SKKN Khai thác, phát triển một vài bài tập hình học nhằm góp phần phát huy tư duy tính cực, chủ động và sáng tạo của học sinh lớp 9B trường TH & THCS Đông Anh

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÔNG SƠN 
TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT VÀI BÀI TẬP HÌNH HỌC NHẰM GÓP PHẦN PHÁT HUY TƯ DUY TÍNH CỰC, CHỦ ĐỘNG VÀ SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH LỚP 9B TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH 
Người thực hiện: Nguyễn Thu Hương
Chức vụ: P. Hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường TH&THCS Đông Anh
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
ĐÔNG SƠN, NĂM 2017
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT VÀI BÀI TẬP HÌNH HỌC NHẰM GÓP PHẦN PHÁT HUY TƯ DUY TÍNH CỰC, CHỦ ĐỘNG VÀ SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH LỚP 9B TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH 
MỤC LỤC
TT
Nội dung
Trang
1. Mở dầu
2
1.1. Lí do chọn đề tài
2
1.2. Mục đích nghiên cứu
3
1.3. Phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
3
2. Nội dung 
4
2.1. Cơ sở lí luận 
4
2. 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
5
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
16
3. Kết luận
17
KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT VÀI BÀI TẬP HÌNH HỌC NHẰM GÓP PHẦN PHÁT HUY TƯ DUY TÍNH CỰC, CHỦ ĐỘNG VÀ SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH LỚP 9B TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG ANH 
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Đổi mới phương pháp dạy học là một trong những yếu tố quan trọng để thực hiện mục tiêu của đổi mới giáo dục phổ thông. Nói đến đổi mới người ta cứ tưởng rằng là có một cái gì đó cao siêu quá, điều đó không phải hoàn toàn như vậy. Theo tôi, đổi mới là kết quả tất yếu, nó sẽ xảy ra, phải xảy ra và luôn xảy ra theo đúng quy luật phát triển của nó. Ở mỗi thời đại, mỗi giai đoạn lịch sử có một cách nhìn, một cách đánh giá khác nhau và ở các thời điểm khác nhau đó tất nhiên yêu cầu, mức độ đặt ra cũng rất khác nhau.
Theo bản thân tôi nhận thức: mục tiêu đào tạo là cái đích mà giáo dục phải đạt đến. Xuất phát từ mục tiêu đào tạo mà định ra chương trình, nội dung giáo dục và điều quan trọng là định ra phương pháp giáo dục. Một phương pháp giáo dục có một sản phẩm giáo dục tương ứng. Nhiệm vụ của mỗi thầy giáo, cô giáo hôm nay là phải làm thế nào để giúp cho HS nắm được kiến thức cơ bản của bộ môn trên cơ sở hoạt động học tập của chính các em dưới sự hướng dẫn của thầy để từ đó hình thành cho các em tính độc lập suy nghĩ, tính sáng tạo, có đủ bản lĩnh để đi vào các lĩnh vực của cuộc sống.
Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh là phù hợp với quy luật của tâm lí học, bởi tính tích cực sẽ dẫn đến tự giác. Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh cũng phù hợp với đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS, bởi lứa tuổi đó là lứa tuổi hoạt động thích khám phá. Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh cũng đáp ứng yêu cầu của đất nước trong thời kì đổi mới.
