SKKN Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ trong giải Toán hình học lớp 7

	 MỤC LỤC
 Trang
PHẦN 1: Mở đầu
2
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Những điểm mới của SKKN
2
2
2
2
3
PHẦN 2: Nội dung sáng kiến kinh ngiệm
3
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
3
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
3-4
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề
416
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
15
PHẦN 3: Kết luận và kiến nghị
15-16
Tài liệu tam khảo
17
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp PGD&ĐT, cấp SGD&ĐT và các cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên
18
1. MỞ ĐẦU:
	1.1. Lí do chọn đề tài.
 Trong thực tế giảng dạy những năm học qua và hiện nay tôi nhận thấy tình trạng học sinh học yếu phân môn Hình học ở trường THCS còn khá phổ biến, học sinh đạt đến độ say mê để có kĩ năng trong giải toán hình học còn rất nhiều hạn chế. 
	Toán học được coi là một trong những môn học chủ lực, trọng tâm nhất trong trường THCS. Giải toán Hình học đối với học sinh lớp 7 với những bài toán có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học, sáng tạo cho học sinh khi các em mới bước đầu làm quen với lối suy luận logic và tư duy có chiều sâu.
 Trên thực tế, mặc dù đồng nghiệp cũng đã cố gắng rất nhiều để tìm ra các phương pháp hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán dạng này, xong chưa thực sự tìm ra hướng đi có hiệu quả. Khi gặp dạng bài tập này học sinh thường rất sợ vì không biết bắt đầu từ đâu, không biết phân tích bài toán để tìm ra lời giải, không biết vận dụng kiến thức nào để giải quyết. Do vậy,các em thường tỏ ra chán nản, không muốn tiếp tục cố gắng và dần bị mất niềm tin, không còn ý chí phấn đấu, dẫn đến thành tích học tập không cao.
 Để giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc khi gặp dạng bài toán này, tôi mạnh dạn đưa ra đề tài: “Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ trong giải toán hình học lớp 7” với hy vọng tạo hướng đi hiệu quả cho học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động, tích cực, đồng thời khơi dậy niềm đam mê học Toán đối với học sinh THCS, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. Bởi lẽ, dạy học cũng là một mặt trận và mỗi thầy cô giáo là một người chiến sỹ trên mặt trận ấy! 
	1.2. Mục đích nghiên cứu.
	Bằng việc gợi mở cho HS các nội dung kiến thức hình học về giải bài toán có kẻ thêm đường phụ, GV phải phân dạng được các bài toán hình học lớp 7 mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số dạng bài toán cụ thể nhằm tạo điều kiện để HS bổ sung trình độ kiến thức, phát triển tư duy logic, khả năng khai thác bài toán và giải quyết các bài toán tương tự. Đồng thời khơi dậy niềm đam mê, tính sáng tạo của học sinh trong học tập. Từ đó học sinh hứng thú hơn trong học tập, phục vụ đắc lực cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
	1.3. Đối tượng nghiên cứu:
	Hướng dẫn học sinh khối 7 (với đối tượng học sinh khá - giỏi) tiếp cận và giải quyết các dạng bài tập hình học mà lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ.
	1.4. Phương pháp nghiên cứu:
	Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu; phương pháp điều tra khảo sát thực tế trên số lượng học sinh khá - giỏi khối 7 trường THCS Hà Thái qua các năm học và trải nghiệm thực tế bằng những tiết học trên lớp; đặc biệt là các tiết bồi dưỡng học sinh giỏi. 
	1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: 
	Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học ở lớp 7, khi các em bắt đầu tiếp cận với lối suy luận logic, tư duy độc lập và có chiều sâu.
	Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
	Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học ở chương trình Toán 7 bậc THCS, phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau.
