SKKN Hướng dẫn học sinh phương pháp thay đối tượng để có một bài toán mới – chương trình toán THPT

MỤC LỤC
MỤC
NỘI DUNG
TRANG
1
MỞ ĐẦU
1
1.1
Lý do chọn đề tài
1
1.2
Mục đích nghiên cứu
1
1.3
Đối tượng nghiên cứu
2
1.4
Phương pháp nghiên cứu
2
2
NỘI DUNG
2
2.1
Cơ sở lí luận
2
2.2
Thực trạng vấn đề
3
2.3
Giải pháp thực hiện
4
2.3.1
Xây dựng hệ thống bài toán Hình học thông thường theo hướng “thay đối tượng cơ bản” giải quyết các yêu cầu trên bằng định tính
4
2.3.2
Hướng dẫn học sinh phương pháp “thay đối tượng để có hệ thống bài tập mới” ở một lớp bài tập tiêu biểu.
7
2.3.3
Mở rộng đối tượng mới thông qua một số mối quan hệ khách quan. 
12
2.4
 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với công tác giảng dạy ôn tập cho học sinh.
14
3
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
16
3.1
Kết luận:
16
3.2
Kiến nghị
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
20
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 	- Mở rộng bài toán theo hướng “thay đối tượng” là một phương pháp mà người làm toán thường sử dụng để xây dựng và hoàn thiện hệ thống bài tập, củng cố lí thuyết, làm sáng mối liên hệ giữa các phần, các nội dung kiến thức khác nhau trong chương trình toán THPT. Với học sinh để thực hiện được điều này các em cần có lượng kiến thức đủ rộng, có trải nghiệm nhiều qua các dạng bài tập khác nhau và dưới sự hướng dẫn của thầy cô giáo thì việc vận dụng phương pháp mới có kết quả. Tuy nhiên nếu trong quá trình dạy học, hướng dẫn học sinh, Giáo viên quan tâm và giúp các em cách thức tiếp cận vấn đề thường xuyên và có hệ thống thì sẽ không là vấn đề khó và xa lạ đối với các em. 
- Trong dạy học chúng ta đang hướng tới việc “dạy học tích hợp” , tích hợp các phần nội dung khác nhau trong môn học đặt ra yêu cầu trong dạy học, Giáo viên phải luôn chú ý đến mối liên hệ qua lại giữa các đối tượng, mối liên hệ qua lại giữa các nội dung kiến thức trong chương trình ở cả lí thuyết và bài tập. Giúp học sinh thấy được mối liên hệ, biết liên hệ từ đơn giản đến phức tạp, từ cái nhìn thấy đến những điều tất yếu khách quan là một yêu cầu của việc dạy toán.
- Phổ biến khi giúp học sinh tìm hiểu mở rộng, đào sâu các bài toán từ cơ bản đến phức tạp, từ dễ đến khó, từ nội dung này chuyển sang nội dung khác. Xin được giới thiệu việc sử dụng phương pháp thay đối tượng ở một lớp bài toán có tính đặc trưng trên trong bài viết: “Hướng dẫn học sinh phương pháp thay đối tượng để có một bài toán mới – chương trình toán THPT”
1.2. Mục đích nghiên cứu
	- Giúp học sinh nắm vững hệ thống nội dung kiến thức, biết vận dụng và liên hệ các nội dung lại với nhau. Giải quyết các yêu cầu của một bài toán và đặt ra được các yêu cầu tương tự với một số lớp bài toán có liên quan. Phương pháp thay đối tượng, thay thế các yếu tố mới để có được cái nhìn bao quát hơn khi làm toán.
	- Với các em học sinh lớp 12 trong giai đoạn ôn tập tổng hợp, chuẩn bị cho kì thi THPTQG rất cần có cái nhìn bao quát vấn đề và xử lí các vấn đề trong một loạt các bài toán như vậy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	- Học sinh lớp 12 trong quá trình ôn tập kiến thức tổng hợp chuẩn bị cho thi hết kì và thi THPT QG.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	- Kết hợp giữa kinh nghiệm và yêu cầu thực tế trong việc dạy học ôn tập tổng hợp cho học sinh lớp 12.
	- Phối hợp các phương pháp dạy học tích cực trong qúa trình thực nghiệm trong các nhóm học tập và trên lớp.