Ở lứa tuổi học sinh THCS ta cần hình thành cho các em những tư duy cơ bản sau: khả năng phán đoán, phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá và rút ra kết luận nhanh. Vì vậy ở giai đoạn này các em có được sự giúp đỡ của người lớn đặc biệt là thầy, cô giáo thì tư duy của các em sẽ phát triển tốt hơn. Do tính trừu tượng cao của toán học, môn Toán có thể giúp học sinh rèn luyện tư duy trừu tượng. Cũng do tính chính xác cao, suy luận chặt chẽ, nó là môn "thể thao của trí tuệ". Toán học có khả năng phong phú trong việc luyện cho học sinh tư duy chính xác, lôgíc và tăng độ thông minh. Việc dạy môn Toán ở trường THCS là giáo viên phải có nhiệm vụ hình thành cho học sinh những hoạt động học tập một cách hợp lí. Học sinh phải chủ động nắm kiến thức cơ bản trong chương trình và biết vận dụng được các định nghĩa, định lí, hệ quả một cách thích hợp cho từng bài toán ở các tình huống khác nhau. Việc vận dụng phải khoa học và chính xác. Điều quan trọng là khi dạy Toán người thầy phải giúp người học tự lực tìm hiểu, phân tích, tập xử lí tình huống, giải quyết vấn đề, tự mình khám phá ra cái chưa biết, tự mình tìm ra chân lí. Đặc biệt học sinh phải được xây dựng thói quen đặt ra câu hỏi " tại sao", " làm gì ", " làm như thế nào " và “những vấn đề suy nghĩ tiếp theo là gì ".
Chính những điều trên đây là nhận thức sâu sắc làm cho tôi thấy cần phải coi trọng đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là trong các giờ luyện tập Toán, qua đó giúp học sinh phát huy tư duy tích cực, chủ động và sáng tạo. Vì vậy tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài viết sáng kiến kinh nghiệm: " Khai thác, phát triển một vài bài tập hình học nhằm góp phần phát huy tư duy tính cực, chủ động và sáng tạo của học sinh lớp 9B trường TH&THCS Đông Anh" .
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao, mở rộng vốn hiểu biết cho các em học sinh có học lực khá, giỏi. Giúp các em hiểu sâu sắc hơn các bài toán Hình học trong chương trình toán 9 cũng như việc nghiên cứu bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Từ đó giúp học sinh phát triển năng lực tư duy tích cực, chủ động và quan trọng là hướng cho các em nhìn nhận nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản, từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán. Đây cũng là động lực giúp các em tự tin trong quá trình học tập, hình thành cho các em sự yêu thích và đam mê bộ môn toán hơn.
- Nhằm nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ cho bản thân, thông qua đó giới thiệu cho bạn bè, đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy bộ môn toán ở trường THCS đạt hiệu quả cao hơn.
1.3. Phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu.
Phát huy tư duy tích cực, chủ động, sáng tạo là cả một đề tài rất rộng và phong phú, bản thân tôi cũng chưa đủ độ chín để viết chung cho môn Toán, vì vậy trong khuôn khổ của SKKN này tôi chỉ nêu ra một số kinh nghiệm của bản thân nhằm góp phần phát huy tư duy tính cực, chủ động và sáng tạo của học sinh thông qua khai thác, phát triển một số bài tập theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp trong SGK Hình học lớp 9 mà theo tôi cách làm như thế là có hiệu quả.
Phạm vi nghiên cứu: Chương II " Đường tròn " - Hình học 9.
Đối tượng nghiên cứu: Khai thác, phát triển một vài bài tập hình học ở chương II – Hình học 9 nhằm góp phần phát huy tư duy tính cực, chủ động và sáng tạo của học sinh lớp 9B trường TH&THCS Đông Anh năm học 2015 – 2016.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Điều tra, khảo sát, theo dõi, thực hành, vận dụng .
- Nghiên cứu tài liệu, sách báo.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận Ở mục 2.1: tác giả tham khảo từ TLTK số 3 và số 4.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (tháng 1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12 - 1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục ( tháng 6 - 2005), được cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15 (tháng 4 - 1999) và Nghị quyết số 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo ( tháng 11 – 2013 ).
Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” [4]. 
Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động.
