SKKN Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình, góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ở trường THCS Nga Tiến

MỤC LỤC TRANG
I.Phần mở đầu..2
1.Lí do chọn đề tài.2
2.Mục đích nghiên cứu..2
3.Đối tượng nghiên cứu.2
5.Phương pháp nghiên cứu2
II.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm....3
1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm3
2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3
3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. 4
4.Kết quả thực hiện đề tài..10
III.Kết luận, kiến nghị.11
IV.Tài liệu tham khảo .12
V.Phụ lục ..13
I.MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên 
Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ...” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp 9. Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo 
Phương trình vô tỷ là một đề tài lý thú vị của đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ‎‎ý tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy.
2.Mục đích nghiên cứu:
 Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cạnh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp THCS.
3.Đối tượng nghiên cứu:
	Có rất nhiều phương pháp giải phương trình vô tỷ như; Phương pháp nâng lên lũy thừa; Phương pháp đưa về phương trình trị tuyệt đối; Phương pháp đánh giá; phương pháp hàm số; Phương pháp sử dụng biểu thức lên hợp – trục căn thức.Song đối với đối tượng học sinh lớp 9, sau khi đã học giải hệ phương trình tôi mạnh dạn giới thiệu phương pháp “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình, góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ở trường THCS Nga Tiến”
4. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện đề tài: “ Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình” tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
+ Phương pháp thu tập thông tin: trước hết tôi sưu tầm và phân loại các dạng phương trình vô tỷ sau đó chọn ra những dạng phương trình vô tỷ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình. Cung cấp “ngân hàng” bài tập sau khi chọn lọc cho học sinh giao cho các em về nhà tự tìm tòi các cách giải khác nhau.
+ Phương pháp thống kê và xử lý số liệu: Trong ngân hàng bài tập chọn ra những bài tập điển hình sau đó hướng dẫn các em cách phân tích, nhận biết, cơ sở để đặt ẩn phụ đưa về dạng hệ phương trình và hướng dẫn giải chi tiết 
+ Phương pháp đánh giá: Sau mỗi bài tập ( Ví dụ) hướng đẫ các em cách đánh giá cách làm giữa các phương pháp với phương pháp đặt ẩn phụ đưa về giải hệ , từ đó rút ra tính ưu việt của cách giải.
II.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận:
a) Khái niệm phương trình vô tỷ:
+ Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn
+ Giải phương trình vô tỷ là dùng các phép biến đổi để sao cho tìm ra các giá trị của ẩn thỏa mãn phương trình
+ Các giá trị tìm được của ẩn giọi là nghiệm
b) Các khái niệm và phép biến đổi tương đương hệ phương trình:
* Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 
+ Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x0;y0) thì (x0;y0) được gọi là một nghiệm của hệ
+ Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì hệ vô nghiệm
+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các tập nghiệm của nó
*Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phương trình gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
* Hệ đối xứng loại I: Là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi
 trong đó 
* Hệ đối xứng loại II: Là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ
Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ...” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp 9. Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo. Phương trình vô tỷ là loại toán khó, có nhiều dạng vì vậy cũng tồn tại nhiều phương pháp giải khác nhau. Song với nội dung và phạm vi kiến thức ở bậc học THCS thì học sinh rất khó tiếp cận được đa dạng các phương pháp vì vậy gây ra nhiều khó khăn khi giải phương trình vô tỷ. Tuy nhiên do ở chương trình Đại số 9 các em đã được học các giải hệ phương trình , cụ thể là hệ bậc nhất hai ẩn vì vậy tôi mạnh dạn áp dụng phương pháp hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình
Các giải pháp:
a) Các bước tiến hành:
+ Bước 1: Hướng dẫn học sinh phân tích , tìm mối quan hệ giữa các biểu thức dưới dấu căn, từ đó quyết định đặt “ cái gì ” làm ẩn phụ 
Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo a; b
+ Bước 2: Hướng dẫn học sinh giải chi tiết thông qua 6 bài toán cụ thể và lưu ý những dạng toán cần ĐK, dạng toán không cần ĐK
+ Bước 3: Học sinh tự luyện thông qua hệ thống bài tập có hướng đẫn giải chi tiết
b) Các dạng bài tập điển hình
Bài toán 1: Giải phương trình: 
* Nhận xét: Ta thấy hiệu hai biểu thức dưới dấu căn bằng một số nguyên: 
(x + 2) – (x – 6) = 8 nên nếu đặt a = ; b = ta sẽ đưa được về hệ bậc nhất 2 ẩn đơn giản.
