SKKN Hướng dẫn học sinh làm quen với bài toán xác định thiết diện của hình chóp

MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU.2
	I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI...2
	II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU2
	III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU2
	IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU2
B. PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM4
	I. CƠ SỞ LÍ LUẬN4
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM5
III. HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP6
IV. HIỆU QUẢ BƯỚC ĐẦU CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM16
C. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ..17
TÀI LIỆU THAM KHẢO.18
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
	Trong chương trình môn toán trung học phổ thông, bắt đầu từ cuối lớp 10 học sinh sẽ phải tiếp cận với những kiến thức mới lạ. Phần lớn học sinh đều bỡ ngỡ và có thái độ buông xuôi, cũng bởi ngày này các em được gần gủi với nhiều trò chơi vô bổ để quên đi công việc học tập cần thiết. Đặc biệt phân môn hình học thực sự gây vô vàn khó khăn cho học sinh khi các em bước sang phần “hình học không gian”, từ “Chương II – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG” của lớp 11. 
	Qua thực tế giảng dạy tôi thấy cần tạo cho học sinh một sự tự tin nhất định để các em có thêm tình yêu với phần hình học không gian. Cụ thể là khi học sinh học phần thiết diện của hình chóp, các em thường vẽ hình sai hoặc chưa có hướng để thực hiện bài toán. Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra đề tài: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề tài cung cấp cho học sinh một số dạng khi xác định thiết diện của hình chóp giúp các em phần nào đó dễ dàng hơn trong cách tư duy.
Đề tài cũng là một góp ý nhỏ cho các đồng nghiệp trong khi thiết kế bài giảng của mình.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
	Đối tượng được đề tài nghiên cứu là các bài toán xác định thiết diện của hình chóp trong phạm vi kiến thức quan hệ song song.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
Củng cố khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng, một số kết quả về sự song song của hai đường thẳng trong không gian.
Nghiên cứu các dạng bài toán xác định thiết diện của hình chóp.
2. Phương pháp thu thập thông tin, thống kê, xử lí số liệu
Thu thập thông tin thông qua các nhiệm vụ giao cho học sinh như: Bài tập vận dụng trên lớp, bài tập về nhà.
Thống kê số lượng học sinh hoàn thành nhiệm vụ, biết vận dụng để từ đó đánh giá được hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Lấy ý kiến phản biện từ các đồng nghiệp.
Điều chỉnh nội dung và phương pháp để sáng kiến kinh nghiệm đạt hiệu quả cao nhất.
B. PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN [1], [2], [3], [4]
1. Giao tuyến của hai mặt phẳng
Nếu hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và viết là .
2. Giao tuyến của hai mặt phẳng liên quan đến sự song song giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho mặt phẳng song song với đường thẳng .
Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng và có giao tuyến với mặt phẳng là đường thẳng thì đường thẳng song song với đường thẳng .
3. Giao tuyến của hai mặt phẳng liên quan đến sự song song giữa hai mặt phẳng
Cho mặt phẳng song song với mặt phẳng .
Nếu mặt phẳng có giao tuyến với mặt phẳng là đường thẳng và có giao tuyến với mặt phẳng là đường thẳng thì đường thẳng song song với đường thẳng .
4. Thiết diện của hình chóp và cách xác định
Thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng là phần chung của hình chóp và mặt phẳng.
Để xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Xác định các đoạn giao tuyến (Phần của giao tuyến nằm trong các mặt của hình chóp) của mặt phẳng với các mặt của hình chóp nếu có.
Bước 2. Hình đa giác được tạo thành bởi các đoạn giao tuyến ở trên chính là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng .
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	Khi bước sang phần hình học không gian thì học sinh rất ngại vẽ hình, các em thường vẽ hình sai, vẽ hình không có nét đứt hoặc vẽ hình không thoáng. Một bộ phận học sinh trung bình khá vẽ hình tạm ổn nhưng chưa thể định hình bài toán. 
III. HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP [1], [2], [3], [4], [5]
1. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua ba điểm
	Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm hai điểm chung khác nhau của mặt phẳng đề bài yêu cầu và các mặt của hình chóp, để từ đó có được các đoạn giao tuyến. 
Ví dụ 1. Cho tứ diện . Lấy điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và sao cho hai đường thẳng và không song song với nhau. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng .
Dấu hiệu khai thác: Do hai đường thẳng và không song song với nhau mà cùng nằm trong mặt phẳng nên chúng cắt nhau.
Giải:
Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Khi đó ta có: 	. Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng là tứ giác . 
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Lấy điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Dấu hiệu khai thác: Do điểm nằm giữa hai điểm và nên hai đường thẳng và cùng nằm trong mặt phẳng và không song song với nhau, từ đó chúng cắt nhau.
Giải:
Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Khi đó ta có:	 	. Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là tứ giác . 
Ví dụ 3. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Lấy điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Dấu hiệu khai thác: Do điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và nên các cặp đường thẳng và , và cùng nằm trong mặt phẳng và không song song với nhau, từ đó chúng cắt nhau.
Giải:
Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và , là giao điểm của hai đường thẳng và . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Khi đó ta có: 	. Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là ngũ giác .
Ví dụ 4. Cho hình chóp . Lấy điểm nằm trong tam giác . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Dấu hiệu khai thác: Do điểm nằm trong tam giác nên hai đường thẳng và cùng nằm trong mặt phẳng và không song song với nhau, từ đó chúng cắt nhau. 
Giải:
Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Khi đó ta có: 	. Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là tứ giác 
2. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau
Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm giao tuyến của mặt phẳng đề bài yêu cầu và các mặt của hình chóp có chứa đường thẳng song song với nó, để từ đó có được các đoạn giao tuyến. 
Ví dụ 5. Cho tứ diện . Lấy điểm nằm giữa hai điểm và . Giả sử là mặt phẳng đi qua điểm và song song với hai đường thẳng và . Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng .
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng và mặt phẳng có điểm chung là và mặt phẳng song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng nên giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng (Tương tự với đường thẳng ).
Giải:
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Khi đó ta có: 	. Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng là hình bình hành 
Ví dụ 6. Cho hình chóp . Gọi là giao điểm của hai đường chéo và . Giả sử là mặt phẳng đi qua điểm và song song với hai đường thẳng và . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng và mặt phẳng có điểm chung là và mặt phẳng song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng nên giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng (Tương tự với đường thẳng ).
Giải:
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt các đường thẳng lần lượt tại các điểm . Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Khi đó ta có: 	. Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là hình thang với hai đáy là và .
3. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng
Trong dạng bài tập này chúng ta vẫn sẽ khai thác công việc tìm giao tuyến của mặt phẳng đề bài yêu cầu và các mặt của hình chóp có chứa đường thẳng song song với nó, để từ đó có được các đoạn giao tuyến. 
Ví dụ 7. Cho tứ diện . Gọi là trung điểm của cạnh , lấy điểm nằm giữa hai điểm và . Giả sử là mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với đường thẳng . a. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng . b. Xác định vị trí của điểm để thiết diện là một hình bình hành.
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng và mặt phẳng có điểm chung là và mặt phẳng song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng nên giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng (Tương tự với điểm ).
Giải:
a. Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Khi đó ta có: 	. Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng là hình thang với hai đáy là và . b. Hình thang có hai đáy là một hình bình hành khi . Do là đường trung bình của tam giác nên , từ đó khi . Vậy là trung điểm của cạnh .
Ví dụ 8. Cho hình chóp . Lấy điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và . Giả sử là mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với đường thẳng . a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng . b. Xác định điều kiện của đường thẳng để thiết diện là một hình thang.
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng và mặt phẳng có điểm chung là và mặt phẳng song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng nên giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng .
Giải:
a. Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của hai đường thẳng và Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Khi đó ta có: 	. Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là tứ giác . b. Tứ giác là hình thang khi hai đường thẳng và song song với nhau hoặc hai đường thẳng và song song với nhau. * Nếu hai đường thẳng và song song với nhau thì đường thẳng sẽ song song với đường thẳng . Khi đó đường thẳng song song với mặt phẳng (Vô lí). * Nếu hai đường thẳng và song song với nhau thì khi đó hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng và có giao tuyến là đường thẳng nên đường thẳng song song với đường thẳng . Ngược lại nếu đường thẳng song song với đường thẳng thì khi đó hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng và có giao tuyến là đường thẳng nên đường thẳng song song với đường thẳng . Vậy đường thẳng song song với đường thẳng . 
4. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng
Trong dạng bài tập này chúng ta sẽ khai thác công việc tìm giao tuyến của mặt phẳng đề bài yêu cầu và các mặt của hình chóp không song song với nó, để từ đó có được các đoạn giao tuyến. 
Ví dụ 9. Cho tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Giả sử là mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng . a. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng . b. Tính diện tích của thiết diện.
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng song song với mặt phẳng . Khi đó mặt phẳng thứ ba sẽ cắt hai mặt phẳng theo hai giao tuyến song song với nhau.
Giải:
a. Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Khi đó ta có: 	. Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng là tam giác đều . b. Ta có là đường trung bình của tam giác nên . Vậy . 
Ví dụ 10. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Lấy điểm nằm giữa hai điểm và . Giả sử là mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng song song với mặt phẳng . Khi đó mặt phẳng thứ ba sẽ cắt hai mặt phẳng theo hai giao tuyến song song với nhau.
Giải:
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , cắt đường thẳng tại điểm . Khi đó ta có: 	. Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là hình thang với hai đáy là và . 
IV. HIỆU QUẢ BƯỚC ĐẦU CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	Sáng kiến kinh nghiệm được tác giả giảng dạy cho lớp 11B trường THPT Tống Duy Tân năm học 2018 – 2019 ở các tiết về thiết diện của hình chóp. Sau khi lĩnh hội nội dung của sáng kiến kinh nghiệm thì phần lớn học sinh tỏ ra tích cực và hăng say hơn trong các tiết hình học. Kết quả kiểm tra hầu hết học sinh đều đạt được mục tiêu đề ra. 
C. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
	Bài toán xác định thiết diện của hình chóp là một bài toán không hề dễ dàng đối với học sinh. Tuy nhiên nếu các em được rèn luyện từ những điều nhỏ nhất để hình thành một thói quen tốt thì tôi tin rằng đông đảo học sinh sẽ yêu quí hơn phần hình học không gian.
	Khi áp dụng đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP” vào giảng dạy sẽ giải quyết được một số vấn đề cơ bản sau:
	1. Giúp học sinh chín chắn hơn khi vẽ hình không gian, nắm được các dạng bài toán xác định thiết diện của hình chóp.
	2. Phát triển tư duy và tính sáng tạo của học sinh trong hình học.
	Tôi hy vọng một ít kinh nghiệm của mình có thể góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung cũng như bài toán xác định thiết diện của hình chóp nói riêng. Tôi đã rất cố gắng trong lúc soạn thảo đề tài này, tuy nhiên do điều kiện thời gian và kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên sẽ không tránh được các thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ bạn bè đồng nghiệp để đề tài này được hoàn thiện hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019
Tôi cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
LÊ VĂN DŨNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Hình học 11, nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, năm 2010
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 11 nâng cao, nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, năm 2014
Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên): Bài tập hình học 11, nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, năm 2013
Văn Như Cương (Chủ biên): Bài tập hình học 11 nâng cao, nhà xuất bản giáo dục, năm 2009
Trần Văn Hạo (Chủ biên): Chuyên đề luyện thi vào đại học hình học không gian, nhà xuất bản giáo dục, năm 2006