SKKN Khai thác tính chất hình học phẳng xây dựng và giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng nhằm phát triển tư duy cho học sinh

MỤC LỤC 
I. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
 Trong thực tế giảng dạy: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào thực tế trong giải toán.. Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề giáo viên khai thác và cùng học sinh khai thác các tính chất cơ bản đã biết để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên. Việc khai thác một số bài toán hình học phẳng cơ bản không những góp phần rèn luyện tư duy cho học sinh mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho học sinh ở nhiều đối tượng khác nhau, hình thành phong cách tự học, tự nghiên cứu ở mỗi học sinh.
Khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh hiện nay còn yếu.Học sinh chưa có hứng thú trong công tác tự học, tự nghiên cứu. Việc khai thác các kiến thức đã học vận dụng vào thực tế giải toán chưa được phát huy.
Một thực trạng nữa là hiện nay, số lượng bài tập ngày càng phong phú. Bởi vậy không thể nhớ hết các dạng toán để giải. Cần rèn luyện cho học sinh biết cách nhìn nhận bài toán , biết cách vận dụng các tính chất, các bài toán đã biết vào giải toán.
Với các lý do trên, tôi đã trăn trở, tự đặt cho mình câu hỏi làm thế nào để học sinh có thể tiếp cận được với các bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng một cách hợp lý, làm sao để vận dụng được những kiến thức, tính chất đã học vào giải toán nhằm gây hứng thú học tập cũng như tạo ra sự gắn kết trong chương trình dạy học. Và từ đó tôi xây dựng đề tài “ Khai thác tính chất hình học phẳng xây dựng và giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng nhằm phát triển tư duy cho học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Với các lý do trên, tôi mạnh dạn xin đưa ra đề tài ‘ Khai thác các tính chất một số hình tứ giác thường gặp trong bài toán tọa độ phẳng” nhằm mục đích vận dụng các tính chất, các bài toán quen thuộc trong hình học phẳng để giải và tạo ra các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng , đồng thời kích thích ,phát triển tư duy cho học sinh. Với mục đích đưa ra để các đồng nghiệp tham khảo và cùng thảo luận để góp phần vào quá trình giảng dạy toán ở phổ thông.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 1.3.1. Đối tượng nghiên cứu: 
 Các tính chất hình học phẳng, các bài toán hình học phẳng liên quan đến tứ giác.
 Mối liên hệ giữa hình học phẳng và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
 Các dạng toán đã có trong chương trình về loại bài này.
 1.3.2. Phạm vi nghiên cứu: 
 Bám sát nội dung chương trình Toán THCS, THPT.
 Mở rộng phù hợp với nội dung của các kỳ thi như HSG và Đại học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 - Khai thác các tính chất quen thuộc về hình học phẳng mà học sinh đã được biết (Hình học phẳng THCS và Hệ thức lượng lớp 10).
 - Tuyển chọn, sắp xếp theo dạng, theo trình tự hợp lý để học sinh dễ tiếp thu, dễ khai thác Sắp xếp bài tập theo mức áp dụng tính chất khó dần. Tạo được hứng thú cho học sinh.
 - Đưa ra một số nhận xét, phân tích về cách tiếp cận lời giải cho từng loại, từng dạng. Phân tích một số ưu điểm của việc khai thác tính chất từ hình vẽ so với việc giải thuần túy đại số.
- Định hướng khai thác, mở rộng hoặc tạo ra bài toán mới.
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm. 
 2.1. Cơ sở lí luận. 
 Với bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, ta có thể thực hiện theo quy trình sau:
Bước 1. Phân tích giả thiết. Ở bước này, thông thường ta vẽ phác họa hình vẽ. Xác định xem bài toán cho cái gì? Cần xác định cái gì? Trước khi giải bài toán, ta cần phân loại xem đây là loại toán nào. Với bài toán phương pháp tọa độ hiện nay, ta thường bắt gặp một số bài toán điển hình như:
Bài toán tìm điểm. Khi tìm tọa độ của 1 điểm, ta có thể có các hướng nghĩ sau:
+ Hướng 1: Điểm đó là giao điểm của 2 đường nào? Có lập phương trình của 2 đường đó hay không? Từ đó giải hệ phương trình tìm được tọa độ điểm.