* Cách giải: Điều kiện: x ≥ 6
Đặt a = ; b = ( a,b không âm). Ta có hệ:
Vậy: 
Do x = 7 thỏa mãn điều kiện x ≥ 6 nên là nghiệm của phương trình.
Bài toán 2: Giải phương trình: 
* Nhận xét: Ta thấy hiệu hai biểu thức dưới dấu căn bằng một số nguyên:
(x – 1) – (x – 2) = 3 nên nếu đặt a = ; b = ta sẽ đưa được về hệ bậc nhất 2 ẩn đơn giản.
* Cách giải: Đặt a = ; b = ta có hệ:
 hoặc 
Nếu: a= 0 ; b = thì suy ra x = 1
Nếu: a = ; b = 0 thì suy ra x = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = 3
Bài toán 3: Giải phương trình: 
* Nhận xét: Ta thấy tổng hai biểu thức dưới dấu căn bằng một số nguyên
* Cách giải: Điều kiện: x ≤ 
Đặt a = ; b = ta có hệ:
 hoặc hoặc 
Từ đây ta tìm được giá trị của x là: ( Thỏa mãn ĐK)
Bài toán 4: Giải phương trình: - x2 + 2 = (1)
* Nhận xét: Ta thấy nếu đặt y = thì – y2 + 2 = x từ đó ta có thể đưa phương trình về hệ đối xứng.
* Cách giải: Điều kiện: x ≤ 2
Đặt y = ( Với y ≥ 0 ); ta có hệ:
 hoặc 
+ Nếu : 
+ Nếu : 
Kết hợp với ĐK: x ≤ 2 và y ≥ 0 suy ra phương trình ( 1) có hai nghiệm là : x = 1 và x = 
Bài toán 5: Giải phương trình: x3 + 1 = 2. 
* Nhận xét: Ta thấy nếu đặt y = thì y3 + 1 = 2x và x3 + 1 =2y từ đó ta có thể đưa phương trình về hệ đối xứng.
* Cách giải: Đặt y = từ đó ta có hệ:
Ta có: (2) 
Vì: x2 +xy + y2 +2 = 
Suy ra : x = y; thế vào phương trình (1) ta có:
 x3 – 2x + 1 = 0 ↔ x = 1 hoặc x = 
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x = 1 ; x = 
Bài toán 6: Giải phương trình: x.
* Cách giải: Đặt y = từ đó ta có hệ:
Từ đó suy ra: hoặc 
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 và x= 3
c) Hệ thống bài tập luyện tập có hướng dẫn giải
Bài toán 7: Giải phương trình: 
Hướng Dẫn: Đặt 
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là 
Bài toán 8:. Giải phương trình: 
Hướng Dẫn: Điều kiện: 
Đặt 
Ta đưa về hệ phương trình sau: 
Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.
Bài toán 9: Giải phương trình sau: 
Hướng Dẫn: Điều kiện: 
Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:
Vậy 
Bài toán 10: Giải phương trình: 
Hướng Dẫn: Điều kiện: 
Đặt .
Khi đó ta được hệ phương trình: 
Bài toán 11: Giải phương trình: 
Hướng Dẫn: ĐK:
Đặt 
Đặt t = uv
Với t = 15 x = 4
Với t = 113 x = 548
Bài toán 12:Giải phương trình: 	(1)
Hướng Dẫn: Với điều kiện: 
Đặt Với v > u ≥ 0
Phương trình (1) trở thành u + v = 3 
Ta có hệ phương trình
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}
Bài toán 13:. Giải phương trình: 
Hướng Dẫn: Điều kiện:	 (*)
Với điều kiện (*),đặt ;, với u ≥ 0, 
Ta có: 
Do dó ta có hệ
 u và v là nghiệm của phương trình
(b) vô nghiệm
(a) có 2 nghiệm
Do đó: 
Vì u ≥ 0 nên ta chọn 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
Bài toán 14: Giải phương trình: 
Hướng Dẫn: Với điều kiện
	(*)
Đặt , với u ≥ 0, v ≥ 0
Suy ra 
Phương trình đã cho tương đương với hệ:
Đặt A = u + v và P = u.v, ta có: 
Với S = 4, P = 3
u và v là nghiệm của phương trình:
Do đó ta có: 
Suy ra
 thoả mãn (*)
Với S = 4, P = 29 không tồn tại u và v
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
4.Kết quả thực hiện đề tài:
Qua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9C trường THCS Nga Tiến nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi dạy xong chuyên đề tôi nhận thấy thu được một số kết quả dưới đây.
+ Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ.
+ Hoc sinh thấy hứng thú hơn đối với môn toán đặc biệt là khi giải phương trình vô tỉ.
+ Học sinh có kỹ năng giải thành thạo một số dạng phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về giải hệ phương trình
Kết quả HSG toán 9 trường THCS Nga Tiến qua 5 năm từ triển khai đề tài
Năm học
Số HS dự thi
Giải tỉnh
Giải huyện
Nhất
Nhì
Ba
KK
Nhất
Nhì
Ba
KK
2012-2013
3
2
2
1
2013-2014
2
1
1
1
2014-2015
3
1
1
2
2015-2016
3
2
1
1
1
2016-2017
2
1
1
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Để gặt hái được những thành tích cao trong học tập. Học sinh là nhân vật trung tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tố giữ vai trò quyết định trong sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy. Vì chính các em mới là người học, là người đi thi và là người đem lại những thành tích đó
	Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải có một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm học tập hết khả năng của bản thân mình. Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viên là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các em. Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn trong công việc học tập của mình. Đặc biệt là với những học sinh tham gia học tập bộ môn Toán, đây là một môn học khó, có rất ít học sinh lựa chọn tham gia thi môn này.
 Người giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn toán trong bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả. Nói tóm lại là kiến thức của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người giỏi toán. Cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực. Cặp nhật thường xuyên những kiến thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao
 Trên đây là phương pháp “ Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình” trong khuôn khổ chương trình cấp THCS, mà cụ thể là của lớp 9. Ngoài phương pháp mà tôi chắt lọc nêu trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, do năng lực còn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của tôi không thể không còn những sơ suất. Chính vì vậy, tôi rất mong có sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị: Không
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG
Mai Văn Tuấn
Nga Sơn, ngày 12 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lưu Đức Toàn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT
Tên tài liệu
Tác giả
1
Để học tốt Đại số 9
Lê Hồng Đức
2
Tài liệu chuyên toán THCS-Toán 9 
Vũ Hữu Bình
3
Nâng cao và phát triển toán 9
Vũ Hữu Bình
4
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS
Nguyễn Đức Tấn
DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên: Lưu Đức Toàn
Chức vụ và đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Nga Tiến, Nga Sơn
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
Kết quả
Năm học
1
Giúp học sinh khai thác bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau trong chương trình hình học lớp 7
Huyện
B
1998-1999
2
Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 
Huyện
A
2000-2001
3
Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình bậc cao
Huyện
Tỉnh
A
B
2002-2003
4
Hướng dẫn học sinh làm dụng cụ thí nghiệm vật lý từ những vật liệu đơn giản
Huyện
Tỉnh
A
B
2005-2006
5
Hướng dẫn học sinh khắc phục một số sai lầm thường mắc phải khi sử dụng bất đẳng thức cô si
Huyện
Tỉnh
A
B
2009-2010
6
Một số biện pháp bồi dưỡng đội ngũ giáo viên dạy học sinh giỏi ở trường THCS Nga Tiến
Huyện
Tỉnh
A
C
2011-2012
7
Bồi dưỡng kỹ năng sử dụng kỹ thuật dạy học thông qua việc phát huy vai trò của nhóm chuyên môn trong hoạt động dự giờ thăm lớp ở trường THCS Nga Tiến
Huyện
B
2012-2013
8
Giúp học sinh lớp 6 trường THCS Nga Tiến làm tốt các bài toán số học dạng tìm số thông qua phương pháp chặn giá trị
Huyện
Tỉnh
A
B
2013-2014