SKKN Hướng dẫn học sinh khá, giỏi THPT nhận dạng và giải một số dạng toán hệ phương trình nhiều ẩn thường gặp

 Mục lục
Nội dung
Trang
1. MỞ ĐẦU
3
1.1. Lí do chọn đề tài
3
1.2. Mục đích nghiên cứu
4
1.3. Đối tượng nghiên cứu
4
1.4. Phương pháp nghiên cứu
4
1.5. Những điểm mới của SKKN
5
2. NỘI DUNG
5
2.1.Cơ sở lí luận
5
2.2. Thực trạng của vấn đề
6
2.3. Nôi dung 
7
2.3.1.Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh
7
2.3.2. Hệ phương trình giải bằng phương pháp lượng giác hóa
9
2.3.3. Hệ phương trình hai ẩn không mẫu mực
13
2.3.4. Bài tập áp dụng phương pháp
17
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
18
3. KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ
19
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
20
Các kí hiệu viết tắt
THPT : trung học phổ thông
HSG : học sinh giỏi
ĐH, CĐ : Đại học, cao đẳng
GV : giáo viên
GVG : giáo viên giỏi
NXBĐHQGHN : nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội
NXBGD : nhà xuất bản giáo dục.
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 	Toán học là môn khoa học cơ bản của các môn học khác, đòi hỏi người học, người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mĩ và kiên nhẫn mới có thể nắm được. Nó là môn học khó, trừu tượng với thời lượng và nội dung chương trình sâu gây khó khăn cho người học và người dạy. Thực tế cho thấy nhiều học sinh đam mê, yêu thích về toán nhưng kết quả thi HSG, thi đại học không cao so với các môn khác. Là giáo viên ra trường 15 năm, có kinh nghiệm giảng dạy đội tuyển HSG và luyện thi ĐH, THPT quốc gia nhưng tôi vẫn còn băn khoăn và vướng mắc nhiều vấn đề , đặc biệt là hệ phương trình trong đó có hệ phương trình nhiều ẩn. Tại trường THPT Triệu Sơn 5 nơi tôi công tác, chất lượng đầu vào thấp, giáo viên chưa tiếp cận nhiều, còn lúng túng chưa giải quyết thỏa đáng cho học sinh, đặc biệt học sinh gần như không định hướng được, điều đó gây cản trở giữa việc ôn thi HSG của nhà trường nói chung, chất lượng giảng dạy mũi nhọn nói riêng. Theo tinh thần Đại hội Đảng toàn quốc vừa diễn ra “ giáo dục đào tạo là quốc sách hàng đầu, đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho sự phát triển, nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, nhất là đối tượng nhân lực chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu hội nhập với thế giới” càng cần hơn đối tượng học sinh mũi nhọn để đi sâu vào nghiên cứu khoa học, giảm thiểu sự thiếu và yếu về lính vực này.
 	 Ở đây tôi không đề cập đến vấn đề giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và ba ẩn giải bằng phương pháp cộng, thế thông thường vì đó là kiến thức cơ bản SGK viết rất kĩ mà tôi chỉ đề cập đến hệ nhiều ẩn giải bằng các phương kháp “không mẫu mực”. Ta biết rằng hệ phương trình chiếm một phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT, không chỉ ở lớp 10 mà cả lớp 11 và đặc biệt lớp 12. Nó không chỉ thường xuyên gặp trong các kì thi ĐH, CĐ, thi THPT quốc gia, thi HSG các cấp, thi chọn GV giỏi mà còn ở kì thi chọn HSG quốc gia bậc THPT.
 	Thực tiễn trong đời sống cần giải quyết bài toán ứng dụng trong sản xuất (qui hoạch tuyến tính) đòi hỏi ta giải hệ phương trình, hệ bất phương trình để nhằm đáp ứng nhu cầu xã hội đồng thời rèn luyện tư duy cho người học. Hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu sâu về vấn đề khó này cũng như đề ra các biện pháp giúp học sinh tìm hiểu và nắm bắt tốt hơn vấn đề này.
