SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết các bài toán số phức bằng phương pháp hình học

PHẦN I . MỞ ĐẦU
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Toán học là khoa học của mọi ngành khoa học. Học toán giúp bản thân học sinh rèn luyện khả năng tư duy, phát triển trí tuệ và có cách giải quyết các vấn đề một cách khoa học. Tuy nhiên thực tế hiện nay nhiều học sinh học một cách máy móc, rập khuôn, chỉ biết giải quyết bài toán theo một phương pháp đã có vì vậy học sinh trở nên thụ động khi gặp những bài toán không có một khuôn mẫu nhất định. Trong chương trình nội dung môn Toán ở trường phổ thông được chia thành hai phần đó là Đại số, Giải Tích và phần Hình học. Học sinh luôn nghĩ rằng hai nội dung nay hoàn toàn không liên quan đến nhau mà không nhận ra rằng đại số giải tích và hình học luôn có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Vậy làm thế nào để những học sinh có năng lực khá, giỏi thấy được mối liên hệ đó để vận dụng nó tốt nhất vào giải quyết các bài toán đại số và học sinh cảm thấy hứng thú. Đó là câu hỏi mà rất nhiều giáo viên quan tâm.
Trong hai năm gần đây, sau khi chuyển môn toán từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đề thi THPT Quốc Gia môn Toán có sự mở rộng rõ rệt. Đề thi có nhiều câu hỏi hay, mới lạ, yêu cầu học sinh phải thật sự hiểu và vận dụng được kiến thức. Học sinh muốn đạt điểm khá, giỏi trong kì thi THPT Quốc Gia cần giải quyết tốt những câu vận dụng thấp và vận dụng cao có trong đề thi và nội dung về số phức nằm trong chương trình Giải Tích là một trong những nội dung hay được quan tâm hiện nay.
 Phần nhiều học sinh khi giải quyết các bài toán số phức phần vận dụng cao luôn biến đổi theo các công thức giải tích, vì vậy việc biến đổi rất dài dễ gây nhầm lẫn và tốn nhiều thời gian. Bên cạnh đó nhiều bài toán số phức mới lạ nên học sinh thường lúng túng không biết giải quyết . Từ những vấn đề đó tôi lựa chọn đề tài:
	“ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết các bài toán số phức bằng phương pháp hình học”.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp học sinh hình thành tư duy logic, hệ thống và tư duy sáng tạo.
Hình thành kĩ năng giải quyết bài toán số phức bằng phương pháp hình học.
III.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Đối tượng nghiên cứu: 
- Chương IV chương trình Giải tích lớp 12 Nâng cao.
 - Khách thể: Học sinh lớp 12A4; năm học 2018- 2019 Trường THPT Lê Lợi.
2. Phạm vi nghiên cứu: 
Đề tài nghiên cứu các bài toán số phức vận dụng thấp, vận dụng cao có thể giải quyết bằng phương pháp hình học hiệu quả.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
Thu thập, nghiên cứu và hệ thống lại các tài liệu có liên quan đến đề tài để làm cơ sở nghiên cứu.
2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Tiến hành dạy học môn Toán nội dung Giải Tích 12 tại các lớp là khách thể nghiên cứu.
- Khảo sát tính khả thi và hiệu quả thực hiện đề tài.
3. Phương pháp phân tích, đánh giá kết quả, thống kê xử lí số liệu.
 	 Sử dụng công thức toán thống kê để xử lí số liệu thu thập được nhằm đánh giá kết quả thực nghiệm.
4. Phương pháp viết báo cáo khoa học.
PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
I.CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN
1..Lý thuyết về số phức
1.1.Định nghĩa số phức
	- Một số phức là một biểu thức có dạng , trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn . Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a +bi.
	- i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức .Tập hợp các số phức được kí hiệu là .
1.2..Modul của số phức.
- Modul của số phức được kí hiệu là và .
- Một số tính chất của modul số phức:
	+ Với mọi số phức , ta có: ; .
