SKKN Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số

MỤC LỤC
TT
Nội dung
Trang
1
Mở đầu 
2
1.1
Lí do chọn đề tài
2
1.2
Mục đích nghiên cứu 
2
1.3
Đối tượng nghiên cứu 
2-3
1.4
Phương pháp nghiên cứu 
3
2
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
4
2.1
Cơ sở lí luận 
4
2.2
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 
4-5
2.3
Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để
 thực hiện vấn đề 
5-16
2.4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
16-17
3
Kết luận, kiến nghị 
18
3.1
Kết luận 
18
3.2
Kiến nghị 
18
4
Tài liệu tham khảo 
20
1 - MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác như Lý, Hóa, Sinh, VănNhư vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh, cấp huyện như hiện nay thì một phần chương trình không thể thiếu được đó là giải hệ phương trình. Tuy nhiên, các em chỉ được biết giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số; trong khi các bài giải hệ phương trình trong đề thi học sinh giỏi thì không phải như vậy. Vậy làm thế nào mà vận dụng hai quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để có thể giải được các bài hệ phương trình khó trong đề thi học sinh giỏi? Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã sử dụng một số kĩ thuật vận dụng hai quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình, tôi thấy có hiệu quả nên mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số ” để đồng nghiệp tham khảo.
 Mục đích nghiên cứu
 Tìm ra tri thức phương pháp trong việc vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình để giáo viên và học sinh khá, giỏi được tiếp cận với các kĩ thuật giải hệ phương trình . 
 Đối tượng nghiên cứu 
- Là toàn bộ lớp đội tuyển môn Toán năm 2016 - 2017 do bản thân phụ trách được tuyển chọn từ các trường THCS khác trong Huyện với sỉ số 35 em.
- Quy tắc thế và quy tắc cộng đại số; các hệ phương trình đại số bậc hai, bậc ba
 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và phương pháp thu nhập thông tin : Để hoàn thành tốt đề tài tôi đã sử dụng kết hợp việc nghiên cứu các tài liệu đã xuất bản dành cho học sinh giỏi lớp 9, các đề thi HSG lớp 9 các tinh, các trang mạng toán học.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Thu thập thông tin từ giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán lớp 9 ở các trường trong cùng huyện hoặc ngoài huyện và từ những học sinh trực tiếp tham gia lớp đội tuyển do bản thân trực tiếp phụ trách.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đề tài làm đề kiểm tra theo chuẩn kiến thức kĩ năng để đánh giá tính hiệu quả đối với việc vận dụng kiến thức phần hệ phương trình. Từ đó sửa đổi bổ sung và hoàn thiện những thiếu sót của đề tài.
- Sử dụng phương pháp thống kê toán học để xử lý thông tin, đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm. So sánh kết quả đạt được trước và sau áp dụng đề tài.
2 - NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
 2.1.1 Quy tắc thế 
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kỉa rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới ( chỉ còn một ẩn )
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ ( phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1)
Quy tắc cộng đại số
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được phương trình mới
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 	 - Học sinh lớp 9 chỉ được cung cấp kiến thức về quy tắc thế, quy tắc cộng đại số để áp dụng giải các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nên khi các em gặp hệ hai phương trình không phải là bậc nhất nữa thì các em sẽ gặp khó khăn trong việc áp dụng quy tắc, khó khăn trong việc trình bày lời giải hoặc thậm chí là không biết định hướng tư duy.
 	 - Để đánh giá thực trạng của học sinh trong việc giải hệ phương trình tôi tiến hành kiểm tra đối với 35 học sinh được chọn vào vòng 1 đi thi tỉnh môn toán lớp 9 năm học 2016-2017 . Đề bài
Bài 1 (5 điểm): Giải các hệ phương trình sau:
a/ 	 b/ 
Bài 2(5 điểm): Giải các hệ phương trình sau
a/ b/ 
 Kết quả cụ thể : 	
	Điểm dưới 5
	Điểm 5 – 7,5
Điểm 7,75 – 8,75
Điểm 9 – 10
SL
%
SL
SL
%
%
SL
%
3
8,57
27
77,14
5
14,29
0
0
Từ thực trạng trên tôi thấy các em chưa có kĩ năng vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số trong việc giải hệ hai phương trình không chứa phương trình bậc nhất. Để giúp các em học sinh khá giỏi học tốt hơn trong việc giải hệ phương trình, tôi đã hướng dẫn các em “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số ” 
 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 	Trong quá trình ôn tập và giảng dạy phần giải hệ phương trình tôi đã hướng dẫn cho học sinh một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số như sau:
Kĩ thuật biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại hoặc một biểu thức chứa ẩn theo các ẩn 
Bài 1 Giải hpt (VN math.com)
Giải
Với y=1 hpt vô nghiệm
Với thay vào pt(2) ta được
Với 
Với 
Vậy hpt có 2 nghiệm 
 	Lời bình: Trong bài này ta đã biểu diễn được ẩn x theo một biểu thức của ẩn y. Vì biểu thức đó có dạng phân thức nên ta phải xét trường hợp mẫu thức bằng 0 và trường hợp mẫu thức khác 0
Bài 2 Giải hệ phương trình
Giải
 thay vào pt(2) ta được 
Với x=-y hpt trở thành hpt vô nghiệm
Với 
Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x,y)=(-2 ;-1)
	Lời bình: Trong phương trình (2) có chứa biểu thức nên gợi ý cho ta có thể thế biểu thức này bởi tích xy được rút ra từ phương trình (1). Bài này ta có thể giải bằng phương pháp cộng đại số sẽ được trình bày trong bài 11. Các bài tập 3,4,5,6 cũng được trình bày theo kĩ thuật này tuy nhiên biểu thức dùng để thế khó phát hiện hơn, phải qua việc biến đổi phương trình ta mới rút ra được. 