 	Tôi cho rằng khi ôn luyện cho học sinh khá giỏi trong các kì thi đã bắt gặp nhiều bài toán như hệ phương trình tham số, hệ chứa căn, hệ phương trình giải bằng phương pháp hàm số, đánh giá nhận xét bằng bất đằng thức, bằng công cụ đạo hàmcụ thể kì thi ĐH nhiều năm, thi HSG trường năm 2004, thi GVG trường 2010-2011, HSG tỉnh Ca si o và văn hóa năm 2011 đến 2015, thi thử THPT quốc gia năm 2015, năm 2016 Một lượng không nhỏ các bài toán chuyển về làm việc với đối tượng là hệ phương trình thông qua phép đặt ẩn phụ như bài toán về phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, v.vTrong suốt quá trình giảng dạy và ôn luyện HSG các cấp, thi ĐH, thi THPT quốc gia tôi đã giúp học sinh nhận dạng và giải một số hệ nhiều ẩn với mục đích chuyển đổi bài toán phức tạp về bài toán đơn giản hơn thông qua việc phân loại cũng như đưa ra các bài tập tương tự đinh hướng, gợi mở, đồng thời đưa ra một số bài tập tổng hợp.Vì vậy tôi chọn đề tài
“Hướng dẫn học sinh khá, giỏi THPT nhận dạng và giải một số dạng toán hệ phương trình nhiều ẩn thường gặp” 
1.2. Mục đích nghiên cứu
 	 Nhằm nâng cao khả năng sáng tạo của học sinh khi ôn luyện thông qua việc tổng quát hóa, giúp GV khi giảng dạy, khả năng đúc rút kinh nghiệm dạy hệ phương trình nhiều ẩn phức tạp dưới cái nhìn khác nhau, khả năng ứng dụng tiến bộ của đề tài trong việc dạy học và giáo dục, đồng thời rèn kỹ năng nghiên cứu khoa học, tư duy hàm của học sinh đồng thời góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả công tác bồi dưỡng HS khá giỏi cho mỗi giáo viên trong trường THPT.
Thông qua các hệ phương trình nhiều ẩn giải bằng các phương pháp khác nhau như phương pháp hàm số ở hệ hoán vị vòng quanh, phương pháp lượng giác hóa ,cộng đại số, đặt ẩn phụ đặc biệt, đánh giá bằng bất đẳng thức.tạo cho học sinh khá giỏi nhận dạng , giải thành thạo hơn khi gặp các dạng hệ trong các kì thị HSG trường, tỉnh và chọn đội tuyển thi HSG quốc gia.
 Đưa ra lời giải, các biện pháp giúp học sinh giải quyết tốt khi đứng trước một bài toán về hệ phương trình nhiều ẩn khó hay xuất hiện trong các kì thi HSG và từ đó có thể khái quát hóa thành các bài toán khác có liên quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Học sinh khá giỏi các lớp : Lớp 12A10,THPT Cầm Bá Thước năm 2003 - 2006
Lớp 12 B2 THPT Cầm Bá Thước năm 2006 – 2009
Lớp 12 A7 THPT Triệu Sơn 5 năm 2011 – 2012
Lớp 12 C1 THPT Triệu Sơn 5 năm 2014– 2015
Lớp 12 B1, 12B5,12B6 THPT Triệu Sơn 5 năm 2015– 2016
Đề tài nghiên cứu, tổng kết đưa ra các “hướng dẫn học sinh khá, giỏi THPT nhận dạng và giải các dạng toán hệ phương trình nhiều ẩn thường gặp ”
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp thực nghiệm ( thông qua thực tế dạy học trên lớp, dạy đội tuyển, dạy ôn thi đại học, hội thảo chuyên đề trong tổ, kiểm tra, đánh giá, thi GVG cấp trường, GVG cấp tỉnh)
 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
1.5. Những điểm mới của SKKN
Đối với các SKKN đã đề cập trước đây có đề tài tương tự nhưng ở đây không đưa ra các phương pháp tổng quát giải hệ (cộng , thế, đặt ẩn phụ, đồ thị,..) mà chỉ xoáy sâu về hệ hoán vị vòng quanh, hệ giải được bằng phương pháp lượng giác hóa, hệ hai ẩn không mẫu mực giải bằng phương pháp đánh giá ít gặp kì thi THPT nhưng hay gặp ở kì thi HSG các cấp ở mặt nhận dạng, thể hiện thông qua cách giải và bài tập tương tự.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận 
Định nghĩa1: 
Hàm số có đạo hàm trên K( khoảng, đoạn, nửa khoảng). Nếu thì hàm số đồng biến trên K. Nếu thì hàm số nghịch biến trên K. tại hữu hạn điểm thuộc K.
Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu với mọi a, b thuộc K, .
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu với mọi a,b thuộc K, .
Tính chất 1: Xét hệ phương trình có dạng :
Nếu hàm số f và g cùng tăng trên A và là nghiệm của phương trình, trong đó thì . 
 Chứng minh : 
 Không mất tính tổng quát giả sử : . 
Giả sử ta có : .
Vậy : 
Từ đó suy ra : .
Tính chất 2: Xét hệ phương trình có dạng (với n lẻ):
Nếu hàm số f giảm trên tập A, g tăng trên A và là nghiệm của phương trình, trong đó thì với n lẻ .
Chứng minh : 
 Không mất tính tổng quát giả sử: . Ta có 
 .
Từ đó suy ra: .
Tính chất 3: Xét hệ phương trình có dạng (với n chẵn) ): 
Nếu hàm số f giảm trên tập A, g tăng trên A và là nghiệm của phương trình, trong đó thì với n chẵn .
Tính chất 4: Nếu hai vế của phương trình đơn điệu ngược chiều (vế luôn đồng biến, vế kia luôn nghịch biến trên cùng tập K) hoặc một vế đơn điệu, vế kia là hằng số thì phương trình có tối đa một nghiệm nên nếu nhẩm được một nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
Tính chất 5: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).
Lưu ý: Khi tập xác định hay khoảng đồng biến nghịch biến của hai hàm khác nhau ta xử lí hệ hoán vị vòng quanh bằng phương pháp khác.
Trong phạm vi của đề tài ta sử dụng các tính chất trên để giải hệ hoán vị vòng quanh 3 ẩn tuy nhiên một số trường hợp cần tạo ra biến mới bằng cách thế, đặt ẩn phụ, cộng , trừ, nhân theo vế các phương trình của hệ với nhau hoặc với hệ số thực. Ngoài ra còn sử dụng phương pháp lượng giác hóa hoặc đánh giá bằng bất đẳng thức.
- Nếu ta đặt , với 
-Nếu ta đặt, với 
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
 	Vài năm trở lại đây trong xu thế đổi mới chương trình, SGK theo hướng tích hợp. Ngành giáo dục cũng đã tổ chức nhiều hội thảo, nhiều đợt học chuyên đề cho giáo viên, đổi mới phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm, đổi mới cách kiểm tra, đánh giá nhằm phát huy tính chủ động, tích cực của học sinh, tăng cường khả năng tự học của học sinh. Đi kèm theo theo đó khâu ra đề thi ĐH, CĐ, thi THPT quốc gia, thi HSG. 
 	 Bản thân tôi đã từng giảng dạy ở THPT Cầm Bá Thước,Thường Xuân và hiện nay ở trường THPT Triệu Sơn 5 nơi tôi đang công tác, trong nhiều lần tổ chức thi HSG, thi ĐH, thi GVG trường, GVG tỉnh, thi THPT quốc gia, học sinh,giáo viên đều lúng túng và không giải được loại toán này. Phương pháp này được áp dụng ở nhiều vấn đề nên việc nhận dạng và định hướng gặp khó khăn, chưa nói đến
những vấn đề biến đổi phức tạp. Đây là vấn đề khó không chỉ đối với học sinh mà ngay cả GV trực tiếp giảng dạy. Do đó cần đưa ra các biện pháp giải quyết vấn đề. Thực chất khảo sát chất lượng lớp chọn trong trường đến 98% không nhận biết được còn 100% học sinh đại trà không hiểu vấn đề. 