	2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
	2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
	Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán, có sự sáng tạo nhất định. Có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn, cũng có bài buộc phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra được lời giải. Để tạo ra được một đường phụ với mục đích tạo nên một yếu tố trung gian liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, từ đó suy luận, lập luận để tìm tòi và phát hiện vấn đề... Đây là một trong những dạng toán đòi hỏi mức độ cao của kỹ năng mà không phải học sinh nào cũng chủ động tiếp cận được và không phải giáo viên nào cũng làm tốt được vai trò hướng dẫn. Bởi lẽ vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải bài toán là một điều hết sức khó khăn và vô cùng phức tạp.
	Vì vậy, nhiệm vụ của mỗi người giáo viên chúng ta là phải làm thế nào để góp phần tạo ra cho đất nước nguồn lao động có trình độ cao và kỹ năng chuyên nghiệp để đáp ứng được nhu cầu đặt ra từ cuộc Cách mạng công nghiệp 4.0, nghĩa là phải “sáng tạo ra những con người có sáng tạo” như cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã từng nói.
	2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
	*Thực trạng:
	a. Đối với HS:
	Hình học là bộ môn khó đòi hỏi sự tư duy cao đặc biệt là những bài tập cần vẽ thêm yếu tố phụ.
	Các em chưa có phương pháp học tập khoa học mà chỉ theo lối thụ động, chỉ biết trả lời các câu hỏi mà giáo viên đưa ra hoặc làm lại bài giải khi giáo viên trình bày qua, các em học còn yếu những kĩ năng cơ bản như kĩ năng phân tích đề bài, kĩ năng sử dụng sơ đồ suy luận ngược để tìm lời giải, kĩ năng đề xuất vẽ thêm yếu tố phụ để tìm lời giải
	Học sinh luôn chờ giáo viên giải mẫu rồi mới làm các bài chứng minh tương tự hoặc giáo viên hướng dẫn từng bước rồi mới hoàn thành bài làm. 
	Học sinh chỉ chờ vào sự gợi ý mà không tự mình suy nghĩ phân tích để tìm ra hướng chứng minh.
	b. Đối với giáo viên:
	- Ra nhiều bài tập nhưng ít có sự chọn lọc, nặng nề về việc trình bày lời giải mà chưa chú ý đến việc hướng dẫn học sinh tự mình đi đến lời giải.
	- Giáo viên chưa thực sự đầu tư thời gian để phân tích, tìm tòi lời giải.
	- Việc khai thác sâu bài toán còn hạn chế ở nhiều giáo viên, chưa tìm thấy được hướng đi mới cho bài toán .Bên cạnh đó, trong mỗi tiết học, mỗi bài giảng của mình giáo viên chưa thực sự khơi dậy được niềm đam mê học toán, chưa gây được hứng thú học tập cho các em.
	- Vai trò hướng dẫn để tác động tích cực đến việc học tập của HS là rất quan trọng mà có khi giáo viên không làm được. Vì vậy,để dạy tốt, người giáo viên cần phải luôn tự học, tự bồi dưỡng để trang bị cho mình vốn kiến thức cần thiết để truyền cho học sinh cách quan sát, phát hiện để dự đoán, vận dụng và sáng tạo hợp lí. 
	c. Kết quả của thực trạng:
 Qua thống kê điều tra với đối tượng HS khá - giỏi khối 7 trường THCS Hà Thái trong 3 năm học : 2015-2016; 2016-2017; 2017-2018; thời gian điều tra vào giữa học kỳ I các năm học, kết quả thu được như sau:
Năm học
SSHS
Số HS không nhận ra bài toán phải kẻ thêm đường phụ
Số HS nhận dạng được các bài toán phải kẻ thêm đường phụ
Số HS kẻ được các đường kẻ phụ hợp lý để giải Toán lớp 7
2015-2016
24
10
14
02
2016-2017
26
12
14
03
2017-2018
23
8
15
02
	2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề:
	a. Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ:
	* Vẽ đường phụ phải có mục đích rõ ràng:
Bằng việc phân tích tổng hợp, tương tự hoá từ nội dung bài toán,mày mò dự đoán để tìm được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm. Từ đó xác định được yếu tố phụ cần vẽ thêm để phục vụ mục đích chứng minh
 * Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Vẽ góc, vẽ tia phân giác của một góc, vẽ tam giác...)
	b. Một số loại yếu tố phụ thường được sử dụng trong giải toán hình 7 ở chương trình THCS:
- Yếu tố phụ là điểm: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, giao điểm của hai đường kéo dài...
- Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng: Vẽ tia đối, vẽ đường thẳng song với đường thẳng xác định, vẽ đường vuông góc, vẽ tia phân giác, vẽ một số đường đặc biệt: Đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao, đường trung bình...
- Yếu tố phụ là góc: Vẽ một góc bằng một góc cho trước, vẽ góc đặc biệt: 300, 450, 600; 900...
- Yếu tố phụ là một tam giác: Thường là vẽ tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông.
	c. Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:
	Dựa vào giả thiết, kết luận của bài toán, các định lý, các tính chất đã học để tìm ra mối tương quan giữa các yếu tố đã biết và các yếu tố chưa biết, từ đó vẽ đường phụ thích hợp ®Ó t¹o ra kh©u trung gian nh»m liªn kÕt c¸c mèi quan hÖ để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc đã biết cách giải.
 d. Các bài toán ví dụ:
 Bài 1: Cho hình vẽ (Hình 1), biết:
 ; ; ; 
 Chứng tỏ rằng: Ax // Cz 
* Phân tích:
Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta thường sử dụng các phương pháp sau: 
- Chứng minh cặp góc sole trong bằng nhau; cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc cặp góc trong cùng phía bù nhau
- Chứng minh cho hai đường thẳng đó cùng song song hoặc cung vuông góc với đường thẳng thứ ba...
- Với giả thiết đã cho của bài toán này ta nghĩ ngay đến cách chứng minh cho Ax và Cz cùng song song với đường thẳng By 
- Yếu tố trung gian cần vẽ thêm là tia Bm - tia đối của tia By để đưa bài toán về bài quen thuộc đã biết cách giải (dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) (Hình 2)
 * Do đó GV có thể hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo sơ đồ sau:
 Ax // Cz 
 Ax // By Cz // By
 hoặc 
 ; 
 Bm là tia đối của tia By
Bài 2: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền [1] 
* Phân tích bài toán:
- Đề bài cho tam giác ABC vuông tại A; AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, yêu cầu chứng minh: 
B
A
C
M
D
1
1
2
- Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
GT
DABC; ;
AM là trung tuyến
KL
; BC = AD
 DABC = D CDA ( c.g.c)
 AB=CD ;
 AB // CD ()
 DMAB = DMDC ( c.g.c)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD
D MAB =D MDC( c.g.c) ; AB // CD 
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
MD = MA
	* Học sinh luyện cách suy luận theo sơ đồ sau:
 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, D là điểm trên cạnh AC sao cho AD = AB. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng HA = HE.
[1] Bài 25/67-SGK toán 7 tập 2
* Phân tích bài toán:
	Trong qua trình giải quyết bài toán GV cần luyện cho học sinh phải phân tích và tự đặt ra các câu hỏi như sau:
	- Để chứng minh HA = HE ta chưa thể gắn trực tiếp vào hai tam giác bằng nhau để chứng minh được. Vậy ta phải dùng cách nào để chứng minh?
	- Ta có thể chứng minh bằng đoạn thẳng thứ ba nào?
	- Đoạn này tạo ra bằng cách nào?
	- Căn cứ vào giả thiết AD = AB 
	Kẻ DK vuông góc với AH tại K. Như vậy ta sẽ có các cặp tam giác nào bằng nhau? Bằng nhau theo trường hợp nào?
	Như vậy khi HS tự trả lời được các câu hỏi, giáo viên có thể hỗ trợ nếu cần thì bài toán sẽ được giải quyết; bên cạnh đó học sinh rèn được tư duy toán học, kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải quyết.
* Cách vẽ thêm yếu tố phụ là tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau như trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp “Tam giác bằng nhau”, phương pháp mới này rất hay, nó sẽ được khai thác nhiều trong giải toán, đặc biệt là trong các bài toán hình học lớp 7.