Bài 3: Giải hệ phương trình (VNmath.com-Đặng Thành Nam) 
Giải
Với y= -1 hệ phương trình vô nghiệm
Với thế vào pt(2) ta được 
Với 
Với 
Vậy hpt có 3 nghiệm là 
Bài 4 Giải hệ phương trình
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với 
Vì x=-2 không là nghiệm của hpt nên với 
Thay vào pt(2) ta được 
Với 
Với 
Vậy hpt có 3 nghiệm 
Bài 5 Giải hệ phương trình
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
 Thay vào pt(1) ta được 
Thay vào pt(2) ta được 
Với 
Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x,y)=(-1;-1)
Bài 6 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2011-2012)
Giải
Điều kiện 
Vì x =2 không là nghiệm hpt nên thay vào pt(2) ta được
Vậy hpt có 2 nghiệm 
Kĩ thuật thế hằng số
Bài 7 Giải hệ phương trình
Giải
 . thế vào pt(1) ta được
Với thay vào pt(2) ta được 
Với thay vào pt(2) ta được pt vô nghiệm
Vậy hpt có 2 nghiệm 
Lời bình: Vai trò của hằng số 7 trong hai phương trình của hệ là mấu chốt để giúp ta giải được hệ phương trình này. Ta biểu diễn hằng số theo các biến từ một phương trình của hệ rồi thế vào phương trình còn lại sẽ giúp ta giải được hệ này. Kĩ thuật thế hằng số không chỉ áp dụng cho việc giải hệ phương trình mà còn giúp ta giải được một số dạng toán khác nữa.
Bài 8 Giải hpt
Giải
 thay vào pt(1) ta được 
Với x=y thay vào pt(2) ta được pt vô nghiệm
Với x=-5 thay vào pt(2) ta được pt vô nghiệm
Với x=3 thay vào pt(2) ta được 
Vậy hpt có 2 nghiệm 
Bài 9 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2014-2015)
Giải
Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình
Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại
Xét x 0 ; y 0 hệ phương trình tương đương với
(2)
(1)
Thay (1) vào (2) ta được 
Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)
Kĩ thuật nhân thêm hằng số để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Bài 10 Giải hệ phương trình
Giải
Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 2 lần phương trình (2) ta được
Ta có : 
Phương trình có nghiệm
Với x=-2y-1 thay vào (2) ta được
Với x=-2y-2 thay vào (2) ta được
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm 
Lời bình : Câu hỏi đặt ra là hệ số 2 được nhân vào phương trình (2) được tìm ra bằng cách nào ? Ta xét hệ phương trình dạng 
Hệ phương trình này giải được khi ta tìm được một hệ thức giữa x và y từ một phương trình trong hệ. Vì mỗi phương trình trong hệ là phương trình bậc hai nên ta thường nghĩ đến có dạng A2. Nhưng nếu cả 2 phương trình mà biệt thức không có dạng chính phương thì ta phải làm thế nào ? Lúc này ta phải tìm số k sao cho phương trình pt(1)+k.pt(2)=0 có dạng chính phương.
Đặt 
Số k là nghiệm của phương trình : (*)
Kết hợp với sử dụng máy tính ta dễ dàng tìm được số k. Ta thấy rằng phương pháp này rất mạnh giải quyết được một lớp các hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn.
Bài 11 Giải hệ phương trình:
Giải
Áp dụng (*) ta tìm được k=-1
Nhân phương trình (2) với -1 rồi cộng với phương trình (1) ta được :
Ta có 
Phương trình có nghiệm x=-2 hoặc x=-y
Lúc này ta dễ dàng giải được hệ phương trình đã cho
Bài 12: Giải hệ phương trình (Vnmath- Đặng Thành Nam)
Phân tích
Lấy ta được 
Ta sẽ chọn các số bằng việc đồng nhất hệ số 
Vậy ta đi đến lời giải bài toán
Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) ta được 
Thế (3) vào phương trình(2) của hệ ta được 
Với 
Với 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3;-2), (2;-3)
Lời bình: Bài này bậc của các biến x, y là như nhau; các biến x, y độc lập với nhau; bậc của pt(1) lớn hơn bậc của pt(2). Vậy ta sẽ tìm số k sao cho phương trình Pt(1)+k.Pt(2) có dạng . Cách tìm hệ số k được trình bày như ở trên. Bài 13 sau đây cũng được giải theo cách này.
