SKKN Hướng dẫn học sinh rèn luyện kĩ năng tìm lời giải Hình học 9 bằng “phương pháp phân tích đi lên”

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD&ĐT HOẰNG HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM LỜI GIẢI HÌNH HỌC 9 BẰNG “PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐI LÊN”
 Người thực hiện: Lê Thị Thủy
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Hoằng Ngọc
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
 MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
MỤC LỤC
1
 PHẦN I: MỞ ĐẦU
2
 1. 1.Lí do chọn đề tài
2
 1. 2.Mục đích nghiên cứu
2
 1. 3.Đối tượng nghiên cứu
3
 1. 4.Phương pháp nghiên cứu
3
 1. 5.Những điểm mới của SKKN
3
PHẦN II: Nội dung của SKKN
 4
 2.1 . Cơ sở lí luận
4
 2. 2. Thực trạng của vấn đề
5
 2.3. Các giải pháp để giải quyết vấn đề
6
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
15
 2.5.Bài học kinh nghiệm
16
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
16
 3.1. Kết luận
16
 3.2. Kiến nghị, đề xuất
17
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
18
Phần I: Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài:
 Toán học có vai trò rất quan trọng trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, nhất là trong kỷ nguyên của “công nghệ hiện đại và thông tin” cùng với sự phát triển của nền kinh tế tri thức, việc nắm vững các kiến thức toán học giúp cho học sinh có cơ sở nghiên cứu các bộ môn khoa học khác đồng thời có thể hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống.
	Trong nhà trường phổ thông có thể nói môn Toán là một trong những môn học giữ một vị trí hết sức quan trọng. Bởi lẽ Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logíc đồng thời môn toán còn là bộ môn công cụ hỗ trợ cho các môn học khác.
Trong chương trình toán trung học cơ sở, môn Hình học là rất quan trọng và rất cần thiết cấu thành nên chương trình toán học ở trung học cơ sở cùng với môn số học và đại số. 
Đối với nhiều học sinh bậc trung học cơ sở, Hình học thật sự là một môn học khó, đòi hỏi sự tư duy của các em rất cao. Vì vậy, có rất nhiều học sinh dù học giỏi môn đại số nhưng các em chỉ đạt điểm trung bình khi làm bài kiểm tra môn hình học, từ đó ảnh hưởng đến kết quả xếp loại môn toán cũng như xếp loại học lực của các em. Với tầm quan trọng như vậy, thì việc cải tiến phương pháp dạy học nói chung và phương pháp “Rèn kỹ năng vẽ hình và phân tích tìm lời giải bài toán hình học 9” nói riêng vừa là một yêu cầu cần thiết vừa là nhiệm vụ thường xuyên đối với giáo viên dạy toán. Vì vậy người thầy phải tạo cho học sinh hướng suy nghĩ, tìm tòi khám phá ra những hướng chứng minh cho mỗi bài toán hình học từ đó học sinh hứng thú say mê, yêu thích môn học và vận dụng sáng tạo kiến thức môn học vào thực tiễn và cuộc sống.
Để học tốt môn Hình học học sinh cần rèn luyện các kỹ năng như: Vẽ hình, phân tích bài toán, định hướng cách giải, giải bài toán và mở rộng bài toán; trong đó việc phân tích bài toán là khó nhất và quyết định kết quả của bài toán. Với việc nhìn nhận được tầm quan trọng của vấn đề và đứng trước thực trạng trên tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm. Đề tài mang tên là: “Rèn luyện kỹ năng tìm lời giải hình học 9 bằng phương pháp “phân tích đi lên” Với mong muốn góp phần nâng cao hiệu quả, chất lượng trong dạy học môn hình học lớp 9 của trường THCS theo tinh thần đổi mới. Củng cố thêm nghiệp vụ giảng dạy của mình, đồng thời mong được đóng góp một phần nhỏ bé của mình với các bạn đồng nghiệp và giúp cho sự nghiệp giáo dục của đơn vị cũng như của ngành được nâng lên.