Bảng thống kê số liệu các năm
Lớp thực nghiệm các năm
2003-2006
2006-2009
2009- 2012
2013-2016
Số HS khá giỏi tiếp thu được trên tổng số học sinh lớp
5/55
9/55
12/50
16/51
Tài liệu về hệ phương trình chưa nhiều, có chăng chỉ đưa ra cách giải, chưa phân tích, nêu ra các biện pháp thực hiện.
 	Từ những thực trạng trên, tôi thiết nghĩ đưa ra một cách tiếp cận với một số dạng bài toán hệ phương trình nhiều ẩn là hoàn toàn cần thiết nhằm giúp học sinh đơn giản hóa bài toán phức tạp, qui lạ về quen, đề xuất các hướng giải quyết các bài toán mới nảy sinh và phân loại các bài toán giải bằng phương pháp lượng giác hóa, nhằm giúp HS “ gỡ rối ” trong các kì thi. Đồng thời giúp học sinh có cái nhìn sâu hơn về phương pháp mới để giải các bài toán thông thường.
2.3. Nội dung 
2.3.1. Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh
Thí dụ 1 : Giải hệ phương trình : 
 (HSG Quốc Gia 1994 ) 
Giải :
Nhận dạng: Đây là hệ hoán vị vòng quanh
Xét hàm số: 
Ta có: 
Vậy hàm số đồng biến trên R. Ta viết lại hệ phương trình sau : Không mất tính tổng quát nếu giả sử : . Lúc đó : 
 .Hay : 
Vậy: , Xét phương trình : 
Do hàm số : đồng biến trên R nên pt có nghiệm duy nhất x = 1
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : .
Biện pháp1: Đưa ra bài toán tổng quát (Tính chất 1) để HS nhận biết và áp dụng.
Thí dụ 2: Giải hệ phương trình: 
Giải: 
Vế trái của hệ phương trình luôn dương nên : .
Xét hàm số: , ta có :.
Vậy hàm số nghịch biến trên.
Không mất tính tổng quát nếu giả sử: . Lúc đó:
 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất . 
Biện pháp 2: Đưa ra bài toán tổng quát 2(tính chất 2) để học sinh nhận dạng và thể hiện 
Thí dụ 3: Giải hệ phương trình: 
Giải : Ta có . Xét hàm số :, ta có :. Do đó hàm số sẽ tăng trên và giảm trên ( Do f(s) liên tục trên R ).
Không mất tính tổng quát nếu giả sử .
+ Nếu , do đó theo bài toán tổng quát 1 hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu , hay 
Tương tự .
Vậy.
Ta có:.
Vậy .
Khi đó : 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm : và .
Biện pháp 3: Đư ra bài toán tổng quát( Tính chất 3) để học sinh nhận dạng và thể hiện. 
Như vậy một số hệ hoán vị vòng quanh học sinh nắm vững ba tính chất trên sẽ giải được. Ngoài ra cho HS giải các bài tập áp dụng ở cuối đề tài. Ta hãy xét một số hệ hoán vị vòng quanh không giải được bằng phương pháp này.
2.3.2. Hệ phương trình giải bằng phương pháp lượng giác hóa
Thí dụ 4: Giải hệ phương trình: 
Giải :	 
Điều kiện: 
Đặt với, khi đó hệ phương trình
Đặt 
Ta có : 
Với , ta có : 
Nhận xét: Nếu , ta đặt , với 	.
Nếu giải bằng phương pháp thông thường rất khó thậm chí không giải ra được. Tương tự ta xét ví dụ khác.	
