SKKN Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh trường THPT Thạch Thành 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4
Người thực hiện: Đỗ Thị Diệp
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM 2016
MỤC LỤC
1. PHẦN MỞ ĐẦU
 Toán học là một môn khoa học tự nhiên lâu đời, được xem là nền tảng của tư duy, là môn cơ sở để phát triển những hệ thống kiến thức mới, việc học tốt môn toán sẽ góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh một cách tốt nhất, mở ra nhiều cơ hội cho các em trong các kì thi cũng như việc lựa chọn định hướng nghề nghiệp sau này. Tuy nhiên, để học tốt được môn toán thì cũng không phải là dễ dàng, với đa phần học sinh thì môn toán là một môn học khó, khô khan làm cho các em cảm thấy chán nản, mệt mỏi. Đặc biệt, một trong những phần được coi là khó nhằn của môn toán là phần hình học không gian, đây là phần xuất hiện hầu hết trong các kì thi ở bậc học THPT đặc biệt là kì thi Tốt nghiệp THPT quốc gia. Nội dung thi của phần hình học không gian thường rơi vào hai phần cơ bản là tính thể tích và tính khoảng cách, do thời lượng có hạn nên trong SKKN này tôi sẽ trình bày những kinh nghiệm tôi có được khi dạy học các bài toán về khoảng cách. Mặc dù bài tập phần này được đánh giá là tương đối khó với học sinh nhưng trong sách giáo khoa Hình học 11, cả cơ bản và nâng cao bài “Khoảng cách” được viết rất đơn giản. Thực tế dạy học cho thấy, đứng trước một bài toán tính khoảng cách học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, dùng đến phương pháp nào, tại sao lại nghĩ đến vẽ đường này, kẻ đường kia Một số học sinh khá hơn thì mày mò tìm ra cách giải, có khi được khi không. Bài làm thì rời rạc và thường tốn nhiều thời gian nên khi học các em đều cảm thấy hoang mang, lo lắng. Nhiều em thấy khó quá còn xác định không học phần này. Là giáo viên dạy toán tôi đã phải trăn trở và suy nghĩ rất nhiều chính vì thế tôi quyết định viết SKKN với nội dung “Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4” thông qua việc nghiên cứu tài liệu và việc đúc rút từ những kiến thức, kinh nghiệm mà tôi có được trong quá trình dạy học một cách có hệ thống để chia sẻ với bạn bè đồng nghiệp và quan trọng hơn cả là làm tư liệu dạy học cho bản thân. Nhằm giúp HS có thể giải được các bài toán về tính khoảng cách làm cho các em học tốt hơn, cảm thấy hứng thú và tự tin hơn khi học về phần hình học không gian nói riêng và môn toán nói chung.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
 Trong khi học môn toán, việc tìm ra quy luật phương pháp chung để giải quyết một bài toán là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp ta có định hướng để tìm lời giải cho một lớp các bài toán tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có vai trò cần thiết điều khiển cho HS thực hiện và luyện tập những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công. Do vậy trang bị về phương pháp cho HS là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên. Thấy được điều đó nên khi dạy học đến phần tính khoảng cách tôi sẽ hướng dẫn các em tìm ra phương pháp làm cho từng dạng bài tập, để rồi các em sẽ vận dụng các phương pháp đó vào việc giải bài tập. 
 Khi làm SKKN về phần này tôi sử dụng kiến thức nền tảng là nội dung của bài “ Khoảng Cách” trong SGK hình học 11 mà chủ yếu là các khái niệm.
 * Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
 Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a. Kí hiệu d(O, a)
 * Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 Cho điểm O và mặt (α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (α). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến Mặt phẳng (α). Kí hiệu d(O, (α))
 * Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:
 Cho đường thẳng D song song với mặt phẳng (a). Khoảng cách giữa đường thẳng D và mặt phẳng (a) là khoảng cách từ một điểm bất kì của D đến mặt phẳng (a). Kí hiệu 
 * Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu 
 * Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
 Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng D cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường vuông góc chung D cắt a tại M và cắt b tại N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu .
 Trong sáng kiến này tôi sẽ đưa ra các dạng bài tập về tính khoảng cách và phương pháp chung để giải các bài tập đó.
