SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng định lí kẹp và định lí về điều kiện để một dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn để giải các bài toán tìm giới hạn của dãy số

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài	
	Trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Nâng cao, để giảm tải, ở phần giới hạn của dãy số, sách giáo khoa chỉ đưa vào Bài đọc thêm (trang 152 và trang 154) định lí kẹp về giới hạn của dãy số và định lí về điều kiện để một dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn. Do chỉ được giới thiệu ở phần đọc thêm nên kết quả của các định lí này đã không được sử dụng một cách xứng đáng với tầm quan trọng của nó trong việc thực hành giải toán tìm giới hạn của dãy số.
	Ở các năm học trước, trong quá trình giảng dạy các học sinh khá, giỏi khối lớp 11, tôi nhận thấy các em luôn có nhu cầu được tìm hiểu và giải những bài toán về giới hạn của dãy số ở mức độ khó. Đặc biệt, trong 2 năm gần đây khi Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh cho học sinh lớp 11 thì trong đề thi đã xuất hiện bài toán về dãy số ở mức độ 3 (mức độ Vận dụng) với nội dung xoay quanh việc tìm số hạng tổng quát của dãy số, chứng minh một dãy số có giới hạn và tìm giới hạn của dãy số. 
Để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và trong công tác dạy học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu và đưa vào một số dạng bài tập nâng cao mà để giải các bài tập này cần phải sử dụng các định lí trên một cách linh hoạt. Qua thực tế áp dụng một số năm giảng dạy và đặc biệt là trong năm học 2018-2019 khi dạy bồi dưỡng đội tuyển Học sinh giỏi cấp tỉnh tôi nhận thấy đã đạt được một số kết quả tích cực trong việc kích thích hứng thú học tập của học sinh, giúp các em phát triển khả năng tư duy sáng tạo và rèn luyện kỹ năng giải toán của mình, giúp các em tự tin hơn khi gặp các bài toán về dãy số. Và gần nhất trong đề thi HSG tỉnh năm học 2018-2019 đã xuất hiện câu hỏi về dãy số (câu III.2) phải áp dụng kết quả của định lí kẹp để tìm giới hạn của dãy số. Do đã được ôn tập kĩ lưỡng nên các học sinh của tôi đã làm tốt bài toán này.
Dựa trên những kết quả ban đầu đã đạt được như thế và được sự động viên, giúp đỡ của đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Hậu Lộc 2 tôi đã mạnh dạn chọn và viết đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng định lí kẹp và định lí về điều kiện để một dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn để giải các bài toán tìm giới hạn của dãy số” làm sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2018-2019 với hy vọng được các đồng nghiệp trong và ngoài đơn vị góp ý, nhận xét và đánh giá để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu	
 Các vấn đề được trình bày trong đề tài này nhằm giúp cho các em học sinh lớp 11, đặc biệt là học sinh đội tuyển Toán có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận các bài toán về dãy số, ở các mức độ kĩ lưỡng hơn mà sách giáo khoa không trình bày, đồng thời hướng dẫn các em thực hành giải một số dạng bài tập về dãy số qua đó giúp các em hình thành một số năng lực và kĩ năng sau:
	- Năng lực tư duy, kết nối kiến thức; năng lực đánh giá, tính toán.
	- Kĩ năng vận dụng kiến thức về đánh giá các bất đẳng thức để chỉ ra tính bị chặn của dãy số.
	- Kĩ năng chứng minh bằng quy nạp toán học để chỉ ra một dãy số là tăng hoặc giảm.
	- Kĩ năng sử dụng các đánh giá làm trội để áp dụng định lí kẹp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu một số dạng bài tập về dãy số như: tìm giới hạn của dãy số, chứng minh dãy số có giới hạn, tìm điều kiện để dãy số có giới hạn... dựa trên việc vận dụng định lí kẹp và định lí về điều kiện để dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn làm cơ sở khoa học.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Đại số và Giải tích nâng cao của lớp 11 trung học phổ thông về dãy số và giới hạn của dãy số. Tuy nhiên không phải mọi bài toán về dãy số mà phạm vi của nó là các bài toán có thể đưa về việc chứng minh dãy số là đơn điệu và bị chặn để áp dụng được các định lí trên.
