SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 11 phân loại và giải bài toán xác suất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THCS & THPT THỐNG NHẤT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 PHÂN LOẠI
 VÀ GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
Người thực hiện: Nguyễn Thị Lan Anh
Chức vụ: Tổ phó chuyên môn
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ, NĂM 2017
MỤC LỤC 
Trang
MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
2
 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề: 
2
2.2. Thực trạng vấn đề
3
2.3. Giải pháp thực hiện
3
Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản
3
Dạng 2: Các bài toán xác suất sử dụng biến cố đối
9
Dạng 3: Các bài toán xác suất sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân của xác suất
14
 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
18
3.2. Kiến nghị
18
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong trường THPT môn Toán có một vị trí quan trọng. Kiến thức và phương pháp dạy của mỗi giáo viên là công cụ thiết yếu để học sinh học tốt. Học tốt môn Toán sẽ giúp học sinh phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ. 
 Dạy lớp 11 tôi luôn tìm cách giúp học sinh khai thác triệt để kiến thức của từng bài, với bài: “ Xác suất của biến cố ” tuy chỉ được bố trí hai tiết ở học kỳ I, nhưng ứng dụng của nó thì rất nhiều: Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Từ khi xuất hiện xác suất đã khẳng định đó là một môn mới và có tính hấp dẫn cao được áp dụng phổ biến trong cuộc sống. Xác suất được ứng dụng rộng rãi trong nhiều nghành khoa học khác nhau như Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin và các nghành kinh tế. Trong trường phổ thông thì đòi hỏi học sinh phải biết giải bài toán xác suất và áp dụng được vào các môn học đặc biệt là môn sinh học, vật lý ... Bài toán xác suất là một trong các chủ đề có mặt trong các kỳ thi THPT Quốc gia Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định, được ra ở nhiều dạng khác nhau. 
Do đặc thù chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số và giải tích khác. Chính vì thế, đối với học sinh, việc áp dụng kiến thức và giải các bài toán về xác suất thường lúng túng, không biết phân biệt và giải quyết thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng không giám chắc mình đã làm đúng. Tuy nhiên, rất ít tài liệu đề cập vấn đề này một cách chuyên sâu, việc hệ thống về những dạng toán này và cách giải của nó chưa nhiều. Điều đó gây khó khăn, lúng túng cho học sinh trong việc nhận diện và giải quyết dạng toán này. Để giúp học sinh lớp 11 nói chung và nhất là học sinh khá giỏi nói riêng thì việc phân dạng bài toán này và khả năng vận dụng kiến thức để giải bài toán về “ Xác suất của biến cố ” một cách hiệu quả là thật sự cần thiết. Vì vậy, tôi chọn nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 phân loại và giải bài toán xác suất ”.
2.2. Mục đích nghiên cứu:
 Giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm về xác suất, liên hệ và áp dụng được vào các dạng bài tập liên quan.
 Hưởng ứng cuộc vận động: “ Mỗi thầy cô giáo là một tấm gương tự học và sáng tạo”, và cuộc vận động: “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, bản thân tôi đã tích cực lập kế hoạch và thực hiện kế hoạch giảng dạy, làm đồ dùng dạy học, viết SKKN Giúp học sinh hứng thú, tự tin chiếm lĩnh kiến thức của bộ môn toán. Tôi chọn nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 phân loai và giải bài toán xác suất ”, giúp học sinh lớp 11 thấy tự tin và hứng thú đối với loại toán này. 
2.3. Đối tượng nghiên cứu: Trong đề tài này tôi chỉ nghiên cứu về các dạng bài toán xác suất bám sát chương trình SGK và đề thi THPT Quốc gia theo hướng dẫn mới.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng 
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THCS & THPT Thống Nhất.
 - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 11 và một số lớp 12 ôn thi đại học sau đó khảo sát các lớp dạy.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến [1]
Biến cố và phép thử biến cố:
+ Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.
+ Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là .