	+ Với mọi số phức , ta có: ; .
Biểu diễn hình học của số phức.
Mặt phẳng phức có Ox là trục thực và Oy là trục ảo.
 Mỗi số phức được biểu diễn là điểm M . Khi đó:
	+ Modul của số phức z bằng .
	+ Hai điểm biểu diễn số phức z và đối xứng nhau qua trục thực.
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức ; N là điểm biểu diễn của số phức . Khi đó:
	+;	+
	+Trung điểm I của đoạn thẳng MN có tọa độ là .
Ý nghĩa hình học của phép cộng trừ hai số phức:
Nhận xét 1:Cho hai số phức có điểm biểu diễn là M; có điểm biểu diễn là N. Khi đó:
 và 
, biểu diễn số phức và 
2. Các lý thuyết cơ bản về hình học phẳng.
2.1.Đường thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d.
- Vectơ có giá vuông góc với đường thẳng d được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d.
- Vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
- Nếu thì hoặc 
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: và điểm . Khoảng cách từ M đến d được kí hiệu là : và xác định bởi công thức: 
2.2.Đường tròn.
- Cho đường tròn tâm , bán kính R. Khi đó phương trình đường tròn là .
- Cho đường tròn (C) và đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B, Khi đó ta luôn có:
 +Nếu H là trung điểm của AB thì . 
 + 
2.3. Elip
- Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm M có tổng khoảng cách tới 2 điểm E, F cố định bằng một số 2a không đổi là đường Elip có 2 tiêu điểm là E, F có độ dài tiêu cự là ; trục dài bằng 2a; trục nhỏ bằng 2b trong đó .
Phương trình chinh tắc: 
3.Các kiến thức cơ bản về vectơ
- Cho 3 điểm A, B, C ta có các quy tắc sau:
 Quy tắc cộng 3 điểm: 
 Quy tắc trừ : 
Cho hình bình hành ABCD, ta có: 
Tích vô hướng của 2 vectơ : 
THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.
 Trong những năm học trước, trong quá trình dạy học sinh lớp 12 ôn thi THPTQG tôi đã dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh và quá trình dạy học của bản thân và đồng nghiệp về nội dung số phức ở mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao, bản thân tôi thấy học sinh gặp những trở ngại sau:
Học sinh biến đổi theo phương pháp giải tích dài, mất nhiều thời gian.
 Có nhiều bài toán tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức làm học sinh cảm thấy khó khăn từ đó dẫn đến học sinh ngại làm các bài tập đó.
 Có những bài toán học sinh không biết bắt đầu từ đâu, chỉ biến đổi mày mò, không có hướng cụ thể.
 Học sinh chưa có phương pháp cụ thể cho những bài toán số phức làm theo phương pháp hình học.
Từ những vấn đề trên, khi áp dụng vào quá trình dạy học năm học 2018 – 2019, tôi đã có một số biện pháp khắc phục như sau:
Ôn tập, rèn luyện các kĩ năng về các bài toán vectơ, bài toán hình học phẳng thành thục.
Xây dựng hệ thống bài toán gốc để áp dụng vào giải các bài toán số phức.
Hướng dẫn nhận dạng các bài toán có thể sử dụng phương pháp hình học.
Phân chia các dạng toán và xây dựng các bước thực hiện giải quyết bài toán.
 GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Để hướng dẫn học sinh giải quyết tốt các bài toán số phức vận dụng thấp, vận dụng cao dựa vào phương pháp hình học trước hết cần chia hệ thống bài tập thành 3 dạng:
Bài toán tìm quỹ tích của điểm biểu diễn số phức.
Bài toán tìm số phức thỏa mãn yêu cầu liên quan đến hình học phẳng.
Bài toán tìm GTLN, GTNN của modul số phức.