Đối tượng áp dụng: học sinh các lớp 11B1, 11B2 và 5 học sinh đội tuyển HSG môn Toán của trường THPT Hậu Lộc 2. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp chủ yếu được sử dụng trong đề tài là:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: dựa trên các kiến thức về dãy số, về định lí kẹp, định lí về điều kiện để dãy số có giới hạn hữu hạn. 
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: trên cơ sở tìm tòi trong các đề minh họa thi HSG tỉnh của các trường THPT gửi Sở GD&ĐT, chọn lọc, xây dựng hệ thống những ví dụ cụ thể với cách giải cụ thể, trực tiếp nhằm hướng dẫn cho học sinh từng bước làm được các bài tập về dãy số nhờ việc sử dụng các định lí. 
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Trong các buổi học tôi cùng với học sinh tìm tòi và phát hiện vấn đề sao cho tự nhiên nhất và để nêu bật được tính ứng dụng của định lí.
- Đề tài được thực hiện dưới hình thức 2 tiết dạy với các phương pháp dạy học tích cực.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong đề tài này tôi sử dụng các kết quả sau đây đã được nêu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (Nâng cao).
1. Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có: .
2. Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: .
3. Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: 
	 , .
4. Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho: 
	 , .
5. Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho: 
	 , .
6. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: 
	Cho ba dãy số , và . 
Nếu với mọi và thì . 
7. Định lí về điều kiện để một dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn: 
	a. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
 	b. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. 
8. Một số định lí về giới hạn của dãy số.
	Định lí 1. Giả sử . Khi đó:
	a. và .
	b. Nếu thì và .
	Định lí 2. Giả sử và là một hằng số. Khi đó
	Định lí 3: Nếu thì .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế là trong Sách giáo khoa các ban ở phần kiến thức về dãy số cũng chỉ đưa ra một số ví dụ đơn giản về tìm giới hạn của dãy số, mà chủ yếu là các dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát. Tuy nhiên trong các đề thi học sinh giỏi lớp 11 và trong ma trận đề học sinh giỏi lớp 11 do Sở GD&ĐT Thanh Hóa công bố thì câu dãy số là câu ở mức độ 3 (mức Vận dụng), khá khó. Để làm được câu hỏi này không thể chỉ dùng các kiến thức như đã trình bày trong các bài học hoặc các ví dụ minh họa của Sách giáo khoa.
Sau đây là một số câu dãy số trong các đề thi HSG lớp 11 mà học sinh thường gặp:
a. Về dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số phải dùng định lí kẹp:
Câu 1.(Câu III.2 đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019).
Cho dãy số xác định bởi: .
Tìm số hạng tổng quát và tính .
Nhận xét: học sinh sẽ thường tỏ ra rất “ngại” trước những dạng toán mà dãy số không cho bằng công thức hiện và sẽ lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu trước dạng bài tập này.
b. Về dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số phải dùng định lí về điều kiện để dãy số có giới hạn hữu hạn.
 Câu 2: (Đề Giao lưu các đội tuyển HSG lớp 11 Hậu Lộc – năm 2019).
Cho dãy số xác định bởi : .
Với các giá trị nào của a và b thì dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn, hãy tìm giới hạn đó.
Nhận xét: không chỉ dãy số được cho bằng biểu thức quy nạp mà trong biểu thức còn chứa cả tham số, là một thứ mà học sinh rất ngại khi va chạm vì trông chúng “có vẻ” tổng quát.
	Từ 2 ví dụ trên thấy rằng: nếu chỉ dựa vào kiến thức Sách giáo khoa thì không thể nào giải quyết được.
	Tuy nhiên sau khi áp dụng các định lí đã nêu vào việc tìm lời giải thì học sinh thấy rằng những dạng bài tập như vậy cũng không phải là quá khó khăn, các em vẫn có thể tự mình thực hiện được ở các bài tương tự.
2.3 Giải pháp của đề tài
	Để hướng dẫn học sinh giải quyết những dạng bài tập như các dạng trên tôi cùng với học sinh thực hiện qua các thao tác tư duy như sau:
Hoạt động 1: Sử dụng định lí kẹp để tìm giới hạn dãy số:
Ví dụ 1. (Đề chọn đội tuyển HSG lớp 11 trường THPT Nông Cống 1).