+ Biến cố là một tập con của không gian mẫu
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,  và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).
Tập được gọi là biến cố chắc chắn [1].
+ Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
Tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A. Và A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
Tập A∪B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
Tập A∩B được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B.
Nếu A∩B=∅ thì ta nói A và B là xung khắc.
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến cố kia.
Định nghĩa cổ điển của xác suất: 
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. 
Ta gọi tỉ số nAnΩ là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) và PA=nAnΩ [1]
Tính chất của xác suất:
Tính chất cơ bản: 
P∅=0
PΩ=1
0≤PA≤1, với mọi biến cố A.
PA=1-P(A)
Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B xung khắc thì:
PA∪B=PA+P(B)
Nếu A∩B=∅ thì PA∪B=PA+PB
Thật vậy, ta có 
nA∪B=nA+nB-nA⋂B
Chia cả hai vế cho nΩ ta được:
PA∪B=PA+PB-P(AB)
Nếu A và B xung khắc thì AB=∅ nên PAB=0, khi đó:
PA∪B=PA+PB
Do đó, với mọi biến cố A và B bất kì ta có:
PA∪B=PA+PB-P(AB)
Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi PA∩B=PAP(B) [1]
Các công thức liên quan:
 +Ank=n!n-k!; +∁nk=n!k!n-k! [1]
2.2. Thực trạng vấn đề:	
	 Năm học 2016-2017 tôi được phân công giảng dạy môn Toán ở các lớp khối 11, qua kinh nghiệm một số năm dạy học tại trường THCS & THPT Thống Nhất, khi dạy bài “ Xác suất của biến cố ” trong sách giáo khoa “Đại số và giải tích 11” tôi nhận thấy:
Trong sách giáo khoa mới chỉ đưa ra công thức xác suất của biến cố, các tính chất của nó và vài ví dụ đơn giản, lượng bài tập ít. Do đó học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp giải quyết bài toán về xác suất của biến cố một cách trọn vẹn. Nên học sinh thường sợ khi gặp bài toán xác suất.Tuy nhiên bài toán về xác suất của biến cố xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia thường xuyên. Nếu nắm vững cách phân dạng và cách giải của từng dạng thì các bài toán này hoàn toàn có thể giải được bằng cách sử dụng các kiến thức đã có. Cách giải thường ngắn gọn, có kết quả nhanh, là bài lấy điểm dễ. 
2.3. Giải pháp thực hiện: 
 Trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn học sinh lớp 11 phân loại và giải bài toán về xác suất như sau: 
 Dạng I: Các bài toán tính xác xuất ở dạng đơn giản
 Dạng II: Các bài toán tính xác xuất bằng cách sử dụng biến cố đối. 
 Dạng III: Các bài toán tính xác xuất sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân của xác suất.
DẠNG 1:
CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT ĐƠN GIẢN
 Các bài toán tính xác suất đơn giản không có nghĩa là bài toán dễ. Ở đây tôi muốn đề cập đến các bài toán không cần dùng đến quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất mà chỉ sử dụng công thức định nghĩa xác suất cổ điển: 
PA=nAnΩ
Bài 1: ( Bài tập 1- trang 74-SGK Đại số & Giải tích 11)
 Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần,
a, Hãy mô tả không gian mẫu.
b, Xác định các biến cố sau:
A: “ Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10 ”;
B: “ Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần ”.
