SKKN Kinh nghiệm giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ba biến có tính chất “hoán vị vòng”

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 KINH NGHIỆM GIẢI CÁC BÀI TOÁN
 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA 
BIỂU THỨC BA BIẾN CÓ TÍNH CHẤT “ HOÁN VỊ VÒNG”
Người thực hiện: Lê Đăng Hà
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
	 Trang
1. MỞ ĐẦU 	
 	1.1. Lý do chọn đề tài .2
	1.2. Mục đích nghiên cứu	2
	1.3. Đối tượng nghiên cứu.......2
	1.4. Phương pháp nghiên cứu..............................3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm3
	2.2. Thực trạng của vấn đề..........3
	2.3. Giải pháp tổ chức thực hiện.4
 	2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động 
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ...14
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
	3.1. Kết luận..15
	3.2. Kiến nghị	... 15
TÀI LIỆU THAM KHẢO.17
1. MỞ ĐẦU 
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài toán chứng minh bất đẳng thức hay bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức luôn là bài toán mà mỗi học sinh đều đánh giá là bài toán khó. Có nhiều học sinh, thậm chí học sinh có năng khiếu toán cũng xác định bỏ bài toán này khi đi thi. 
Trong các kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh của tỉnh Thanh Hóa, bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất luôn đóng vai trò là câu chốt trong đề thi. Trong những năm gần đây bài toán này tập trung khai thác đối với biểu thức đối xứng ba biến, tuy nhiên trong năm học 2016-2017 và năm học 2017-2018 thì bài toán chứng minh bất đẳng thức lại chuyển hướng sang biểu thức có tính chất “ Hoán vị vòng”.
Trong hai năm học vừa qua được giao phụ trách và tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi Toán của nhà trường trong đó có chuyên đề chứng minh bất đẳng thức, cũng như nghiên cứu xu hướng mới trong bài toán chứng minh bất đẳng thức tôi rút được một số kinh nghiệm trong bài toán có xu hướng này, tôi mạnh dạn chọn đề tài: “ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CÓ TÍNH CHẤT HOÁN VỊ VÒNG”
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Trong khuôn khổ của đề tài này tôi không hi vọng giải quyết được tất cả các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ba biến có tính chất “Hoán vị vòng” mà chỉ tập trung hướng dẫn và giải quyết một số vấn đề như tìm các trường hợp dấu bằng xảy ra và sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, sử dụng các đánh giá cơ bản để giải bài toán dạng này đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh của Thanh Hóa.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Như đã nói ở trên 	trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh của tỉnh Thanh Hóa thì bài toán liên quan đến bất đẳng thức luôn là câu chốt, thể hiện cái chất của đề thi, đặc biệt trong hai năm học vừa qua bài toán về bất đẳng thức đã chuyển từ biểu thức 3 biến có tính đối xứng dễ dàng nhận thấy các trường hợp dấu bằng xảy ra sang các biểu thức có tính chất “Hoán vị vòng” và khó đoán các trường hợp xảy ra dấu bằng hơn, gây khó khăn trong định hướng và giải quyết chúng. Và thực tế là trong hai năm vừa qua trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh có rất ít thí sinh giải quyết được bài toán này. 
	Trong đề tài này tôi cố gắng bằng kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi, giới thiệu đến độc giả và đồng nghiệp một số kinh nghiệm định hướng nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán dạng này.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	Hoàn thiện hệ thống cơ sở lý luận, kiến thức cơ bản, hướng dẫn tiếp cận bài toán, phân tích, đánh giá và kết luận liên quan đến dạng toán này.
	Áp dụng kinh nghiệm này cho các em học sinh thông qua các bài kiểm tra, khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường. Báo cáo đề tài trước tổ chuyên môn, được tổ chuyên môn góp ý, nhận xét bổ sung và đánh giá cao. Bản thân tôi có tham khảo một số ý kiến của các đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm trong lĩnh vực ôn thi học sinh giỏi đặc biệt là đam mê bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trên cơ sở lý thuyết học sinh đã được học trong sách giáo khoa lớp 10 phần Bất đẳng thức. Học sinh đã nắm vững các định lý, tính chất cơ bản về bất đẳng thức, biết vận dụng một số bất đẳng thức cơ bản. Đề tài này đi sâu vào bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ba biến có tính “Hoán vị vòng” bằng các phương pháp dễ vận dụng, giúp học sinh có phương pháp và đủ tự tin khi giải bài toán thuộc dạng này. Khơi dạy đam mê giải các bài toán khó về bất đẳng thức, phát triển tư duy toán học cho các em học sinh.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Bài toán chứng minh bất đẳng thức nói chung là bài toán khó, có tính phân loại cao trong bất kỳ một đề thi nào cũng vậy. Nhiều học sinh và thậm chí các thầy cô có tư tưởng bỏ trống chuyên đề này, hoặc cũng chỉ điểm qua mang tính chất giới thiệu mà không yêu cầu học sinh quan tâm đến bài toán này. 