2.2 Thực trạng của vấn đề
 Trường THPT Thạch Thành 4 là một trường thuộc huyện miền núi Thạch Thành của tỉnh Thanh Hóa. Trường được thành lập năm 2007, là một ngôi trường non trẻ, cơ sở vật chất còn nhiều thiếu thốn, nhưng mối quan tâm về chất lượng học tập của học sinh luôn là một trong những ưu tiên hàng đầu của nhà trường. Vùng tuyển sinh của trường gồm 7 xã của huyện Thạch Thành, trong đó có 4 xã là các xã đặc biệt khó khăn. Do đó, điều kiện về kinh tế, cơ sở vật chất đi lại còn gặp nhiều khó khăn, trình độ dân trí thấp, các bậc phụ huynh chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình, dẫn đến các em còn lười học, ngại học, khi học còn học một cách đối phó, hời hợt Những lí do này ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng dạy và học của nhà trường. Mặt khác, bản thân môn toán được đánh giá là môn học khó với học sinh nói chung, còn khó hơn đối với học sinh miền núi, vùng sâu vùng xa nói riêng. Năm học 2015-2016 tôi được phân công dạy 3 lớp 12A3, 12A4, 12A5 và có may mắn được theo sát các em từ năm lớp 10 tôi nhận thấy cứ mỗi khi dạy đến phần hình học không gian là đa phần các em HS đều cho đây là phần rất khó, không làm được bài tập, dẫn đến các em có tư tưởng ngại học, chán học, một số HS còn bỏ, không học những phần liên quan đến hình học không gian. Lên lớp 12 khi tiến hành ôn luyện để chuẩn bị cho kì thi học kì và thi tốt nghiệp THPT Quốc gia sắp tới, tôi có dành thời gian ôn tập cho các em về phần tính khoảng cách và tính thể tích thì thấy rằng thực trạng học HS học phần này là đáng báo động, cũng như khi học ở lớp 11 các em không học được, chỉ có một số rất ít làm được bài. Tôi có khảo sát chất lượng của các em bằng cách cho làm bài kiểm tra với nội dung như sau:
Đề Bài: Cho hình hộp có cm, cm, cm. a Tính khoảng cách từ đến mp.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .
 Kết quả thu được sau khi chấm bài kiểm tra của HS:
Lớp
Làm đúng ý a
Làm đúng cả 2 ý
Làm sai
Không làm
12A3 (39 HS)
12 (30,8 %)
7 (17,9 %)
27 (69,2%)
0 (0 %)
12A4 (37 HS)
10 (27 %)
5 (13,5 %)
26 (70,3 %)
1 (2,7 %)
12A5 (39 HS)
8 (20,5 %)
5 (12,8 %)
30 (76,9 %)
1 (2,6 %)
 Qua bảng trên có thể thấy số lượng HS làm đúng ý a) hay làm đúng cả 2 ý rất thấp, còn lại là số HS làm sai chiếm tỉ lệ khá cao (69,2% - 76,9%). Trong quá trình làm bài các em còn kém về phần vẽ hình và trình bày, không nhiều em làm đúng ý a), còn ở ý b) thì các em lại lúng túng trong việc xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau dẫn đến không giải được bài toán. Rõ ràng chúng ta thấy thực trạng nhiều HS của chúng ta hiện nay đang xác định “bỏ rơi” phần hình học không gian, số còn lại thì học cũng chưa thật sự tốt. Vậy nên, làm thế nào để giúp các em học tốt phần này là nhiệm vụ cấp thiết đặt ra và cần phải được thực hiện ngay, đây là động cơ chính thôi thúc tôi thực hiện SKKN này .
2.3 giải pháp và tổ chức, thực hiện
2.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
 Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng :
 Bước 1: Xác định mp đi qua và vuông góc với đường thẳng . (Hoặc xác định đường thẳng đi qua , đồng phẳng và vuông góc với đường thẳng )
 Bước 2: Xác định giao điểm của mp và đường thẳng . (Hoặc xác định giao điểm của hai đường thẳng và ). 
Suy ra .
 Bước 3: Tính độ dài đoạn (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác)
Ví dụ. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh bằng , ;.
a. Tính khoảng cách từ tới đường thẳng .
b. Tính khoảng cách từ tới đường thẳng .
 Giải: 
 a. Tính khoảng cách từ tới . 
 Bước 1: Trong mp, kẻ đường thẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng .
 Bước 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và . Ta có .
 Bước 3: Tính độ dài đoạn : 
 Do vuông cân tại nên vuông cân tại .
 Vậy hay .
b. Tính khoảng cách từ tới đường thẳng .
 Bước 1: Xác định mp đi qua và vuông góc với :
 - Trong mp kẻ . Vì nên hay 
 - Trong mp kẻ . Khi đó ta có hay mp là mp cần xác định.
 Bước 2: Xác định giao điểm của mp và cạnh : dễ thấy nên .
 Bước 3: Tính độ dài đoạn :
Trong mp kẻ . Ta có:
 ; 
Xét vuông tại có .
 Vậy .
Bài tập tự luyện:
 Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm đoạn AB. Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM.
 Bài 2. Cho hai tia chéo nhau hợp với nhau góc 600, nhận làm đoạn vuông góc chung. Trên lấy điểm sao cho. Tính khoảng cách từ đến đường thẳng .