c, Tính P(A), P(B). [1]
Giải: 
a, Ta có: Ω=i,j:i,j=1,6⇒nΩ=36
b, Ta có :
+ A={(5,5), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)}
+ B={(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)}
c, Ta có: + n(A)=6⇒PA=nAnΩ=636=16
	+ n(B)=11⇒PB=nBnΩ=1136
Bài 2: ( Bài tập 5- trang 74-SGK Đại số & Giải tích 11)
 Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:
a, Cả bốn con đều là át;
b, Được ít nhất một con át;
c, Được hai con át và hai con K. [1]
Giải: : Ta có: nΩ=C524
a, Gọi A: “ Cả bốn con đều là át ”
Ta có : nA=C44=1
+Vậy: PA=nAnΩ=1C524=1270725≈0,0000037
b, Gọi B: “ Được ít nhất một con át ”
Ta có : nB=C41.C483+C42.C482+C43.C481+C44
+Vậy: PB=nBnΩ=76145270725≈0,28123
c, Gọi C: “ Được hai con át và hai con K ”
Ta có : nC=C42.C42
+Vậy: PB=nCnΩ=36270725≈0,000133
Bài 3:( Đề thi thử Trường Lương Tài 2_ Bắc Ninh năm 2016)
 Một nhóm học sinh gồm 7 nam và 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh lên bảng làm bài tập. Tính xác xuất để chọn được 3 học sinh có cả nam và nữ. [4]
Giải:+ Ta có: nΩ=C123=220
+ Gọi A: “ Chọn được 3 học sinh có cả nam và nữ ”
Ta có : nA=C72.C51+C71.C52=175
 +Vậy: PA=nAnΩ=175220=3544
 Đáp số: PA=3544
Bài 4: ( Đề thi thử Trường THCS & THPT Thống Nhất năm 2016 )
 Một trường THPT tổ Toán có 15 giáo viên trong đó có 8 giáo viên nam, 7 giáo viên nữ; Tổ Lý có 12 giáo viên trong đó có 5 giáo viên nam, 7 giáo viên nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ 2 giáo viên đi dự tập huấn chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi. Tính xác suất sao cho trong các giáo viên được chọn có 2 nam và 2 nữ. [4]
Giải:+ Ta có: nΩ=C152.C122
+ Gọi A: “ Trong các giáo viên được chọn đó có 2 nam và 2 nữ ”
Ta có 3 trường hợp xảy ra và : nA=C82.C72+C72.C52+C81.C51.C71.C71
 +Vậy: PA=nAnΩ=179495
 Đáp số: PA=179495
Bài 5:( Đề thi thử của Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2016)
 Trong kì thi THPT quốc gia, tại hội đồng thi X, trường THPT A có 5 thí sinh dự thi. Tính xác suất để có đúng 3 thí sinh của trường THPT A được xếp vào cùng một phòng thi, biết rằng hội đồng thi X gồm 10 phòng thi, mỗi phòng thi có nhiều hơn 5 thí sinh và việc xếp các thí sinh vào các phòng thi là hoàn toàn ngẫu nhiên. [4]
Giải: Số cách xếp ngẫu nhiên 5 thí sinh vào 10 phòng thi là:
 nΩ=105=100000
 Gọi B là biến cố đã cho. Có cách chọn 3 thí sinh trong số 5 thí sinh của trường A và có 10 cách chọn phòng thi cho 3 thí sinh đó. 
 Ứng với mỗi cách chọn trên ta có 9.9 cách chọn phòng thi cho 2 thí sinh còn lại.
 Có cách chọn 3 thí sinh trong số 5 thí sinh của trường A và có 10 cách chọn phòng thi cho 3 thí sinh đó. 
 Ứng với mỗi cách chọn trên ta có 9.9 cách chọn phòng thi cho 2 thí sinh còn lại.
Do đó số cách xếp 5 thí sinh thỏa mãn điều kiện đề bài là.
 nΩ=C53.10.9.9=8100
Xác suất cần tìm là: PB=nBnΩ=8100100000=811000
Đáp số: PB=811000
Bài 6: ( Đề thi thử Trường Trần Quang Khải năm 2016 )
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp A. Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 5. [4]
Giải:	Đây có thể coi là một bài toán đếm: đếm số phần tử của A, đếm số phần tử của A chia hết cho 5. Rồi tính xác suất theo yêu cầu đề bài.