Tính tích cực học tập - về thực chất là tính tích cực nhận thức, đặc trưng ở khát vọng hiểu biết, cố gắng trí lực và có nghị lực cao trong qúa trình chiếm lĩnh tri thức. Tính tích cực nhận thức trong hoạt động học tập liên quan trước hết với động cơ học tập. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tự giác. Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tạo nên tính tích cực. Tính tích cực sản sinh nếp tư duy độc lập. Suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo. Ngược lại, phong cách học tập tích cực độc lập sáng tạo sẽ phát triển tự giác, hứng thú, bồi dưỡng động cơ học tập. Tính tích cực học tập biểu hiện ở những dấu hiệu như: hăng hái trả lời các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu ý kiến của mình trước vấn đề nêu ra; hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ những vấn đề chưa đủ rõ; chủ động vận dụng kiến thức, kĩ năng đã học để nhận thức vấn đề mới; tập trung chú ý vào vấn đề đang học; kiên trì hoàn thành các bài tập, không nản trước những tình huống khó khăn
Tính tích cực học tập thể hiện qua các cấp độ từ thấp lên cao như:
- Bắt chước: gắng sức làm theo mẫu hành động của thầy, của bạn
- Tìm tòi: độc lập giải quyết vấn đề nêu ra, tìm kiếm cách giải quyết khác nhau về một số vấn đề
- Sáng tạo: tìm ra cách giải quyết mới, độc đáo, hữu hiệu.
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy chỉ đạo cách học, nhưng ngược lại thói quen học tập của trò cũng ảnh hưởng tới cách dạy của thầy. Chẳng hạn, có trường hợp học sinh đòi hỏi cách dạy tích cực hoạt động nhưng giáo viên chưa đáp ứng được, hoặc có trường hợp giáo viên hăng hái áp dụng PPDH tích cực nhưng không thành công vì học sinh chưa thích ứng, vẫn quen với lối học tập thụ động. Vì vậy, giáo viên phải kiên trì dùng cách dạy hoạt động để dần dần xây dựng cho học sinh phương pháp học tập chủ động một cách vừa sức, từ thấp lên cao. Trong đổi mới phương pháp dạy học phải có sự hợp tác cả của thầy và trò, sự phối hợp nhịp nhàng hoạt động dạy với hoạt động học thì mới thành công. 
Trên thực tế, trong qúa trình dạy học người học vừa là đối tượng của hoạt động dạy, lại vừa là chủ thể của hoạt động học. Thông qua hoạt động học, dưới sự chỉ đạo của thầy, người học phải tích cực chủ động cải biến chính mình về kiến thức, kĩ năng, thái độ, hoàn thiện nhân cách, không ai làm thay cho mình được. Vì vậy, nếu người học không tự giác chủ động, không chịu học, không có phương pháp học tốt thì hiệu quả của việc dạy sẽ rất hạn chế.
Như vậy, khi đã coi trọng vị trí hoạt động và vai trò của người học thì đương nhiên phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học [3].
2. 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
2. 2. 1. Đối với giáo viên
Quán triệt quan điểm dạy học theo hướng “ Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh ” nhiều giáo viên đã miệt mài suy nghĩ tích cực khai thác đào sâu bài giảng, tổ chức cho học sinh tham gia tích cực vào các hoạt động học tập khác nhau trong giờ học. Không khí của các giờ học toán nói chung và các tiết luyện tập nói riêng không bị khô cứng, buồn chán, học sinh chủ động tìm tòi lời giải và tiếp thu kiến thức. Bên cạnh đó vẫn còn một số ít giáo viên trong tiết luyện tập Toán mới chỉ quan tâm đến nhiệm vụ là giải quyết yêu cầu của một bài tập, hoặc chữa được hết bài tập trong SGK. Bằng lòng với lời giải đã thảo mãn các yêu cầu của đề bài mà chưa chú ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm tòi các nội dung khác mà yêu cầu của đề bài không có. Tóm lại là tình trạng coi trọng số lượng hơn chất lượng.