2.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ một điểm đến mp 
 Bước 1: Xác định mp đi qua và vuông góc với mp.
 Bước 2: Xác định đường thẳng kẻ từ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng,. Suy ra .
 Bước 3: Tính độ dài đoạn (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác).
 Ví dụ 1. Cho hình lập phương có cạnh là . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng.
 Giải: 
 Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua và vuông góc với mp: là mp. 
- Gọi là giao của . 
- Vì .
 Mặt khác, suy ra hay .
 Bước 2: Xác định đường thẳng kẻ từ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng . 
- Trong mp kẻ . 
- Khi đó .
 Bước 3: Tính độ dài đoạn .
- Xét vuông tại có:
 Vậy 
Ví dụ 2. Cho tứ diện có đáy là tam giác vuông cân tại, . Mặt bên là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy . Gọi là trung điểm cạnh . 
a. Tính khoảng cách từ điểm đến mp.
b. Tính khoảng cách từ điểm đến mp.
 Giải: 
a. Tính khoảng cách từ điểm đến mp.
 Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua và vuông góc với mp là mp.
 Bước 2: Xác định đường thẳng kẻ từ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng,. Suy ra .
 Bước 3: Tính độ dài đoạn : Vì đều cạnh 2a, đường cao nên . Vậy .
b. Tính khoảng cách từ đến mp
 Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua và vuông góc với mp: là mp với là trung điểm cạnh .
 Bước 2: Xác định đường thẳng kẻ từ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng . Suy ra .
 Bước 3: Tính độ dài đoạn : Xét vuông tại ta có: 
 .
 Vậy .
 Bài tập tự luyện:
 Bài 1: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau cắt nhau theo giao tuyến . Lấy A, B thuộc , . Lấy C, D lần lượt thuộc mặt phẳng (P) và (Q) sao cho AC, BD vuông góc với và . Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
 Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , , mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC); , SBC=300. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Chú ý: Ta có thể sử dụng các cách khác để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng như sau:
Cách 1. Sử dụng công thức thể tích
Thể tích của khối chóp . Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Ví dụ 1: Ta có thể giải bài toán trong ví dụ 1 phần khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng dựa vào công thức thể tích như sau:
Ta có: 
Suy ra 
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).
 Giải:
 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO ^ (ABCD). 
 Do M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên 
Ta có:
. 
 Vậy: 
 . 
Với .
 Þ 
Vậy 
Cách 2. Sử dụng phép trượt đỉnh
 - Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi , ta quy việc tính về việc tính . Ta thường sử dụng những kết quả sau:
Kết quả 1: Nếu đường thẳng D song song với mặt phẳng (a) và M, N Î D thì 
Kết quả 2: Nếu đường thẳng D cắt mặt phẳng (a) tại điểm I và M, N Î D (M, N khác I) thì 
 Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì 
 nếu I là trung điểm của MN thì 
 - Ta thường sử dụng phép trượt đỉnh về điểm là chân đường cao.
Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).
 Nhận xét: Do , nên thay vì việc tính ta đi tính , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính thông qua việc tính hay 
Giải: 
a) Ta có: nên: 
* Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
 Bước 1, 2: Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:
 Bước 3: Tính :
Trong tam giác vuông SAB có: 
Vậy 
b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.
 Do nên:
Mà nên:
 Mà nên d(B, (SAC)) = BO = 
 Vậy 
 Bài tập tự luyện: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SBC=300 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
 Bài 2: Cho hình chóp SABC, góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng . Hai tam giác ABC và SBC đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp SABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
2.3.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:
Ta có: + 
+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng D đến mặt phẳng (a) được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Giải: 
a) Hạ 
D
B
Trong (SOK) kẻ 
. 
Ta có đều ; 
Trong tam giác vuông OBC có:
Trong tam giác vuông SOK có:
Vậy 
b) Ta có 
Kẻ . Do
2.3.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
* Nhận xét: 
 Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy.
Giải:
 Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) cho nên H là trung điểm của B’C’. Do (ABC) // (A’B’C’) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d(A, (A’B’C’)) mà AH ^ (A’B’C’) nên d(A, (A’B’C’)) = AH. Vì AA’ tạo với đáy một góc bằng 300 nên DAHA’ có AH = . 
 Vậy d((ABC), (A’B’C’)) =.
Bài tập tự luyện: 
 Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng bất kì đi qua đường chéo B’D. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)
2.3.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
 Quy trình: Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và 
 Bước 1: Xác định mp chứa đường thẳng và song song với đường thẳng . Suy ra .
 Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng tới mp: Tính 
 Bước 3: Kết luận .
 Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ; vuông góc với đáy và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
 Giải: 
 Bước 1: Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng : 
Trong mp kẻ đường thẳng thì do đó:
 Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng tới mp: Tính 
 Bước 2.1: Xác định mặt phẳng đi qua và vuông góc với mp: là mp.