1. Tìm tập hợp điểm của số phức thỏa mãn điều kiện.
 Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức là một trong số các bài toán cơ bản mà học sinh cần phải nắm vững. Đây được xem là một trong số những bài toán căn bản để có thể giải quyết các bài toán số phức phức tạp hơn.
Phương pháp:
Bước 1: Nhận dạng các giả thiết đã cho để chuyển sang các đối tượng hình học.
Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng sẽ có dạng: .
Nếu số phức z thỏa mãn: thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm I biểu diễn số phức z0, bán kính R.
Nếu giả thiết có ; a; c là hằng số cho trước thì tập hợp điểm biểu diễn số phức là một elip có độ dài trục lớn bằng 2a.
Nếu bài toán không có các dạng trên có thể sử dụng các tính chất modun số phức đưa về các dạng quen thuộc trên.
Bước 2: Chuyển các giả thiết đã cho sang các khái niệm hình học.
Cho số phức có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn . Khi đó ta có: MA = MB, hay M thuộc đường trung trực của AB.
Nếu điểm M biểu diễn số phức z; A biểu điễn số phức cho trước hay tức M thuộc đường tròn tâm A, bán kính .
Nếu thì M thuộc đường Elip có tiêu điểm là A, B độ dài trục lớn bằng 2a.
Trong trường hợp bài toán xuất hiện số phức mới có liên quan đến số phức cũ, có thể tìm cách biểu diễn số phức mới qua số phức cũ rồi mới chuyển giả thiết sang các khái niệm hình học.
Bước 3: Tím mối quan hệ giữa yêu cầu đề bài với các giả thiết đã cho và kết luận.
1.1. Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn: .
Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z.
Tìm tập hợp các điểm N biểu diễn số phức .
Lời giải
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức .
Gọi B là điểm biểu diễn số phức 
Theo bài ra ta có : MA = MB nên tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng d 
là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta có , trung điểm của AB là .
Vậy tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng d có phương trình : 
 . Thay vào giả thiết ta có:
 Tập hợp các điểm N thuộc đường thẳng là đường trung trực của đoạn CD , với 
Đường thẳng có trung điểm của CD là 
Phương trình là: 
Bài 2. Tìm tập hợp các điểm A biểu diễn số phức z thỏa mãn các điều kiện:
Lời giải
Tập hợp các điểm A biểu diễn số phức z nằm trên đường trung trực của MN, với 
Đường thẳng trung trực của MN có ; đi qua điểm I .
Vậy tập hợp các điểm A nằm trên đường thẳng có phương trình: 
b. 
Vậy tập hợp các điểm A nằm trên đường đường trung trực của MN, với có phương trình là: 
Nhận xét 
	Đối với bài 2 về hình thức giả thiết có dạng nhưng chưa có dạng , vì vậy ta cần sử dụng tính chất modul của số phức đã nêu ở trên để biến đổi.
 1.2. Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
Bài 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 
 b. c.
Lời giải
Gọi A là điểm biểu diễn số phức .
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z.
Theo bài ra MA = 5 nên M nằm trên đường tròn tâm A (-2; 3); R = 5.
Vậy tập hợp các điểm M nằm trên đường tròn tâm .
 hay 
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm .
Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn: . Hãy tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức .
Lời giải
. Thay vào giả thiết ta có:
Vậy tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm 
1.3.Quỹ tích điểm là đường Elip
Bài 1. (Toán học tuổi trẻ , số 478, năm 2017).Cho số phức z thỏa mãn: .Tìm tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z.
Lời giải
	Gọi điểm M biểu diễn số phức z , điểm A biểu diễn số phức ; điểm B biểu diễn số phức . Khi đó ta có: .
Vậy tập hợp các điểm M nằm trên đường có tiêu điểm là A, B và độ dài trục lớn lớn là 
Bài tập tự luyện.
Cho số phức z thỏa mãn . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó.
20.	B. 	C. 7	D. 
Cho số phức z thỏa mãn . Tập hợp điểm biểu diễn của số phức là?
