thì các em lại dùng dấu “=” là sai.
	Ví dụ: Hãy tìm x, y, z biết và x + y + z = 44
	Giải: vậy 
	Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai.
Ví dụ : ở bài kiểm tra khảo sát giữa học kì I toán 7 năm học 2015-2016 có bài 
học sinh còn trình bày  : 
Lí do là các em chưa hiểu rõ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên nhớ nhầm.
Có những em học yếu về môn toán còn trình bày khi tìm ra giá trị x, y,z như sau : 
; ; 
Ngoài ra khi làm nhiều bài tập có nhiều đáp trường hợp thì các em vẫn không xét 
hết các trường hợp có thể xãy ra.
Vì vậy tôi đưa ra một số dạng toán giúp các em không còn sai sót trong lời giải của mình : 
Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước
Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.
Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng.
Tính giá trị của biểu thức
2.1.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
	Hướng dẫn vận dụng kiến thức giải bài tập một một cách chính xác, nhanh nhất ,ngắn nhất. giáo viên cần giúp học sinh định hướng kiến thức, phương pháp cơ bản cần dùng để giải từng dạng toán cụ thể. Để khắc sâu kiến thức giáo viên cần chọn những bài tập mang tính chất cơ bản và mang tính phát triển các kiến thức ở mọi khía cạnh. Qua đó giúp học sinhvừa nắm được kiến thức cơ bản vừa phát triển được tư duy, sáng tạo linh hoạt khi làm bài tạo hứng thú yêu thích môn học.
2.1.3a) Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp giải: tìm cách biến đổi dể trở về đẳng thức cần chứng minh hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó.
Bài 1.1: Cho chứng minh rằng .
Hướng dẫn: Đối với bài toán này ta có thể đặt hoặc biến đổi tỉ lệ thức cho trứơc để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh.
- Giáo viên trình bày kĩ cho học sinh bốn cách giải sau: 
Giải:
Cách 1: (đpcm)
Cách 2: (đpcm)
Cách 3: 
 (đpcm)
Cách 4: ( cách này áp dụng được vào nhiều bài toán dạng này)
 đặt suy ra 
Ta có : 
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Giáo viên lết luận : Như vậy để chứng minh tỉ lệ thức , ta thường dùng hai
phương pháp chính : 
Phương pháp 1 : Chứng tỏ tích ad bằng tích bc
Phương pháp 2 :chứng tỏ hai tỉ số có cùng giá trị. Nếu trong đề bài đã cho trước 
một tỉ lệ thức khác, ta có thể đặt giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ hức đã cho bằng k, rồi 
tính giá trị của mỗi tỉ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k (cách 4) cũng có 
thể dùng các tính chất của tỉ lệ thức như hoán vị các số hạng , tính chất dãy tỉ số 
bằng nhau, tính chất của đẳng thức để biến đổi tỉ lệ thức đã cho đến tỉ lệ thức 
phải chứng minh(cách 1,2)
Kinh nghiệm khi dạy với bài tập 1.1 giáo viên nên đưa cả 4 cách giải trên để học sinh được biết tuy nhiên giáo viên cho học sinh nhận xét từng cách giải, phân tích cách giải và chọn cách giải tối ưu cho bài và chọn cách giải phù hợp với các bài tập dạng tương tự như bài tập 1.1 trên. Giáo viên có thể kết luận đối với cách 4 thì ta có thể áp dụng được nhiều bài toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Sau khi làm song bài tập giáo viên cho học sinh làm bài tâp 1.2 sau
Bài 1.2. Chứng minh rằng : Nếu thì với a, b, c, d ≠ 0.
Học sinh tự làm và yêu cầu học sinh làm theo cách 1 và cách 4
Giải:
Cách 1 : 
Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: 
	 (1)
	 (2)
	Từ (1) và (2) => (đpcm)
Cách 2: Đặt suy ra 
Ta có (1) 
Và (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài 1.3: cho tỉ lệ thức: chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau(giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa):
	a, 
	b, 
Hướng dẫn: - Làm như thế nào để xuất hiện 2015a, 2015c, 2016b, 2016d?
