SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng có yếu tố vuông góc trong không gian

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
Trang
1.1. Lý do chọn đề tài. 
1
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2
2.1. Cơ sở lý luận 
2
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
2
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
2
2.3.1. Các kiến thức liên quan
2
2.3.2.Các dạng toán và phương pháp
3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
11
2.4.1. Kết quả thực nghiệm 
11
2.4.2. Kết quả chung
11
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ	
12
3.1. Kết luận.
12
3.1. Kiến nghị.
12
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài. 
	Trong chương trình môn toán ở trường THPT, phần hình học không gian
giữ một vai trò hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: Cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính sáng tạo, tính bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy cho học sinh. Không những thế hình học không gian lại là phần rất quan trọng trong nội dung thi đại học của Bộ giáo dục. Đặc biệt là phần quan hệ vuông góc trong không gian chiếm phần lớn trong nội dung hình học. Các câu hỏi phần vận dụng cao thường rơi vào bài toán xác định thiết diện hoặc tính diện tích thiết diện có yếu tố vuông góc bài toán mà bấy lâu nay đa số các em học sinh thấy nản lòng.
Qua thực tế giảng dạy môn Toán ở trường THPT DTNT Ngọc Lặc, nhiều học sinh khi đứng trước bài toán tìm thiết diện, đặc biệt là thiết diện có yếu tố vuông góc trong không gian thường có tâm trạng hoang mang, không xác định được phương hướng, không biết phải làm những gì để tìm ra lời giải cho bài toán. Học sinh đọc phần hướng dẫn trong SGK, sách bài tập hay gợi ý của giáo viên thì dễ hiểu nhưng để tự làm một bài toán tìm thết diện thì lúng túng và khó khăn. 
Xuất phát từ lý do trên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã gom các dạng toán về thiết diện có yếu tố vuông góc và cách giải cụ thể để học sinh dễ hình dung hơn về loại toán này, với đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng có yếu tố vuông góc trong không gian” tôi mong muốn học sinh hứng thú học hình hơn, giáo viên có phương pháp dạy học hiệu quả và nâng cao chất lượng giáo dục THPT nói chung và của Trường THPT DTNT Ngọc Lặc nói riêng.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Ôn tập, củng cố kiến thức một cách hệ thống phần quan hệ song song.
- Rèn luyện kỹ năng dựng thiết diện phần quan hệ song song.
- Học kĩ các tính chất về quan hệ vuông góc thuộc bài “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài Hai mặt phẳng vuông góc”.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 - Đề tài này sẽ nghiên cứu hoạt động dựng thiết diện của học sinh cho các bài toán thiết diện có yếu tố vuông góc - hình học không gian lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu thông qua các tài liệu có sẵn.
- Tự nghiên cứu thông qua các ý tưởng toán học của bản thân.
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận 
Hình học không gian là môn học khó đối với học sinh lớp 11 và nhiều em không làm được bài tập. Vấn đề xác định thiết diện đặc biệt là thiết diện có yếu tố vuông góc gặp nhiều khó khăn: Về thời gian, phương pháp, trí tưởng tượng không gian, vẽ hình, lập luận, trình bày...
Qua những tiết dự giờ, quan sát dạy và học môn hình học lớp 11 phần quan hệ vuông góc đồng thời thăm dò ý kiến của giáo viên và học sinh trường THPT DTNT Ngọc Lặc tôi thấy cần phải đưa ra phương pháp xác định cho từng loại thiết diện nói chung và thiết diện có yếu tố vuông góc nói riêng nhằm tháo gỡ những khó khăn mà đa phần học sinh không nắm vững.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Qua kết quả điều tra thực trạng học sinh học hình trong nhà trường THPT DTNT Ngọc Lặc:
+ Rất ít học sinh có hứng thú đối với môn hình học, chưa có phương pháp học tập hiệu quả đối với môn học.
+ Các kiến thức cơ bản về hình học nói chung và hình học không gian lớp 11 nói riêng còn rất hạn chế.
+ Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình không gian còn yếu.
+ Kỹ năng vẽ hình trong không gian chưa tốt.
+ Kỹ năng dựng thiết diện nói chung và thiết diện có yếu tố vuông góc nói riêng còn chưa thành thạo và còn mơ hồ.