Một đường tròn. B. Một đường thẳng. C. Một Elip	 . D.Hình khác.
Cho số phức z thỏa mãn . Tập hợp điểm biểu diễn số phức
 là một đường tròn có bán kính là?
2.	B. 	 C. 	D. 
2. Các bài toán tìm các yếu tố liên quan đến số phức
2.1. Phương pháp.
Bước 1. Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học
Thông thường ta sẽ gặp các dữ kiện như đường tròn, đường thẳng , véc tơ.
Có thể bài toán chưa có dấu hiệu hình học, nhưng qua phép biến đổi đại số sẽ đưa được về phương trình đường tròn, đường thẳngPhần này sẽ được đề cập rõ ràng hơn trong phần bài tập.
Bước 2: Chuyển yêu cầu đề bài về các yếu tố hình học:
Nếu đề bài yêu cầu tính modun số phức ta chuyển về độ dài đoạn thẳng, số số phức ta chuyển về sự tương giao giữa 2 đường thẳng hoặc đường thẳng đường tròn, hai đường tròn.
Trong khi chuyển yêu cầu đề bài sang yếu tố hình học cần chú ý đến việc có xuất hiện số phức mới ? Nếu có, ta thường tìm mối quan hệ giữa yếu tố mới và cũ rồi mới chuyển sang yếu tố hình học.
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán: 
- Để tìm được các mối quan hệ này trước hết cần thực hiện vẽ hình.
- Chú ý đến các tam giác vuông, cân, đều.
- Mối quan hệ giữa đường tròn và dây cung.
2.2.Bài tập.
Bài 1. (Đề minh họa Sở giáo dục và đào tạo Thanh hóa). Cho các số phức , thỏa mãn: và . Tìm modul của số phức 
Lời giải
Cách 1: Sử dụng phương pháp đại số
Gọi số phức 
Theo giả thiết ta có: 
Chứng minh được rằng: 
Thật vậy: Giả sử 
Ta có:
Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học.
Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn số phức . 
Khi đó A, B nằm trên đường tròn tâm .
Gọi F là trung điểm của AB, F là điểm biểu diễn số phức 
Khi đó 
Bước 3: Áp dụng định lí pitago vào tam giác IFB có ta có: .
Vậy .
Nhận xét: Qua hai cách giải ta thấy nếu bài toán dùng hình học sẽ rất nhanh, không mất nhiều thời gian vào việc suy nghĩ được , vì vậy tiết kiệm nhiều thời gian khi làm bài thi.
Bài 2: Trong mặt phẳng phức xét 2 điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức và . Biết diện tích tam giác OAB bằng 6. Tính modun của số phức z.
Lời giải
 Ta có: ; ; 
Khi đó, nên tam giác ABC vuông tại A.
Bài 3 . Có bao nhiêu số phức thỏa mãn và . 
1. B. 3 C. 0. D.2 
Lời giải
Phân tích bài toán: Nhìn vào giả thiết ta thấy tâp hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn và đường thẳng . Bài toán chỉ yêu cầu số số phức thỏa mãn yêu cầu nên ta chỉ cần tìm vị trí tương đối của đường thảng và đường tròn.
Gọi M, A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức .Khi đó: 
Từ giả thiết ta có: 
 M thuộc đường tròn tâm C, R = 3 và M thuộc đường trung trực của AB.
Đường thẳng có ; điểm đi qua .
Vì nên cắt (C) tại 2 điểm .
Vậy có 2 số phức thỏa mãn. Đáp án D
Bài 4:Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: và .
0 B. 1. C. 2. D. 3
Lời giải:
Ta thấy đây là 2 phương trình đường tròn và 
Số số phức thỏa mãn đề bài chính là số giao điểm của 2 đường tròn.
Vì nên 2 đường tròn cắt nhau.
Vậy đáp án C.
Bài 5 :Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: và ?