Muốn có 2015a, 2015c, 2016b, 2016d ta phải làm xuất hiện tỉ số nào? 
Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm được không? Giáo viên hướng dẫn theo cách 2 của bài 1 và cho học sinh về nhà giải theo cách 3
Giải:
Từ (áp dụng kết quả của bài 2 )
Từ (1) 
và từ (2)
từ (1) và (2) suy ra (đpcm)
Bài 1.4: Chứng minh rằng: Nếu thì điều đảo lại có đúng hay không?
Nhận xét: Với bài toán này khi đưa ra, yêu cầu học sinh phân tích đề bài để hiểu nội dung yêu cầu của đề bài chiều thuận: Nếu thì đảo lại có nghĩa là: nếu thì có đúng không? Vậy là học sinh phải chứng minh chiều thuận và chiều đảo.
Giải:
 + Ta có: 
	+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
	Ta có : 
Bài 1.5: Chứng minh rằng: Nếu và đk: b;d ≠ 0 thì 
Nhận xét: ở bài toán này đề bài cho các đẳng thức từ các đẳng thức chứng minh tỉ 
lệ thức, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ngược như sau: 
Muốn có .. căn cứ váo (1) và (2)cả 
hai vế cùng bằng 2bd vậy từ nhân cả hai vế với d. ta có thể trình bày 
giải như sau : 
Giải :
	Ta có : 
	Từ (3) và (2)
 (đpcm)
Bài 1.6: cho a, b, c là ba số khác 0 và chứng minh rằng: (đề 
thi khảo sát chất lượng học kì I của huyện Ngọc Lặc năm học 2015-2016)
Hướng dẫn:
Từ ta biến đổi để xuất hiện 
Giải: Từ (1)
Ta lại có (vì ). Từ (1) và (2) ta có 
Bài 1.7: Cho: 
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn: giáo viên cho học sinh đọc, quan sát, suy ngẫm kĩ đề bài để phát hiện
 ra vấn đề: 
1)
2) 
3)mà 
4) Từ 2) suy ra được: 
5) Từ 3) và 4) 
6)Hay 
7) 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bàng nhau ta có:
2.1.3b) Dạng 2 : Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.
Giáo viên hướng dẫn học sinh. Đối với dạng bài tập này cần nhớ phương pháp 
giải như sau: 
 Phương pháp giải: giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c. Ta làm như sau:
 do đó ;;
Bài 2.1: Tìm hai số x, y biết : và x + y = 16.
Hướng dẫn: Với bài này học sinh chỉ cần vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải, tuy nhiên yêu cầu đối với bài này giáo viên cần hướng dẫn, trình bày cụ thể và nêu những chú ý mà học sinh có thể dẫn đến sai như đặt ra ở mục thực trạng của vấn đề.
Bài 2.2. Tìm ba số x, y, z, biết rằng: và x + y – z = 10.(Bài 61- trang 31 SGK toán 7 tập 1)
Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số và có hai số hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới (ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4) =12 từ đó mẫu chung của 3 và 4 là 12
Giải:
 BCNN(3;4) =12 nên ta biến đổi như sau:
( nhân cả hai vế với ) (1)
( nhân cả hai vế với ) (2)
Từ (1) và (2) . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy 
x = 8.2 = 16
y = 12.2 = 24
z = 15.2 =30
giáo viên : ở bài toán này chúng ta phải biến đổi để xét x, y, z tỉ lệ với các số nào? 