 Gọi B: “ Số từ tập A và chia hết cho 5 ”. Vì số 0 không thể đứng đầu, nên:
Ta có: + nA= 6.A63=720 
 + nB=1.A63+1.5.A52=220⇒PB=nBnA=220720=1136
 Kết luận: PB=1136
 Bài 7: ( Đề thi thử Trường chuyên Thoại Ngọc Hầu năm 2016)
Trong đợt ứng phó dịch Zika, WHO chọn 3 nhóm đi công tác ( mỗi nhóm gồm hai người một nam và một nữ ). Biết rằng WHO có 8 bác sỹ nam và 6 bác sỹ nữ thích hợp cho đợt công tác này. Hãy cho biết WHO có bao nhiêu cách chọn? [4]
Giải: + Số cách chọn 3 bác sỹ nam đi công tác là: C83=56
+ Số cách chọn 3 bác sỹ nữ đi công tác là: C63=20
+ Để ghép một bác sỹ nam đi cùng một bác sỹ nữ ta giữ nguyên vị trí bác sỹ nam (nữ ) rồi thay đổi vị trí của bác sỹ nữ ( nam ), với 3 bác sỹ nam và 3 bác sỹ nữ được chọn ta có số cách ghép nhóm là: 3!=6 
+ Theo quy tắc nhân ta có: 56.20.6= 6720 cách chọn.
Đáp số: 6720 cách chọn.
Bài 8: ( Đề thi thử Trường Chuyên Nguyễn Huệ năm 2016 )
 Một đoàn tàu có 3 toa chở khách đỗ ở sân ga. Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Có 4 vị khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau, chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên. [4]
Giải:+ Vì mỗi vị khách đều có 3 sự lựa chọn để lên tàu nên, ta có: 
nΩ=3.3.3.3.3=81
+ Gọi A: “ 1 trong 3 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên ”
Số cách để chọn 3 trong 4 vị khách lên cùng một toa tàu là: C43=4
Số cách để chọn 1 trong 3 toa tàu là: C31=3
Vị khách còn lại có 2 cách để chọn lên một 2 toa còn lại
Ta có: nA=4.3.2=24
 +Vậy: PA=nAnΩ=2481=827
 Đáp số: PA=827
Bài 9: ( Đề thi thử Trường Chuyên Hạ Long năm 2016)
Chương trình Táo Quân 2016 ( Gặp nhau cuối năm ) có một trò chơi tên là Vồng quay kỳ diệu dành cho các Táo, tương tự trò chơi truyền hình Chiếc nón kỳ diệu trên kênh VTV3. Chiếc nón hình tròn được chia đều thành các ô hình quạt, trong đó có 10 ô có tên “ Tham nhũng ”, 4 ô có tên “ Trong sạch ” và hai ô có tên “ Phần thưởng ”. Có 4 Táo ( Kinh tế, Xã hội, Giáo dục, Tinh thần ) cùng tham gia trò chơi này, mỗi Táo chỉ được quay ngẫu nhiên một lần. Tính xác suất để cả 4 Táo đều quay vào ô “ Trong sạch ”. [4]
Giải:+ Vì cả 4 Táo đều có thể quay vào 1 trong 16 ô nên, ta có: 
nΩ=16.16.16.16=164
+ Gọi A: “ Cả 4 Táo đều quay vào ô “ Trong sạch ””
Vì 4 Táo quay ở 4 lần khác nhau, mỗi lần đều có 4 cách để quay vào ô
 “ Trong sạch ”, nên ta có: nA=44
 +Vậy: PA=nAnΩ=44164=1256
 Đáp số: PA=1256
Bài 10:( Đề thi thử Trường Hà Huy Tập_Nghệ An năm 2016)