2. Nội dung
2.1 Cơ sở lí luận:
	- Toán học mang trong mình tính logic biện chứng rõ nét. Các đối tượng trong bộ môn có quan hệ chặt chẽ với nhau. Việc chuyển đổi, liên hệ qua nhau là điều hết sức khách quan [1].
	- Trong các bài toán về hình học. Việc thay thế đối tượng từ điểm sang đường, điểm sang mặt và đường sang mặt... để có một bài toán mở rộng mới là phương pháp thường được sử dụng khi xây dựng, mở rộng và nới sâu mức độ phong phú của từng dạng bài.
	- Các đối tượng, các quan hệ trong hình học được nghiên cứu ở dạng hình giải tích có nhiều mối liên hệ với các vấn đề trong đại số, giải tích. Trên cơ sở đó các quan hệ đại số cũng thông qua đó, dựa vào đó vận dụng các quan hệ hình học để giải quyết được một số lớn các vấn đề khó.
	- Các bài toán tìm các điểm để có khoảng cách lớn nhất, bé nhất từ hình học thông thường đến hình giải tích trong mặt phẳng và hình giải tích trong không gian. 
- Phương trình đường (đường thẳng, đường tròn, đường cong), mặt (mặt phẳng, mặt cầu) thể hiện các tập hợp điểm. Các điểm biểu diễn các đường, điểm biểu diễn các số trên hệ tọa độ. Các phương trình đường, mặt là các phương trình đại số thuần túy thường gặp.
2.2. Thực trạng của vấn đề:
	- Khi dạy lớp bài toán tìm các điểm thỏa mãn khoảng cách lớn nhất(hoặc nhỏ nhất) có rất nhiều dạng bài và câu hỏi khác nhau như:
A
H
+ Cho đường thẳng d và điểm A (A d). Tìm điểm H trên d sao cho khoảng cách AH ngắn nhất
+ Cho đường tròn (C) điểm A (A (C)). 
Tìm điểm H trên (C) sao cho khoảng cách AH ngắn nhất (hoặc dài nhất)
+ Cho hai đường tròn (C) và (S) rời nhau. Tìm trên mỗi đường tròn một điểm để khoảng cách giữa chúng là lớn nhất(hoặc bé nhất)
- Hay những câu hỏi, những bài toán tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của các hàm 2 biến hoặc ba biến (phụ thuộc)
- Các bài toán về tổng khoảng cách lớn nhất, bé nhất trong phẳng cũng như trong không gian
.
	- Xét ở góc độ độc lập, đây đều là các bài khó với phần đông học sinh. Các em loay hoay với việc tìm GTLN-GTNN với các biểu thức đại số phức tạp, lúng túng với mớ hỗn độn những yêu cầu cụ thể trong từng bài toán. Khó khăn khi liên hệ nhìn ra các quan hệ đặc thù, quan hệ giữa các đối tượng khác nhau trong một chỉnh thể. Gặp mỗi dạng bài đều là mới và lạ, ít khi vận dụng khai thác hết được những tri thức đã được trang bị từ trước. Thường các em bỏ qua lịch sử phát triển của bài toán, giải quyết định lượng mà thiếu đi cách nhìn đinh tính.
	- Với các bài toán trắc nghiệm(thi theo hình thức mới). Việc tìm ra những lời giải nhanh là hết sức khó nếu như chỉ thuần túy làm việc trên đối tượng ban đầu. Học sinh thiếu khả năng liên hệ từ đối tượng này qua đối tượng khác. Đặc biệt từ hình học phẳng sang không gian, từ hình học sang đại số, từ định lượng về định tính và ngược lại thì càng ít. 
	- Nguyên nhân chủ yếu ở đây là việc các nội dung trong chương trình thường thiết kế độc lập. Tuy có kế thừa nhưng lại không liên tục. Vì vậy việc hướng dẫn cho học sinh có được cái nhìn tổng thể, khả năng liên hệ móc ngoặc các quan hệ, đối tượng trong nội hàm bộ môn giúp các em giải toán phụ thuộc vào các thầy cô giáo là chủ yếu. 
	- Bằng cách thông qua một số bài tập cơ bản, khá điển hình. Sau đây tôi xin đưa ra một số giải pháp thực hiện để thay đổi một phần điểm hạn chế trên.
2.3. Giải pháp thực hiện
2.3.1. Xây dựng hệ thống bài toán hình học thông thường theo hướng “thay đối tượng cơ bản” giải quyết các yêu cầu trên bằng định tính.