2. 2. 2. Đối với học sinh 
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở THCS tôi nhận thấy phần đa học sinh sợ phân môn Hình học. Nhiều học sinh chưa biết chứng minh hình học, chưa biết trình bày bài, chưa biết vận dụng giả thiết và định lí, vẽ hình không chính xác, ngôn ngữ, kí hiệu tuỳ tiện, lập luận thiếu khoa học. Đa số học sinh ít có khả năng đặt ra câu hỏi, nêu ra kết luận mới từ bài toán đã cho, nêu ra một bài toán mới bằng cách thêm bớt các dữ kiện ban đầu. Suy luận hình học kém, không nắm được phương pháp tư duy lôgíc và giải toán hình . . . Đó là thực tế đặt ra cho người thầy phải giúp học sinh phát huy tư duy tích cực, chủ động và sáng tạo trong khi luyện tập Hình học. 
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề: 
2.3.1. Điều tra cơ bản: 
Trước khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy, thực tế tìm hiểu về hứng thú của học sinh đối với phân môn Hình học tại lớp 9A, 9B trường TH&THCS Đông Anh đầu năm học 2015 – 2016 qua phiếu thăm dò được ghi lại như sau:
Lớp
Tổng số học sinh
Rất thích học Hình học
Thích học Hình học
Bình thường
Ngại học Hình học
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
9A
20
0
0
2
10,0
5
25,0
13
65,0
9B
25
1
4,0
4
16,0
7
28,0
13
52,0
Khảo sát kết quả học tập của học sinh tại thời điểm đó:
Lớp
Tổng số học sinh
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
9A
20
0
0
1
5,0
9
45,0
10
50,0
9B
25
1
4,0
4
16,0
12
48,0
8
32,0
Từ kết quả khảo sát trên cho thấy số học sinh thực sự có hứng thú học Hình học ( có tư duy sáng tạo ) và số học sinh gọi là có thích học Hình học một chút ( chưa có tính độc lập, tư duy sáng tạo ) là rất khiêm tốn. Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết, cũng rất muốn học nhưng chưa có điều kiện để mua các tài liệu tham khảo vì thế các em chưa biết cách tư duy trong cách giải một bài tập nào đó và do điều kiện khách quan học sinh chỉ được bồi dưỡng ở trường một thời gian nhất định. Vì vậy học sinh chưa có hứng thú học Toán nói chung và học phân môn Hình học nói riêng.
2. 3. 2. Quá trình thực hiện: 
Xuất phát từ mong muốn là học sinh được rèn luyện khả năng tư duy, tính tích cực, chủ động, sáng tạo, vì vậy từ kết quả điều tra, trong qúa trình giảng dạy tôi luôn suy nghĩ, nghiên cứu để làm thế nào học sinh không cảm thấy chán học Toán. Trong các tiết luyện tập, ôn tập buổi chiều tôi nhận thấy nội dung mà tôi nghiên cứu bước đầu đã định hướng cho học sinh về mặt tư duy và hình thành cho học sinh thói quen luôn đặt câu hỏi cho mình và tìm cách giải quyết vấn đề khi giải toán. Từ đó hình thành cho các em nghiên cứu kỹ bài trước khi làm.
Sau đây tôi tự thuật việc đã làm: thông qua giới thiệu một số bài tập trong SGK hình học lớp 9 ở chương II " Đường tròn ", từ đó tôi khai thác, phát triển các bài đã luyện bằng cách thêm bớt dữ kiện, thay tình huống mới, yêu cầu học sinh phát hiện các kết luận mới . . . Trình bày lời giải trên các nội dung mới, rút ra kết luận mới và củng cố thêm cách chứng minh các dạng toán hình. Từ đó hình thành cho HS thói quen " suy nghĩ tiếp theo " và không bao giờ bằng lòng dừng lại ở bất kì bài toán nào.
Với các bài toán trong nội dung khai thác thêm có bài tôi yêu cầu học sinh thực hiện ngay trong tiết luyện tập hoặc tiết ôn tập trên lớp, nhưng cũng có bài chỉ hướng dẫn và yêu cầu HS về nhà làm tiếp.
D
Bài toán 1 Trong trang này: Bài toán 1 được tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1.