 Giải bóng đá do Đoàn trường Hà Huy Tập tổ chức có 16 đội tham gia, trong đó khối 10 có 5 đội bóng, khối 11 có 5 đội bóng, khối 12 có 6 đội bóng được bắt thăm ngẫu nhiên để chia thành 4 bảng A, B, C, D, mỗi bảng đấu có đúng 4 đội bóng. Tính xác suất để ở bảng A có đúng 2 đội bóng khối 10 và 2 đội bóng khối 11. [4]
Giải:+ Vì bài toán được hoàn thành khi thực hiện liên tiếp 4 hành động: Chọn 4 đội cho bảng A, chọn 4 đội cho bảng B, chọn 4 đội cho bảng C, chọn 4 đội cho bảng D nên, ta có: 
nΩ=C164.C124.C84.C44
+ Gọi A: “ Bảng A có đúng 2 đội bóng khối 10 và 2 đội bóng khối 11 ”
Ta có: nA=C52.C52.C124.C84.C44
 +Vậy: PA=nAnΩ=C52.C52.C124.C84.C44C164.C124.C84.C44=C52.C52C164=591
 Đáp số: PA=591
Bài 11:( Đề thi thử Trường Hồng Quang_Hải Dương năm 2016)
 Trường THPT Đoàn Kết thành lập đội “Thanh niên tình nguyện hè 2016 ” gồm 4 người được lấy ngẫu nhiên trong số 10 học sinh lớp 12A, 12 học sinh lớp 12B, 5 học sinh lớp 12C. Tính xác suất để lớp nào cũng có học sinh được chọn. [4]
Giải:+ Ta có: nΩ=C274
+ Gọi A: “ Lớp nào cũng có học sinh được chọn ”
Ta có: nA=C102.C121.C51+C101.C122.C51+C101.C121.C52=7200
 +Vậy: PA=nAnΩ=7200C274=1639
 Đáp số: PA=1639
Bài 12:( Đề thi thử Trường Đông Du_Đắc Lắc năm 2016)
 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn lớn hơn 2500.
Giải:+ Số thuộc S được lập từ các chữ số 0, 1, 2, ., 9. Số 0 không thể đứng đầu, nên ta có: nΩ=9.A93=4536
+ Gọi: A: “ Số được chọn từ S lớn hơn 2500 ”
nA=1.1.A82+1.4.A82+7.A93=5.A82+7.A93=3808
 +Vậy: PA=nAnΩ=38084536=6881
 Đáp số: PA=6881
Bài 13:( Đề thi thử Trường Thuận Thành 1_Bắc Ninh năm 2016)
 Xếp ngẫu nhiên 4 người đàn ông, 2 người đàn bà, 1 đứa trẻ ngồi vào 7 ghế đặt quanh một bàn tròn. Tính xác suất để đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn bà.
Giải:+ Số cách để xếp 7 người ngồi vào 7 ghế quanh 1 bàn tròn là: 6!=720 
Nên ta có: nΩ=6!=720 
+ Gọi: A: “ Đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn bà ”
Để hoàn thành công việc cần phải thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:
Xếp đứa trẻ ngồi cố định vào 1 ghế bất kỳ: có 1 cách ( vì bàn tròng nên các ghế có vai trò như nhau )
Xếp 2 người đàn bà ngồi vào hai bên đứa trẻ: có 2!=2 cách
Xếp 4 người đàn ông ngồi vào 4 ghế còn lại: có 4!=24 cách
Theo quy tắc nhân ta có: nA=1.2.24=48 cách
+Vậy: PA=nAnΩ=48720=115
 Đáp số: PA=115
Bài 14.	Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2.
Giải: Trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán.
Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có:
 + Ω=i,ji,j∈1, 2, ,36
⇒nΩ=36.36=1296
 + A={(i,j)|i∈1, 2, ,6,j∈13, 14, ,36}
 Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25 số) do đó theo quy tắc nhân nA=6.24=144
PA=nAnΩ=1441296=19
Đáp số: PA=19
Câu 15 : Chọn ngẫu nhiên một số có 2 chữ số từ các số 00 đến 99. Xác suất để có một con số tận cùng là 0 là:
A.0,2	B.0,1	C.0,3	D.0,4
Câu 16 . Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là
A.	B.	C.	D.
Câu 17 : Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân 2 số ghi trên 2 thẻ với nhau. Xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là:
A.	B.	C.	D.
Câu 18 : Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3 là:
A.	B.	C.	D.
Câu 19 . Sắp 3 quyển sách Toán và 3 quyển sách Vật Lí lên một kệ dài. Xác suất để 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là:
A.	B.	C. 	D.
DẠNG 2:
CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT SỬ DỤNG BIẾN CỐ ĐỐI
 Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phức tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn. Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy
Bài 1:( Đề thi thử Trường Lê Lợi _Thanh Hóa năm 2016 )
 Trong một tổ có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh tham gia buổi trực nề nếp. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. [4]
Giải:+ Ta có: nΩ=C124=495 
 + Gọi: A: “ 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ ”
 Khi đó A: “ 4 học sinh được chọn chỉ toàn nam hoặc nữ ”
	⇒nA=C54+C74=5+35=40
 ⇒PA=40495
+Vậy: PA=1-PA=1-40495=455495=9199
 Đáp số: PA=9199
Chú ý: Ta cũng có thể giải bài toán này theo cách làm trực tiếp với biến cố A. Khi đó ta phải xét 3 trường hợp, và:
 nA=C51.C73+C52.C72+C53.C71=455⇒PA=455495=9199
Bài 2:( Đề thi thử Trường THPT Phù Cát _Bình Định 2016)
 Cho đa giác ( H ) có 8 cạnh. Gọi S là tập hợp các đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ từ các đỉnh của đa giác ( H ). Tính xác suất để trong 2 đoạn thẳng được chọn có ít nhất 1 cạnh của đa giác ( H ). [4]
Giải:
+ Đa giác ( H ) có 8 cạnh nên có 8 đỉnh
⇒Số đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ từ các đỉnh của đa giác H là: nS=C82=28 
Trong đó có 8 cạnh và 20 đường chéo.
 + Ta có: nΩ=C282=378
 + Gọi: 
 A: “ Trong 2 đoạn thẳng được chọn có ít nhất 1 cạnh của đa giác ( H )”
Khi đó A: “ Trong 2 đoạn thẳng được chọn không có cạnh của đa giác ( H )”
Túc là A: “ Trong 2 đoạn thẳng được chọn đều là đường chéo của đa giác ( H )”
	⇒nA=C202=190
 ⇒nA=378-190=188
+Vậy: PA=188378=94199
 Đáp số: PA=94199
Chú ý: Ta cũng có thể giải bài toán này theo cách làm trực tiếp với biến cố A. Khi đó ta phải xét 2 trường hợp, và:
 nA=C81.C201+C82.C200=188⇒PA=188378=94199
Bài 3:( Đề thi thử Trường Quốc Oai_Hà nội năm 2016)
 Một lớp có 3 học sinh năng khiếu ngâm thơ, 4 học sinh năng khiếu múa, 5 học sinh năng khiếu hát. Cần chọn 6 học sinh trong số đó để thành lập một đội văn nghệ của lớp. Tính xác suất để 6 học sinh được chọn có đủ cả học sinh có năng khiếu ngâm thơ, múa và hát. [4]
Giải:+ Ta có: nΩ=C126=924
 + Gọi: A: “6 học sinh được chọn có đủ cả học sinh có năng khiếu ngâm thơ, múa và hát ”
 Khi đó A: “ 6 học sinh được chọn không có đủ cả học sinh có năng khiếu ngâm thơ, múa và hát”
 Vì số học sinh có năng khiếu mỗi loại đều nhỏ hơn 6, nên đội văn nghệ phải có ít nhất hai trong 3 loại năng khiếu trên.
 Nên biến cố A sẽ xảy ra 3 trường hợp: Đội văn nghệ không có học sinh có năng khiếu ngâm thơ; đội văn nghệ không có học sinh có năng khiếu múa; đội văn nghệ