* Bài toán xuất phát trong mặt phẳng:
A
H
d
1. Cho đường thẳng d và điểm A (A d). Tìm điểm H trên d sao cho khoảng cách AH ngắn nhất
	Phương pháp giải:
	- AH ngắn nhất khi và chỉ khi H là hình chiếu của A lên d. Việc tìm H có hai cách phổ biến sau:
Cách 1: Gọi tọa độ H theo d dưới dạng tham số. Khi đó giải phương trình tìm được tọa độ H 
Cách 2: Viết phương trình đường thẳng (l) đi qua A và vuông góc với d. Khi đó H là giao điểm của (l) và (d)
I
M
A 
N
	2. Thay đường thẳng (d) bởi đường tròn (C). Tìm M trên (C) để AM có độ dài lớn nhất (hoặc bé nhất)
	Phương pháp giải:
	- AM có độ dài lớn nhất (hoặc bé nhất) khi M là giao điểm của đường thẳng 
(d) qua tâm đường tròn I và điểm A(trường hợp A trùng I thì khoảng cách từ A đến mọi điểm không đổi). Do đó cách tìm điểm M là viết phương trình đường thẳng AI. Tìm tọa độ giao điêm của đường thẳng qua AI với đường tròn. Ta sẽ tìm được hai điểm, trong đó một điểm có khoảng cách tới A là lớn nhất, còn một điểm có khoảng cách tới A là bé nhất(so sánh kết quả để tìm ra).
I
N
	3. Thay điểm A bởi đường thẳng (l), (l) và (C) không cắt nhau. Tìm M trên (C) và N trên (l) để MN có độ dài lớn nhất (hoặc bé nhất)
	Phương pháp giải:
	- MN có độ dài lớn nhất(hoặc bé nhất) khi M, N là giao đểm của đường thẳng đi tâm đường tròn và vuông góc với đường thẳng. 
I
M
J 
N
	4. Thay điểm A và đường thẳng d bằng hai đường tròn rời nhau. Tìm trên mỗi đường điểm M và N sao cho khoảng cách giữa hai điểm là lớn nhất(hoặc bé nhất)
	Phương pháp giải:
	- Nhận thấy MN có độ dài lớn nhất(hoặc bé nhất) khi M, N là giao đểm của đường thẳng đi qua 2 tâm với các đường tròn trên. 
M
N
(l)
O
	5. Thêm giàng buộc mới cho hai điểm M, N. Tìm trên đường tròn (C ) điểm M và đường thẳng (l) điểm N, cùng phương với sao cho khoảng cách giữa hai điểm là lớn nhất(hoặc bé nhất)
- Nhận xét: Đây rõ ràng là một bài toán khó. Đối tượng đã bị thay từ cách nhìn trực quan khoảng cách ngắn nhất là liên quan đến hình chiếu vuông góc, đến đường đi qua tâm. Thay bằng giàng buộc cùng phương với một vectơ nào đó.
- Phương pháp giải: Dựng được 2 tiếp tuyến với đường tròn, sao cho các tiếp tuyến này song song với đường thẳng (l). Khi đó điểm tiếp xúc giữa tiếp tuyến với đường tròn là M. Ta tìm điểm N trên (l) sao cho cùng phương với . Khi đó MN có giá trị lớn nhất(hoặc bé nhất) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* Bài toán trong không gian:
A
H
d
6. Cho đường thẳng d và điểm A (A d). Tìm điểm H trên d sao cho khoảng cách AH ngắn nhất
	Phương pháp giải:
	- AH ngắn nhất khi và chỉ khi H là hình chiếu của A lên d. Việc tìm H có hai cách phổ biến sau:
Cách 1: Gọi tọa độ H theo d dưới dạng tham số. Khi đó giải phương trình tìm được tọa độ H 
I
M
A 
N
Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. Khi đó H là giao điểm của (P) và (d)
	7. Thay đường thẳng (d) bởi mặt cầu (S). Tìm M trên (S) để AM có độ dài lớn nhất (hoặc bé nhất)
	Phương pháp giải:
	- AM có độ dài lớn nhất (hoặc bé nhất) khi M là giao điểm của đường thẳng (d) qua tâm mặt cầu I và điểm A(trường hợp A trùng I thì khoảng cách từ A đến mọi điểm không đổi). Do đó cách tìm điểm M là viết phương trình đường thẳng AI. Tìm tọa độ giao điêm của đường thẳng qua AI với mặt cầu. Ta sẽ tìm được hai điểm, trong đó một điểm có khoảng cách tới A là lớn nhất, còn một điểm có khoảng cách tới A là bé nhất(so sánh kết quả để tìm ra).