Cho dãy số được xác định bởi . 
Hãy lập công thức tính theo và tìm .
* Lập công thức tìm số hạng tổng quát của dãy số
Câu hỏi 1: Từ công thức đã cho em có nhận xét gì?
Trả lời: chia cả hai vế của công thức cho tử số của vế phải thì được dạng tương tự ở hai vế.
.
Câu hỏi 2: Em hãy dùng kiến thức về cấp số nhân để biểu diễn kết quả trên?
Trả lời:
Đặt , từ kết quả trên được 
 là cấp số nhân có công bội và số hạng đầu 
, .
* Sử dụng định lí kẹp để tìm giới hạn của dãy số:
Câu hỏi 3 : Hãy nhận định xem dãy số tìm được dần đến số nào?
Trả lời: Thay một số giá trị của n bằng 1, 10, 100,  nhận thấy dãy số tiến dần về số 0.
Câu hỏi 4: Hãy sử dụng định lí kẹp để chỉ ra rằng dãy số đó dần đến 0?
Trả lời: Sử dụng đánh giá bằng khai triển nhị thức Niu-tơn:
Ta có: (khi n dần đến ) 
.
Lại có: 
Vậy theo kết quả định lí kẹp ta được.
Nhận xét: Qua các hoạt động trên, ta thấy bằng cách sử dụng các kiến thức đã được học như: cấp số nhân, khai triển nhị thức Niu-tơn, đánh giá làm trội và đặc biệt là sử dụng định lí kẹp để tìm được giới hạn của dãy số.
*Một số bài tập luyện tập
Bài 1. (Đề Kiểm tra đội tuyển THPT Hàm Rồng – lần 4)
Cho dãy số xác định bởi . Tìm công thức số hạng tổng quát theo và tính .
Bài 2. (Đề giao lưu đội tuyển HSG huyện Ngọc Lặc – lần 2)
Cho dãy số được xác định bởi . 
Tìm: 
Hoạt động 2: Sử dụng định lí về điều kiện để dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ 2. (Đề khảo sát đội tuyển THPT Hậu Lộc 2 – lần 3)
Cho dãy số xác định như sau:. Tìm .
* Chứng minh dãy số đã cho là dãy đơn điệu (tăng hoặc giảm)
- Câu hỏi 1: Nhận xét xem dãy số là dãy tăng hay giảm?
Trả lời: Thay vài giá trị của vào dãy số ta có nhận xét trực quan thấy dãy số giảm.
- Câu hỏi 2: Hãy chứng minh một cách tổng quát dãy số là giảm với việc chứng minh: với mọi n ta có: .
Trả lời: - Xét hiệu : 
, hay dãy là dãy giảm.
* Chứng minh dãy số bị chặn dưới.
Câu hỏi 3 : Một cách trực quan em hãy nhận xét xem các số hạng của dãy số luôn lớn hơn số thực nào?
Trả lời : Bằng cách thay một số giá trị cụ thể của n nhận thấy các số hạng của dãy số đều lớn hơn 1.
* Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
- Với , ta có luôn đúng.
- Giả sử (với ), ta sẽ chứng minh .
	Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có : 
Vậy tức là dãy bị chặn dưới.
Vậy dãy là dãy giảm và bị chặn dưới nên theo định lí về điều kiện để dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn ta thấy dãy số đó có giới hạn hữu hạn.
* Tìm giới hạn của dãy số .
Giáo viên hướng dẫn : Vì dãy số tồn tại giới hạn hữu hạn nên:
Giả sử từ , qua giới hạn hai vế suy ra :
 .
Vậy .
Nhận xét : qua các hoạt động trên, chúng ta đã thấy rõ tác dụng của việc vận dụng định lí về điều kiện để dãy số có giới hạn hữu hạn để tìm giới hạn của dãy số. Tuy nhiên đối với ví dụ này các em cũng có thể tìm và chứng minh bằng quy nạp công thức hiện của là . 
- Sau khi thực hiện ví dụ 1.1, giúp học sinh bước đầu hiểu được cách sử dụng định lí này một cách trực tiếp, tôi hướng dẫn học sinh một cách tiếp cận gián tiếp qua ví dụ sau :
Ví dụ 2.1: (Đề Giao lưu đội tuyển HSG lớp 11 Hà Trung – Bỉm Sơn lần 2).