Bài 2.3. Tìm x, y, z cho : và và 
Hướng dẫn : Hướng dẫn học sinh nhận ra đây chính là bài toán kết hợp bài 2.1 và 2.2
- Trước hết ta phải biến đổi xét xem x, y, z tỉ lệ với các số nào
- Sau đó làm xuất hiện tổng : 
Giải :
 BCNN(4 ;5)=20 nên ta biến đổi như sau :
	Ta có : (nhân cả hai vế cho ) (1)
	(nhân cả hai vế cho ) (2)
	Từ (1) và (2) suy ra 
	Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau giống bài 2 ta giải ra được : 
 x = 90 ; y = 120 ; z = 168
Bài 2.4. Tìm x, y, z biết :
	a. và 2x + 3y –z = 50
	b. và x + y +z = 49
Nhận xét : Đối với câu a học sinh có thể tìm ra cách giải tương tự bài 2.2, từ câu 
a học sinh có thể tự suy luận và tìm ra cách giải câu b, nếu học sinh không làm đươc thì giáo viên hướng dẫn như sau : ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x ; 3y ; 4z, làm thế nào để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z. ta sẽ tìm BCNN (2 ;3 ;4) = 12 và khử tử để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z
Giải :
Ta biến đổi (1) như sau : hay 
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12
	 hay 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
x = 18; y = 16; z = 15
Bài 2.5. Tìm các số a, b, c biết rằng : 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Giáo viên yêu cầu học sinh tự giải bài toán và cho học sinh nêu các phương pháp 
làm đã sử dụng trong bài.
Giải :
Từ 2a = 3b suy ra 
 Từ 5b = 7c suy ra 
Ta tìm BCNN(2,7)=14.
Từ (1)
Từ (2)
Từ (1) và (2) ta có : 
Từ 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số bằng nhau ta có : 
Từ đó ta tính được a = 42 ; b = 28 ; c = 20
Bài 2.6. Tìm các số x, y, z biết và 
Hướng dẫn : Giáo viên yêu cầu học sinh tự giải bài toán 
 Giải : 
Đặt 
Vì nên 
Với k = 3, ta có :
Với k = -3, ta có :
Vậy các cặp số (x, y, z) cần tìm là : (15, 21, 9) và (-15, -21, -9)	
Bài tập tương tự :
1) Một số A được chia thành 3 phần tỉ lệ nghịc với 5 ; 2 ; 4. Biết 
rằng tổng các lập phương của ba phần đó bằng 9512. Hãy tìm số A
2) Tìm ba phân số, biết rằng tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ 
với 3 ; 4 ; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5 ; 1 ; 2
Bài 2.7. Tìm các số a1, a2, a9 biết:
	 và 
Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau làm như sau:
Giải :
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Từ đó dễ dàng suy ra : 
Ngoài cách trên, trong quá trình dạy cho học sinh tôi thấy học sinh làm 
cách khác hay hơn nhiều so với cách trên, đó là học sinh đã trừ các tỉ số bằng nhau 
với 1, đưa về dãy tỉ số:
sau đó các em tìm một cách dẽ dàng 
Bài 2.8. Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng số học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng số học sinh lớp 7B. Tính số học sinh của mỗi lớp.
Hướng dẫn : loại toán này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm, thể hiện các mối quan hệ qua ẩn khi đó bài toán trở về dạng quen thuộc mà chúng ta đã được học
Nếu gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z. thì theo đề bài ta
 có : x + y + z = 153, , . Vậy ta đi giải bài toán tìm x, y, z
 biết: x + y + z = 153,và , . 
Giải :
Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z. theo đề bài ta có :x + y + z = 153, , . 
X + y + z = 153, , .
Do nên hay (1)
Do nên hay hay (2)
Từ (1) và (2) ta có .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Từ đây tìm được x= 54; y=48; z= 51.
Vậy số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 54; 48; 51.
Bài 2.9: Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235 m3 . biết rằng thời gian để bơm được 1 m3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4 phút và 5 phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể?
Hướng dẫn: giải tương tự như bài 2.8:
Giải:
Gọi số mét khối nước bơm được của ba máy lần lượt là x (m3), y (m3), z(m3)
Theo bài ra ta có : x + y + z =235 (1) và 3x = 4y = 5z.
Từ 3x = 4y = 5z suy ra hay (2).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , từ (2) và (1) ta có : 
Do đó: x = 5 . 20 = 100; y = 5 . 15 = 75; z = 5 . 12 = 60
Vậy số mét khối nước bơm được của ba máy theo thứ tự là 100 m3 , 75m3 và 60m3
Bài 2.10: Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của số thứ nhất với số thứ 2 là , của số thứ nhất với số thứ ba là .