: ( Bài tập 11-trang 104 SGK Toán 9- Tập I )
C
Cho đường tròn (O), đường kính AB, 
dây CD không cắt đường kính AB. 
Gọi H và K theo thứ tự là chân các 
đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. 
Chứng minh rằng: CH = DK [1]. 
( xem H1 )
Trên đây là một bài toán dễ, việc giải bài toán này không khó. 
Nhưng điều mà tôi muốn trao đổi là: sau khi hoàn thành xong lời giải, ta có thể khai thác phát triển bài toán theo hướng sau ( thông qua hai bài tập )
NỘI DUNG KHAI THÁC THÊM Ở mục Nội dung khai thác thêm: Bài toán 1.1 được tham khảo từ TLTK số 2; Bài toán 1.2 là của tác giả.
Bài toán 1.1: 
Kết luận của bài toán trên có còn đúng không nếu dây CD cắt đường kính AB [2]. 
Giải: ( xem H2 )
Kẻ OM CD, OM cắt AK tại N. 
Ta có: MC = MD (1) 
( Định lí đường kính và dây cung )
A
AKB có: AO = OB, 
ON // BK ( cùng vuông góc với CD )
=> AN = NK
AHK có: AN = NK ( chứng minh trên )
 	MN // AH (cùng vuông góc với CD )
=> HM = MK ( 2)
 Từ (1) và (2) suy ra: CH = DK.
Kết luận: Khi dây CD cắt đường kính AB thì vẫn có CH = DK ( nhưng H và K nằm bên trong đường tròn )
	* Qua bài toán 1.1 giúp học sinh củng cố thêm về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung; đường trung bình của tam giác.
	Điều quan trọng là ta đã phát triển bài toán bằng cách thay đổi giả thiết "dây CD không cắt đường kính AB" bằng "dây CD cắt đường kính AB" tạo nên tình huống khác để học sinh tư duy cao hơn. Từ đó rút ra được kết luận bổ ích và lí thú hơn.
	Ta tiếp tục khai thác bài toán 1 bằng bài toán 1.2 sau:
Bài toán 1. 2:
Xác định vị trí điểm C và D để:
a) khoảng cách giữa hai điểm H và C ( hoặc D và K ) có giá trị nhỏ nhất? giá trị đó bằng bao nhiêu? 
b) khoảng cách giữa hai điểm H và C ( hoặc D và K ) có giá trị lớn nhất? giá trị đó bằng bao nhiêu?
Giải:
a) Do AH CD => AHC vuông tại H.
Ta có: HC = ( Định lí Pitago)
Do đó HC nhỏ nhất ó có GTNN.
Mà 0
Dấu " = " chỉ xảy ra khi H , C và A trùng nhau ( H3.a ). 
Khi đó khoảng cách giữa H và C có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
- Tương tự khoảng cách giữa hai điểm D và K có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi D, K và B trùng nhau.
b) Vì AH CD, BK CD nên tứ giác AHKB là hình thang vuông có AB, HK là cạnh bên và AH HK
=> AB HK
Vậy HK có GTLN HK = AB HK // AB 
Mặt khác: HK = HC + CD + DK = 2HC + CD 
( do HC = DK ( chứng minh trên ) )
Suy ra: 2 HC HK.
Dấu " =" xảy ra ó C, D và M trùng nhau 
 CD OM tại M ( O ) và song song với AB.
 ( H3.b). 
Và khi đó GTLN của HC = 
	* Khai thác bài toán bằng các câu hỏi ở bài toán 1.2 ta đã hình thành cho học sinh cách giải một loại toán cực trị trong hình học. 
Bài toán 2 Bài toán 2 được tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1.
: ( Bài tập 30 -trang 116 SGK Toán 9- Tập I )
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( N khác A và B ), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt ở C và D.
Chứng minh rằng: 
a) COD = 900
b) CD = AC + BD
c) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển
trên nửa đường tròn ( xem H4 ) [1].