Trong mp kẻ vuông góc với tại . Vì nên .
 Bước 2.2: Xác định đường thẳng kẻ từ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng. 
Trong mp kẻ vuông góc với tại thì .
 Bước 2.3: Tính độ dài đoạn AH: 
 Ta có là hình bình hành nên . Và vuông tại nên có . 
Suy ra . 
 Bước 3: Kết luận 
Ví dụ 2. Cho hình chóp có là hình vuông cạnh và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Giải: 
 Bước 1: Xác định mặt phẳng chứa cạnh và song song với cạnh : là mp. Suy ra .
 Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng tới mp: 
Tính , với là trung điểm cạnh 
 Bước 2.1: Xác định mặt phẳng đi qua và vuông góc với mp: là mp, với là trung điểm cạnh . 
 Bước 2.2: Xác định đường thẳng kẻ từ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng. 
Suy ra .
 Bước 2.3: Tính độ dài đoạn :
Vì vuông tại nên 
Xét có là đường cao. Ta có:
 hay 
Mà nên 
 Bước 3: Kết luận .
Bài tập tự luyện:
 Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
2.4 Kết quả kiểm nghiệm
 Sau khi dạy xong chuyên đề tôi nhận thấy dần dần các em học hiểu bài hơn, nhiều em đã có thể tự mình làm được các bài tập tự luyện. Sau đó tôi có cho các em làm bài bài kiểm tra thời lượng 45 phút với nội dung:
 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC.
 a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng đáy (ABC)
 b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG
 Kết quả thu được như sau:
Lớp
Làm đúng ý a
Làm đúng cả 2 ý
Làm sai
Không làm
12A3 (39 HS)
22 (56,4 %)
18 (46,2 %)
17 (43,6%)
0 (0 %)
12A4 (37 HS)
19 (51,4 %)
15(40,5 %)
18 (48,6 %)
0 (0 %)
12A5 (39 HS)
17 (43,6 %)
12 (30,8 %)
21 (53,8 %)
1 (2,6 %)
 Từ kết quả thu được ta nhận thấy số lượng học sinh làm đúng ý a) và làm đúng cả 2 ý tăng lên rõ rệt (cao nhất là lớp 12A3 làm đúng ý a) chiếm 56,4%, làm đúng cả 2 ý chiếm 46,2%, lớp 12A5 làm đúng ý a) chiếm 43,6%, làm đúng cả 2 ý chiếm 30,8%). Số lượng học sinh làm sai giảm đã được giảm đáng kể. Qua chấm bài tôi nhận thấy nhiều em đã biết cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, biết vận dụng các kiến thức đã học vào bài làm. Nhưng vẫn còn một số học sinh trong quá trình tính toán vẫn mắc sai sót dẫn đến việc các em biết cách làm nhưng tính sai kết quả. Điều này tôi sẽ cố gắng khắc phục cho các em trong quá trình dạy học tiếp sau này. Tuy nhiên với kết quả đạt được như vậy thì nhiều em đã tỏ ra hứng thú hơn trong học tập, bớt đi được phần nào tâm lí lo sợ khi học đến phần hình học không gian. Đây cũng có thể coi là dấu hiệu đáng mừng và cũng là động lực thúc đẩy để tôi nhiệt tình hơn trong công tác giảng dạy, nghiên cứu để sao cho việc dạy học của mình đạt hiệu quả cao nhất. 
3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
3.1. Kết luận
 Sau khi dạy xong chuyên đề này tôi nhận thấy khi dạy học cho học sinh chúng ta nên hướng dẫn các em tìm ra phương pháp, cách giải cho mỗi dạng bài toán, khi đã nắm được phương pháp các em sẽ có thể tự mình giải được các dạng bài tập quen thuộc, qua đó còn có thể tìm ra phương pháp giải, cách giải cho các dạng bài tập khác. Ngoài ra, trong khi dạy học giáo viên cũng nên rèn luyện thêm cho học sinh khả năng tính toán để hạn chế các trường hợp các em biết cách làm nhưng vẫn làm sai do tính toán sai.
 Trong quá trình thực hiện, nghiên cứu đề tài còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn.
3.2 Kiến nghị và đề xuất
 Thông qua đề tài tôi có vài kiến nghị như sau:
- Đối với tổ bộ môn: Tổ chức thêm các buổi sinh hoạt chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học và viết các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học để làm tài liệu dùng chung cho tổ. 
- Đối với nhà trường: Tăng cường thêm các chủng loại tài liệu tham khảo, tổ chức thêm các hoạt động ngoại khóa cho học sinh giúp các em có cơ hội giao lưu, học hỏi lẫn nhau.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Đỗ Thị Diệp
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 11 cơ bản và nâng cao
2. Sác