+ Hướng 2: Gọi dạng tọa độ điểm. Các làm này thường dùng nếu bài toán liên quan đến các công thức về tọa độ.
Bài toán lập phương trình đường thẳng. Để lập phương trình một đường thẳng nào đó, ta có thể:
+ Hướng 1: Xác định 1 điểm và 1 vectơ pháp tuyến (VTPT) hoặc vectơ chỉ phương (VTCP). Một số bài toán lập phương trình đường thẳng, ta cũng hay đi tìm tọa độ 2 điểm thuộc nó, từ đó mới xác định được VTCP, VTPT.
+ Hướng 2: Gọi dạng phương trình đường thẳng. Đặc biệt bài toán nào liên quan đến góc và khoảng cách. Một số cách gọi dạng phương trình đường thẳng như:
Nếu thì phương trình có dạng: 
Nếu thì phương trình có dạng: 
Nếu có hệ số góc k thì phương trình có dạng :
Nếu đi qua thì phương trình có dạng :
Bước 2. Tìm ra tính chất nào liên quan đến bài toán, xác định các điều kiện của bài toán. Đây là bước có thể nói là mấu chốt để tìm ra lời giải cho bài toán. Và đây cũng là nội dung mà đề tài thảo luận.
2.2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1. Thuận lợi.
 Học sinh được trang bị đầy đủ kiến thức, các bài tập thông thường 
 Học sinh hứng thú trong các tiết hình học tọa độ trong mặt phẳng.
2.2.2. Khó khăn.
 Giáo viên mất nhiều thời gian chuẩn bị kiến thức,bài tập minh họa.
 Nhiều học sinh quên kiến thức cơ bản trong hình học cơ sở.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề.
Khai thác các tính chất của một số hình tứ giác thường gặp: 
2.3.1 Dạng toán khai thác tính chất hình bình hành.
Kiến thức 
 Liên quan tới hình bình hành, chúng ta thường khai thác một số tính chất như song song, vectơ bằng nhau, giao điểm 2 đường chéo là trung điểm mỗi đường, một số tính chất về góc như góc bằng nhau, góc bù nhau.
 Một điều đáng lưu ý về hình bình hành là 2 đường chéo chia hình thành 4 tam giác có diện tích bằng nhau. 
 Ngoài ra giao điểm 2 đường chéo cách đều cặp cạnh đối diện. Đó cũng chính là tâm đối xứng của hình bình hành.
Các ví dụ
Ví dụ 1: (SGK HH 10). Cho hình bình hành có phương trình 2 cạnh lần lượt là . Giao điểm 2 đường chéo là . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành.
Lời giải:
 . Do là trung điểm nên .
Đường thẳng AD đi qua D và song song với BC nên có phương trình: .
 Þ .
Do là trung điểm nên .
Vậy .
Ví dụ 2:(SGK HHNC 10). Cho 2 điểm . Xác định tọa độ 2 đỉnh C và D lần lượt thuộc 2 đường thẳng sao cho ABCD là hình bình hành.
Lời giải:
Gọi 
ABCD là hình bình hành Û 
Từ .
Kiểm tra thấy .
Vậy 
Nhận xét: Bằng việc “bắt chước” một số giả thiết của bài toán trong tam giác, cùng với việc vận dụng các tính chất của hình bình hành, chúng ta có thể xây dựng được nhiều bài toán khác nhau. Chẳng hạn, nhờ tính chất giao điểm của 2 đường chéo là tâm đối xứng, ta có bài toán sau:
Ví dụ 3 :(TL chủ đề tự chọn NC). Cho hình bình hành ABCD phương trình cạnh AB: , giao điểm 2 đường chéo là I(3;0), đường thẳng AD đi qua M(-3;-5), đường thẳng BC đi qua N(3;-4). Lập phương trình 3 cạnh còn lại của hình bình hành.
Lời giải:
Gọi M’ đối xứng với M qua I. Khi đó M’(9;5) và M’ Î BC.
BC đi qua 2 điểm M’ và N có phương trình: .
Từ đây ta tìm được 
Ví dụ4 : ( Trích Đề ĐH khôí B-năm 2014) .Cho hình bình hành ABCD có trung điểm AB là M(-3;0), H( 0; -1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD, là trọng tâm tam giác BCD. Tìm tọa độ hai điểm B, D.