1.2.Mục đích nghiên cứu 
Đối với bộ môn khoa học tự nhiên thì môn Hình học học sinh học tập và tiếp thu kiến thức vô cùng khó nhăn vì vậy giáo viên làm thế nào để các em hiểu bài và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt là vô cùng quan trọng.Để giúp các em có thể hiểu và áp dụng ngay bài trên lớp là điều rất khó đối với thời lượng và PPCT hiện nay. Phải làm như thế nào mà học sinh vừa nhớ kiến thức cũ, vừa tiếp thu bài mới một cách thoải mái, không ép buộc.
Nghiên cứu những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy với cách hướng dẫn các em phân tích bài toán để tìm tòi lời giải bài toán hình học bằng sơ đồ đi lên thì các em lĩnh hội kiến thức sâu sắc hơn và vận dụng giải toán nhanh nhẹn,sắc bén hơn đồng thời phát huy được năng lức sáng tạo trong tìm tòi lời giải và chứng minh bài toán hình học chặt chẽ và lôgic hơn
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là khối HS lớp 9 THCS Hoằng Ngọc, tiến hành từ học kì II lớp 9. Đa phần 4/5 là học sinh nông thôn bố mẹ đi làm ruộng,đi làm công ty hoặc đi sông còn 1/5 gia định sống nghề tự do.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Sau khi được phân công giảng dạy bộ môn Toán 9, tình trạng học tập của các em đa phần là tính toán chưa thuần thục,đặc biệt kĩ năng chứng minh bài toán Hình học rất khó khăn,bản tính của các em nhút nhát, hơi khó gần, trong số đó học sinh đa phần là trung bình. Mặt khác do không được quan tâm của gia đình trong quá trình học tập, bỏ mặc cho thầy giáo,cô giáo.Vấn đề học tập chỉ có sự đóng góp duy nhất từ người thầy.
	Nhiều học sinh về nhà bố mẹ đi làm xa,làm công ty từ sáng đến tối,về nhà các em lại phải gánh vác công việc gia đình nhiều và kiến thức đó chắn chắn học sinh đó cũng bỏ qua mà không xem lại. Nề nếp như vậy làm cho các em khả năng tư duy chậm,kĩ năng phát hiện vấn đề là rất khó
 Xuất phát từ phạm vi nghiên cứu thực tiễn cuộc sống tôi có sử dụng một số phương pháp: quan sát, điều tra, phân tích, tổng kết rút kinh nghiệm, nghiên cứu tài liệu và phân tích tổng hợp lí thuyết. Nâng cao chất lượng dạy học, bồi dưỡng phương pháp dạy học tích cực với biện pháp rèn kỹ năng phân tích đi lên giúp học sinh tìm lời giải hình học 9 
1.5.Những điểm mới của SKKN
 Căn cứ vào tình hình thực tế của học sinh, với điều kiện thực tế của nhà trường. Qua quá trình rà soát chất lượng tôi lập kế hoạch nghiên cứu và triển khai nội dung của chuyên đề này ngay trong năm học, đối với đối tượng học sinh tôi giảng dạy sau đó phân thành 2 nhóm 
1.5.1 Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết :
	 Đọc và phân tích tài liệu về phương pháp dạy học môn toán; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh; sách giáo khoa và sách bài tập; tài liệu tham khảo của bộ môn Hình học 9, các bài viết của chuyên gia và đồng nghiệp trên Internet, 
1.5.2 Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn : 
- Quan sát theo dõi học sinh và học hỏi đồng nghiệp .
- Phương pháp điều tra sư phạm: Phỏng vấn, trao đổi; khảo sát điều tra số liệu theo phiếu; thống kê và phân tích số liệu điều tra (thống kê trước và sau khi sử dụng phương pháp).
	- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Giảng dạy thực nghiệm tại trường để so sánh kết quả.
	- Tổng kết kinh nghiệm và đánh giá kết quả.
Phần II: Nội dung của SKKN
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm. Vấn đề trên cũng nằm trong mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn hiện nay.