Bản thân dạng toán đã khó cộng với kiến thức cơ bản về bất đẳng thức cũng chưa nắm vững, chưa được rèn luyện và cung cấp các phương pháp tiện dụng để giải quyết bài toán. Do vậy dạng toán này gây nhiều khó khăn cho các em học sinh trong định hướng và tìm cách giải quyết.
Trong các kỳ thi THPT Quốc gia thì bài toán liên quan đến bất đẳng thức lại được giải quyết theo hướng tìm đáp số của phương pháp trắc nghiệm có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay nên việc trang bị cho học sinh kiến thức và phương pháp giải có phần bị xem nhẹ. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh thì đa số học sinh được ôn luyện theo kiểu học tủ nếu trúng đề, trúng dạng thì làm còn không thì bỏ qua.
Trong hai năm vừa qua đề thi học sinh giỏi của tỉnh Thanh Hóa tăng độ khó cho câu hỏi liên quan đến bất đẳng thức bằng cách chuyển từ bài toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất đối xứng sang biểu thức có tính chất “Hoán vị vòng” làm cho học sinh gặp khó khăn ngay từ lúc ban đầu là tìm dấu bằng xảy ra để định hướng các phép biến đổi và giải quyết bài toán.
2.3. Giải pháp tổ chức thực hiện
2.3.1 Một số kiến thức cơ bản.
	10) Khái niệm về bất đẳng thức
Giả sử là hai số thực. Các mệnh đề dạng được gọi là bất đẳng thức. 
	20) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Với là các số thực thì ta có các tính chất.
Nếu và thì 
Ta có 
Nếu thì 
Nếu thì 
	30) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)
	a) Đối với hai số không âm
Với là hai số thực không âm, ta có 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
	b) Đối với ba số không âm
	Với là ba số thực không âm, ta có 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
	c) Tổng quát đối với số không âm
	Với là các số thực không âm ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Lưu ý: Người ta còn gọi các bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Cô-si.
30) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski 
	a) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski đối với hai cặp số thực
Với hai cặp số thực và ta có
Nếu thì dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
b) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski đối với hai bộ ba số thực
Với hai bộ ba số thực và ta có
Nếu thì dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
c) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski đối với hai bộ số thực
Với hai bộ ba số thực và ta có
Nếu thì dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2.3.2 Bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất “Hoán vị vòng” với điều kiện xảy ra dấu bằng khi các biến nhận giá trị bằng nhau.
Ta bắt đầu từ bài toán sau:
Ví dụ 1. Cho là các số thực dương thỏa mãn: Chứng minh rằng:
Phân tích:
	- Bài toán này liên quan đến biểu thức vừa có tính đối xứng, vừa có tính chất “Hoán vị vòng” . Vì vậy ta khai thác điều kiện dấu bằng xảy ra khi các biến nhận giá trị bằng nhau: 
	- Từ điều kiện dấu bằng xảy ra ta đi đến các đánh giá đảm bảo điều kiện đó: 
	- Kết hợp với tính đối xứng của biểu thức ba biến ở vế trái bất đẳng thức ta đi đến lời giải
Giải.	
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có
Hay (1). 
Tương tự ta cũng có
 (2); 
 (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra
Dấu bằng xảy ra khi 
Bài toán được chứng minh
 Nhận xét:
	- Với cách đặt vấn đề ở ngay phần cơ sở lý luận của đề tài là học sinh dã có kiến thức cơ bản và biết áp dụng các bất đẳng thức cơ bản cũng như hướng giải quyết bài toán. Nên ví dụ đầu tiên này tôi đưa ra bài toán khá quen thuộc đối với người học về bất đẳng thức. 
	- Việc phán đoán và kiểm tra dấu bằng xảy ra là khá đơn giản, nên bước tiếp theo cũng khá thuận lợi. Ta có thể dùng kỹ thuật xét dấu bằng và sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số.
