SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 7 tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU 
2
1.1. Lí do chọn đề tài
2
1.2. Mục đích nghiên cứu 
3
1.3. Đối tượng nghiên cứu
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
5
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
6
2.3.1. Tìm hiểu nội dung kiến thức liên quan
6
2.3.2. Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải khi sử dụng kiến thức đã học.
6
2.3.2.1. Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức là đa thức.
7
2.3.2.2. Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng phân số
10
2.3.2.3. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
12
2.3.2.4. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai.
15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
17
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
17
3.1. Kết luận
17
3.2. Kiến nghị
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
19
1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành trung ương Đảng khóa XI đã ban hành Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 về "đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế". Mục tiêu cơ bản của giáo dục nói chung, của nhà trường nói riêng là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ đáp ứng yêu cầu thực tế hiện nay. Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện đại kết hợp với những phương pháp dạy học truyền thống để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, tăng cường và dành thời gian tự học và tự nghiên cứu cho học sinh. Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tìm ra phương pháp mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của mỗi học sinh trong các môn học. Thông qua các môn học, học sinh được phát triển toàn diện về năng lực trí tuệ, tư duy lôgic, phẩm chất đạo đức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, có óc phán đoán, phân tích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hình thành nhân cách. Một trong những môn học mang lại hiệu quả dạy học cao đó là toán học.
Quá trình dạy học ở trường THCS , việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư duy cho học sinh là những nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên. Vì lí do thời lượng chương trình và phải đáp ứng một cách đại trà về kiến thức cho học sinh nên chương trình sách giáo khoa mới chỉ đáp ứng một phần kiến thức. Chính điều này đã hạn chế sự phát triển tư duy của những em học sinh khá giỏi.Vì vậy, trong quá trình dạy học, người giáo viên phải quan tâm đến hai vấn đề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi. Thông thường, các em học sinh chỉ mới có khả năng giải quyết trực tiếp bài toán mà chưa có khả năng nhìn nhận bài toán đó từ những góc độ khác nhau, mới giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà chưa có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một mảng kiến thức lớn. Chính vì thế, việc rèn luyện và phát triển tư duy khái quát hóa, tương tự hóa là hết sức cần thiết đối với học sinh.Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận và phát hiện vấn đề nhanh, giải quyết vấn đề có tính logic và hệ thống cao.
Trong chương trinh toán lớp 7, dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập. Dạng toán này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập, hình thành các kĩ năng, kĩ xảo về sau này ở các lớp học cao hơn như: Chứng minh các biểu thức luôn âm, luôn dương, chứng minh phương trình vô nghiệm, ...
Bản thân tôi là giáo viên dạy môn toán, qua nhiều năm dạy tôi thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, nhất là với đối tượng học sinh lớp 7, khi mà các em mới làm quen với biểu thức đại số cũng như những công cụ về kiến thức giúp các em xử lí loại toán này còn hạn chế.
Để giúp học sinh tự học, tự định hướng được một số cách giải khi gặp các bài toán phải dùng đến tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cua biểu thức, tôi đã chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 7 tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Bản thân tôi luôn cố gắng đúc rút, xâu chuỗi các kiến thức thu nhận được thành một chủ đề với mong muốn có thể giải quyết được một lớp các bài toán điển hình về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu thức trong khuôn khổ kiến thức lớp 7. Cụ thể là nhằm mục đích nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học phần kiến thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức, trao đổi với giáo viên cùng bộ môn về phương pháp giải và những ứng dụng của định lí, giúp học sinh có thể lĩnh hội một cách sâu sắc, triệt để nhất, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư duy cho học sinh và giúp các em có thêm kiến thức trang bị cho những lớp học cao hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Trong đề tài này, tôi đưa ra một số nội dung kiến thức toán học mà học sinh lớp 7 có thể vận dụng vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Bên cạnh đó hệ thống lại các dạng bài tập có liên quan, gồm:
- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng đa thức.
- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng phân số.
- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn bậc hai.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếp xúc, trao đổi với nhiều học sinh, từ đó tôi đưa ra được lượng kiến thức để học sinh dễ tiếp cận nhất.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước khi đi vào cách giải cụ thể, tôi thường đưa ra những phân tích về loại bài tập đó. Từ đó có thể khái quát hay tổng hợp lại phương pháp giải.
	- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi sử dụng nhiều nguồn tài liệu của các tác giả có uy tín cũng như sử dụng đề thi vào trung học phổ thông ở những năm học trước.
	- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tôi thường xuyên khảo sát mức độ tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các bài tập nhanh. Kết quả thu nhận được giúp tôi điều chỉnh lượng kiến thức cũng như phương pháp truyền đạt tới các em sao cho hiệu quả cao nhất.
