SKKN Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ

MỤC LỤC
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ VÀ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN PHỤ
A. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số là bài toán thường gặp trong chương trình Toán THPT. Để giải một số phương trình, bất phương trình ta thường quy về phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ. Bài toán này trước đây được giải được bằng sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, đưa về bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai. Tuy nhiên, chương trình môn Toán THPT từ năm 2006 đến nay không có nội dung định lí đảo về dấu tam thức bậc hai, điều này dẫn đến khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán cần sử dụng đến nội dung kiến thức này.
Cũng đã có một số tài liệu tham khảo môn toán đưa ra một số ví dụ về các dạng toán này nhưng không hệ thống thành một chuyên đề, mà chỉ giới thiệu lẻ tẻ. Bởi vậy, học sinh và giáo viên khó khăn khi tiếp cận các dạng toán này, cũng như tìm tài liệu học tập, giảng dạy.
Để giúp học sinh hiểu, giải được các bài toán đưa về bài toán so sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai, đồng thời trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các bạn đồng nghiệp, tôi lựa chọn đề tài SKKN: “Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ”
II. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp các em học sinh lớp 10 tiếp cận và giải được các phương trình, bất phương trình chứa tham số đưa về dạng toán so sánh một số với các nghiệm của phương trình bậc hai không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai. Đồng thời, thông qua các bài toán này để phát triển năng lực tư duy phát hiện và giải quyết vấn đề; tư duy sáng tạo cho học sinh.
III. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các phương trình, bất phương trình chứa tham số đưa về phương trình bất phương trình bậc hai chứa các điều kiện phụ, đưa ra lời giải cụ thể cho các bài toán. Qua đó, đề tài tổng kết các dạng toán hay gặp và cách giải cho các dạng toán đó.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về phương trình, bất phương trình ở chương trình toán Trung học phổ thông.
Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực học sinh trong vấn đề tiếp cận và giải các phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ.
Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. Cơ sở lí luận
1. Định lí Vi-et cho phương trình bậc hai và ứng dụng
Cho phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc không) , ta có: 
Điều kiện để phương trình có các nghiệm thỏa mãn:
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai có 
Nếu thì cùng dấu với hệ số a với .
Nếu thì cùng dấu với hệ số a với .
Nếu thì có hai nghiệm phân biệt . Khi đó cùng dấu với hệ số a với ; trái dấu với hệ số a với 
Trong định lí trên, ta thay bằng (với ) thì ta cũng có kết luận tương tự.
3. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai
Xét hàm số bậc hai: 
Nếu thì nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng . 
Nếu thì đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
II. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Trong thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khi yêu cầu học sinh giải bài toán: Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho phương trình sau có ít nhất một nghiệm: , học sinh biến đổi đến bài toán: Tìm a để hệ có nghiệm. Đến đây học sinh lúng túng khi giải tiếp, do bài toán: Tìm a để phương trình có ít nhất một nghiệm , là bài toán mà trước đây thường sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai để giải quyết. Chương trình môn Toán THPT lớp 10 hiện nay không có nội dung này. Tất nhiên, bài toán này có thể giải bằng cách rút a theo hàm số của biến x rồi sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên và suy ra kết quả. Nhưng, với các em học sinh lớp 10 thì chưa thể giải bằng cách này, vì nội dung ứng dụng đạo hàm xét chiều biến thiên của hàm số đến lớp 12 mới học.
Thực tế trong học tập và giảng dạy môn toán lớp 10, có rất nhiều bài toán tương tự như bài toán nêu trên. Có một số tài liệu toán cũng có đưa ra một số ví dụ về các phương trình, bất phương trình chứa tham số có thể quy về phương trình, bất phương trình bậc hai chứa điều kiện phụ và giải nó không sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai. Nội dung này đưa ra chưa thành hệ thống, khó cho học sinh học tập, hơn nữa, việc tìm tài liệu học tập liên quan đến vấn đề này tại khu vực trường THPT Tống Duy Tân là khó khăn.
Thực tế đó đòi hỏi phải có một hệ thống các ví dụ cụ thể cho dạng toán này để học sinh và giáo viên có điều kiện học tập và giảng dạy chủ đề phương trình, bất phương trình chứa tham số ở lớp 10 được tốt hơn.
III. Các thí dụ minh họa
Thí dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
Phân tích: 
Đặt khi đó ta có phương trình: . Ta thấy, với , ta tìm được nghiệm x của phương trình đã cho. Do đó bài toán trở thành: Tìm m để phương trình có nghiệm .
Ta có hai lời giải cho bài toán này như sau:
Lời giải 1: 
Xét bài toán ngược: Tìm m để phương trình không có nghiệm .
Trường hợp 1: Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi 
Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm và . Điều kiện cho trường hợp này là:
Kết hợp hai trường hợp trên, ta có điều kiện để phương trình (1) không có nghiệm là: .