Lời giải:
 E B F I G
 C
 G 
 M
 A H D
Gọi I= AC Ç BD Þ I là trung điểm của AC và BD G 
Gọi E =MH BC
Ta có: là trung điểm EH 
Ta có: 
Giả sử .Ta có: 
 Đường thẳng BC đi qua , có VTCP nên đường thẳng BC có PT: x -2y + 8 = 0
 Đường thẳng đi qua có VTPT . Nên đường thẳng BH có PT : 
 Tọa độ là nghiệm của hệ 
 là trung điểm của 
Gọi ta có: 
2.3.2 Dạng toán khai thác tính chất hình thoi.
Kiến thức 
Khi giải các bài toán liên quan đến hình thoi, ta thường khai thác một số tính chất như:
- Hình thoi có các tính chất của hình bình hành.
- Hai đường chéo vuông góc với nhau. Nói cách khác, giao điểm 2 đường chéo nhìn mỗi cạnh dưới một góc vuông. Điều này giúp chúng ta có các hệ thức lượng liên quan đến tam giác vuông.
- Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau.
- Với hình thoi, luôn tồn tại đường tròn nội tiếp hình thoi (tiếp xúc với 4 cạnh). Tâm của đường tròn này chính là giao điểm của 2 đường chéo.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: (BT HH 10). Cho hình thoi ABCD có . Giao điểm 2 đường chéo thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ 2 đỉnh còn lại. 	
Lời giải:
 Gọi giao điểm đường chéo là . Ta có
Với a=5: . Do là trung điểm nên 
Với. Do I là trung điểm AC, BD nên .
Vậy hoặc .
Ví dụ 2 :(SGK HH 10). Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự , biết rằng tứ giác tạo bởi 4 đỉnh của elip tiếp xúc với đường tròn . 
Lời giải:
Giả sử phương trình chính tắc của elip là 
Ta có 
Mặt khác, 4 đỉnh của elip là tạo thành một hình thoi, O là giao điểm 2 đường chéo. Gọi H là hình chiếu của O lên AB Þ . Khi đó ta có .
Vậy phương trình chính tắc của elip là .
 Ví dụ 3: (Đề thi thử ĐH TG1 2005). Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, giao điểm 2 đường chéo là Hai đường thẳng AB, CD lần lượt đi qua . Viết phương trình cạnh BD biết điểm B có tung độ nguyên.
Lời giải:
Gọi N’ đối xứng với N qua I. Khi đó và 
Đường thẳng AB đi qua M và N’nên phương trình AB: .
Gọi H là hình chiếu của I lên AB Þ .
Đặt IB = a>0. Do AC =2BD nên IA= 2IB = 2a.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
.
Do B Î AB nên , b Î Z.
Þ B(4;2). Đường thẳng BD đi qua B và I có phương trình 
Ví dụ 4:(Tạp chí Toán học). Cho hình thoi ABCD có , đường tròn (C) tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình thoi có bán kính là 2 và tâm có tung độ dương. Phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm của AB và CD với đường tròn này là . Đường thẳng AD đi qua P(3;0) và không vuông góc với Oy. Viết phương trình đường thẳng AB, AD.
Lời giải:
Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của AB, CD với (C). 
Ta thấy tâm đường tròn (C) chính là giao điểm của 2 đường chéo.
Và ta có IM ^ AB, IN ^ CD, AB // CD Þ I, M, N thẳng hàng.
Þ Đường thẳng MN đi qua tâm I.
Ta có .
Do nên góc giữa 2 đường thẳng AB và AD là 600.
Giả sử . Do AD không vuông góc với Oy nên a ¹0.
Ta có 
AD đi qua P có phương trình .
Do I Î MN nên . Ta có 
Þ .
Gọi . 
Với Þ Phương trình AB: .
Với Þ Phương trình AB: .
Kiểm tra điều kiện ta có phương trình AB là 
.
Vậy AB: , AD: .
 Dạng toán khai thác tính chất hình chữ nhật.
Kiến thức 
- Hình chữ nhật có các tính chất của hình bình hành, chẳng hạn như song song, các góc bằng nhau, 
- Hình chữ nhật có thêm giả thiết các cặp cạnh kề vuông góc.
- Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng (2 đoạn nối 2 trung điểm của cặp đối diện) và có 1 tâm đối xứng.
 - Tâm của hình vuông cách đều 4 đỉnh và là trung điểm của 2 đường chéo.
Các ví dụ:
Với mức độ nâng cao dần về việc vận dụng các tính chất hình học của hình chữ nhật, ta có thể xây dựng một lớp các bài toán sau. Bài toán sau được xây dựng nhờ tính chất song song, vuông góc của các cạnh hình chữ nhật.
Ví dụ 1: (BT HH 10). Cho hình chữ nhật ABCD có A(3;0), C có hoành độ -2, phương trình CD là x+2y-8=0. Lập phương trình các cạnh còn lại.
Lời giải:
Đường thẳng đi qua và song song với có phương trình : . 
Đường thẳng đi qua và vuông góc với có phương trình: 
Ta có .
 Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc CD có phương trình : 
 Ví dụ 2:(SGK HHNC 10). Cho hình chữ nhật ABCD có D(7;2), trung điểm AD thuộc đường thẳng d : x+3y-15= 0, phương trình cạnh BC là x+y-3=0. Xác định tọa độ điểm A,B,C.
Lời giải:
 đi qua và song song với có phương trình: 
Gọi là trung điểm Þ Þ Þ 
AB đi qua A, ^ BC Þ Phương trình AB: x - y -1=0.
Ta có Sử dụng Þ 
Vậy 
Bài toán sau được xây dựng từ tính chất của tâm hình chữ nhật.
Ví dụ3 : (SGK HH10). Cho hình chữ nhật có . Tâm của hình chữ nhật nằm trên . Xác định tọa độ 2 đỉnh C, D.
Lời giải:
Gọi tâm của hình chữ nhật là I(a;a+5).
Ta có 
Þ 
Do là trung điểm nên .
Ví dụ 4 : ( Trích Đề ĐH Khối A-2013). Cho hình chữ nhật ABCD có C thuộc đường thẳng d có PT: ,điểm , điểm đối xứng với qua , là hình chiếu vuông góc của trên . Xác định tọa độ các điểm 
Lời giải
C 
Gọi là trung điểm và 
Ta có với 
Ta có : và là hình bình hành 
 Đường thẳng đi qua có VTCP PT của đường thẳng là : 
 loại vì trùng 
Vậy 
2.3.4 Dạng toán khai thác tính chất hình vuông.
Kiến thức 
- Hình vuông có các tính chất của hình chữ nhật.
- Ngoài ra, khi bài toán liên quan đến hình vuông, chúng ta còn để ý đến một số tính chất như:
	+ Hai đường chéo vuông góc.
	+ Hình vuông có 4 trục đối xứng và I là tâm đối xứng.
	+ 2 đỉnh đối diện đối xứng nhau qua đường chéo còn lại.
	+ Một số tính chất khác nữa nhờ phân tích hình vẽ mà có được.
Các ví dụ:
Ví dụ 1:(SGK HHNC 10). Cho hình vuông đỉnh A(-4;5) và một đường chéo có phương trình d: 7x-y+8=0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
 Lời giải:
Do A không thuộc d nên d là đường chéo BD. Gọi I là tâm hình vuông.
AC đi qua A và vuông góc với d Þ Phương trình AC: 
I là trung điểm AC .
Gọi B(a;7a+8). Ta có 
Với a =0: B(0;8), D(-1;1).
Với a=-1: B(-1;1), D(0;8).
Vậy B(0;8), C(3;4), D(-1;1) hoặc B(-1;1), C(3;4), D(0;8).
	Tiếp tục khai thác các tính chất của tâm và đường chéo của hình vuông:
Ví dụ 2:(BTHHNC10). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có B, D thuộc trục hoành, 2 đỉnh A, C lần lượt nằm trên các đường thẳng . Xác định tọa độ điểm A, B, C, D.
Lời giải:
Gọi Gọi I là tâm hình vuông Þ .
Ta thấy A, C đối xứng nhau qua BD nên I Î Ox và AC ^ Ox. Do đó ta có hệ phương trình .
Þ A(1;1), C(1;-1), I(1;0). Gọi B(c;0). Ta có 
Vậy hoặc .