	- Nhìn về vị trí, thứ tự giữa các biến ta thấy chúng đảm bảo theo thứ tự nhất định. Những biểu thức này có thể gọi là biểu thức ba biến có tính chất “Hoán vị vòng”. Về cơ bản nó khác với biểu thức có tính chất đối xứng. Tuy nhiên như ở ví dụ này ta có thể khẳng định một biểu thức có thể có cả hai tính chất nói trên đó là tính đối xứng và tính chất “Hoán vị vòng” 
	- Ví dụ tiếp theo tôi tiếp tục đưa ra bài toán tương tự giúp cho học sinh làm quen, có hứng thú ngay từ ví dụ ban đầu, tạo điều kiện thuận lợi cho các em theo dõi và nghiên cứu tiếp về sau.
Ví dụ 2. Cho là các số thực dương thỏa mãn: Chứng minh rằng:
Phân tích:
	- Vì mục đích nhằm giúp cho học sinh vận dụng lời giải và nhận xét của ví dụ 1, nên bài toán này áp dụng cách giải tương tự như trên. Chỉ cần phát hiện được đánh giá và đi đến lời giải sau. 
Giải.	
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có
Hay (1). 
Tương tự ta cũng có
 (2); 
 (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có 
Dấu bằng xảy ra khi 
Bài toán được chứng minh.
Ví dụ 3. Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Phân tích:
	- Với ví dụ này thì điều kiên dấu bằng xảy ra như các ví dụ trên, tuy nhiên việc sử dụng đánh giá các bất đẳng thức trong biến đổi đòi hỏi kỹ thuật tốt hơn. Ở đây có thể sử dụng kỹ thuật nghịch đảo của bất đẳng thức Cô-si. Ta có biến đổi và đánh giá sau 
 Giải.
Với là các số thực dương ta có 
Từ đó suy ra: 
Tương tự ta có: 
Từ (1), (2), (3) suy ra 
Ta có 
Suy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là khi 
Nhận xét:
	 Ta nhận thấy rằng bước đầu ba ví dụ 1, 2 và 3 và một số bài tập vận dụng giúp cho học sinh cái nhìn đầu tiên về bài toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất “Hoán vị vòng”. Nó có sự liên quan quen thuộc, hay nói cách khác là nó được xuất phát từ biểu thức ba biến có tính đối xứng.
	Sau đây tôi tiếp tục mở rộng và đưa ra dạng tiếp theo. Trong dạng tiếp theo tôi muốn mở rộng đó chính là việc xác định điều kiện dấu bằng xảy ra cho bài toán. Đó là dấu bằng xảy ra tại các điểm biên hoặc giá trị bằng không.
2.3.3 Bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất “Hoán vị vòng” với điều kiện xảy ra dấu bằng là các biến nhận giá trị ở các điểm biên của điều kiện xác định hoặc nhận giá trị bằng không.
Trong đề tài này tôi trọng tâm khai thác các bài toán bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất “Hoán vị vòng” chứa các nhân tử hoặc số hạng . Với điều kiện dấu bằng xảy ra khó đoán nhận hơn.
Ta mở đầu với ví dụ sau
Ví dụ 4. Cho các số thực đôi một khác nhau thuộc đoạn . Chứng minh rằng: 	
Phân tích: 
	- Với bài toán mở đầu này ta thấy rằng đoán nhận dấu đẳng thức xảy ra là khá khó khăn. Điều kiện là các số thực đôi một khác nhau nên ta không thể có các biến nhận giá trị bằng nhau.
	- Có một kỹ thuật thường được chú ý đến ở dạng toán này là: do vai trò các biến như nhau nên ta giả sử hoặc tùy theo điều kiện của giả thiết.
	- Có một lưu ý nữa là: đối với các bài toán chứa các nhân tử hoặc số hạng thì dấu bằng xảy ra thông thường sẽ là hoặc hoặc có một số bằng không.
	- Trong bài toán này cần đánh giá được: 
Do vai trò của là như nhau nên có thể giả sử . 
Nhận xét được là hai số dương , ta có:
 . Dấu bằng xảy ra khi 
	- Từ đó ta có cách giải sau.
Giải.
Ta chứng minh được . Đẳng thức xảy ra khi .
Do vai trò của là như nhau nên có thể giả sử . Khi đó là hai số dương áp dụng BĐT (1) ở trên, ta có:
 .
Đẳng thức xảy ra khi .
Suy ra 
Mặt khác, do và nên . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Do đó . 
Đẳng thức xảy ra khi và các hoán vị.
Bài toán được chứng minh.