Quá trình học sinh nắm vững kiến thức không phải là tự phát mà là một quá trình có mục đích rõ rệt, có kế hoạch tổ chức chặt chẽ, một quá trình nỗ lực tư duy trong đó học sinh phát huy tính tích cực, tính tự giác của mình dưới sự chỉ đạo của giáo viên. Trong quá trình ấy mức độ tự lực của học sinh càng cao thì việc nắm kiến thức càng sâu sắc, tư duy độc lập sáng tạo càng phát triển cao, kết quả học tập càng tốt. Trên thực tế quá trình dạy học là quá trình thống nhất bao gồm quá trình dạy và quá trình học, nó là một hệ thống tác động lẫn nhau giữa giáo viên và học sinh, trong đó mỗi chủ thể tác động lẫn nhau có vai trò và chức năng của mình. Điều quan trọng là hình thành cho các em cách học có hiệu quả nhất, đáp ứng được nhu cầu kiến thức bộ môn. 
Việc đổi mới phương pháp dạy học trong đó có đổi mới dạy học môn toán, trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải toán đặc biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán.
Vì vậy trong công tác đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy môn toán nói riêng, đòi hỏi giáo viên phải vận dụng sáng tạo các phương pháp dạy học phù với môn học, đặc biệt cần phải tổ chức dạy học sao cho học sinh hứng thú say mê, yêu thích môn học nói riêng và các bộ môn học khác nói chung, qua đó hình thành kiến thức, kĩ năng và nhận thức của học sinh. Nhiệm vụ cơ bản của bộ môn là đảm bảo cho học sinh nắm vững những kiến thức và vận dụng sáng tạo vào thực tiễn. 
Trong các môn học ở trường phổ thông, học sinh rất ngán học môn toán và “sợ” môn hình học. Học sinh “sợ”môn Hình học cũng có lý do của nó, bởi lẽ các em cho rằng hình học là môn học rất khó, trừu tượng cao đối với học sinh bậc trung học cơ sở và bởi đây là môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng lập luận tốt. Ngoài ra, môn hình học còn đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng, óc suy xét và tư duy logic. Do vậy học sinh đều cảm thấy có ít nhiều khó khăn, bởi vì các em chưa biết vẽ hình, lúng túng khi phân tích một đề toán hình. Bởi vậy chất lượng học tập môn hình của các em còn thấp. Qua kinh nghiệm của bản thân và một số đồng nghiệp tôi rút ra được một số nguyên nhân sau:
- Các em còn yếu trong việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu chính xác.
- Khả năng suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài toán hình học còn khó khăn.
- Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ.
- Một số em có thể do tâm lý ngại học hoặc sợ môn hình nên càng làm cho bài toán từ dễ trở thành khó. Học sinh chưa biết nghĩ từ đâu? nghĩ như thế nào? cách trình bày, lập luận ra sao ở một bài toán hình? 
- Trong sách giáo khoa bài toán mẫu còn ít, hướng dẫn gợi ý không đầy đủ nên khó tiếp thu. Hơn nữa khối lượng kiến thức, bài tập trong sách giáo khoa khá nhiều đôi khi thầy và trò không làm hết trong thời gian qui định. 
2.2.Thực trạng của vấn đề
2.2.1 . Đối với học sinh :
Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học môn hình học của học sinh còn thấp; khi nói đến môn hình học thì học sinh thường ngại học đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn, quá trình làm bài tập đôi khi còn gặp nhiều bế tắc, vẽ hình còn không đúng, không biết bắt đầu từ đâu, không biết nhìn nhận phân tích hình vẽ để làm bài, quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện. Đa số học sinh chỉ làm những bài toán chứng minh hình học đơn giản. Song thực tế nội dung của bài toán hình thì rất phong phú và có nhiều cách giải khác nhau. Hơn nữa học sinh khai thác và phát triển bài toán thì rất hạn chế, ngay cả những học sinh khá giỏi cũng rất lúng túng chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải bài toán Hình học .Vì thế, tỷ lệ học sinh yếu kém chưa được giảm nhiều và tỷ lệ học sinh khá giỏi môn toán chưa cao. 
	2.2.2 Đối với giáo viên:
Phần lớn giáo viên chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy học sinh giải toán. Còn nhiều giáo viên chưa cho học sinh thực sự làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh chép và chú ý đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình dạy học sinh giải toán giáo viên ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận. Thông thường giáo viên thường giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó, không những vậy mà nhiều giáo viên còn coi việc giải xong một bài toán là kết thúc hoạt động, giáo viên chưa thấy được trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ xung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được. 