H
d
O
M
	8. Thay điểm A bởi một đường thẳng (d) không cắt mặt cầu (S). Tìm M trên (S), H trên (d) để MH có độ dài bé nhất.
	Phương pháp giải:
	- HM có độ dài bé nhất khi M một trong hai giao điểm của đường thẳng (d) qua tâm mặt cầu I và điểm H( H là hình chiếu của tâm mặt cầu lên đường thẳng (d)). 
	9. Thay điểm A và mặt cầu (S) bằng hai mặt cầu rời nhau. Tìm trên mỗi mặt điểm M và N sao cho khoảng cách giữa hai điểm là lớn nhất(hoặc bé nhất)
I
M
J 
N
	Phương pháp giải:
	- MN có độ dài lớn nhất(hoặc bé nhất) khi M, N là giao đểm của đường thẳng đi qua 2 tâm với các mặt cầu trên. 
	10. Một số hướng phát triển khác:
	- Một trong hướng mở đơn giản nhất là trong các bài toán trên các em chỉ cần đổi đối tượng ban đầu bằng các đối tượng khác sẽ có được một bài toán với các thông số hoàn toàn mới(giữ nguyên các yêu cầu ban đầu)
	- Phát triển để có những yêu cầu mới hay khác như: Thay vì tìm điểm để có khoảng cách lớn nhất(bé nhất). Đặt ra yêu cầu tìm điểm để có tổng khoảng cách lớn nhất(bé nhất):
B
d
A
M
	Ví dụ: 1. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B (A, B d), cùng phía với (d). Tìm điểm M trên d sao cho khoảng cách AM+MB ngắn nhất [2]
- Cũng từ đó nảy sinh nhiều ý tưởng thay thế khác, dẫn đến một loạt bài toán tìm điểm để có tổng khoảng cách lớn nhất(bé nhất) bằng việc thay đổi đối tượng từ các bài toán xuất phát như ở Ví dụ 1. 
2.3.2. Hướng dẫn học sinh phương pháp “thay đối tượng để có hệ thống bài tập mới” ở một lớp bài tập tiêu biểu.
* Bài toán xuất phát:
	Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x+ y -2 =0 và điểm A(3;2). Tìm trên (d) điểm H để MH ngắn nhất.
	Phương pháp giải:
	- Theo hướng dẫn bài 1 mục 2.3.1. Thực hiện giải bài toán theo cách 2
+ Phương trình đường thẳng qua A vuông góc (d) là (l): 
+ Giao điểm của (d) và (l) là cần tìm.
- Thực hiện việc thay đối tượng như sau: Thay đường thẳng (d) bởi đường tròn ta có bài toán sau:
	Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): và điểm A(3;2). Tìm trên (C) điểm H để MH ngắn nhất.
	- Theo hướng dẫn bài 2 mục 2.3.1.
+ Phương trình đường thẳng qua A và O (tâm đường tròn) là (l): 
+ Giao điểm của (C) và (l) là .
+ Ta có 
 có giá trị nhỏ nhất. 
Vậy điểm cần tìm là 
Ngoài ra AH lớn nhất thì điểm cần tìm là 
- Thực hiện việc thay đối tượng: Thay điểm A bởi đường thẳng (d) trong Bài 2 ta có bài toán sau:
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): và đường thẳng (l): x+ y -2 = 0. Tìm trên (C) điểm M và trên (l) điểm N sao cho MN ngắn nhất.
	- Theo hướng dẫn bài 3 mục 2.3.1.
+ Phương trình đường thẳng qua O (tâm đường tròn) và vuông góc với (l) là: (a): 
+ Giao điểm của (C) và (a) là .
+ Giao điểm của (a) và (l) là: N(1;1)
+ Ta có 
 có giá trị nhỏ nhất. 
Vậy điểm cần tìm là 
Ngoài ra AH lớn nhất thì điểm cần tìm là 
- Thực hiện việc thay đối tượng: Thay đường thẳng (d) trong Bài 3 bởi đường tròn ta có bài toán sau:
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C): và (S): . Tìm trên (C) điểm M và trên (S) điểm N sao cho MN ngắn nhất.
	- Theo hướng dẫn bài 4 mục 2.3.1.
+ Phương trình đường thẳng qua hai tâm là: (a): 
+ Giao điểm của (C) và (a) là .