 Nhận xét:
	- Việc nhận xét vai trò của là như nhau và giả sử giúp ta định hướng được dấu bằng xảy ra thì . Đây cũng là trường hợp phổ biến về dấu bằng trong các bài toán có tính chất “Hoán vị vòng” và chứa các số hạng hoặc nhân tử dạng .
	- Ngoài việc định hướng được ta cũng có thể xét trường hợp dấu bằng xảy ra khi hai trong ba số hạng bằng nhau. 
	- Trong ví dụ đầu tiên của dạng này tôi chọn bài toán mà dấu bằng xảy ra đều có hai điều kiện trên giúp cho học sinh có nhiều định hướng giải bài toán.
	- Các ví dụ tiếp theo ta tiếp tục thấy sự tiện dụng của hai điều kiện này trong việc định hướng và giải quyết bài toán.
Ví dụ 5. Cho các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng: 	
Phân tích: 
	- Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức mà trong biểu thức chứa các nhân tử . Nên ta có các định hướng như ví dụ 4. Ta có hai yếu tố cần xác định để giải quyết bài toán: 
Do vai trò của là như nhau nên có thể giả sử . 
Đánh giá được 
 . Dấu bằng xảy ra khi 
	- Từ đó ta có cách giải sau.
Giải:
Ta xét: 
Vì vai trò là như nhau nên có thể giả sử .
 Suy ra: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Đẳng thức xảy ra khi : 
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng đạt được khi và các hoán vị.
Ví dụ 6. Cho ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện . Tìm
 giá trị lớn nhất của biểu thức: . 
 (Đề thi HSG MTBT lớp 12 tỉnh Thanh Hóa 2016 - 2017)
Phân tích: 
	- Ta có . Nên xét hai biểu thức:  ;.
	- Có thể áp dụng ví dụ 5 để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Đối với biểu thức ta cũng đánh giá được bằng cách trên. Tuy nhiên vấn đề là chúng có cùng đạt GTLN với cùng điều kiện dấu bằng xảy ra không.
	- Ta có cách giải sau và trả lời được vấn đề là hai biểu thức M và N có cùng đạt GTLN với cùng điều kiện của .
Giải:
*) Tìm giá trị lớn nhất của M :
Theo ví dụ 5 ở trên ta có giá trị lớn nhất của M bằng đạt được khi và các hoán vị.
*) Tìm giá trị lớn nhất của N:
Áp dụng Côsi ta có :
Dấu đẳng thức xảy ra khi : 
hệ này thỏa mãn .
Giá trị lớn nhất của N bằng .
Vậy giá trị lớn nhất 
Dấu ‘‘=’’ khi là các hoán vị của .
Ví dụ 7. Cho là các số thực phân biệt và không âm. Chứng minh rằng
Phân tích : 
- Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức mà trong biểu thức chứa các nhân tử . Nên ta có các định hướng như ví dụ 4 và ví dụ 5. Ta có hai yếu tố cần xác định để giải quyết bài toán: 
Do vai trò của là như nhau nên có thể giả sử . 
Thực hiện các đánh giá bám sát điều kiện 
	- Từ đó ta có cách giải sau.
Giải.
Vì vai trò của là như nhau nên ta giả sử .
Ta có đẳng thức:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Khi đó: 
Ta lại có : 
Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 8. Cho là các số thực phân biệt và không âm. Chứng minh rằng
(Đề thi HSG môn Toán lớp 11 tỉnh Thanh Hóa 2017 - 2018)
Phân tích: 
	- Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức mà trong biểu thức chứa các nhân tử . Nên ta có các định hướng như ví dụ 4 và ví dụ 5. Ta có hai yếu tố cần xác định để giải quyết bài toán: 
Do vai trò của là như nhau nên có thể giả sử . 
Thực hiện các đánh giá bám sát điều kiện 
	- Từ đó ta có cách giải sau.
Giải.
Ta có 
Không mất tính tổng quát, có thể giả sử .
Khi đó có các bất đẳng thức sau: 
 (luôn đúng)
Tương tự cũng có 
Từ đó suy ra: 
Áp dụng BĐT: với 
Ta có:
Suy ra 
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Bài toán được chứng minh.
Nhằm giúp học sinh vận dụng và rèn luyện giải các bài toán dạng trên tôi đưa ra một số bài tập tương tự sau.
Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho là ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Bài 2. Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 3. Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: 
Bài 4. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng 
Bài 5. Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 6. Cho là các số thực phân biệt và không âm. Chứng minh rằng
Bài 7. Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 8. Cho là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
	- Qua thực tế giảng dạy đối với đội tuyển học sinh giỏi lớp 10 và 11 tại trường THPT Triệu Sơn 1 trong năm học 2017-2018, tôi đã áp dụng đề tài này giúp các em cảm thấy tự tin và say mê hơn trong việc học toán và có thêm công cụ giải dạng toán khó là toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ba biến có tính ‘’ Hoán vị vòng ‘’
	- Đặc biệt trong năm học 2017 - 2018 qua kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh do Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa tổ chức có một học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi môn Toán của nhà trường đã vận dụng giải được câu chứng minh bất đẳng thức trong đề thi và đạt giải nhất môn Toán toàn tỉnh . Đây là một bài toán khó, đa số học sinh tham gia kỳ thi hoặc không làm được hoặc thêm bớt một hằng số dẫn đến không xử lý được phần còn lại, mặc dù các học sinh tham gia đều là các học sinh khá giỏi của các trường THPT trong tỉnh.
	- Đề tài được báo cáo dạng chuyên đề trong sinh hoạt chuyên môn của tổ Toán trường THPT Triệu Sơn 1 và được các thầy cô góp ý cũng như đánh giá cao được dùng làm tài liệu chuyên môn của tổ và áp dụng vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc Gia ( phần phán đoán dấu bằng xảy ra và sử dụng MTBT hỗ trợ để tìm kết quả) cũng như giảng dạy cho các em học sinh lớp chọn cuối lớp 10 và lớp 11 trong đội tuyển Toán của nhà trường.
	- Qua theo dõi tinh thần học tập của nhóm học sinh trong đội tuyển sau khi được cung cấp phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ba biến có tính chất ‘’ Hoán vị vòng’’ trong đề tài này, tôi thấy các em đã tự tin và có hứng thú hơn trong học tập, có tinh thần tìm tòi học hỏi đối với các dạng toán khó. 
	- So sánh kết quả làm bài tập trước và sau khi các em được cung cấp phương pháp giải toán. Kết quả có thay đổi rõ rệt.
1. Thống kê trong bài kiểm tra chuyên đề về bất đẳng thức của đội tuyển HSG khối 10 năm học 2017-2018 trước và sau khi được cung cấp phương pháp (Đề kiểm tra gồm 3 bài trong phần bài tập vận dụng ở trên)
Kết quả
Tổng số hs
Làm 3 bài
Làm 2 bài
Làm 1 bài
Làm 0 bài
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Trước 
15
0
0
0
0
5
33.33
10
66.67
Sau
15
2
13.34
5
3.33
5
33.33
3
20
2. Kết quả làm bài BĐT trong đề thi chọn HSG cấp trường năm 2017-2018 (thống kê trong số 15 học sinh lớp 10C1, so với 30 em học sinh tham gia thi )
Kết quả
Tổng số hs
Làm bài tốt
Bài có sai sót
Không làm bài
SL
%
SL
%
SL
%
Thực nghiệm
15
5
73.33
7
15.56
3
11.11
Đối chứng
30
0
0
5
16.67
25
83.33
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
	- Qua quá trình áp dụng vào thực tế dạy đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường, đề tài này đã giúp cho các em thêm tự tin và say mê trong việc giải các bài toán về bất đẳng thức đặc biệt là phát hiện xu hứng mới của đề thi học sinh giỏi tỉnh hai năm gần đây đó là năm học 2016-2017 và năm học 2017-2018. 
	- Đề tài được tổ chuyên môn đánh giá cao và định hướng áp dụng giải dạy cho học sinh đội tuyển khối 10 và khối 11. Các em đã vận dụng tốt trong kỳ thi HSG cấp tỉnh trong năm học 2017-2018 vừa qua như đã nêu ở trên.
	- Trong phạm vi một SKKN về một dạng toán khó nên tôi chỉ tập trung vào hai dạng toán trên, tôi sẽ tiếp tục nghiê cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp để hoàn thiện hơn nữa đề tài này.
	- Trên đây là kinh nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôi rút ra cho bản thân và bước đầu được áp dụng có kết quả khả quan. Do kinh nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh được những hạn chế, tôi tiếp tục bổ sung và hoàn thiện dần trong những năm học tới, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý vị và các bạn đồng nghiệp để đề tài đi vào thực tiễn được áp dụng nhiều hơn và đạt hiệu quả cao hơn trong giảng dạy.
2. Kiến nghị
	- Kiến nghị với sở GD - ĐT Thanh Hóa phổ biến những đề tài nghiên cứu có chất lượng được áp dụng rộ