Cho dãy số xác định như sau: .
	Tìm .
Giải
Ta có:	
.
Từ giả thiết dễ thấy hay dãy là dãy tăng.
Giả sử dãy bị chặn trên thì nó sẽ có giới hạn hữu hạn là a, suy ra:
, vô lí vì .
Vậy dãy không bị chặn trên, hay , do đó:
.
Nhận xét: ở bài này ta đã vận dụng linh hoạt định lí. Nếu máy móc chứng minh dãy số bị chặn trên thì ta sẽ không thể đi đến kết quả. Kiểu làm này sẽ còn được áp dụng ở ví dụ tiếp theo. 
- Gọi học sinh lên bảng làm ví dụ tiếp theo tương tự như ví dụ trên.
Ví dụ 2.2: (Đề Giao lưu đội tuyển HSG lớp 11 Như Thanh – Nông Cống)
Cho dãy số xác định như sau: .
Ta lập dãy số (Sn) với . Tìm limSn .
Kết quả: limSn = 2019.
* Một số bài tập luyện tập :
Bài 3. Cho dãy số được xác định như sau:
	. Đặt . Tính a.
Bài 4. Tìm giới hạn của dãy số được xác định bởi:
	.
Bài 5. Cho dãy số xác định bởi: .
a/ Chứng minh rằng: 
b/ Từ đó suy ra dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Hoạt động 3: 
Ví dụ 3: (Đề thi Olympic 30/4)
Cho dãy số xác định bởi : .
Với các giá trị nào của a và b thì dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn, hãy tìm giới hạn đó.
* Chứng minh dãy số là dãy tăng.
Câu hỏi 1 : Em có thể nhận xét xem dãy số đã cho là tăng hay giảm ?
Trả lời: 
Nhận thấy: là dãy tăng.
* Tìm điều kiện của tham số để dãy số có giới hạn.
Câu hỏi 2: Em có thể nhận xét gì nếu dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn?
Trả lời:
- Giả sử , 
khi đó qua giới hạn hai vế đẳng thức , 
ta có : .
Hay nếu dãy số đã cho có giới hạn thì giới hạn đó bằng (là tham số ban đầu).
Câu hỏi 3: Khi đó hãy tìm mối quan hệ giữa hai tham số và ?	
Giáo viên hướng dẫn:
Vì dãy là dãy tăng và có giới hạn bằng nên 
.
Câu hỏi 4: Kết quả trên có được khi ta giả sử dãy số có giới hạn là , vậy điều ngược lại có đúng không?
Trả lời: (hướng dẫn cho học sinh chứng minh bằng phép quy nạp toán học)
- Ngược lại, giả sử : thì bằng quy nạp ta chứng minh được .
Vậy dãy có giới hạn khi và chỉ khi . 
Khi đó .
Nhận xét: Trong ví dụ trên chúng ta đã vận dụng định lí về điều kiện để dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn theo kiểu “điều kiện cần và đủ”. Các em cần lưu ý là phải làm đầy đủ cả hai điều kiện. Đồng thời trong ví dụ trên chúng ta cũng đã sử dụng phương pháp chứng minh bằng quy nạp Toán học, đây là một phương pháp thường dùng khi làm những bài tập về dãy số. 
* Một số bài tập luyện tập:
Bài 6. Cho dãy số xác định bởi: .
Tuỳ theo hãy xét tính có giới hạn của dãy số .
Bài 7. Cho dãy số xác định bởi , . Tìm tất cả các giá trị a để dãy có giới hạn hữu hạn.
Hoạt động 4: Củng cố bài học.
- Giáo viên: Qua bài học hôm nay các em đã nắm được:
+ Về lý thuyết: Nhớ được các định nghĩa về dãy số, các định lí về giới hạn của dãy số.
+ Về thực hành: Vận dụng kết quả của định lí kẹp và định lí về điều kiện để dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn để:
- Tìm được giới hạn của một dãy số thông qua đánh giá kẹp và tìm giới hạn của dãy số trung gian.
- Chứng minh được một dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó; 
- Tìm được điều kiện của tham số để một dãy số có giới hạn; 
- Sử dụng được phương pháp chứng minh bằng quy nạp. 