4 B. 3 C. 1 D.2
Lời giải
Gọi có điểm biểu diễn là điểm M . Khi đó ta có:
 (H)
 Tập hợp điểm M nằm trên hình ((H) gồm hai cung tròn có tâm là , như hình vẽ.
Gọi H , K lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức nên M nằm trên đường thẳng d là đường trung trực của HK với 
Khi đó số phức z thỏa mãn chính là số giao điểm của đường thẳng d và hình (H).
Phương trình đường thẳng d là: .
Ta có và đều thuộc đường thẳng d và hai cung tròn nên đường thẳng d cắt (H) tại 3 điểm.
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Bài toán này không thể ngay lập tức chuyển các giả thiết sang các khái niệm hình học giống các bài tập 1, 2, 3, 4 mà cần thực hiện biến đổi theo đại số thông thương để tìm ra hình (H). Vì vậy trong những bài toán mà giả thiết không có dấu hiệu đặc trưng như đường thẳng, đường tròn, elip,góc hoặc biểu thức chứa đồng thời z và .ta hãy nghĩ đến việc kết hợp phương pháp đại số.
Bài 6. Cho các số phức thỏa mãn: . Gọi M, N là các điểm biểu diễn các số phức , biết . Tính 
 B. C. D. 
Lời giải
Bước 1: Chuyển giả thiết sang các yếu tố hình học.
 M nằm trên đường tròn tâm 
 N nằm trên đường tròn tâm 
Bước 2: Chuyển yêu cầu bài toán về yếu tố hình học.
Gọi P là điểm biểu diễn số phức . 
Khi đó: 
 ( Theo quy tắc hình bình hành)
Bước 3: Xét tam giác POM có: 
Xét tam giác POA có:
Vậy .Đáp án B
Bài 7( Đề thi thử THPTQG 2019 – SGDDT Bến Tre).Cho số phức z thỏa mãn: và phần ảo là số thực không dương. Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng (H) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z. Gọi là diện tích hình phẳng (H), gần nhất với giá trị nào sau đây ? 
7 B. 17 C. 21 D. 193.
Lời giải
Gọi có điểm biểu diễn là Khi đó:
Vì phần ảo là số thực không dương nên ta có: 
 tập hợp M thuộc hình tròn tâm (như hình vẽ)
 Tập hợp các điểm M nằm ngoài hình vuông ABCO với ( như hình vẽ)
Vậy .Diện tích gần đáp án B nhất.
Bài tập tự luyện
Tính modul của tất cả các số phức z thỏa mãn , đồng thời điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn tâm .
1 B. C. D.3
Gọi (H) là tập biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng Oxy để , số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H) ?
 B. C. D.6 
3.(Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – lần 4) Cho số phức z thỏa mãn . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn. Bán kính đường tròn thuộc khoảng nào sau đây?
A. 
B. 
C. 
D. 
3. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modul số phức.
Các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modul số phức là một trong những câu hỏi khó. Để giải quyết các bài toán này, ngoài phương pháp đại số hoặc phương pháp lượng giác hóa thì phương pháp hình học là một công cụ mạnh để học giải quyết các bài toán nhanh chóng.
Trong hệ thống bài tập này ta thường chia thành các dạng sử dụng hình học cụ thể như sau:
	+ Mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng.
	+ Mối quan hệ giữa điểm , đường thẳng, đường tròn, hai đường tròn.
	+ Mối quan hệ giữa điểm và Elip.
3.1. Phương pháp chung.
Bước 1. Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học
Thông thường ta sẽ gặp các dữ kiện như đường tròn, đường thẳng , véc tơ.
 	+ Có thể bài toán chưa có dấu hiệu hình hoc, nhưng qua phép biến đổi đại số sẽ đưa được về phương trình đường tròn, đường thẳngPhần này sẽ được đề cập rõ ràng hơn trong phần bài tập.
Bước 2: Chuyển yêu cầu đề bài về các yếu tố hình học:
Nếu đề bài yêu cầu tính modun số phức ta chuyển về độ dài đoạn thẳng, 
khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng. Cần chú ý nếu xuất hiện số phức mới cần chuyển số phức cũ sang số phức mới để chuyển sang yếu tố hình học tránh nhầm lẫn.