	 Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm của MN. 
Chứng minh rằng: Ba điểm B, K, C thẳng hàng.
* Phân tích bài toán: Hướng chứng minh ba điểm thẳng hàng trong bài toán này là chỉ ra được KM và KN là hai tia đối nhau. Muốn vậy phải chỉ ra được , là hai góc đối đỉnh . Do đó đường phụ cần vẽ thêm chính là hai đoạn thẳng cùng vuông góc với BC để tạo ra hai tam giác vuông bằng nhau.
* Học sinh có thể suy luận theo sơ đồ dưới đây:
Ba điểm B, K, C thẳng hàng
KM và KN là hai tia đối nhau
( tại E; tại F)
Chứng minh ME = NF
D BME = D CNF 
	Bài 5: Cho góc vuông xOy và tia phân giác Oz. Từ một điểm A trên tia Oz kẻ AB Ox; AC Oy (B Ox, C Oy). Lấy điểm M trên AB, nối M với O. Từ M vẽ một đường thẳng tạo với MO một góc bằng góc BMO cắt AC tại N.
 Chứng minh rằng: 
* Phân tích bài toán: 
 Chứng minh: 
 Từ ta suy được OB = OC . Kết hợp với giả thiết giúp ta nghĩ đến việc vẽ thêm OD MN (D MN). 
 Từ đó chứng minh được và 
 Để suy ra : ; 
 Do đó: 
 	Bài 6: Cho tam giác ABC có . BD và CE là hai đường phân giác của tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng ID = IE
* Phân tích bài toán:
Dễ dàng nhận ra: , đo đó .Vậy nên ta nghĩ ngay đến yếu tố phụ chính là đường phân giác IM của với mục đích chứng minh và . Từ đó ta có: ID = IE (= IM)
 ID = IE (= IM)
 ; 
 BI chung CI chung
 IM là phân giác của 
IM
 	Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, . 
Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. 
Chứng minh rằng 
	* Phân tích bài toán:
	- Bài cho DABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC 
( D ÎAB)
	- Yêu cầu chứng minh: 
	- Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh 
là 200, suy ra góc ở đáy là 800. 
- Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc 
của tam giác đều Þ Vẽ tam giác đều BMC
	- D AMB = D AMC (c-c-c) 
	- D CDA = D AMC (c-g-c) 
* Nhận xét:
	- Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này 
gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết
 AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
	- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
	- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
	- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
	- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
	- Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi học sinh và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học.
	- Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. 
 	Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. 
So sánh và ? [2] 
* Phân tích bài toán:
- Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. 
- Yêu cầu : So sánh và ?
- Hai góc và không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có một góc bằng và tam giác đó chứa và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó Từ đó đưa về bài toán quan hệ giữa cạnh và góc trong cùng một tam giác. 
[2] Bài 7/24 SBT toán 7 tập 2
 B
A
 C
D
M
2
1
1
2
- Với cách phân tích đó, ta có thể lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Nối CD hoặc BD thì bài toán coi như được giải quyết. Như vậy điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này. 
	* Học sinh luyện cách suy luận theo sơ đồ sau:
So sánh và 
So sánh và 
So sánh và 
So sánh AC và CD (trong D ACD)
; AB = CD, AC > AB 
(DMAB = DMDC (c-g-c) 
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Bài 9: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC lấy hai điểm D và E sao cho BD vuông góc với BA,
 BD = BA; CE vuông góc với CA, CE = CA. Chứng minh rằng các đường thẳng: AH, BE, CD cùng đi qua một điểm.