 Tiếp tục với cách khai thác tính chất của tâm hình vuông, ta xét bài toán sau:
Ví dụ 3:(Trích đề ĐH khối A năm 2005). Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): và (d2): . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết rằng đỉnh A thuộc (d1), đỉnh C thuộc (d2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. 
Lời giải:
Vì nên 
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B, D Ox nên 
Vì nên 
Vậy 
Trung điểm của AC là . Vì I là tâm của hình vuông ABCD nên 
Ta có : 
Vậy bốn đỉnh của hình vuông ABCD là : 
 hoặc 
Ví dụ 4: (Trích đề ĐH khối A năm 2012). Cho hình vuông , là trung điểm của , thuộc , . Phương trình đường thẳng là: . Tìm tọa độ điểm 
Lời giải:
 H 2	1	
 D N C
 P Q 
 M
 A B
Gọi vuông cân tại 
Thật vậy:
Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại , cắt tại 
Theo định lý Talét ta có: 
mà 
Vì vuông cân tại là trung điểm 
 . Từ (1) và (2) 
Vì 
mà vuông cân tại H
 , Ta có 
 Có thể nói rằng, việc chuyển từ bài toán hình học phẳng sang bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng theo hướng này sẽ xây dựng được nhiều bài toán hay và khó. Nó tùy thuộc vào việc chúng ta cho giả thiết như thế nào. Bài toán hình học phẳng về hình chữ nhật và hình vuông tương đối nhiều, tuy nhiên việc lựa chọn bài toán nào để xây dựng bài toán mới tùy thuộc vào định hướng của mỗi chúng ta. Mức độ khó dễ của bài toán hình học tọa độ được xây dựng chưa hẳn phụ thuộc vào bài toán hình học phẳng gốc, mà nó còn phụ thuộc vào việc chúng ta gắn các giả thiết nào, cho tọa độ điểm nào, cho phương trình đường nào.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Đề tài này bản thân tôi áp dụng trong việc dạy học sinh lớp 10 và 12 luyện cho học sinh ôn thi HSG cấp trường, cấp tỉnh và ôn thi THPT Quốc Gia. Đa số học sinh hứng thú vận dụng tốt và phần nào tự tin khi gặp dạng toán này.
Kết quả cụ thể ở lớp khối 10, sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này bài kiểm tra như sau:
Năm học
Lớp
Tổng số
Điểm 8 trở lên
Điểm 5 trở lên
Điểm dưới 5
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
2015-2016
10C1
40
7
17,5%
20
50%
13
32,5%
2016-2017
10C5
42
6
14,3%
21
50%
16
35,7%
III.Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Bằng việc khai thác các tính chất hình học liên quan đến một số hình như : hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật, đề tài đã phần nào xây dựng và giải được một số lớp các bài toán về hình học tọa độ. Những kết quả đã đạt được là:
- Đề tài đã khai thác các tính chất hình học phẳng của một số hình:hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông,  để xây dựng và giải bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. 
- Đề tài đưa ra định hướng xây dựng bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng bằng cách xuất phát từ một số bài toán hình học phẳng ở THCS hoặc xuất phát từ một số tính chất quen thuộc của một số hình thường gặp.
3.2. Kiến nghị.
Đề tài sử dụng hình học phẳng vào bài toán hình học tọa độ là một chủ đề khá rộng, với thời lượng cho phép, bản thân mới chỉ đưa ra các bài toán sử dụng các tính chất :hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Với kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều nhưng tôi cũng mạnh dạn xin đưa ra đề tài này nhằm mục đích trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, kinh nghiệm giải toán với các đồng nghiệp và bạn đọc. Tuy nhiên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, kính mong các bạn đọc và đồng nghiệp xem xét góp ý. 
Trong phân phối chương trình môn Toán lớp 10, nên tăng số tiết cho hình học tọa độ trong mặt phẳng 
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
....
..
Thanh Hóa, Ngày 25 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình. Không sao chép nội dung của người khác
 Người thực hiện
 Lê Thị Sơn Hà
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Hình học 10, NXB GD năm 2010
Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao, NXB GD năm 2010
Bài tập Hình học 10
Rèn luyện các kỹ năng giải các dạng bài tập nâng cao 10, NXB GD
Tài liệu chủ đề tự chọn nâng cao, NXB GD
Đề thi ĐH – CĐ các năm : 2005, 2012, 2013, 2014