2.2.3.Số liệu thống kê
Kết quả điều tra thực trạng cho thấy: Thực tế, học sinh học phân môn hình học còn yếu về mọi mặt, tỉ lệ học sinh khá, giỏi bộ môn toán hình trong các trường còn hạn chế, khả năng vẽ hình và tư duy sáng tạo của học sinh còn yếu, nên số học sinh yếu kém chiếm tỉ lệ cao số học sinh yêu thích môn hình còn ít.
-Kết quả bài kiểm tra khảo sát môn hình học lớp đầu năm học cho thấy:
Điều tra 42 bài kiểm tra
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
2,4%
10
23,8%
12
28,6%
17
40,5%
2
4,7%
-Kết quả điều tra qua 42 học sinh lớp trong năm học về thái độ đối với môn hình học cho thấy:
Điều tra
42 
HS
Yêu thích môn học
Bình thường
Không thích học
SL
	%
SL
%
SL
%
7
 16,7%
16
38,1%
19
45,2%
2.3.Các giải pháp để giải quyết vấn đề
	Chuyển thể từ kiến thức phức tạp thành thực hành đơn giản, dễ hiểu. Giáo viên đưa liều lượng kiến thức vừa phải, thích hợp với năng lực và điều kiện của học sinh. 
Giáo viên luôn tạo một môi trường thân thiện giữa thầy và trò. Không quá tỏ vẻ xa cách hay quá lớn lao và cao cả đối với học sinh. Luôn cho học sinh một cảm giác gần gũi, không làm học sinh sợ hãi, dạy thật, học thật ngay từ đầu. Dạy theo điều kiện thực tế không quá áp đặt chủ quan.
Đối với tiết học lí thuyết, giáo viên đóng vai trò gợi mở, hướng dẫn, dẫn dắt học sinh tư duy để đưa đến kiến thức. Tuy có thể học sinh không lên bảng tự ghi mà giáo viên ghi lên bảng nhận xét đó, thì cũng có thể coi là hoạt động của học sinh, và công việc ghi chép lại này không thể nói: “Giáo viên làm việc quá nhiều = học sinh không hoạt động gì”, vì đây là tư duy của học sinh. Giáo viên chỉ đóng vai trò dẫn dắt và hướng dẫn cách trình bày cho học sinh một cách logic hơn mà thôi.Khi học sinh suy luận hình học do khả năng còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài toán hình học gặp nhiều khó khăn:
Khi đã vẽ xong hình, việc tìm ra hướng giải bài toán là khó khăn nhất. Thực tế cho thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này. Nguyên nhân ở chỗ các em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài. Việc huy động những kiến thức đã học để phục vụ cho việc chứng minh còn hạn chế, có em còn lẫn lộn giữa giả thiết và kết luận. Việc liên hệ các bài toán còn chưa tốt, khả năng phân tích, tổng hợp ... của học sinh còn yếu. Nhiều bài toán đã được giải nếu thay đổi dữ kiện thì học sinh vẫn gặp khó khăn khi giải.	
	Ngoài ra việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ:
Để giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn khi giải toán hình học, trước hết thầy cô phải có phương pháp hướng dẫn các em hiểu thấu đáo và biết cách phân tích một đề bài. Trên cơ sở đó giáo viên tìm cách giúp đỡ các em vận dụng được những kiến thức đã học để tìm ra lời giải và có cách trình bày bài toán của mình hoàn chỉnh và chặt chẽ. Thực tế cho thấy nhiều học sinh không giải được bài tập hình học không phải các em không thuộc phần lý thuyết mà do không biết vận dụng.Giáo viên h]ơngs dẫn học sinh có biện pháp khắc phục những khó khăn.Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn các em: Sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm hướng làm bài:
Trong các phương pháp đã thực hiện trong chương trình trung học cơ sở, giải bài tập hình học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất. Nếu giáo viên kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng học sinh tháo gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải các bài tập từ dễ đến khó thì tôi tin rằng sẽ làm cho các em hứng thú với môn hình và kết quả sẽ cao hơn.