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các kiến thức liên quan
* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu thì a // b 	 
*Tính chất 3: (SGK trang 101)
b
aa
* Hệ quả 1(SGK trang 109):
2.3.2.Các dạng toán và phương pháp
* Dạng 1. Xác định thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng.
Bài toán: Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng a cho trước. 
Phương pháp giải.
Bước 1. Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng a, áp dụng tính chất 3(trang 101 SGK) thì đường thẳng đó sẽ song song với (p), áp dụng định lý 2(trang 61 SGK) để tìm các giao tuyến.
Bước 2. Nếu trong bài toán không tìm thấy được đường thẳng vuông nào góc với đường thẳng a, hoặc tìm chưa đủ các giao tuyến với hình chóp thì từ điểm M ta dựng MH vuông với a để tìm tiếp các giao tuyến còn lại.
Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại, cạnh bên . Mặt phẳng đi qua trung điểm của và vuông góc với cắt lần lượt tại . Tứ giác là hình gì?
A. Hình thang vuông.	B. Hình thang cân.
C. Hình bình hành.	D. Hình chữ nhật.
Phân tích: Theo bước 1 ta đi tìm các đường thẳng vuông góc với SB, ta dễ dàng thấy được từ đó áp dụng Tính chất 3(SGK trang 101) thì . 
Từ đó áp dụng Định lý 2(SGK trang 61) để tìm giao tuyến.
Lời giải
Ta có: 
Vậy (1)
Mà (2)
Từ (1) và (2) 
Tương tự ta chứng minh được 
Mà 
Vậy thiết diện là hình thang vuông tại . Chọn A
Ví dụ 2. (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) 
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh cạnh bên vuông
góc với đáy, cạnh bên tạo với đáy góc . Một mặt phẳng đi qua và
vuông góc với cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác có
diện tích bằng:
A..	 B..	 C..	 D..
Phân tích: Giống với VD1 ta làm từng bước theo cách làm, ta dễ thấy rằng . Nhưng SC và A lại không cùng thuộc một mặt phẳng nên trước khi sử dụng định lý 2 (SGK trang 61) ta phải tìm một điểm vừa thuộc 
mp() vừa cùng thuộc mặt phẳng với BD. Do đó ta phải sử dụng bước 2 trước là dựng AK vuông góc với SC, gọi I là giao điểm của SO và AK khi đó I là điểm cần tìm rồi mới quay lại bước 1 để tìm giao tuyến.
Lời giải
Gọi là hình chiếu của trên . Trong gọi 
 Ta có 
 mặt khác nên 
Ta có 
Thiết diện là tứ giác .
Ta có . 
Suy ra . Mà và .
Vậy. . Chọn B
Ví dụ 3. Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xét mặt phẳng đi qua vuông góc với SC tại điểm I nằm giữa S và C. Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng là?
 A. . B. .
 C. . D. .
Phân tích: Theo bước 1 ta đi tìm các đường thẳng vuông góc với SC, nhưng không có đường thẳng nào vuông góc với SC, Do đó ta sử dụng bước 2 là từ B hạ đường thẳng vuông góc với SC, từ đó tìm các giao tuyến còn lại.
Lời giải
Kẻ . Thiết diện là tam giác 
Ta có 
Gọi là trung điểm của . cân tại suy ra 
 . Chọn B
Ví dụ 4. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại , đáy lớn , , . Gọi là trung điểm của . là mặt phẳng qua và vuông góc với . Thiết diện của và hình chóp có diện tích bằng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm 
Thiết diện là hình thang vuông tại 
Chọn C
*Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều, là trung điểm của đường cao của tam giác , vuông góc với đáy. Gọi là điểm tùy ý trên đoạn thẳng (không trùng với và), mặt phẳng quavà vuông góc với . Thiết diện của và hình chóp là hình gì?
A. Hình thang vuông.	B.Hình thang cân.
C. Hình bình hành.	D. Tam giác vuông.
Bài 2. Cho hình chóp , , , mặt là hình chữ nhật với . là điểm thuộc cạnh , đặt . Mặt phẳng qua và vuông góc với cắt lần lượt tại . Thiết diện của và hình chóp là hình gì?