- Sử dụng được các kiến thức về cấp số nhân, khai triển nhị thức Niu-tơn.
+ Về nhà hãy làm các bài tập luyện tập đã được giao.
2.4. Hiệu quả của đề tài.
	- Sau khi đề tài này được thực hiện trên 2 lớp và kiểm tra tôi nhận thấy số học sinh tiếp thu và vận dụng được tăng lên khá lớn.
Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều bài và vận dụng được.
Lớp
Số học sinh
Tỉ lệ học sinh hiểu bài, hứng thú học và vận dụng được
Trước khi thực hiện đề tài
Sau khi thực hiện đề tài
11B1
43
20%
75%
11B2
42
15%
70%
	- Đặc biệt, trong năm học 2018-2019 tôi dạy bồi dưỡng đội tuyển HSG lớp 11 của trường, mới đầu khi tiếp xúc với những bài toán dạng này các em rất ngại, nhưng sau khi áp dụng bài dạy này trong thời gian 2 tiết và kiểm tra lại bài tập của các em vào buổi học tiếp theo tôi thấy cả 5 em đều thực hiện đầy đủ và chính xác các bài tập được giao và các đề ôn tập tiếp theo nếu có bài dạng này các em đều giải quyết được. Kết quả đáng mừng hơn nữa là trong đề thi chính thức cả 5 em đều làm chính xác câu III.2 (kết quả chung: 3 giải Nhì và 2 giải Ba).
	- Đối với cá nhân tôi, sau khi tìm tòi, soạn bài và thực hiện bài học cùng với học sinh tôi thấy mình đã đạt được một số điểm tốt trong tư duy và trong trình bày cũng như tăng thêm kĩ năng soạn bài, dạy học theo hướng lấy học sinh làm trung tâm. Bên cạnh đó còn giúp tôi có thêm kinh nghiệm, kỹ năng khi giải các bài tập về dãy số.
	- Đối với đồng nghiệp, sau khi dự giờ tiết dạy và nghiên cứu đề tài của tôi đã có những nhận xét về nội dung của đề tài cũng như phương pháp dạy học chủ động, đồng thời cũng có đồng nghiệp áp dụng phương pháp của đề tài vào bài dạy của mình và đạt kết quả khả quan.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
	- Kết luận: Như đã đặt vấn đề, đối tượng học sinh ở đây là các học sinh khá và giỏi nên mức độ của các bài tập là tương đối nâng cao, một số là các bài được chọn lọc từ các đề thi học sinh giỏi. Mặc dù vậy bằng thực tế giảng dạy đã kiểm chứng tôi thấy học sinh khá hứng thú và có thể tiếp thu tốt các bài tập này, qua đó góp phần phát triển tư duy Toán của học sinh.
	Với khối lượng kiến thức là vừa phải tôi nghĩ rằng định lí kẹp và định lí về điều kiện để dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn đã được sử dụng một cách có hiệu quả, bên cạnh đó còn giúp học sinh vừa ôn tập vừa nắm bắt thêm các kiến thức như chứng minh bằng quy nạp Toán học, cấp số nhân, khai triển nhị thức Niu-tơn, đánh giá làm trội...
 	- Kiến nghị: Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm khi viết đề tài, đồng thời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, tuy nhiên trong quá trình viết sẽ khó tránh khỏi các khiếm khuyết đồng thời do khuôn khổ của bài viết có hạn và kinh nghiệm của bản thân còn ít nên rất có thể chưa đạt được những kết quả như mong muốn là làm nổi bật sự hữu ích của định lí kẹp và định lí về điều kiện để dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn đối với bài toán tìm giới hạn của dãy số. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo để những kinh nghiệm trên đây của tôi hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN 
CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.
NGUYỄN TRUNG KIÊN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Đại số và Giải tích Nâng cao lớp 11, Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011.
Sách Bài tập Đại số và Giải tích Nâng cao lớp 11, Bộ Giáo dục và Đào tạo, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011.
Một số bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30 – 4, Võ Giang Giai – Nguyễn Ngọc Thu. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.
Các đề thi Học sinh giỏi các tỉnh môn Toán.
Các đề thi chọn đội tuyển HSG các trường THPT trong tỉnh.
Các đề thi Giao lưu đội tuyển HSG các trường THPT trong tỉnh.