* Hoàn thành xong lời giải ta khai thác phát triển bài toán theo hướng sau:
NỘI DUNG KHAI THÁC THÊM
Bài toán 2.1 Bài toán 2.1 được đề xuất dựa trên tham khảo từ TLTK số 2 và kinh nghiệm giảng dạy của tác giả.
: Với giả thiết của bài toán đã giải: 
a) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
b) Các điểm A, B, D , C cùng nằm trên một đường tròn khi nào?
c) Tìm vị trí của điểm M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất? tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất?
d) Tìm vị trí của điểm C, D để tứ giác ABDC có chu vi bằng 14 cm, biết AB = 4 cm [2].
Giải: ( xem H4.a ) 
a) Gọi I là trung điểm của CD.
Mà COD = 900 ( đã chứng minh ở bài toán 2 )
 nên IC = ID = IO
=> I là tâm, IO là bán kính của đường tròn đường kính CD.
Dễ dàng chứng minh được ABDClà hình thang vuông, có OI là đường trung bình của hình thang => OI // AC
Mà AC AB 
=> AB IO tại O
=> AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
 * Qua đây củng cố cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Gọi K là trung điểm của AD. 
ABD vuông tại B => KA = KD = KB
Để A, B, D, C cùng nằm trên một đường tròn 
thì KA = KD = KB = KC
Mà KA = KD = KC thì ACD vuông tại C.
Mà AB CA ( tính chất của tiếp tuyến ) 
=> CD // AB 
Vậy để 4 điểm A, B, D, C cùng nằm ở trên một đường tròn thì tiếp tuyến tại M phải song song với AB. ( xem H4.b )
 * Qua đây củng cố cách nhận biết các điểm thuộc đường tròn dựa vào định nghĩa.
c) Ta có CD = CA + BD ( theo chứng minh ở bài toán 2b )
 và tứ giác ABDC là hình thang.
+ Chu vi của hình thang ABDC bằng: AC + CD + DB + AB = AB + 2CD
Ta có AB không đổi nên chu vi của hình thang ABDC nhỏ nhất ó CD nhỏ nhất.
+ ABDC là hình thang vuông ( AC // BD ) nên: SABDC = 
AB không đổi nên SABDC nhỏ nhất CD nhỏ nhất.
Mà CD AB.
Nên CD nhỏ nhất CD = AB ó CD // AB OM AB M là điểm chính giữa cung AB.
Vậy khi OM AB thì: + chu vi tứ giác ABDC nhỏ nhất và bằng 3AB.
 + diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất và bằng 
 * Qua đây củng cố cho học sinh cách giải toán cực trị trong hình học.
d) Đặt AC = b => CD = AC + BD = a + b
Chu vi hình thang ABDC bằng AB + 2CD = 4 + 2 ( a + b )
Do chu vi tứ giác ABDC bằng 14 nên 4 + 2 ( a + b ) = 14 => a + b = 5 (1)
Lại có a.b = AC.BD = CM. MD = OM2 (hệ thức lượng trong tam vuông COD)
nên a.b = 22 = 4 (2)
Từ (2) => b = thay vào (1) ta có: 
a + = 5 ó a2 - 5a + 4 = 0 ó ( a - 1 )( a - 4 ) = 0 a = 1 hoặc a = 4
Như vậy nếu điểm C ( thuộc tia Ax ) cách điểm A là 1cm hoặc 4 cm thì chu vi hình thang ABDC bằng 14cm.
Bài toán 2.2 Bài toán 2.2 được đề xuất dựa trên tham khảo từ TLTK số 2 và kinh nghiệm giảng dạy của tác giả.
: Với giả thiết của bài toán đã giải và cho thêm giả thiết sau: 
Gọi N là giao điểm của AD và B, H là giao điểm của MN và AB. 
Chứng minh:
a) MN AB 
b) MN.CD = CM.BD
c) N là trung điểm của MH [2].
 Giải: ( xem H5 )
a) Vì AC // BD => (1) 
 ( Định lí Talet )
Lại có: DB = MD, AC