Do đó, phương trình (1) có nghiệm là hoặc 
Hay, điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: hoặc .
Lời giải 2:
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
Khi đó, (1) có hai nghiệm là: 
Rõ ràng , nên để phương trình (1) có nghiệm , điều kiện là: 
hoặc 
Như vậy, điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: hoặc .
Thí dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho phương trình sau có ít nhất một nghiệm: 
Phân tích: 
Ta có: 
Đến đây, bài toán trở thành: Tìm a để phương trình (2.1) có nghiệm 
Ta có hai lời giải sau:
Lời giải 1: 
Ta tìm a để phương trình (2.1) không có nghiệm . Có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Phương trình (2.1) vô nghiệm, điều này xảy ra khi và chỉ khi 
Trường hợp 2: Phương trình (2.1) có hai nghiệm và . Điều kiện này là:
Kết hợp hai trường trên trên, ta có điều kiện để phương trình (2.1) không có nghiệm là 
Do đó, điều kiện để phương trình (2.1) có nghiệm là 
Bởi vậy, giá trị cần tìm của a là: 
Lời giải 2: 
Điều kiện để phương trình (2.1) có nghiệm là:
Khi đó (2.1) có hai nghiệm: 
Nên phương trình (2.1) có nghiệm khi và chỉ khi:
 hoặc 
Ta có:
Bởi vậy, giá trị cần tìm của a là: 
Thí dụ 3: Tìm m để với mọi .
Phân tích:
Đặt , ta chia ra 3 trường hợp và .
Trường hợp thì hoặc , ta đưa về bài toán tìm m để có hai nghiệm 
Lời giải: 
Đặt . 
Ta có: 
Xét 3 trường hợp:
Trường hợp 1: . Khi đó nên với mọi . Do đó hoặc thỏa mãn.
Trường hợp 2: . Khi đó .
Nếu thì . Vậy với mọi , suy ra thỏa mãn.
Nếu thì . Do đó không là nghiệm của , suy ra không thỏa mãn.
Trường hợp 3: . Khi đó có hai nghiệm Nên hoặc .
Đến đây, ta tìm điều kiện để có hai nghiệm 
Ta có:
. 
Vậy, giá trị cần tìm của m là: hoặc .
Lưu ý: Trong trường hợp , có hai nghiệm . Nên hoặc 
Bởi vậy, để với mọi , ta cần điều kiện:
Thí dụ 4: Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình sau có nghiệm: 
Phân tích:
	Chia hai trường hợp và để khử dấu giá trị tuyệt đối và đưa về các bài toán giải tương tự như Thí dụ 3.
Lời giải: 
Ta có, bất phương trình (4) tương đương với
 hoặc 
Từ định lí dấu của tam thức bậc hai, ta suy ra (I) có nghiệm nếu có hai nghiệm và . Do đó (I) có nghiệm khi và chỉ khi: 
Tương tự, (II) có nghiệm nếu có hai nghiệm và . Do đó (II) có nghiệm khi và chỉ khi: 
Vậy, bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
NHẬN XÉT:
Để tìm điều kiện tam thức bậc hai có nghiệm ta có thể làm theo hai cách:
Cách 1. Ta giải bài toán ngược lại là: Tìm điều kiện để tam thức không có nghiệm , sau đó kết quả của bài toán ban đầu là phần bù của kết quả của bài toán ngược trong .
Cách 2. Ta đặt điều kiện để tam thức có hai nghiệm và khi đó có nghiệm cần thêm điều kiện 
Tương tự, để tìm điều kiện tam thức bậc hai có nghiệm ta có thể làm theo hai cách:
Cách 1. Ta giải bài toán ngược lại là: Tìm điều kiện để tam thức không có nghiệm , sau đó kết quả của bài toán ban đầu là phần bù của kết quả của bài toán ngược trong .
Cách 2. Ta đặt điều kiện để tam thức có hai nghiệm và khi đó có nghiệm cần thêm điều kiện 
Thí dụ 5: Tìm m để mọi là nghiệm của bất phương trình: 
Phân tích:
	Đặt , đưa bất phương trình (5) về bài toán biện luận bất phương trình bậc hai. Ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán này.
Lời giải: 
Đặt với , ta có bảng biến thiên sau:
x
 1 25
u
 25
0 0
t
 5
0 0
Bất phương trình (5) trở thành: (5a)
Bất phương trình (5) đúng với mọi khi và chỉ khi (5a) đúng với mọi 
Đặt , ta có: 
Nếu thì nên không thỏa mãn.
Nếu thì nên không thỏa mãn.
Nếu thì có hai nghiệm và Nên .
Bởi vậy, (5a) đúng với mọi khi và chỉ khi:
	Vậy, giá trị cần tìm là .