+ Giao điểm của (S) và (a) là: 
- min; - max 
Vậy điểm cần tìm là thì - min; 
Ngoài ra MN lớn nhất thì điểm cần tìm là .
- Từ Bài 3 có thể được đẩy theo một cách thay mới, thêm các giàng buộc cho các diểm M. N như sau:
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): và đường thẳng (l): x+ y -2 = 0 và vectơ . Trên (C) lấy điểm M và trên (l) lấy điểm N sao cho cùng phương với . Tìm hai điểm M, N để MN có độ dài ngắn nhất.
M
N
(l)
O
- Theo hướng dẫn bài 5 mục 2.3.1.
+ Hai phương trình tiếp tuyến với đường tròn và song song với đường thẳng (l) là:
+ Giao điểm của (C) và (a1) là .
Điểm N trên (l) và =k là: . Khi đó độ dài MN ngắn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Thực hiện việc thay đối tượng mở rộng và không gian Oxyz
	Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d): và điểm A(1;2;3). Tìm trên (d) điểm H để AH ngắn nhất.
	- Theo hướng dẫn bài 6 mục 2.3.1.
+ Phương trình đường thẳng qua A và O (tâm mặt cầu) là (l): 
	Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): và điểm A(1;2;3). Tìm trên (S) điểm H để MH ngắn nhất.
	- Theo hướng dẫn Bài 7 mục 2.3.1.
+ Phương trình đường thẳng qua A và O (tâm mặt cầu) là (l): 
+ Giao điểm của (S) và (l) là .
+ Ta có 
 có giá trị nhỏ nhất. 
Vậy điểm cần tìm là 
Ngoài ra AH lớn nhất thì điểm cần tìm là 
- Thực hiện việc thay đối tượng: Thay điểm A bởi đường thẳng (d) trong Bài 5 ta có bài toán
	Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): và đường thẳng d: . Tìm trên (S) điểm M, trên (d) điểm H để MH ngắn nhất.
	- Theo hướng dẫn bài 7 mục 2.3.1.
+ Gọi H(1+t,1+2t,t) là hình chiếu của O(tâm mặt cầu) lên d. Khi đó và 
+ Phương trình đường thẳng OH là: 
+ Giao điểm của (S) và OH là: .
+ Ta có ; 
 có giá trị nhỏ nhất. 
Vậy điểm cần tìm là và 
- Thực hiện việc thay đối tượng: Thay điểm đường thẳng (d) trong Bài 6 bởi mặt phẳng (P) ta có bài toán
	Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x + y + z +3 = 0. Tìm trên (S) điểm M, trên (P) điểm H để MH ngắn nhất.
	- Theo hướng dẫn bài 8 mục 2.3.1. ta có kết quả cần tìm H(-1;-1;-1) và thì HM ngắn nhất.
- Thực hiện việc thay đối tượng: Thay đường thẳng (d) trong Bài 7 bởi mặt cầu (Q) ta có bài toán
	Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu lần lượt có phương trình (S): và (Q): . Tìm trên (S) điểm M, trên (Q) điểm N để MN ngắn nhất.
	- Theo hướng dẫn Bài 9 mục 2.3.1. 
+ Nhận thấy hai đường tròn rời nhau.
 Phương trình đường thẳng qua 2 tâm là: (d): 
+ Giao của (d) và (S) là: 
 Giao của (d) với (Q) là: 
+ Tính độ dài các đoạn so sánh ta được có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn nhất.
Vậy điểm cần tìm là trên (S) và trên (Q)
- Mở rộng theo một hướng khác để phát triển bài toán từ Bài 3. Thay mối quan hệ đơn thuần từ vuông góc sang quan hệ song song ta có bài toán: 
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): và đường thẳng (l): x+ y -2 = 0. Tìm trên (C) điểm M và trên (l) điểm N sao cho MN song song với giá và MN có độ dài lớn nhất. 
- Vấn đề ở đây là trong Bài 3 vectơ mà không nhắc đến trong đề bài chính là VTPT của đường thẳng (d). Còn ở Bài 9 ta thay VTPT bằng một vectơ có phương không vuông góc với (d) ta được một bài toán mới- thông qua thay bằng đối tượng khác.
- Ta có lời giải như sau:
 O
N 
 a
d 
	+ Phương trình đường thẳng qua tâm O và nhận làm VTCP là: (a): 
+ Giao điểm của (C) và (a) là .