Thí dụ 5: Giải hệ phương trình: 
Giải :	 
 Do . Đặt với .
 Khi đó (1) 
Hệ có 6 nghiệm ,
Nhận xét: Nếu :, ta đặt ,với . 
Đây là cách giải duy nhất của bài toán này. Học sinh phải nhận dạng được. 	
Thí dụ 6 : Giải hệ phương trình: 
 Giải :
Ta có : . Do đó:
Đặt với (4) sao cho (5).
Tương tự bài trên hệ có 7 nghiệm 
Nhận xét: Với mọi số thực x và sao cho . 
Mặc dù đây là hệ hoán vị vòng quanh nhưng không giải được bằng phương pháp trước đó.
Thí dụ 7: Giải hệ phương trình: 
Giải
Viết lại hệ phương trình dưới dạng :
	 (I)
Điều kiện x, y, z . Khi đó hệ (I) (II)
Đặt với (4) sao cho (5).
Khi đó từ (2), (3), (1) có : và 
Từ đó suy ra là nghiệm của (II) khi và chỉ khi , , với thỏa mãn điều kiện (4), (5) và (6).
Lại có : 
Với thỏa mãn (4) và (6) khi và chỉ khi với k nguyên dương : 
Vậy hệ có tất cả 25 nghiệm là :
Nhận xét: Không phải hệ hoán vị vòng quanh nào cũng giải được bằng phương pháp xét hàm đặc trưng như ở dạng toán thưc nhất, bài toán này giải bằng phương pháp lượng giác hóa nhưng khó về mặt định hướng. GV cho HS giải bài tập ứng dụng ở cuối đề tài giúp HS khá giỏi định hướng ,làm quen, giải tốt hơn phần này.
Thí dụ 8: Giải hệ phương trình:
Giải : 
Nhận xét: cùng dấu. Nếu là nghiệm của hệ phương trình cũng là nghiệm của hệ phương trình và dương .
Đặt .
Ta có 
(1) 
Từ (2) suy ra : 
.
Do nên là các góc của một tam giác có ba cạnh 3, 4, 5. Do là tam giác vuông nên 
Nhận xét: Ta thường gặp hệ hai ẩn giải bằng phương pháp cộng, thế ,nhân chia theo vế, đặt ẩn phụ, đưa về hệ đồng bậc, xét hàm số đặc trưng, đánh giá. Ở đây ta đưa ra cách giải đối với hệ hai ẩn không mẫu mực.
2.3.3. Hệ phương trình hai ẩn không mẫu mực.
Thí dụ 9: Giải hệ phương trình: 
Giải : 
Giả sử hệ phương trình đã cho có nghệm 
Ta thấy (2) tương đương với : . 
Hệ phương trình đã cho có nghiệm x khi (3)
Mặt khác (2) tương đương với : 
Hệ phương trình đã cho có nghiệm y khi
 (4)
Từ (3) và (4) ta có: , không thỏa mãn (1).
Vậy hệ phương trình vô nghiệm .
Nhận xét: Hệ này giải bằng phương pháp đánh giá
Biện pháp 4 : Đưa ra bài tập tương tự ở cuối SKKN, yêu cầu Hs giải, chỉnh sửa, gợi ý (nếu cần).
Thí dụ 10: (Thi HSG trường Triệu Sơn năm 2015) 
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình: (1) có nghiệm .
Giải : 
Nhận xét: Đây là hệ đẳng cấp bậc hai, đặt x = ty.
+ Với hệ trở thành . Hệ có nghiệm khi 
+ Với , đặt , hệ trở thành 
Vậy HPT (1) có nghiệm khi và chỉ khi HPT (2) có nghiệm .
Xét hệ (2), từ suy ra . 
Do đó (2) có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số trên khoảng . 
Ta có : , 
Lập bảng biến thiên :
t
 -1 
f’(t)
	-	 0 +
	+	 0 -	
 -
f(t)
Từ BBT ta có : .