Hướng dẫn: - Xét ba số cần tìm tỉ lệ với ba số nào?
 - Tìm mối quan hệ giữa ba số với BCNN của chúng.
Giải:
Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z
	Theo bài ra ta có : BCNN (x , y , z) = 3150
 hay hay (1)
 (2)
 Từ (1) và (2) ta có : 
Đặt =k 
BCNN (x, y, z)=2.5.k.32 .7
 Mà BCNN (x, y, z)=3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32 .7= 2.32.52.7 
 Từ đó suy ra : k = 5
Suy ra x=10 . 5 = 50; y =18 . 5 = 90; z =7 . 5 = 35
	Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
2.1.3c) Dạng 3: Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng
Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y = P và .
Từ Đặt , ta có x=k.a, y=k.b. do đó: . Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.
Chú ý: 
Cần lưu ý cho học sinh khi giải được hai trường hợp k,
Cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau: (sai) 
Bài 3.1: (Bài 62 SGK –Toán 7 tập 1) Tìm hai số x và y, biết rằng và xy=10.
Giáo viên đưa ra bài tập yêu cầu học sinh là trong 5 phút giáo viên xem xét và chỉ ra sai lầm nếu có trình bày cách giải và nhấn mạnh những điểm mà học sinh còn mắc sai lầm.
(cần tránh sai lầm áp dụng ‘‘tương tự ’’ tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 
Hướng dẫn giải :
Đặt , ta có x =2k, y =5k.
Vì xy=10 nên 2k.5k=10 hoặc 
+ với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
+ với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2 ; y = 5.(-1)= -5.
Vậy x = 2 ; y = 5 ; x = - 2 ; y = - 5
Chú ý : với bài này cần lưu ý khi 
Bài 3.2 : Tìm x, y biết rằng : và xy = 135 .
Hướng dẫn : Bài này làm tương tự bài 3.1. để học sinh biết cách giải khác giáo viên hướng dẫn cho các em làm theo cách khác như sau :
 Từ vì nhân cả hai vế với x 
 suy ra hoặc 
	với 
	với 
Bài 3.3 : Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là 76,95 m2 có chiều rộng bằng chiều dài. Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó.
Hướng dẫn : loại toán này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm ,thể hiện các mới quan hệ qua ẩn đưa về bài toán dạng tìm hai số khi biết tích và tỉ số của chúng.
Giải :
Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật đó lần lượt là x (m) ,y(m).
Theo bài cho ta có x . y = 76,95 và 
Đặt , ta có 
Vì x . y = 76,95 nên (5.k).(19.k)=76.95 hoặc . 
+ với k = 0,9 thì x = 5.0,9 = 4,5 ; y = 19.0,9 = 17,1.
+ với k = -0,9 thì x = 5.(- 0,9) = -4.5 ; y =19.(- 0,9) = - 17,1. 
Do x, y là chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật nên x=4,5 và y= 17,1
Vậy chiều rộng : 4,5(m) ; chiều dài : 17,1(m).
Bài 3.4 : Tìm x, y và z biết 
a) và .
b) và 
Hướng dẫn giải :
Đặt , ta có .
Vì nên .
Suy ra  ;  ; 
Vậy 
b) Tương tự câu a : đặt , ta có 
vì nên .
Vậy x = 6 ; y = 9 ; z =15.
Bài 3.5 : ba lớp 7A ; 7B ; 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự địnhchia cho ba lớp tỉ lệ với 5 : 6 : 7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4 :5 :6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.(Bài 24 trang 32 – các chủ đề nâng cao toán 7 của tác giả Huỳnh Quang Lâu)
Hướng dẫn : ở bài toán này ta phải tìm ra lớp nào nhận được nhiều hơn dự định 4 gói tăm bằng cách tìm số tăm của mỗi lớp so với tổng số tăm của ba lớp phải mua.
Giải : 
Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là : a, b, c
Ta có : 	(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có :
	(2)
So sánh (1) và (2) ta có : a > a’ ; b=b’ ; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu
Vây: c’ – c = 4 hay 
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
2.1.3d) Dạng 4 : Tính giá trị của biểu