A. Hình thang vuông.	B. Hình thang cân.
C. Hình bình hành.	D. Hình vuông.
Bài 3: Cho tứ diện đềucạnh , là đường cao của tam giác . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với cắt theo giao tuyến có độ dài bằng?
A. .	B..	C..	D..	
Bài 4: Cho hình chóp ,có đáy là hình vuông tâm ,. Gọi là trung điểm của , là mặt phẳng qua và . Thết diện là hình gì?
A. Hình thang cân.	B. Hình thang vuông.
C. Hình bình hành.	D. Tam giác vuông.
Bài 5: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tai , và . Gọi là điểm trên cạnh vàmặt phẳng đi quavà vuông góc với . Giả sử thiết diện của hình chóp với là tứ giác . Tìm để thiết diện lớn nhất?
A. .	B..	C..	D..	
* Dạng 2. Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng.
Bài toán: Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P) chứa đường thẳng a và vuông góc với mp(Q). 
Phương pháp giải.
Bước 1: Từ 1 điểm A trên đường thẳng a sao cho qua A có thể dựng được đường thẳng b vuông góc với mp(Q) một cách dễ nhất. 
Bước 2: khi đó, mp(a,b) chính là mp(p) cần dựng.
Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp bằng các cách đã biết. 
Ví dụ 1. Cho tứ diện có đáy là tam giác vuông tại . Gọi là trung điểm cạnh là một điểm trên cạnh . Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với . Xác định thiết diện của và tứ diện.
A. Hình thang.	 	B. Hình thang vuông.
C. Hình bình hành.	D. Tam giác.
Phân tích: Theo cách làm, bước 1 từ một điểm trên ME dựng đường thẳng vuông góc với (SAB), ta thấy điểm thuộc mp(SAB) nên từ E ta dựng EF vuông góc với (SAB), ta lại dễ thấy BC cũng vuông góc với (SAB) nên EF//BC. Từ đó ta có lời giải.
Lời giải
Ta có: 
Ta lại có: 
Kẻ 
Nối ta được thiết diện cần tìm 
là hình thang . Chọn A
Ví dụ 2: Cho hình chóp , là hình chữ nhật, . Gọi lần lượt là trung điểm của . Gọi là mặt phẳng qua IJ và vuông góc với mặt . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
Lời giải
Ta có 
Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại K.
Do đó 
Ta có
Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ. 
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA= , và vuông góc với đáy, gọi () là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD). Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi ().
Phân tích: Trong bài toán này ta chỉ cần tìm giao điểm của () với hai cạnh SC và SD. Vì (SCD) vuông góc với () nên chắc chắn (SCD) sẽ chứa một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (). Dễ nghi ngờ đường thẳng đó chính là SD vì ta có .
Bây giờ ta giả sử () cắt SD tại H. Nếu ta chọn H sao cho thì lúc đó, kết hợp với , ta có . Suy ra .
Như vậy ta có (ABH) Chứa AB và vuông góc với (SCD). Điều này buộc . Vậy mấu chốt giúp ta xác định được () chính là điểm H.
Lời giải
 Trong tam giác SAD kẻ (1). 
Do (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Vì (ABH) chứa AB và vuông góc với (SCD) nên .
Do nên . Với K thuộc SC. Vậy thiết diện cần tìm là hình thang ABKH. Mặt khác do , mà 
. Vậy hình thang ABKH là hình thang vuông tại A và H. Ta có . Trong đó AB=a, Vì SA=AD=a nên HK là đường trung bình của tam giác SCD, nên , 
.
Vậy (đvdt)
*Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi (P) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Hãy tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P).