* Phân tích bài toán theo sơ đồ sau: 
AH; BE; CD là 3 đường cao của cùng một tam giác 
(Căn cứ: )
Tạo ra một tam giác nhận AH là đường cao 
Gọi đỉnh tam giác cần vẽ là I (I thuộc tia đối của tia AH) sao cho 
 tại M và tại N
 ; ; 
 AI = BC
I là điểm thuộc tia đối của tia AH sao cho AI = BC
* Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải trong các tiết học cũng như trong các tiết BDHS giỏi bằng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ :
 Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song:	
 	Bài 1: Cho hình vẽ (Hình 1). Chứng minh rằng: Mu // Tz
Hướng dẫn: Kẻ Mx // NT (Hình 2)
 Hoặc: Kẻ Ny // Tz (Hình 3)
 	Bài 2: Cho hình vẽ (Hình 1).
 Biết rằng: AB // DE, ; 
 Tính số đo ?
 Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng xy đi qua C và song song với AB (Hình 2)
 Chương II: Tam giác
 Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC 
 Chứng minh rằng MN // BC và MN = BC.
* Hướng dẫn: Trên tia đối của tia NM lấy điểm K sao cho: NM = NK. Từ đó chứng minh MK //= BC
 Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, BC = 12cm, D là trung điểm của AB. Vẽ DH vuông góc với BC tại H sao cho DH = 4cm. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.
* Hướng dẫn: Do cân đỉnh A nên ta nghĩ đến cách lấy điểm phụ K là trung điểm của đoạn thẳng BC
 Bài 3: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. 
	Chứng minh rằng D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều?
* Hướng dẫn: 
o AM là phân giác của ; MH = HB = BM và MH AH nên ta nghĩ ngay đến yếu tố phụ là đường vuông góc MK kẻ từ M dến đoạn thẳng AC
Từ đó tính được MK = MH = BM =MC 
 Bài 4: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
* Hướng dẫn:
	- Bài cho D ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
	- Yêu cầu chứng minh: BD = CE.
- Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba, rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba 
Bài 5: Cho . Vẽ AH (H BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm B dựng AD ABsao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại dựng AE AC sao cho AE = AC. Nối D và E, AH cắt DE ở M. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng DE.
* Hướng dẫn: 
Vẽ DK và EL cùng vuông góc với AH
Từ đó chứng minh: DK = EL (=AH)
Rồi suy ra MD = ME
Bài 6: Cho góc vuông xOy và tia phân giác Oz. Trên tia Oz lấy điểm A. Từ A kẻ AB Ox; AC Oy (B Ox, C Oy). D là điểm tùy ý trên đoạn thẳng OB. Nối A với D. Tia phân giác của cắt Oy tại E.
 Chứng minh rằng: AD = CE + BD
* Hướng dẫn: Định hướng là tạo ra đoạn thẳng có độ dài bằng CE + BD và chứng minh cho đoạn thẳng đó bằng AD. 
 Với hướng đi đó ta sẽ lấy điểm F trên tia đối của BO sao cho BF = CE
 Từ đó chứng minh: AD = DF = CE + BD 
Bài 7: Cho có ; , trên cạnh AC lấy D sao cho . Chứng minh rằng: BD < AC
* Hướng dẫn: Từ giả thiết của bài toán dễ dàng tính được 
 Do đó yếu tố phụ cần vẽ thêm chính là tia phân giác BE của góc ABD và vẽ EF vuông góc với BD (E AD; F BD).
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia Bx sao cho . Trên tia Bx lấy điểm D sao cho 
BD = BA. Tính số đo góc BDC.
* Hướng dẫn: Kinh nghiệm cho thấy khi giải các bài toán về tính số đo góc thì phương pháp vẽ tam giác đều là công cụ thường sử dụng nhất.Trong bài toán này ta vẽ thêm tam giác đều BEC (A và E nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC)
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, . Gọi D là điểm nằm trong tam giác sao cho ; .Tính số đo góc BAD.
* Hướng dẫn: Tương tự bài 7, trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A ta vẽ tam giác đều BEC, từ đó tính được 
 Bài 9: Cho tam giác ABC có . Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác đều BCD . Chứng minh rằng: AD2 = AB2 + AC2
* Hướng dẫn: Vẽ về phía ngoài tam giác ABC tam giác đều ABE
 Chương III: Quan hệ giữa cá