Bài 13: Giải hệ phương trình 
Giải
Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được
Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được
Vậy nghiệm của hệ là (3;4) ; (4;3)
Bài 14 Giải hệ phương trình
Giải
Lời bình: Bài này ta không thể giải theo phương pháp trên được vì bậc cao nhât của x và y khác nhau, phương trình (2) có không chính phương nên không phân tích được thành nhân tử. Vậy ta sẽ đi tìm x để hai phương trình tương đương
Nếu x = -1 thì 
Từ đó ta có cách giải hệ phương trình
Cộng vế với vế của pt(1) với 3 lần pt(2) ta được 
Với 
Với thỏa mãn hệ phương trình
Vậy nghiệm hệ là (-1;-4); (-1;4)
Bài 15 Giải hệ phương trình (Đề thi HSG Thanh Hóa 2012-2013)
Giải
Điều kiện y 0
Đặt z = ta được hệ : 
Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta đươc 
	(vì với mọi x, z)
 Thay vào phương trình (1) của hệ ta được : x3 – 3x – 2 = 0 
(x+1)2(x - 2) = 0 x = -1 hoặc x = 2
Với nghiệm (x ; y ) của hệ là 
Với nghiệm (x ; y ) của hệ là 
Vậy nghiệm (x ; y ) của hệ là  và 
 Lời bình :Sau khi đổi biến thì hệ phương trình đã cho trở thành hệ đối xứng loại 2
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
 Sau khi học sinh được học về phần này tôi đã tiến hành cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút 
Đề bài : Giải các hệ phương trình sau 
Kết quả đạt được : 	
	Điểm dưới 5
	Điểm 5 – 7,5
Điểm 7,75 – 8,75
Điểm 9 – 10
SL
%
SL
SL
%
%
SL
%
3
8,57
15
42,86
12
34,29
5
14,28
	Đề bài này khó hơn đề bài khảo sát trước khi các em được học « một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số » nhưng kết qủa khảo sát cho thấy số lượng học sinh được điểm từ 7,75 đến 10 là cao hơn hẳn, đặc biệt có 5 học sinh đạt từ điểm 9 đến 10. Điều này cho thấy các em học sinh đã nắm bắt được tri thức phương pháp của sáng kiến và biết vận dụng sáng tạo trong việc giải hệ phương trình.
	Trong năm học 2016-2017 tôi được phân công phụ trách bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi đi thi tỉnh môn Toán khối lớp 9,tôi đã mạnh dạn áp dụng đề tài này trong công tác dạy đội tuyển và đã giúp các em có nhiều chuyển biến tích cực trong tư duy ,trong cách học, cách tiếp cận kiến thức,tạo được hứng thú trong học tập và các em có thể sáng tạo các bài toán mới. 
3 – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận : 
 	 Trong quá trình dạy học của bản thân, tôi đã rút ra được một vài kĩ thuật khi dạy phần hệ phương trình. Điều này giúp cho học sinh khá giỏi thấy được vai trò quan trọng của các quy tắc thế và quy tắc cộng đại số trong việc không chỉ giải các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn mà còn giải được hệ hai phương trình bậc hai tổng quát và một số hệ bậc ba khác. Và tôi nhận thấy rằng khi các em được tiếp xúc với các chuyên đề, các kĩ thuật làm toán thì tạo được cho học sinh sự hứng thú trong học tập,và sự đam mê môn toán. Tôi nghĩ rằng để ươm mầm và phát triển các tài năng thì rất cần những chuyên đề chuyên sâu về toán (phù hợp với đối tượng) để cho học sinh được mở mang kiến thức và phát triển tư duy toán. 
 	 Là một giáo viên công tác chưa lâu năm nên kinh nghiệm tôi viết ra trên đây chắc cũng còn nhiều thiếu sót hoặc có những phần tôi đề cập chưa được sâu và đầy đủ, tôi mong được sự đóng góp ý kiến và bổ sung của các bạn đồng nghiệp.
3.2 Kiến nghị
Đề nghị Phòng Giáo Dục huyện Yên Định và Sở Giáo Dục tỉnh Thanh Hóa phát hành tập san lưu hành nội bộ những sáng kiến kinh nghiệm hay, bổ ích để giáo viên chúng tôi có nguồn tài liệu học hỏi, tham khảo và áp dụng vào việc dạy học cho học sinh . 
XÁC NHẬN CỦA HĐKH NGÀNH GD&ĐT YÊN ĐỊNH
Yên Định, ngày 14 tháng 04 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến
Nguyễn Đức Hữu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Sách Giáo Khoa toán 9 tập 2 - Nhà xuất bản Giáo Dục
2.Toán nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 – Vũ Hữu Bình
3. Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 tỉnh Thanh hóa
4.Trang mạng Vnmath Luyện thi đại học – Đặng Thành Nam
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Sử dụng phương pháp chặn trong việc giải các bài toán số học lớp 6
Phòng
Sở
A
B
2010-2011
2010-2011
Giúp học sinh lớp 8 tiếp xúc với các bài toán hay và khó thông qua các bài tập đơn giản
Phòng
A
2013-2014
Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 9 một số kĩ thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số
Phòng
A
2016-2017