Biện pháp 5:
Đưa ra dạng hệ đẳng cấp bậc hai, bậc 3, hệ đồng bậc 	
Cách giải chia theo vế, đặt x = ty 
Thí dụ 11: Giải hệ phương trình: 
Giải : 
Rõ ràng nếu thì hệ vô nghiệm.
Với , từ (2) suy ra , thay vào(1) ta có : (3). 
Xét hàm số:, 
Ta có: Suy ra :.
Ta có BBT : 
 y
	-1 
f’(y)
	+	0	-
 -
f (y)
	0
Từ BBT suy ra pt(3) không có nghiệm trên và .
Phương trình có nghiệm và 1 nghiệm trong khoảng 
Ta thấy là nghiệm thuộc .
Vậy hệ có hai nghiệm là : và .	
Biện pháp 6: Đánh giá bằng đạo hàm, sử dụng tính chất 4 đã nêu ở phần lí luận.
Thí dụ 12: (Thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 trường Triệu Sơn 5)
Giải hệ phương trình: 
Giải : 
Nhận dạng: Đưa phương trình thứ nhất về dạng hai vế đơn điệu ngược chiều, sử dụng tính chất 4, yêu cầu làm bài tương tự ở cuối SKKN.
Điều kiện: .
Đặt thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
 (1).
Vế trái là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến nên t = 1 là nghiệm duy nhất của (1). 
Thay vào phương trình thứ hai ta được :.
Vế trái là hàm đồng biến nên y = -1 là nghiệm duy nhất (2). 
Đáp số : .
Thí dụ 13: Giải hệ phương trình: 
 ( HSG Quốc Gia 2000 B )
Giải : 
Nhận xét: Sử dụng phép đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Điều kiện: .
Đặt với .
Ta có :
Nhận thấy : . Kết hợp với (1) suy ra : , thay vào (2) ta được :
Thay (3) vào (2) ta có: 
Thay vào (3) suy ra nghiệm của hệ phương trình là: .
Thí dụ 14: Giải hệ phương trình: 
 ( HSG Quốc Gia 1996 A )
Giải : 
Nhận xét: Biến đổi hệ, nhân theo vế, đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai.
Điều kiện: với .
Dễ thấy, nếu là nghiệm của hệ pphương trình ta phải có x > 0, y > 0 . 
Do đó :
Hệ 
Nhân (1) với (2) ta được:
(x>0,y>0) Thay vào (2) và giải ra ta được : .
2.3.4. Bài tập áp dụng phương pháp
 Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a. b. c. 
 d. e. f. 
 g. h. 
 i. k. 
 ( HSG Quốc Gia 2004 B )
 Bài 2: Chứng minh với mọi , có nghiệm duy nhất .	 
 Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a. (Thi thử HSG Casio 2015 trường Triệu Sơn 5)
 b. (HSG Quốc Gia 2006 B)
Biện pháp: Giao các bài tập trên cho HS đội tuyển chuẩn bị trong 1 tuần,nếu cần có thể gợi ý,đưa ra kết quả. Thu nạp, chấm, sửa chữa, phân tích sai sót của HS. Đồng thời củng cố việc nhận dạng, nêu phương pháp giải.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
	 SKKN đã phân loại được một số bài toán hệ phương trình nhiều ẩn giải bằng các cách khác nhau, đưa ra các ví dụ, phân tích và nêu các biện pháp giúp học sinh phần nào định hướng, nhận dạng, thể hiện các bài toán hệ không mẫu mực này. Đồng thời ra các bài tập tương tự để hoc sinh tự giải nhằm củng cố. Qua đó việc bồi dưỡng HSG và luyện thi ĐH, thi THPT QG bước đầu được coi là thành công. 
	Năm 2008 Tôi trực tiếp ôn đội tuyển HSG tỉnh ở trường THPT Cầm Bá Thước :
* Em Nguyễn Quốc Huy đạt giải nhất môn Toán với 18 điểm và đậu ĐH 2 khối A, B trong đó khối B môn toán em đạt 9,5 điểm. 