+ Giao điểm của (a) và (l) là: 
+ Ta có 
 có giá trị lớn nhất. 
Vậy điểm cần tìm là . 
Ngoài ra AN nhỏ nhất thì điểm cần tìm là 
- Thực hiện việc thay đối tượng và mở rộng trong không gian ta có bài toán sau:
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình: và mặt phẳng (P): x + y +z +3 =0. Tìm trên (S) điểm M và trên (P) điểm N sao cho MN song song với giá và MN có độ dài lớn nhất.
- Tương tự với cách lập luận như bài toán 9 ta có kết quả: 
+ Điểm trên (P)
 Điểm . Khi đó có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất thỏa mãn các yêu cầu bài toán.
Bài tập tương tự: 
Bài 10.1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình: và mặt phẳng (P): x -2y +2z -3 =0. Giả sử M (S) và N (P) sao cho cùng phương với và khoảng cách giữa M, N lớn nhất. tính MN [3].
2.3.3. Mở rộng đối tượng mới thông qua một số mối quan hệ khách quan. 
- Như đã biết số phức z = x + yi được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Những số phức thoả mãn một hay nhiều yêu cầu ràng buộc nào đó thì điểm biểu diễn cũng thay đổi theo yêu cầu của bài toán. Có thể quĩ tích điểm biểu diễn là một đường thẳng, một đường tròn, một elip...Vì thế việc thay thế các đối tượng là hình học bằng số phức, các phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức về số phức là hoàn toàn khách quan.
- Xét các ví dụ sau: 
Bài 11: Từ Bài 2(Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): và điểm A(3;2). Tìm trên (C) điểm H để MH ngắn nhất) Ta thực hiện việc thay đường tròn (C) bởi số phức Z thỏa mãn . Trong các số phức trên. Tìm số phức thỏa mãn có giá trị lớn nhất.
O
M
y
x
A
- Hướng dẫn:	
+ Số phức z = x + yi thỏa mãn . Các điểm biểu diễn của Z nằm trên đường tròn (C) có tâm O(0;0) và bán kính R = 1
+ Mặt khác mà với M(x; y) và A(2;0). Do đó để MA lớn nhất thì M là giao điểm của đường thẳng AO (qua A và tâm O) với đường tròn (C).
+ Tìm được điểm M(-1;0) để AM có giá trị lớn nhất. Do đó số phức cần tìm là z = -1 +0.i
- Thay điểm A bằng một điểm bất kì khác. Ta có bài toán khó hơn như sau:
Bài 12: Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức thỏa mãn có giá trị lớn nhất(hoặc nhỏ nhất).
O
x
A
M
y
- Hướng dẫn:
+ Số phức z = x + yi thỏa mãn . Các điểm biểu diễn của z nằm trên đường tròn (C) có tâm O(0;0) và bán kính R = 1.
+ Mặt khác mà với M(x; y) và A(2;-1). Do đó để MA lớn nhất thì M là giao điểm của đường thẳng AO (qua A và tâm O) với đường tròn (C).
+ Tìm được điểm để AM1 có giá trị nhỏ nhất. Do đó số phức cần tìm là . Điểm để AM2 có giá trị lớn 
nhất. Do đó số phức cần tìm là .
- Cũng từ bài toán 3 chúng ta có thể thay đồng thời hai đối tượng là đường thẳng và đường tròn bằng các đẳng thức về số phức ta có bài toán sau:
Bài 13: Trong các số phức z và w thỏa mãn . Tìm hai số phức thỏa mãn có giá trị nhỏ nhất. 
x
O
A
M
y
N
- Rõ ràng là mức độ yêu cầu của bài toán được đẩy xa và khó hơn rất nhiều. Tuy nhiên dưới góc độ phát triển từ các bài toán hình học và giải quyết theo góc độ các hướng dẫn ta có lời giải sau
- Hướng dẫn:
+ Số phức z = x + yi thỏa mãn . Các điểm biểu diễn của Z nằm trên đường tròn (C) có tâm O(0;0) và bán kính R = 1
+ Số phức w = a + bi thỏa mãn . Các điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 
+ Với số phức . Do đó bài toán đưa về tìm điểm N trên đường tròn (C ) và A trên đường thẳng (d) sao cho AN ngắn nhất.
+ Tìm được điểm và N(1;0) để AN có giá trị nhỏ nhất. Do đó số phức cần tìm là và w = .
	- Có rất nhiều hướng phát triển bài toán để có một bài