	2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng.Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không, có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo của chủ thể. 
Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm người lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức.Ở lứa tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau .Tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình, chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới.Vì vậy cần có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô.
Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy: Trong môn toán sự thống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy học toán trong hoạt động và bằng hoạt động. Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học.
Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy. Quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy bộ óc của học sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá ...Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm. Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán đượccác kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán,hướng chứng minh một định lý
Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông qua nhiều năm học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như ngoại khoá.
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logic đồng thời môn toán còn là bộ môn công cụ hỗ trợ cho các môn học khác. Với phân môn đại số là bộ môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logic, phát triển tư duy sáng tạo. Nâng cao được năng lực tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo, linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập càng có ý nghĩa quan trọng. Việc bồi dưỡng học sinh không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo. Đối với phân môn đại số càng phải biết rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng và phán đoán logic.
Trong thực tiễn dạy học, các bài tập tính toán, suy diễn, chứng minh thường chiếm số lượng rất lớn.Hơn nữa, do đặc thù bộ môn, những bài tập dạng này lại tập trung nhiều trong phân môn đại số.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số luôn có một vị trí xứng đáng trong chương trình dạy và học toán ở trường trung học cơ sở.Các bài toán này rất phong phú đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng một cách hợp lí, nhiều khi khá độc đáo.Vì vậy, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số thường xuyên xuất hiện trong sách giáo khoa, sách nâng cao của các khối lớp.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Bản thân sau nhiều năm giảng dạy môn toán có rút ra nhận xét là khi gặp các vấn đề toán có cùng bản chất nhưng phát biểu ở dạng khác thì học sinh thường tỏ ra lúng túng và bếtắc. 
Chủ đề tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số, tôi thấy đã có nhiều tác giả đề cập, nhưng đa phần là nêu ra cả một hệ thống kiến thức của chương trình toán trung học cơ sở.Có không nhiều tài liệu chỉ đi sâu vào một khối lớp, nhất là khối lớp dưới như lớp 7.
Làm thế nào để học sinh hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế nào? Giải quyết vấn đề này không phải dễ dàng.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức là phần kiến thức tương đối khó và rộng đối với các em, đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập ở mức độ tư duy cao hơn.Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập đôi khi còn khó khăn nên sự sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng, nâng cao nằm ngoài khả năng của học sinh là điều không tránh khỏi. Tôi đơn cử ví dụ:
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=
Khi chưa thực hiện chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau: Lúc đầu khoảng 50% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức gì để giải, khoảng 45% số học sinh sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối của một số và giải như sau: 
Vì 
Nên A. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 0.
Rõ ràng đây là một lời giải hoàn toàn sai, sai cả về kết quả của bài toán, cả về việc các em chưa biết chỉ ra khi nào giá trị biểu thức đạt được dấu "=".
Sau đó tôi nghiên cứu hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì khoảng 85% số học sinh trong lớp đã xác định được hướng giải quyết bài toán và có khoảng 65% các em làm được. Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng vào giải một số bài tập yêu cầu cao hơn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Tìm hiểu nội dung kiến thức liên quan:
- Một biểu thức có thể đạt giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min), hoặc đạt cả giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, hoặc không có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Chẳng hạn, xét biểu thức B=2x2. Biểu thức này có giá trị bằng 0 khi x=0, có giá trị dương khi x0. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất.
Thật vậy, giả sử B có giá trị lớn nhất là k tại giá trị x1.Suy ra B cũng bằng k tại giá trị x2 là số đối của x1.Giả sử x1>0, ta chọn giá trị x3>x1>0. Khi đó 2x32>2x12 mà 2x12=k nên 2x32>k, trái với giả sử k là giá trị lớn nhất.
*) Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức A, ta làm như sau:
+) Chứng tỏ rằng Ak (với k là hằng số)
+) Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu "="
+) Kết luận giá trị nhỏ nhất (thường viết Min A) với dấu "=" xảy ra.
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức A, ta làm như sau:
+) Chứng tỏ rằng Ak (với k là hằng số)
+) Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu "="
+) Kết luận giá trị lớn nhất (thường viết Max A) với dấu "=" xảy ra.	
Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ để kết luận về GTLN, GTNN của biểu thức đó.
2.3.2. Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải khi sử dụng kiến thức đã học.
Để hình thành kĩ năng tìm GTLN, GTNN của biểu thức, trước hết ta cần củng cố và bổ sung kiến thức cho học sinh, như:
+ Giá trị tuyệt đối của một số, gồm:
, dấu bằng khi A=0; 
với mọi A
A, dấu "=" khi A0
, dấu bằng khi AB0.