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán: 
- Để tìm được các mối quan hệ này, cần thực hiện vẽ hình và quan sát.
- Sử dụng các bài toán gốc.
- Cần chú ý kết hợp bất đẳng thức Bunhia .
3. 2.Các bài toán sử dụng mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng.
3.2.1. Các bài toán hình học cơ bản.
Bài toán 1. Cho đường thẳng d và điểm M nằm ngoài d. Tìm N thuộc d sao cho khoảng cách MN là ngắn nhất.
Lời giải.
Gọi N là hình chiếu của điểm M trên d.
Gọi là điểm bất kì thuộc d.
Xét tam giác vuông , ta có:
Vậy MN ngắn nhất khi N là hình chiếu của M trên d hay 
Bài toán 2. Cho đường thẳng d và 2 điểm A, B. Tìm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất trong các trường hợp sau:
A, B khác phiá so với d.	b. A, B cùng phía so với đường thẳng d.
Lời giải
Lấy M’ bất kì thuộc d. Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi A, M’, B thẳng hàng.
Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và d.
Lấy A’ đối xứng với A qua d. 
Lấy M’ thuộc d, khi đó:
Dấu “=” xảy ra khi M’ là giao điểm của A’B và đường thẳng d.
Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và d.
3.2.2. Bài tập
Bài 1. Cho số phức z và w thỏa mãn: ; . Giá trị nhỏ nhất của là ?
 	 B. C.2 D. 
Lời giải
	. Khi đó ta có: 
	Gọi M là điểm biểu diễn số phức w.
 M nằm trên đường trung trực của AB với 
 Phương trình đường trung trực của AB là: .
 nhỏ nhất khi OM ngắn nhất . 
Theo bài toán 1 OM ngắn nhất khi .Đáp án A.
Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn: . Giá trị nhỏ nhất của là?
 B. C. D. 
Lời giải
 Đặt 
Gọi M là điểm biểu diễn w, ta thấy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực d của AB trong đó .
 , trung điểm .
Phương trình đường thẳng d là : .
 đạt GTNN khi OM ngắn nhất , khi đó : 
 .Đáp án D
Bài 3 (Đề thi thử THPTQG - Trường THPT Lê Quý Đôn Hà Nội – 2018)
 Trong tập số phức cho số phức z thỏa mãn: . Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
Gọi M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z; .
 .
Theo giả thiết ta có MA = MB , nên M thuộc đường trung trực của AB.
Phương trình đường thẳng d là đường trung trực của AB là: 
Gọi điểm C, D là các điểm biểu diễn các số phức .
Khi đó . Nhận thấy C, D cùng phía so với d nên theo bài toán 2 P đạt giá trị nhỏ nhất bằng C’D ( C’ đối xứng với C qua d).
Xác định C’ đối xứng với C qua d, ta có C’ (2; 0).
Vậy .
3.3. Các bài toán liên quan đến đường tròn.
3.3.1.Các bài toán hình học cơ bản.
Bài toán 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn có tâm A. Tìm trên vị trí điểm M, N sao cho OM ngắn nhất và ON dài nhất.
Lời giải
Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường tròn ta thấy.
Vậy . 
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng OA và đường tròn, M nằm giữa đoạn OA.
Vậy . 
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng OA và đường tròn, M nằm ngoài đoạn OA.
Bài toán 2. Cho đường tròn có tâm A và đường thẳng . 
a.Tìm trên vị trí điểm M sao cho khoảng cách từ M đến ngắn nhất .
b. Tìm trên vị trí điểm N sao cho khoảng cách từ N đến dài nhất.
Lời giải
a.- Nếu thì ngắn nhất bằng 0 tức là M là giao điểm giữa 
đường thẳng và đường tròn.
- Nếu , gọi N’ l