	Chú ý: Ta có thể tìm m để (5a) đúng với mọi bằng phương pháp hàm số như sau: Xét hàm số , ta có bảng biến thiên sau:
t
 0 5 
Từ bảng biến thiên suy ra (5a) đúng với mọi khi và chỉ khi 
Thí dụ 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
Lời giải: 
Ta tìm điều kiện để hệ sau vô nghiệm: 
Vì với mọi m thì luôn có hai nghiệm trái dấu (do ) nên hệ trên vô nghiệm khi và chỉ khi hai nghiệm của thỏa mãn điều kiện 
Ta có: , do đó:
Từ đó suy ra hệ đã cho có nghiệm khi hoặc .
Thí dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của m để với .
Lời giải:
Đặt , ta có: , nên bất phương trình trở thành: có 
Bài toán trở thành: Tìm m để với mọi 
Nếu thì với , suy ra với mọi . Nên thỏa mãn.
Nếu thì có hai nghiệm và . Khi đó: hoặc .
Do đó: với mọi khi và chỉ khi:
Tóm lại: là các giá trị cần tìm.
Thí dụ 8: Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 
Phân tích:
	Ta thấy không là nghiệm phương trình, nên giả sử , chia cả hai vế của phương trình (8) cho rồi đưa về phương trình bậc hai với ẩn 
Lời giải: 
Ta thấy không là nghiệm của (1), giả sử ta có:
Đặt , ta có phương trình:
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (8a) có nghiệm thỏa mãn .
Đến đây, ta có hai cách giải:
Cách 1: Ta tìm điều kiện để (8a) không có nghiệm thỏa mãn .
Phương trình (8a) có 
Nếu thì (8a) vô nghiệm, nên nó cũng không có nghiệm thỏa mãn .
Nếu thì (8a) có hai nghiệm và 
Do đó, (8a) không có nghiệm thỏa mãn thì . Hay:
Như vậy, với thì (8a) không có nghiệm nào thỏa mãn . Do đó suy ra là các giá trị thỏa mãn đề bài.
	Cách 2: Ta có thể giải bằng phương pháp hàm số. 
	Ta có: . 
Đặt , ta có bảng biến thiên sau:
t
 4 
 42 2
Phương trình (8b) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng và đồ thị của có điểm chung trong miền .
Từ bảng biến thiên ta có 
NHẬN XÉT:
Điều kiện để tam thức có hai nghiệm là: 
Điều kiện để tam thức có hai nghiệm là: 
Điều kiện để tam thức có hai nghiệm là: (với giả thiết )
Thí dụ 9: Với giá trị nào của x thì biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 
Phân tích:
	Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta giải bài toán: Tìm A để phương trình có nghiệm x, sử dụng phương pháp tìm điều kiện để tam thức bậc hai có nghiệm 
Lời giải: 
Ta có:
Hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm và 
Ta thấy khi thì 
Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là 16.
IV. Hiệu quả bước đầu của SKKN
SKKN đã được tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 10A năm học 2015 – 2016 của trường THPT Tống Duy Tân ở các tiết tự chọn. Sau khi học nội dung này, tác giả nhận thấy các em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức được đề cập. Thông qua các ví dụ được trình bày, các em có thể giải các bài toán tương tự và tìm ra cách giải các bài toán cụ thể cùng chủ đề mà không cần phải sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai (để giải bài toán so sánh một số với nghiệm của tam thức bậc hai), và cũng chưa cần sử dụng đạo hàm xét chiều biến thiên của hàm số. 
SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy Tân giảng dạy các tiết dạy tự chọn toán lớp 10, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi và nhận được phản hồi tốt. SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích. 
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
	Những phương pháp giải và biện luận phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ mà SKKN này đề cập phù hợp với các em học sinh lớp 10, những cách giải được trình bày không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai, phù hợp với yêu cầu giảm tải và chương trình môn toán lớp 10 hiện hành. Nội dung SKKN là tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, là tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy đối với giáo viên.
2. Kiến nghị
	Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho học sinh, tôi mong muốn nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt thì cần được phổ biến một cách rộng rãi để tài liệu đến tay những giáo viên và học sinh yêu thích môn toán.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2008 (Tái bản lần thứ hai)
Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên): Bài tập Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2006
Hàn Liên Hải (Chủ biên): Toán bồi dưỡng học sinh PTTH đại số 10, Nhà xuất bản Hà Nội, 2000 (In lần thứ 9)
Phan Đức Chính (Chủ biên): Các bài giảng luyện thi môn toán, tập một, Nhà xuất bản giáo dục, 2001 (Tái bản lần thứ tám)
Nguyễn Thái Hòe: Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, Nhà xuất bản giáo dục, 1998 (Tái bản lần thứ 2)
Bộ giáo dục và đào tạo: Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ, quyển 1, Nhà xuất bản giáo dục, 2005.