, dấu "=" khi A=0.
+ Lũy thừa bậc chẵn của một biểu thức: 
A2n0, với mọi A và nN.Dấu "=" khi A=0
-A2n0, với mọi A và nN. Dấu "=" khi A=0
+ Căn bậc hai của một số không âm: (A0)
+ Phân số: Nếu AB>0 (hoặc 0<AB) thì (hoặc )
2.3.2.1. Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức là đa thức.
Phân tích: Ở dạng toán này, thường thì ta làm xuất hiện lũy thừa bậc chẵn của biểu thức và đánh giá. Sau đây là một số dạng bài tập điển hình:
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	A=2(x-1)2-1
Giải: Ta có: (x-1)2 với mọi x 2(x-1)20 A=2(x-1)2-1-1
Dấu "=" xảy ra khi x-1=0x=1
Vậy Min A=-1 khi x=1.
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	B=2019-(3-2y)4
Giải: Ta có: (3-2y)40, với mọi y-(3-2y)40 	
B=2019-(3-2y)42019
Dấu "=" xảy ra khi 3-2y=0 
	Vậy Max A=2019 khi .
Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	C=2-(2-x)2-5(4y+3)2
Giải: Ta có: -(2-x)2-5(4y+3)2 0, với mọi x,y
	C=2-(2-x)2-5(4y+3)22
Dấu "=" khi 	
	Vậy Min C=2 khi x=2, y=
Bài tập 4:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	D=(x2+3)4
Nhận xét: Ở dạng bài tập này, học sinh thường mắc sai lầm là đánh giá 
(x2+3)4 0 và vội vàng kết luận giá trị nhỏ nhất là 0, hoặc là chỉ ra không xảy ra trường hợp dấu "=" (do x2+3=0 vô lí).
Giải: Ta có: x20, với mọi x x2+33 D=(x2+3)434=81
Dấu "=" khi x=0	
	Vậy Min D=81 khi x=0
Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	E=(2x-3y)2-(6y-4x)2-(y+1)4
Nhận xét: Khi gặp loại bài tập này, nhiều học sinh sẽ lúng túng vì việc đánh giá dẫn đến các biểu thức được đánh giá ngược chiều nhau, chẳng hạn như:
	(2x-3y)20
	-(6y-4x)20
	-(y+1)40
Với cách đánh giá này thì chưa thể kết luận được về giá trị lớn nhất của E.
Giải: Ta có: E=(2x-3y)2-[-2(2x-3y)]2-(y+1)4
 E=(2x-3y)2-4(2x-3y)2-(y+1)4
	 E=-3(2x-3y)2-(y+1)4
Vì -3(2x-3y)20, với mọi x, y
 -(y+1)20, với mọi y
nên 	 E=-3(2x-3y)2-(y+1)40
Dấu "=" khi 
	Vậy Max E=0 khi x=, y=-1
Bài tập 6:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	F=(x-2)2+x2	[1] 
Nhận xét: Rõ ràng nếu đánh giá (x-1)20, x20, với mọi x F0, nhưng dấu "=" không xảy ra (do , vô lí). Đây cũng là một cách làm sai.
Giải: Ta có: 
	F=(x-2)(x-2)+x2=x(x-2)-2(x-2)+x2=x2-2x-2x+4+x2
	=(2x2-2x)-(2x-2)+2=2x(x-1)-2(x-1)+2
	 =(x-1)(2x-2)+2=2(x-1)2+2
Vì 2(x-1)20, với mọi x nên F=2(x-1)2+22
Dấu "=" khi x-1=0 x=1
	Vậy Min F=2 khi x=1
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	G=x2+2x+2
Nhận xét: Trong bài tập này, nếu đánh giá hạng tử 2x0 khi x0, 2x0 khi
x0, còn x20 với mọi x. Do đó cũng chưa kết luận được về GTNN của G. Ta cần biến đổi tương tự bài tập 6.
Giải: Ta có:
	G=(x2+x)+(x+1)+1=x(x+1)+(x+1)+1
	 =(x+1)2+1
Vì (x+1)20, với mọi x nên G=(x+1)2+11
Dấu "=" khi x+1=0 x=-1
	Vậy Min G=1 khi x=-1.
Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	H=6x-25-3x2
Giải: Ta có:
	H=(-3x2+3x)+(3x-3)-22=-3x(x-1)+3(x-1)-22
	 =(x-1)(-3x+3)-22=-3(x-1)2-22
Vì -3(x-1)20, với mọi x nên H==-3(x-1)2-22-22
Dấu "=" khi x=1
	Vậy Min H=-22 khi x=1.