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông, . Gọi là tâm của hình vuông , là trung điểm của cạnh . Một mặt phẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng . Hãy xác định thiết diện tạo bởi và hình chóp. 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SBC và SAB. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua E, F và vuông góc với (SCD).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có gọi I là điểm trên đoạn SA sao cho 2AI = SI. J là điểm trên đoạn CD sao cho DJ = 2 JC. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua I,J và vuông góc với (SBD).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Kết quả thực nghiệm 
Để hiểu rõ hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm tôi tiến hành thực nghiệm sử dụng phương pháp trong sáng kiến kinh nghiệm dạy ở lớp 11A3 và dạy theo giáo án bình thường ở lớp đối chứng 11A6 sau đó tôi cho học sinh thực hiện bài kiểm tra 15 phút kết quả như sau:
STT
LỚP
SĨ 
SỐ
TB trở lên
Giỏi
Khá
T . Bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Lớp thực nghiệm
11A3
30
16
53,3
2
6,7
7
23,3
3
10
2
6,7
0
0
Lớp đối chứng
11A6
30
8
26,7
0
0
5
16,7
10
33,2
5
16,7
2
6,7
Nhận xét:
* Tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi tăng so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm. 
* Tỉ lệ học sinh đạt loại khá cũng không chênh lệch so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm. 
* Tỉ lệ học sinh trung bình ở lớp thực nghiệm nhiều hơn so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm và nhiều hơn.
* Tỉ lệ học sinh chưa đạt yêu cầu đã giảm rõ ở lớp thực nghiệm khi so với kết quả kiểm tra trước thực nghiệm và lớp đối chứng.
Qua số liệu của bảng, chứng tỏ phương pháp tôi đưa ra đã giúp đỡ học sinh tìm được thiết diện của hình chóp khi có yếu tố vuông góc. Tuy chưa làm tăng tỉ lệ học sinh giỏi, chỉ làm tăng nhẹ tỉ lệ học sinh khá và trung bình nhưng đã làm giảm tỉ lệ học sinh yếu kém. Và qua số liệu của bảng, tôi thấy tự tin và rất mừng vì đã giúp đỡ được các em học sinh thích học toán và chất lượng tăng lên rõ rệt, giúp các em tự tin hơn khi làm bài tập phần xác định thiết diện này. 
2.4.2. Kết quả chung
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
+ Học sinh đã chủ động hơn trong các bài tập về tìm thiết diện khi có yếu tố vuông góc.
 + Giúp các em hứng thú hơn khi học đến dạng toán này, từ đó hứng thú hơn khi học môn hình học không gian, nâng cao hiệu quả giờ dạy. 
 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ	
3.1. Kết luận.
Qua quá trình nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng có yếu tố vuông góc trong không gian” đã thu được một số kết quả:
+ Đề tài này tôi đã phân loại được các dạng bài tập và phương pháp giải các bài toán dựng thiết diện có yếu tố vuông góc một cách rõ ràng hơn.
+Dựa trên kinh nghiệm thực tế của giáo viên và qua kết quả thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết của đề tài là chấp nhận được, có tính hiệu quả và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành.
3.2. Kiến nghị.
Đối với giáo viên dạy học môn toán cần tách lọc các đối tượng học sinh để từ đó có phương pháp dạy học phù hợp. 
+ Đối với học sinh ở mức trung bình và dưới trung bình thì trang bị cho các em phương pháp và các bài tập dạng đơn giản để các em thực hành.
+ Đối với học sinh khá giỏi thì ngoài kiến thức cơ bản cần trang bị them cho các em các kiến thức rộng hơn và các bài tập có tính tư duy nhiều hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Tác giả
Trịnh Thị Hạnh
Tài liệu tham khảo
[1]. Bài tập Hình học 11 nâng cao, Văn Như Cương (Chủ biên) – Phạm Khắc Ban - Tạ Mân, Nhà xuất bản Gáo dục.
[2]. Bài tập Hình học 11, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3]. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Hình học 11, Nguyễn Đức Tấn, Nhà xuất bản Giáo dục.
[4]. Các bài giảng luyện thi môn Toán, Tập 1, Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất, Nhà xuất bản Giáo dục.
[5]. Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng từ năm 2002 đến 2013, Môn Toán.
[6]. SGK Hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh – Phan Văn Viện, Nhà xuất bản Giáo dục.
[7]. SGK Hình Học 11 Nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban – Tạ Mân, Nhà xuất bản Giáo dục.
[8]. Đề thi quốc gia năm 2015 đến 2018, môn Toán
DANH MỤCCÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trịnh Thị Hạnh 
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT DTNT Ngọc Lặc.
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
 1
Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn sử dụng giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải các bài toán thực tế mang tính tối ưu.
SỞ GD&ĐT
C
2016-2017