* Em Lê Xuân Long đạt giải nhì môn Toán (16,5đ) đậu 2 khối A(26,75 điểm), B trong đó khối B được 10 điểm môn Toán.
* Các em Lê Minh Quyền, Lê Văn Hai, Phan Thị Thu Liên, Ngô Anh Tuấn đều đạt giải 3 trong đó PhanThị Thu Liên đậu A, B trong đó khối A (24,5điểm), môn toán 9,5 điểm
	Năm 2009 tiếp tục ôn thi có nhiều em đậu ĐH với điểm số cao,thi HSG văn hóa và Casio nhiều giải: 
* Em Trịnh Việt Cường giải 3 môn toán cấp tỉnh, khuyến khích Casio
* Em Lê Thị Việt Trinh giải khuyến khích môn Toán.
	Năm 2015 có 3 em đạt HSG cấp trường Triệu Sơn 5 môn Toán, 1 em Nguyễn Xuân Trường đạt giải khuyến khích giải toán CASIO cấp tỉnh.
* Em Phạm Văn Bằng, Vũ Trọng Hưng, Lê Văn Tuấn, Nguyễn Thị Thảo, . đạt từ 8 điểm trở lên trong kì thi THPT Quốc Gia.
SKKN giúp tôi và đông nghiệp trong tổ nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG khá giỏi đặc biệt việc bồi dưỡng ôn luyện HSG thi chọn đội tuyển HSG tỉnh hằng năm nhằm nâng dần chất lượng mũi nhọn và thành tích HSG tỉnh của đơn vị. Đồng thời thời tìm ra hướng giải quyết về hệ phương trình khó cho học sinh của trường vốn còn non yếu về phần này góp phần nâng cao phong tào giáo dục mũi nhọn nói riêng, phong trào nhà trường nói chung làm thay đổi diện mạo địa phương.
Kết quả năm học 2016-2017 tại trường THPT Triệu Sơn 5, thậm chí các em lớp chọn 11, lớp chọn 10 cũng có thể tiếp thu được khi thừa nhận tính chất đơn điệu hàm số
Lớp thực nghiệm
12B1
12B5
12B6
Số HS khá giỏi tiếp thu được trên tổng số học sinh lớp
7/38
9/39
11/38
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
+ Kết luận
 	Việc đưa ra các biện pháp thực hiện qua các thí dụ cho ta thấy việc nhìn nhận bằng phương pháp này giúp ta giải quyết các vấn đề :
 + Qui bài toán lạ về quen
 + Chuyển bài toán từ đại số về lượng giác, giải tích và ngược lại.
 + Giáo viên, đồng nghiệp trong tổ có thể tự ra đề cho học sinh giỏi 10, 11,12 xuất phát từ các bài toán trên.
 	SKKN là tàiliệu tham khảo giúp hoc sinh định hướng, tiếp cận để giải các câu khó trong đề thi ĐH cũng như HSG, thi THPTQG giúp GVquen thuộc hơn trong việc hướng dẫn học sinh giải lớp bài toán này bằng phương pháp hoán vị vòng quanh, xét hàm số đặc trưng, phương pháp lượng giác hóa, đánh giá đối với hệ không mẫu mực..
 + Kiến nghị 
Đối với trường THPT Triệu Sơn 5 cần quan tâm hơn nữa trong việc phát hiện và đào tạo học sinh khá giỏi cũng như ôn luyện hoc sinh thi THPTQG để đề tài phát huy hơn nữa tính tự học của HS, tính tự bồi dưỡng của giáo viên.
Đối Sở GD- ĐT cần chú trọng hơn nữa trong công tác kiểm tra và đánh giá chất lượng giáo dục, đổi mới khâu ra đề thi chọn HSG tỉnh, GVG tỉnh,thi chọn đội tuyể