Bài tập tham khảo:
Bài tập 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a. I=9(2x+1)2-71
b. J=6(4x-5)2+(2-y)4+7(3-2z)2
c. K=(6x2+)2+2014
d. L=x4+3x2+2 	
e. M=12(x+3y)2-(3x+9y)2-3+(y+1)100
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a. N=15-(y-5)2
b. O=-2(4-2x)4-(5y-25)6+2019
c. P=-10-(x-5)2+(y+3)2-(3z+7)2-(12+4y)4
d. Q=20-5x2-15x
2.3.2.2. Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng phân số
Phân tích: Để làm được dạng toán này, cần nắm rõ cách tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng đa thức (đã trình bày ở mục 2.3.2.1). Ngoài ra còn có những dạng bài tập tìm GTLN, GTNN kèm theo điều kiện. Sau đây là một số dạng bài tập:
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	A=
Giải: Ta có: 3(2x-1)2+2 2 
Dấu "=" khi 2x-1=0 x=
	Vậy Max A=1 khi x=
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	B=
Giải: Ta có: -3-(y+2)2-3 
	B=
Dấu "=" khi y=-2
	Vậy Min B=-2019 khi y=-2.
Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
C=	[2]
Nhận xét: Trong bài tập này, ở cả tử số và mẫu số đều có chứa biến nên nếu đánh giá x2+88, x2+22 thì chưa thể có kết luận về giá trị lớn nhất của C.
Giải: Ta có:
	C=
Vì nên C=1+
	Vậy Max C=4 khi x=0.
Bài tập 4: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị lớn nhất:
	D=	[3] 
Nhận xét: Chiều của 7-x thay đổi khi cho x nhận các giá trị nguyên khác nhau nên ta làm như sau:
Giải: 
	- Xét x>7 thì 7-x<0D<0 (1)
	- Xét x0 D>0. Phân số D có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên D lớn nhất khi mẫu 7-x nhỏ nhất. Suy ra 7-x=1 x=6. Khi đó D=1 (2)
So sánh (1) và (2) ta thấy GTLN của D bằng 1 khi x=6
	Vậy Max D=1 khi x=6.
Bài tập 5: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất:
	E=
Giải: 
	- Xét x>4 thì x-4>0 E>0 (1)
	- Xét x<4 thì x-4<0 E<0. Vì E nhận giá trị âm nên E nhỏ nhất khi đối số của nó là lớn nhất.Phân số có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên lớn nhất khi mẫu 4-x nhỏ nhất. Suy ra 4-x=1 x=3. Khi đó =1
E=-1 (2)
So sánh (1) và (2) ta thấy GTNN của E bằng -1 khi x=3.
	Vậy Min E=-1 khi x=3.
E . Dấu "=" khi x-4=-1 x=3
	Vậy Min E=-1 khi x=3.
Bài tập 6:Tìm giá trị nguyên cua x để biểu thức sau có giá trị lớn nhất:
F=
Giải: Ta có:
	F=
F lớn nhất khi lớn nhất
	- Xét x>4 thì <0 (1)
	- Xét x0. Phân số có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên có giá trị khi mẫu nhỏ nhất 4-x là số nguyên dương nhỏ nhất
 4-x=1 x=3. Khi đó: =10 (2).
	So sánh (1) và (2) ta thấy lớn nhất bằng 10.
	Vậy Max F=11 khi x=3.
Bài tập tham khảo:
Bài tập 1: Tìm số nguyên x để:
a. Biểu thức G đạt giá trị lớn nhất, với G=
b. Biểu thức H đạt giá trị nhỏ nhất, với H=
c. Biểu thức I đạt giá trị lớn nhất, với I=
d. Biểu thức J đạt giá trị nhỏ nhất, với J=
	[4] 
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	K=
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	L=
2.3.2.3. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	A=+2019
Giải: Ta có: 0, với mọi x A=+20192019
Dấu "=" khi 4x-8=0 x=2
	Vậy Min A=2019 khi x=2. 
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	B=-2+7
Giải: Ta có: 0, với mọi x -20 	B=-2+77
Dấu "=" khi x-5=0 x=5
	Vậy Max B =7 khi x=5.
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	C=
Giải: Ta có: , với mọi x
	0, với mọi y
	C=-9
Dấu "=" khi 
	Vậy Min C=-9 khi x=, y=2.
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	D=-3(x-y)2--
Nhận xét: Dạng bài tập này là sự kết hợp của biểu thức là đa thức với biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ta vẫn sử dụng các tính chất của