Vậy thế nào là phương pháp phân tích đi lên? 
Có thể khái niệm rằng, đây là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho trong một bài toán. Cách lập luận đó không có gì xa lạ mà chính là các định nghĩa, định lý, các tính chất, các dấu hiệu nhận biết đã được dạy và học. Nói cách khác, đây là phương pháp dùng lập luận phân tích theo kiểu “thăng tiến”, biết cái này là do đã biết cái kia, biết vấn đề A từ cơ sở của vấn đề B Hiểu đơn giản hơn, trong quá trình thực hiện phương pháp này, học sinh phải trả lời cho được các câu hỏi theo dạng: “để chứng minh() ta cần chứng minh (cần có) gì? Như vậy, muốn chứng minh A không có nghĩa là ta đi chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc chứng minh B thì ta đã chứng minh được A một cách gián tiếp theo kiểu đi lên.
Thông thường, khi chứng minh một bài toán (A B) ta phải suy xuôi theo sơ đồ: A = A0 A1 A2 ... An = B.
Sơ đồ phân tích đi lên (để tìm hướng chứng minh) có thể được khái quát như sau: B = An An-1 ... A1 A0 = A.	 
Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, chúng tôi thấy phương pháp phân tích đi lên luôn có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của học sinh (bao gồm tư duy phân tích và tư duy tổng hợp). Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các kiến thức liên quan đã học trước đó. Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại những kiến thức mình đã học mà có khi không nhớ hết. Có thể nói trong khi giải bài tập bằng phương pháp phân tích đi lên thì việc lập được sơ đồ chứng minh là đã thành công được một nửa, phần việc còn lại là bằng phương pháp tổng hợp sắp xếp các bước theo một trình tự logic, trong đó mỗi bước lại có các căn cứ, luận chứng . 
Ví dụ 1: Bài 13( SGK Toán 9 tập I – Trang 106)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. chứng minh rằng:
 a, EH = EK b, EA = EC.
2.3.1.Giáo viên hướng dẫn từ ví dụ cụ thể
Để hướng dẫn học sinh giải bài toán này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh theo sơ đồ chứng minh như sau:
Giải:
 (O); A, B, C, D (O)
 GT AB = CD
 AB CD = 
 AH = HB; CK = KD
 KL a, EH = EK
 b, EA = EC
Lập sơ đồ chứng minh
a, Chứng minh: EH = EK
OEH = OEK
=900; OH=OK ; 
OE chung
AB = CD (gt)
Chứng minh:
a, Kẻ OH, OK
Ta có: AH = HB (gt);CK = KD (gt)
nên OHAB; OKCD
(Đ. lý 3 – quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
Vì AB = CD (gt) nên OH = OK
(Đ. lý liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Xét OEK và OEK có:
=900 ( c/m trên)
OH = OK ( c/m trên)
OE cạnh chung
 OEH = OEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
 EH = EK ( 2 cạnh tương ứng) (đpcm)
b, Chứng minh: EA = EC
AH + EH = CK + EK
AH=CK và EH = EK(c/m ở phần a)
AB=CD(gt)	 , AH=1/2AB(gt) CK=1/2CD(gt)
b,Vì AB = CD (gt)
Mà AH = HB (gt) AH = 
 CK = KD (gt) CK = 
 AH=CK (1)
Mặt khác: EH = EK(c/m ở a) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2)
 AH + EH = CK + EK
 EA = EC (đpcm)
Ví dụ 2: Bài 30 (SGK Toán 9 tập I – Trang 116) 
	Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a, 
b, CD = AC + BD
c, Tích AC. BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Giải:
 (O; AB/2); AxAB = 
 ByAB = ; 
 M (O;AB/2)
 GT OMCD = ; 
 CD Ax = 
	CD By = 
 KL a, 
 b, CD = AC + BD
 c,AC.BD = k/đ khi M di
 chuyển trên nửa đường tròn
Lập sơ đồ chứng minh
a, chứng minh: 
OC OD
 = 900
AC, DC là các tiếp tuyến
BD, DC là các tiếp tuyến.
Chứng minh
a, CD Ax = (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Tương tự: CD By = D